CH5現(xiàn)代控制理論講稿

1、第五章極點(diǎn)配置與觀測(cè)器的設(shè)計(jì)要點(diǎn)：1狀態(tài)反饋2單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置3觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)4用狀態(tài)觀測(cè)器的反饋系統(tǒng)概念難點(diǎn)：觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的分布情況決定于系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)品質(zhì)，因此，可以根據(jù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)的要求，規(guī)定閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)應(yīng)有的分布情況，把極點(diǎn)的布置作為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)指標(biāo)。這種把極點(diǎn)不止在希望的位置的過(guò)程成為極點(diǎn)配置。在空間狀態(tài)法中，一般采用反饋系統(tǒng)狀態(tài)變量或輸出變量的方法，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置。5-1概述一狀態(tài)反饋把系統(tǒng)狀態(tài)變量按照一定的比例關(guān)系，反饋到系統(tǒng)的輸出端稱(chēng)為狀態(tài)反饋。設(shè)線(xiàn)性系統(tǒng)為?(5-1)xAxBuyCx而反饋規(guī)律為u=Kx+v（5-2）其中A,B,C,K分別為nX

2、n、nXm、pXn及mXn矩陣,v為參考輸入。則狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為(5-3)x(ABK)xBvyCx圖5-1狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖比較式（5-1）和式（5-3）可知，狀態(tài)反饋前后的系統(tǒng)矩陣分別為A和（A+BK）,特征方程分別為detI-（A+BK）,可看出狀態(tài)反饋的系統(tǒng)特征根（即系統(tǒng)的極點(diǎn)）不僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，而且與狀態(tài)反饋K有關(guān)，我們正式利用著一點(diǎn)對(duì)極點(diǎn)進(jìn)行配置。應(yīng)該主出完全能控的系統(tǒng)經(jīng)過(guò)狀態(tài)反抗侯，仍是完全能控的，但狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀性。二、輸出反饋把系統(tǒng)的輸出變量按照一定的比例關(guān)系反饋找系統(tǒng)的輸入端.或x端稱(chēng)為輸出反饋。由于狀態(tài)變量不一定具有物理意義，所以狀態(tài)

3、反饋往往不易實(shí)現(xiàn)。而輸出變量則有明顯的物理意義，因而2輸出反饋易實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)沒(méi)有式(4-1)描述的線(xiàn)性系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行輸出反饋，取如下的控制規(guī)律。uVKy(5-4)式甲K為1XP矩陣，稱(chēng)為輸出反饋增益矩陣。將式(5-4)可將輸出反饋侯的系統(tǒng)方程為.x(ABKC)xBv/ll、(5-5)yCx圖5-2輸出反饋結(jié)構(gòu)圖比較(5-1)和(5-5)式可以蔬菜反饋前后的系統(tǒng)特征方程分別為detIA和deti(abkc),從而可見(jiàn)輸出反饋后的系統(tǒng)一、一極點(diǎn)與輸出反抗矩陣K有關(guān)。當(dāng)我們把圖5-2輸出反饋結(jié)構(gòu)圖中的B矩陣移到第一個(gè)相加點(diǎn)之前時(shí)，就時(shí)輸出變量反饋到x端的情況如圖5-3所示。.圖5-3輸出反饋x結(jié)構(gòu)圖此時(shí)

4、，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為.x（AGC）xBu/、（5-6）yCx式中G為nxp矩陣，也稱(chēng)為輸出反饋增益矩陣。輸出反饋不改變系統(tǒng)的能觀性。狀態(tài)反饋和輸出反饋（主要指輸出反饋至x的情況）都能夠?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置，且一般經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，用簡(jiǎn)單的比例反饋（即K,K或G為常數(shù)矩陣）就能使問(wèn)題得到解決。下一章我們接著討論，利用反饋對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置的條件和反饋矩陣的選擇。第二章單輸入極點(diǎn)配置一、應(yīng)用狀態(tài)、反饋實(shí)現(xiàn)預(yù)期的極點(diǎn)配置。對(duì)于式（4-1）描述的系統(tǒng)（A,B,C）采用狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)可任意配置的充要條件使系統(tǒng)完全能控。證：由于系統(tǒng)（A,B,C）完全能控，故可用變換TXx化為能控標(biāo)4準(zhǔn)形。anaKn,K1,K

5、iaiABKanknkiai其特征方程為f(入)=datI(ABK)+(-Ki+ai)n-1+(5-7)+(-Kn-i+an-i)+(-kn+an)=0設(shè)希望閉環(huán)系統(tǒng)特征根為對(duì)稱(chēng)復(fù)數(shù)復(fù)合:則對(duì)應(yīng)的特征方成為(-i)(-2廣，(-n)=n+1n-1+-1+n=0(5-8)式中的1,2n全為實(shí)數(shù)根據(jù)特性值不變?cè)?，式?-7）和式（5-8）應(yīng)具有相同的特征根，則兩個(gè)方程系數(shù)應(yīng)分別相等，即1=(-ki+ai),，n-1=-kn-i+an-i,n=-kn+an所以只要取knkn1nann1an1(i=1,2,n)ki1a1原系統(tǒng)=(A,B,C)的狀態(tài)反饋陣K可通過(guò)線(xiàn)性逆變換求得?x=Tx=(ABK)x

6、Bu以上可有?11xT(ABK)TxTBu?x(ABKT)xBu(5-10)上式與式(4-3)比較可得K=KT(5-11)只要按上(4-10)式選取K陣即可保證狀態(tài)反饋系統(tǒng)具有給定的(預(yù)期)的極點(diǎn)配置。證畢。對(duì)于由能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)可不經(jīng)變化直接選取K值，即相當(dāng)于T=I【例5-1】已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Y(S).1U(S)-s33s22s試確定狀態(tài)反饋矩陣K,以使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在s1=-2,s2,3=-1j解：因所給系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無(wú)對(duì)消銀子，故系統(tǒng)能控，是能控標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)方程為0100?x=001x+0u0231設(shè)K=K3K2K1010貝UA+BK=001K32K23K1是特征多項(xiàng)

7、式為f()=I(ABK)3(3K1)2(2K2)K3因要求狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為f*(尸(2)(1j)(1j)=34264故令上兩式相等，便可求得3kl42k26k34解的：k3=-4,k2=-4,k1=1所以K=k3k2k1=441二非能控標(biāo)準(zhǔn)形的基點(diǎn)配置。1, 按能控標(biāo)準(zhǔn)形求K=KnK12, 變換陣求法1P=001bAbAn1b(5-12)則變換陣PT=PA(5-13)【例5-3】被控對(duì)象為X11x1u求系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益陣,011使閉環(huán)極點(diǎn)為-2,-3。解：容易驗(yàn)證該系統(tǒng)是能控的，但不是能控標(biāo)準(zhǔn)形，其特征多項(xiàng)式為f(s)=det(sI-A)=s2-1由要求配置的基點(diǎn)所確定的特征多

8、項(xiàng)式為fd(s)=(s+2)(s+3)=s2+5s+6可求得k1a1dl055,k2a2d2167即kk2kl75求變換矩陣由式(5-19)有11121P01bAb01-11113由式(5-12)得tP111PA312由式(5-10)求得被控對(duì)象(原系統(tǒng))的反饋增益陣為11KKT7512341即狀態(tài)反饋為33ukxv41x1v經(jīng)狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方X2程為x(AbK)xbv非能控標(biāo)準(zhǔn)形極點(diǎn)配置變換真的另外一種求法an1an2ai1an2T(QcR)1其中R=a101第三節(jié)多輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置一、能控系統(tǒng)的極點(diǎn)配置構(gòu)造如下矩陣S00200300m00m1ui歹UU1+U2歹Uu,歹Ui1

9、n列式中，i(i=2,3,，m)為m維單位列向量，且位于S矩陣i1的第5歹ij,顯然S是mxn階矩陣，令j11kSQ1即KQS(5-14)-4一V4一為n階多輸入能控系統(tǒng)xAxBu(a)系統(tǒng)先構(gòu)造一個(gè)狀態(tài)反饋uKxv(5-15)系統(tǒng)式(a)在狀態(tài)反饋式(5-15)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為?x(ABK)xBv(5-16)若只考慮v的第一個(gè)輸入V1時(shí)，且b1為B的第一列，則有單輸入系統(tǒng)?_x(ABK)xb1VlAxb1Vl(5-17)定理5-3若被控對(duì)象式a是完全能控的，則當(dāng)取狀態(tài)反饋式（5-14）的增益矩陣為ksq1則單輸入系統(tǒng)（A,bi）是完全能控的。定理5-4若系統(tǒng)（A,B）是完全能控的，則對(duì)式（

10、5-17）單輸入系統(tǒng)的能控性矩陣QcbiAbiAn1bi有detQcdetQ（5-18）及a001Q1001Qc1（5-19）即Q1的最后一行行向量與Qc1的最后一行行向量相等。二、不完全能控系統(tǒng)的極點(diǎn)配置設(shè)不完全能控的多輸入系統(tǒng)為xAxBu（5-20）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，即經(jīng)過(guò)能控結(jié)構(gòu)分解，式（5-20）可寫(xiě)成XcXNCA1A2xCB1u0AXnc0(5-21)式中，（A11,B1)為能控子系統(tǒng)，式（5-20）和式（5-21）的極點(diǎn)集為A110A12A22A）（，）(5-22)極點(diǎn)（An）為能控極點(diǎn),（A22）為不能控極點(diǎn)?？紤]式（5-21）系統(tǒng)的任意狀態(tài)反饋uKcKncXcXNC(5-23)在此

11、反饋?zhàn)饔孟拢]環(huán)系統(tǒng)為10（5-24）（5-25）可使閉環(huán)系統(tǒng)A22的特征值xcAiB1KcA12瓦KncXcB1vXNC0A22XNC0閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為（AiiBiKc）（A22）由于（Ai,Bi）是能控的，所以適當(dāng)選擇Kc,（A11BiKc）部分的極點(diǎn)能任意配置。而不能控部分在任意狀態(tài)下反饋都不會(huì)改變。如果A22的特征值均具有負(fù)實(shí)部，則可以選擇Kc使能控部分的閉還極點(diǎn)（AiiBiKc）均具有負(fù)的實(shí)部，因此存在狀態(tài)反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。若（A22）不具有負(fù)實(shí)部，顯然不存在狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。定理5-5系統(tǒng)式（5-20）用狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為系統(tǒng)的不能控極點(diǎn)（A22）都具有

12、負(fù)實(shí)部。5-4觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)方法一、觀測(cè)器的設(shè)計(jì)思路狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)質(zhì)上是一個(gè)狀態(tài)估計(jì)器（或動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器），它是利用被控對(duì)象的輸入變量u和輸出y對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)x進(jìn)行估計(jì)，從而解決某些狀態(tài)變量不能直接測(cè)量的難題?？紤]線(xiàn)性定常系統(tǒng)（5-26）y和輸入u的xAxBuycx式（5-26）系統(tǒng)構(gòu)造的狀態(tài)觀測(cè)器，其輸入是輸出ii綜合，具輸出Z,使|im(zx)0,則Z可以作為X的估計(jì)值，從而實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)。為了得到估計(jì)值Z,用模擬部件去再實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)式(5-26),即構(gòu)造系統(tǒng)式(5-26)的模擬系統(tǒng)zAzBu(5-27)由于式(5-58)是構(gòu)造的，故都是可測(cè)量的的信息，若以z去作為X的估值，則其估計(jì)誤差為ezzx,用式

13、(5-27)減去式(5-26),則誤差滿(mǎn)足方程ezAez(5-28)由于它是一個(gè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)估計(jì)值產(chǎn)生誤差時(shí)，沒(méi)有反饋不能消除誤差。所以，一個(gè)改進(jìn)的措施是利用輸出估計(jì)的誤差y?yCzy作為反饋。此時(shí)，構(gòu)造的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，即龍伯格狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)方程為zAzBuKz(Czy)即z(AKzC)zKzyBu(5-29)式中，Kz為反饋增益陣。用式(5-29)減去式(5-26)得估計(jì)誤差ez方程為ez(AKzC)ez(5-30)如果選擇合適的Kz,使式(5-30)穩(wěn)定，即(AKzC)都具有負(fù)實(shí)部，則對(duì)應(yīng)的任意初值ez(0),x(0)以及任意輸入u均有l(wèi)imezlim(zx)0。因而z可以用為x的估值，故式

14、(5-30)為tt系統(tǒng)式(5-26)的一個(gè)觀測(cè)器12二、全階觀測(cè)器的設(shè)計(jì)定理5-6系統(tǒng)式（5-26）存在觀測(cè)器，且觀測(cè)器的極點(diǎn)可以任意配置的充分必要條件是該系統(tǒng)完全能觀。推理5-2若系統(tǒng)式（5-26）是不完全能觀的，則其存在感測(cè)器的充分必要條件是其不能觀的部分的極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，弁稱(chēng)這類(lèi)系統(tǒng)是能檢測(cè)的?，F(xiàn)在來(lái)討論式（5-26）給出的n階完全能觀性系統(tǒng)，顯然其對(duì)偶系統(tǒng)xATxCTu（5-31）yBTx是完全能控的，若對(duì)這個(gè)對(duì)偶系統(tǒng)給以狀態(tài)反饋uKTxV,則其閉環(huán)極點(diǎn)，即（atctkt）的特征值是可以任意配置的，而且（atctkt）與（AKC）具有相同的特征值。因此，對(duì)式（526）的被控對(duì)象設(shè)計(jì)觀測(cè)器就可以歸之于對(duì)其對(duì)偶系統(tǒng)（5-31）求狀態(tài)反饋，使對(duì)偶系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)等于觀測(cè)器所要求的極點(diǎn)，且觀測(cè)器中的反饋增益矩陣KzK。這表明，觀測(cè)器設(shè)計(jì)是極點(diǎn)配置的問(wèn)題