保險(xiǎn)精算生命表課件

1、1第三章 生命表2生命表相關(guān)定義n生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過(guò)程的一種統(tǒng)計(jì)表。n封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動(dòng)，沒(méi)有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。 3生命表基本函數(shù)nlx：存活到確切整數(shù)年齡x歲的人口數(shù)，x=0,1,-1。 nndx：在xx+n歲死亡的人數(shù)，當(dāng)n=1時(shí)，簡(jiǎn)記為dxnnqx：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當(dāng)n=1時(shí)，簡(jiǎn)記為qx4生命表基本函數(shù)nxnxxldl100 xxdl1112110nxxxx nnxxxxxxxnnxttddddqllqqqqq (1)(2)(3)5生命表基本函數(shù)xxxx nx nxdqldllnpx： xx+

2、n歲的存活概率,與nqx相對(duì)的一個(gè)函數(shù)。 當(dāng)n=1，簡(jiǎn)記為px 。xnxxnllp1nxnxqp6生命表基本函數(shù))(22nxxxnnxxnllndnnlL)(211xxxllLnLx：x歲的人在xx+n生存的人年數(shù)。人年數(shù)是表示人群存活時(shí)間的復(fù)合單位，1個(gè)人存活了1年是1人年，2個(gè)人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設(shè)下，xx+n歲的死亡人數(shù)ndx平均來(lái)說(shuō)存活了n/2年，而活到lx+n歲的人存活了n年，故當(dāng)n=1時(shí)，7n ：x歲人群的平均余壽，表明未來(lái)平均存活的時(shí)間。當(dāng)x為0時(shí)，表示出生時(shí)平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數(shù)。 生命表基本函數(shù)1110 xxxxx ttTL

3、LLL 1012xx ix iiTll nTx：x歲的人群未來(lái)累積生存人年數(shù)。在均勻分布假設(shè)下，xe00 xx txtxxxTlep dtdtll8生命表基本函數(shù)xnqnxxnnxnxxnxxnxxnqpldllldqxmnqnxmxnxmnxnxmnxnxxnxmxmnqppplllldq：表示x歲的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x歲的人在x+nx+n+1歲死亡的概率。：表示x歲的人在x+nx+n+m歲之間死亡的概率。01001xxxxxnxnn mnnnmqmqqqmqp 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。9生存分布n一、新生兒的生存函數(shù)n二、x歲余壽的生存函數(shù)n三、死亡力n四、整值平均余

4、壽與中值余壽10nF(x)：新生兒未來(lái)存活時(shí)間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數(shù)。ns(x)：生存函數(shù)，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0。 新生兒在xz歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：新生兒的生存函數(shù))0()Pr()(xxXxF ,0f xFxx)0()Pr()(1)(xxXxFxs)()()()()Pr(zsxsxFzFzXx11新生兒的生存函數(shù)生命表函數(shù)中的存活人數(shù)lx 正是生命表基數(shù)l0與x歲生存函數(shù)之積，lx=l0s(x)而s(x)曲線形狀如下圖所示，12x歲余壽的生存函數(shù)Pr ( )(0)txqT xtt1Pr ( )(0)txtxpqT xtt 以（x）表示年齡是x

5、歲的人，（x）的余壽以T(x)表示nx歲的人在t時(shí)間內(nèi)存活的概率 tpx 當(dāng)x=0時(shí)，T(0)=X ，正是新生兒未來(lái)余壽隨機(jī)變量。nx歲的人在t時(shí)間內(nèi)死亡的概率tqx13x歲余壽的生存函數(shù)n考慮x歲的人的剩余壽命時(shí)，往往知道這個(gè)人已經(jīng)活到了x歲 ，tqx實(shí)際是一個(gè)條件概率)()()()(1)()(|PrxstxsxsxFxFxtFxXxtXxqxt14nx歲的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示為： x歲余壽的生存函數(shù)xutqtxuxtxutxtxtxutxutqpppqqutxTtq)(Pr15整值剩余壽命n定義： 未來(lái)存活的完整年數(shù)，簡(jiǎn)記n概率函數(shù)(),( )1,0,1,K

6、XkkT xkk( )x( )K x11Pr()Pr( )1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqpppqq16死亡力n定義： 的瞬時(shí)死亡率，簡(jiǎn)記n死亡力與生存函數(shù)的關(guān)系( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x ( )xx0( )expexpxsx ttxsxs xdspds17死亡力18實(shí)際上生命表x歲平均余壽正是T(x)隨機(jī)變量的期望值死亡力xe00 ( )xtxx ttxeE T xt pdtp dt19死亡力dtldtxtxx10dtlLtxx10dtlTtxx0n生命表x歲死亡人數(shù)dx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t與死亡力之積在 01上的積分n生

7、命表x歲生存人年數(shù)Lx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t在01上的積分n生命表x歲累積生存人年數(shù)Tx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t在0上的積分20死亡力000000()txtxx ttxtxxtxdpt pdttdtdtp tp dtp dte 對(duì)于x歲期望剩余壽命 ，可以證明：0 xe21整值平均余壽與中值余壽 nx歲的整值平均余壽是指x歲未來(lái)平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括不滿1年的零數(shù)余壽，它是整值余壽隨機(jī)變量K(x)的期望值，以ex表示，xkkkkxxkxqkqpkxKEe00)(22整值平均余壽與中值余壽 1txtxqp22txtxqpxkkxxxxxxxkkpqqqqqqqk013323210由于，所以

8、 23整值平均余壽與中值余壽 )()()(xSxKxT)()()(xSExKExTE21)(xSE1 2xxee由于故，在死亡均勻分布假設(shè)下，故，24整值平均余壽與中值余壽 21)()(Pr)()(PrxmxTxmxT5 . 0)()(xsxmxs中值余壽是(x)的余壽T(x)的中值，（x）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x歲的中值余壽，則即， 25非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計(jì)n死亡均勻分布假設(shè)n死亡力恒定假設(shè)n巴爾杜奇(Balducci) 假設(shè)26有關(guān)非整數(shù)年齡的假設(shè) n使用背景:n生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時(shí)我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常

9、依靠相鄰兩個(gè)整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定， 估計(jì)分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況n基本原理:插值法n常用方法n均勻分布假定(線性插值)n常數(shù)死亡力假定(幾何插值)nBalducci假定(調(diào)和插值)27死亡均勻分布假設(shè))() 1()() 10() 1()()1 ()(xsxstxstxxstxsttxs為整數(shù)，xxttqxsxsxstxstxsxsq)()1()()()()(假設(shè)死亡在整數(shù)年齡之間均勻發(fā)生，此時(shí)存活函數(shù)是線性的。28死亡均勻分布假設(shè)xxyxtyqtqyxstyxsyxsq1)()()(xxtxtqqxsxstxsxsxstxstxs1)1()()() 1()()()( (0t,

10、 0y,0t+y) 29當(dāng)假設(shè)死亡力在xx+1上恒定時(shí)， (x為整數(shù)，0t1)，死亡力恒定假設(shè) txxttxpdtdln0txtdtpee由死亡力的定義，30死亡力恒定假設(shè)2/1xtx 1/2lnxxp 1/2()txtxxtpep若以表示，有此時(shí)，31巴爾杜奇(Balducci)假設(shè)以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設(shè)是當(dāng)x為整數(shù)，0t1時(shí)，生存函數(shù)的倒數(shù)是t的線性函數(shù)，即) 1()()1 ()(1xstxsttxs32巴爾杜奇(Balducci)假設(shè)xxxtqttqq)1 (1xxyxtqtytqq)1 (1xtxtqtq)1 (1 （其中，0t1, 0y1, 0t+y1） 此時(shí)，3

11、3三種假定下的生命表函數(shù)函數(shù)均勻分布常數(shù)死亡力Balluccixtqxtptxyq()Ttx x tf tpxtqute1xtq1ute1(1)xxpt qxxtqyq11(1)xxyqyt qxqueut21(1)xxxpqt qute1txxxtqq11(1)xxqt q1 (1)xxt qtq34生命表的編制n一、生命表編制的一般方法n二、選擇生命表35生命表編制的一般方法 n時(shí)期生命表(假設(shè)同批人生命表)：采用假設(shè)同批人方法編制，描述某一時(shí)期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時(shí)期各年齡死亡水平度過(guò)一生時(shí)的生命過(guò)程。 Dx：某年齡x歲的死亡人數(shù)； ： x歲的平均人數(shù)，即年初x歲人數(shù)與年末x歲人數(shù)的平均數(shù)，有時(shí)也用年中人數(shù)代替。 xP36nx歲的中心死亡率 （分年齡死亡率）為，生命表編制的一般方法xmxxxPDm n生命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數(shù)在分年齡生存人年數(shù)中的比例。 xmxxxLdm 37生命表編制的一般方法xxxLdm xxxxxxxxxqqdldlldm2222)(211xxxmmq22xmxmxmxm在死亡均勻分布假設(shè)下，有，變換后，