孤立子及其應(yīng)用

1、1孤立子及其應(yīng)用Solitons and their Applications科學(xué)學(xué)院尚 亞 東2一、 孤立波的發(fā)現(xiàn)歷史 1834年8月，英國(guó)科學(xué)家、造船工程師John Scott Russell 在運(yùn)河河道上看到了由兩匹駿馬拉著的一只迅速前進(jìn)的船突然停止時(shí)，被船所推動(dòng)的一大團(tuán)水卻不停止，它積聚在船頭周圍激烈地?cái)_動(dòng)，然后形成一個(gè)滾圓、光滑而又輪廓分明的大水包，高度約為0.30.5米，長(zhǎng)約10米，以每小時(shí)約13公里的速度沿著河面向前滾動(dòng)。3 羅素騎馬沿運(yùn)河跟蹤這個(gè)水包時(shí)發(fā)現(xiàn)，它的大小、形狀和速度變化很慢，直到34公里后，才在河道上漸漸地消失。羅素馬上意識(shí)到，他所發(fā)現(xiàn)的這個(gè)水包決不是普通的水波。

2、4 普通水波由水面的振動(dòng)形成，振動(dòng)沿水平面上下進(jìn)行，水波的一半高于水面，另一半低于水面，并且由于能量的衰減會(huì)很快消失。他所看到的這個(gè)水包卻完全在水面上，能量的衰減也非常緩慢(若水無阻力，則不會(huì)衰減并消失)。并且由于它具有圓潤(rùn)、光滑的波形，所以它也不是激波。5 羅素將他發(fā)現(xiàn)的這種奇特的波包稱為孤立波，并在其后半生專門從事孤立波的研究。他用大水槽模擬運(yùn)河，并模擬當(dāng)時(shí)情形給水以適當(dāng)?shù)耐苿?dòng)，再現(xiàn)了他所發(fā)現(xiàn)的孤立波。羅素認(rèn)為孤立波應(yīng)是流體力學(xué)的一個(gè)解，并試圖找到這種解，但沒有成功。 6 十年后，1844年9月Russell在向英國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)第14次會(huì)議提交的論文論波動(dòng)（Report on Waves)中

3、報(bào)告了自己的觀點(diǎn)。Russell的結(jié)論包括以下幾點(diǎn)： 1. 他在長(zhǎng)、淺水這種固定形式下觀察了孤立波。由此他推出孤立波的存在，這是他得出的意義最為重大的結(jié)果。在一致長(zhǎng)度為h的河道中，孤立波的傳播速度v由7 給出，其中是波的振幅，g為重力加速度。但Russell卻沒能說服他的同事們，在他的有生之年（1882年死去），無法從理論上對(duì)他觀察到的孤立波現(xiàn)象給出圓滿解釋。羅素所發(fā)現(xiàn)的孤立波現(xiàn)象也未能引起人們的注意。在羅素逝世100周年即1982年,人們?cè)诹_素發(fā)現(xiàn)孤立波的運(yùn)河河邊樹起了一座羅素像紀(jì)念碑，以紀(jì)念148年前他的這一不尋常的發(fā)現(xiàn)。 )(2hgv8 Russell當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)孤立波的河流，是流經(jīng)在蘇格蘭

4、、愛丁堡Heriot-Watt大學(xué)校園附近 的 Union Canal 。為紀(jì)念Russell這一重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，他當(dāng)年發(fā)現(xiàn)孤立波的地方，已被列為歷史名勝受到保護(hù)。英國(guó) Heriot-Watt 大學(xué)在1982年曾舉辦了紀(jì)念Russell逝世100周年學(xué)術(shù)討論會(huì)，來自世界各地拾幾個(gè)學(xué)科的科學(xué)家聚集一堂，熱烈地交談和討論有關(guān)孤立波和孤立子的學(xué)術(shù)問題。 9 當(dāng)時(shí)的波動(dòng)研究專家Airy爵士, Stokes爵士對(duì)他的觀點(diǎn)提出了懷疑，Boussinesq和Rayleigh進(jìn)行了進(jìn)一步地研究試圖去理解這種現(xiàn)象。后二人各自分別假設(shè)孤立波的速度遠(yuǎn)大于水深。為了近似地描述孤立波，Boussinesq提出了一個(gè)一維

5、非線性演化方程，即后來人們命名的Boussinesq方程。10 它的解是雙曲正割的平方.此外, 他還引入守恒密度，非線性與色散之間的平衡等。11 從Russell觀察到淺水孤立波到形成關(guān)于這種現(xiàn)象的理論之間過了60年。1895年瑞典阿姆斯特丹大學(xué)數(shù)學(xué)教授D J Korteweg指導(dǎo)他的學(xué)生De Vries在后者的博士論文中提出了流體中單向波傳播的數(shù)學(xué)模型，即后來著名的KdV方程，其運(yùn)動(dòng)方程是12 作適當(dāng)?shù)淖宰兞亢臀粗瘮?shù)的線性變換，可得標(biāo)準(zhǔn)的KdV方程06xxxxtuuuu13 這里為相對(duì)于靜止水平面的波峰高度，l是靜水深度，g是重力加速度，均為與水的密度、表面張力有關(guān)的物理常數(shù)。他們對(duì)孤立波

6、現(xiàn)象做了較為完整的分析，并從方程求出了行波解，它屬于周期性橢圓函數(shù)，所以稱為橢圓余弦波，在波長(zhǎng)趨于無限情形，它描述Russell所發(fā)現(xiàn)的孤波的運(yùn)動(dòng)，而且波形是sech平方函數(shù)。14 KdV方程的孤立波解 )(21sec2),(2vtxvhvtxu15 可以看出孤立波具任意常數(shù)波速，傳播過程中波形不變，振幅為 ，振幅與波速成正比，波速越快，波峰愈高，波形愈窄，或者說，大波總是比小波的速度快。2v16 這一結(jié)果回答了Airy和Stokes的反對(duì)意見，得到的孤立波解的形式也與Boussinesq 方程的雙曲正割平方解一致。從而在理論上證明了孤立波的存在性。然而，這種波是否穩(wěn)定，兩個(gè)波碰撞后是否產(chǎn)生變

7、形？這些問題長(zhǎng)期得不到解答，以至于有些人懷疑，既然方程是非線性偏微分方程，解的迭加原理不再成立，碰撞后解的形狀很可能破壞，這種波是不穩(wěn)定的，研究它沒什么物理意義。17 在這種觀點(diǎn)的束縛下，KdV方程和孤立波長(zhǎng)期受到埋沒，似乎無人理睬。 另外一個(gè)問題是，象Russell描述的這種孤立波是否在流體力學(xué)以外的其他物理領(lǐng)域也存在呢？ 18 從19世紀(jì)末到20世紀(jì)中，關(guān)于孤立波的研究工作處在寂靜時(shí)期，沒有明顯的進(jìn)展。盡管在非線性電磁學(xué)、固體物理、流體動(dòng)力學(xué)、神經(jīng)動(dòng)力學(xué)等學(xué)科中，相繼提出了一些與孤立波有關(guān)的問題，但當(dāng)時(shí)有關(guān)孤立波的已有的知識(shí)，在新問題面前顯得很不夠用，且這些問題與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間相互促進(jìn)的關(guān)系

8、，也沒有得到足夠的重視。人們似乎已忘記了Russell發(fā)現(xiàn)孤立波的重要意義。 19 “ 有時(shí)真理可能黯淡無光，但是任何時(shí)候也不會(huì)熄滅。” 孤立波的長(zhǎng)期埋沒沉寂，并不意味著它已折戟沉沙。20二、孤立子的發(fā)現(xiàn) 本世紀(jì)五十年代，一個(gè)計(jì)算機(jī)數(shù)值實(shí)驗(yàn)開始改變孤立波的命運(yùn)。美國(guó)的三位物理學(xué)家Enrico Fermi 、John Pasta和Stan Ulam于1952年開始，利用當(dāng)時(shí)美國(guó)用來設(shè)計(jì)氫彈的Maniac 號(hào)計(jì)算機(jī)，對(duì)由64個(gè)諧振子組成的、振子間存在微弱非線性相互作用的系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)，企圖證實(shí)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的“能量均分定理”。21 初始時(shí)刻這些諧振子的所有能量都集中在某一振子上，其它63個(gè)振

9、子的初始能量為零。按照能量均分定理，只要非線性效應(yīng)存在，就會(huì)有能量均分、各態(tài)歷經(jīng)等現(xiàn)象出現(xiàn)，即任何微弱的非線性相互作用都可導(dǎo)致由非平衡態(tài)向平衡態(tài)的過渡。但是，1955年的計(jì)算結(jié)果卻使他們大吃一驚，因?yàn)榻?jīng)過幾萬次計(jì)算的長(zhǎng)時(shí)間演化后，能量并沒有均分到其它振子上去，而是出現(xiàn)了奇怪的“復(fù)歸”現(xiàn)象：22 絕大部分能量又集中到原先那個(gè)初始能量不為零的諧振子上。經(jīng)典的能量均分定理竟然沒有得到證實(shí)。這就是著名的FPU問題，它與催生愛因斯坦相對(duì)論的邁克爾遜莫雷（Michelson-Morley）實(shí)驗(yàn)一樣，被認(rèn)為是對(duì)傳統(tǒng)科學(xué)的有力挑戰(zhàn)。23 令人遺憾的是，F(xiàn)ermi等人當(dāng)時(shí)只在頻率空間考察這個(gè)實(shí)驗(yàn)，未能發(fā)現(xiàn)孤立波

10、解，沒有得到正確的解釋，就這樣與孤立子理論失之交臂。后來人們把晶體看成是具有質(zhì)量的彈簧聯(lián)接的鏈條，并近似模擬這種情況，Toda研究了這種模式的非線性振動(dòng)，果然得到了孤立波解，使FPU問題得到了正確解答。24 FPU問題的出現(xiàn)和解決，依賴于剛誕生不久的電子計(jì)算機(jī)技術(shù)，它第一次通過數(shù)值計(jì)算的手段向人們證實(shí)了孤立波的存在，從而進(jìn)一步激起了人們對(duì)孤立波研究的興趣。1962年，Perring和Skyrme將Sine-Gordan方程用于基本粒子的研究，他們的計(jì)算結(jié)果表明，這樣的孤立波并不散開，即使兩個(gè)孤立波碰撞后也仍保持原有的形狀和速度。 25 1965年，美國(guó)普林斯頓（Princeton）大學(xué)的兩位數(shù)

11、學(xué)家M. D. Kruskal和N. Zabusky基于FPU問題，將實(shí)驗(yàn)中能量分布幾乎回歸的性質(zhì)與孤立波奇特的相互作用性質(zhì)聯(lián)系起來， 用數(shù)值模擬方法詳細(xì)地研究了等離子體中的孤立波碰撞的非線性相互作用過程，得到了比較完整和豐富的結(jié)果，進(jìn)一步證實(shí)了孤立波在碰撞后其波形和速度保持不變的性質(zhì)，這一結(jié)果徹底解除了人們此前對(duì)孤立波穩(wěn)定性的懷疑。 26對(duì)于兩個(gè)KdV孤立波的碰撞，可以看到三個(gè)特點(diǎn)：1.孤立波在碰撞前后保持高度不變，像是“透明地”穿過對(duì)方；2. 碰撞時(shí)兩個(gè)孤立波重疊在一起，其高度低于碰撞前孤立波高度較高的一個(gè)（這表明在非線性過程中，不存在線性疊加原理）；3. 碰撞后孤立波的軌道與碰撞前有些偏

12、離（即發(fā)生了相移）。27他們?cè)跀?shù)值實(shí)驗(yàn)中，既研究了兩個(gè)孤立波的碰撞，也研究了四個(gè)孤立波 的碰撞， 并首次引入“孤立子”（Soliton）這一術(shù)語，用來 描 述這種具有粒子性質(zhì)的孤立波。 Kruskal和Zabusky根據(jù)孤立波具有類似于粒子碰撞后不變的性質(zhì)，正式命名為 “孤立子（soliton）”。這是孤立波走出科學(xué)冷宮的重要里程碑。 28 之后，在固體物理、非線性電磁學(xué)和神經(jīng)動(dòng)力學(xué)等學(xué)科里也發(fā)現(xiàn)了與孤立波有關(guān)的問題，促使人們考慮在流體以外的領(lǐng)域，孤立波是否存在？若存在的話，其表示孤立波演化的微分方程應(yīng)如何求解？這些問題引起了人們的關(guān)注。29 目前在不同的著作中，孤立波和孤立子兩者含意的區(qū)別，

13、并不完全一致。多數(shù)作者稱波形分布在有限的空間范圍內(nèi)，且具有彈性碰撞性質(zhì)，即碰撞后保持原有的速度和波形的孤立波為孤立子。而對(duì)呈非彈性碰撞的一類，仍稱為孤立波。還有的作者稱KdV方程和其他類似的方程的單孤立波解為孤立波，多孤立波解為孤立子。 30 孤立子概念的提出，開啟了孤立子理論研究的新時(shí)代，各個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)家們陸續(xù)對(duì)孤立子投入了巨大的熱情和興趣，迄今為止，已逐步形成了較為完整、系統(tǒng)的孤立子理論。31 今天，對(duì)于孤立子的定義，數(shù)學(xué)家們理解為非線性發(fā)展方程局部化的行波解，經(jīng)過相互碰撞后，不改變波形和速度，但相位有可能改變。物理學(xué)家理解為非線性發(fā)展方程能量有限的解，即能量集中在空間的有限區(qū)域，并不隨時(shí)

14、間的增加而擴(kuò)散到無限區(qū)域中。32 當(dāng)然，也有作者認(rèn)為，孤立波與孤立子兩詞沿用至今，已無嚴(yán)格的區(qū)別?，F(xiàn)在物理學(xué)界，亦有人將孤立子簡(jiǎn)稱為“孤子”。 從事孤立子理論研究的數(shù)學(xué)家們，多數(shù)采用以是否彈性碰撞來區(qū)分的意見。但物理學(xué)家，對(duì)孤立子的定義要寬松些，認(rèn)為只要波的能量有限，且分布在有限的空間或時(shí)間范圍內(nèi)，即使在傳播過程中波形發(fā)生變化（例如光纖中的高階光孤立子），也都稱為孤立子。 33 現(xiàn)在,一般稱非線性發(fā)展方程的局域化行波解為孤立波.這里的局部化是指行波解 由 時(shí)的一個(gè)漸近態(tài)到 的另一個(gè)漸近態(tài)之間的過渡,本質(zhì)上是在 變化的某個(gè)局部范圍內(nèi)完成的. 孤立波的類型有三種: 鐘狀孤立波(bell-shape

15、 solitary wave) 環(huán)狀孤立波(loop solitary wave) 扭狀孤立波(kink-shape solitary wave)(34 如果一個(gè)發(fā)展方程的孤立波,在與其它孤立波相互作用后,仍保持其波形和波速不變,僅有相位發(fā)生變化,則稱這種孤立波為孤立子. 孤立子的形狀有多種多樣: 除鐘狀孤立子,環(huán)狀孤立子,扭狀孤立子,還有包絡(luò)孤立子,反孤立子,哨孤立子,呼吸孤立子等等.35 孤立子理論的初期研究主要集中在數(shù)學(xué)問題上。1967年，Gardner等發(fā)現(xiàn)了求解KdV方程的逆散射方法（IST）。隨后，人們發(fā)現(xiàn)了至少數(shù)十種除KdV方程外具有孤立子解的非線性方程，而且發(fā)展了豐富多彩、行之

16、有效的數(shù)學(xué)物理方法。隨著研究的深入，科學(xué)家們開始不滿足從純數(shù)學(xué)的形式來研究孤立子，企圖在流體力學(xué)以外的領(lǐng)域?qū)ふ移渌愋偷墓铝⒆印?36 結(jié)果令人大為振奮，人們?cè)诓煌淖匀豢茖W(xué)領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了孤立子的存在。例如，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在生物大分子的蛋白質(zhì)和DNA中存在各種類型的孤立子，這些孤立子擔(dān)負(fù)著生命活動(dòng)中不可缺少的重任：傳遞生物能量和生物信息，完成復(fù)制、遺傳與轉(zhuǎn)錄功能等。到目前為止，可以說孤立子現(xiàn)象無所不在： 37 ：宇宙渦旋星系的密度波、海上沖擊波、等離子體、分子系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、光纖中光的傳輸、激光的傳播、超導(dǎo)Josephson結(jié)、磁學(xué)、結(jié)構(gòu)相變、液晶.，都能找到孤立子神奇的身影。孤立子這朵數(shù)學(xué)物理

17、之花在大至宇宙的宇觀世界、小至基本粒子的微觀世界里顯示出它奇妙的魅力，令越來越多的科學(xué)家傾心不已。38三、孤立子的應(yīng)用 一位科學(xué)家說過: “科學(xué)發(fā)展的全部歷史證明，掌握自然現(xiàn)象任何新的領(lǐng)域永遠(yuǎn)會(huì)導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用。這種實(shí)際應(yīng)用往往是完全出乎意料的?！?對(duì)孤立子的發(fā)現(xiàn)也是這樣，盡管孤立子看起來似乎只是數(shù)學(xué)上非線性方程的解或?qū)嶒?yàn)室里發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，但人們很快找到了它在實(shí)際中的應(yīng)用。最典型的例子就是光孤立子在現(xiàn)代通信技術(shù)中的應(yīng)用 39 科學(xué)家們提出并預(yù)言了光孤立子的存在。1980年在實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)。由于光孤立子具有在傳播中不損失波形、不改變速度、保真度高、保密性好等優(yōu)點(diǎn)，是以光電為媒介的通信手段的最佳信息載

18、體，受到科學(xué)家們的青睞，人們很自然地希望將它運(yùn)用于現(xiàn)代光纖通信，從而產(chǎn)生了現(xiàn)代光纖孤立子通信技術(shù)。40 這一高新技術(shù)正在不斷發(fā)展，并開始進(jìn)入部分實(shí)用的階段。1993年美國(guó)與日本成功地進(jìn)行了9000公里的光纖孤立子通信實(shí)驗(yàn)，1994年日本又成功地進(jìn)行了9100公里、傳輸速率達(dá)100億bps的光纖孤立子通信實(shí)驗(yàn)，使得光孤立子通信已接近實(shí)用階段。41到90年代中期，光孤立子已能被無變形地傳輸?shù)?4,000公里和1,000,000公里（后者需經(jīng)過再生）。科學(xué)家們熱切地期盼在未來的通信技術(shù)中，光孤立子能夠施展其巨大的威力，使得地球上每一個(gè)人都能享受光纖孤立子通信帶來的快捷、方便。42四、孤立子的數(shù)學(xué)理論

19、 1883年，瑞典數(shù)學(xué)家Bcklund在研究負(fù)常曲率曲面時(shí)，得到方程的一個(gè)有趣性質(zhì)，即從一個(gè)方程的已知解，經(jīng)過一個(gè)變換，可以求得另一個(gè)新解，這種變換后來稱為Bcklund變換，成為后來發(fā)展孤立子理論的重要基礎(chǔ)。43 1967年， Gardner, Greene, Kruskal, 和Miura 提出了可以利用Schrdinger方程的逆散射理論求解KdV方程初值問題。隨后，用逆散射方法解決了一大類非線性偏微分方程的求解問題。逆散射方法是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一次重大突破， 被稱為非線性Fourier變換法。1968年P(guān).D. Lax把GGKM方法的思想推廣，提出了逆散射方法的一般框架，并提出Lax對(duì)表示。

20、44 1972年Zakharov，Shabat獲得非線性Schrdinger方程的Lax對(duì)，并首次求出該方程的孤立子解。同年，Wadati用類似方法求出MKdV方程的精確解。1973年， Ablowitz, Kaup, Newell, Segur 通過逆散射方法求出sine-Gordan等一批方程的精確解。45 1968年， Miura發(fā)現(xiàn)了 KdV方程與MKdV方程之間的一個(gè)變換Miura變換，證明了KdV 方程有無窮多個(gè)守恒律。 1972年， Hirota提出了雙線性算子變換方法，用于構(gòu)造很多方程的多孤子解和Bcklund變換 。46 1975年， Wahlpuist和Estabrook利

21、用Lie代數(shù)提出了延拓結(jié)構(gòu)方法，獲得了Lax 對(duì)。1983年，Weiss, Tabor, Carnval提出了偏微分方程可積的 Painlev 分析判定，并用來獲得可積方程的Bcklund變換 。我國(guó)數(shù)學(xué)家谷超豪、屠規(guī)彰、李翊伸、胡星標(biāo)、曾云波、王明亮、陳登遠(yuǎn)等在Darbou變換、 Bcklund變換、無窮守恒律 、雙線性等有很好工作。47 求解非線性微分方程遠(yuǎn)比求解線性微分方程要困難得多，線性方程的一些基本性質(zhì)比如迭加原理在非線性微分方程中不再成立，很難用一個(gè)統(tǒng)一方法來處理非線性微分方程。在大多數(shù)情況下，非線性微分方程的求解只能依賴于數(shù)值方法。48 多年來，數(shù)值解法在非線性微分方程的求解上取

22、得了另人矚目的進(jìn)展，但這種方法存在著明顯的局限性：首先，它只能針對(duì)給定的個(gè)別初值計(jì)算數(shù)值解，而且只能計(jì)算有限次。這樣，數(shù)值解無法包含原方程解能夠表示無窮情況的全局特征。49 在很多情況下，人們不但需要知道一個(gè)別解的具體性質(zhì)，更希望了解方程解的一般定性性質(zhì)，它對(duì)問題的描述往往更深刻；其次，數(shù)值解本身還存在非線性計(jì)算不穩(wěn)定和解的可靠性問題。因此，非線性微分方程求解析解的工作，顯示出重要理論和應(yīng)用價(jià)值。精確解還可以用來檢驗(yàn)數(shù)值方法的優(yōu)良好壞，用于預(yù)測(cè)系統(tǒng)的變化趨勢(shì)。50 近年來，出現(xiàn)了許多求解非線性偏微分方程的精確解的直接方法，如：tanh方法，推廣的tanh方法，齊次平衡方法，sine-cosin

23、e方法，廣義雙曲函數(shù)方法，橢圓函數(shù)展開方法， F-展開法等。這些方法的特點(diǎn)是可以將偏微分方程求解化成程序化的代數(shù)計(jì)算，利用計(jì)算機(jī)符號(hào)代數(shù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)機(jī)械化計(jì)算。51 孤立子理論與數(shù)學(xué)的許多分支都有關(guān)系，經(jīng)典分析和泛函分析，李群李代數(shù)，近代微分幾何，拓?fù)鋵W(xué)，動(dòng)力系統(tǒng)以及計(jì)算數(shù)學(xué)都對(duì)孤立子的研究發(fā)揮重要作用。52 Bcklund的Bcklund變換工作最早展現(xiàn)了孤立子理論與幾何的聯(lián)系。 陳省身等在上世紀(jì)70年代末80年代初給出了KdV方程的微分幾何推導(dǎo)。谷超豪先生在孤立子的幾何理論方面也有許多很好工作。近來，香港中文大學(xué)曹啟升、西北大學(xué)屈長(zhǎng)征教授也在Klein仿射幾何中推導(dǎo)出許多孤子方程。53 在數(shù)

24、學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，孤立子理論提供了一個(gè)新的求解非線性偏微分方程的途徑，發(fā)現(xiàn)有這么一類方程，它們的某一特解都具有孤立子的特性。54 稱這類方程為孤子方程，它們的孤立波解稱為孤子解。李政道指出：“在一個(gè)場(chǎng)論系統(tǒng)中，若有一個(gè)經(jīng)典解，它在任何時(shí)間都束縛于空間的一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)，那么，這樣的解叫做經(jīng)典孤子解?！?。為了深入理解孤子，以下三點(diǎn)是基本的：55 1.孤立子（孤波）是波動(dòng)問題中一種能量有限局域解； 2. 能量比較集中于一個(gè)較小的區(qū)域（或能在空間給定區(qū)域穩(wěn)定存在） 3. 兩個(gè)孤立波相互作用時(shí)出現(xiàn)彈性 散射現(xiàn)象。56 究竟什么樣的方程有孤子解，給定一個(gè)非線性方程如何尋找散射反演方法中所需的線性方程？馮康教授提出

25、下列五個(gè)共同特征： 1.有孤立子解； 2. 可用逆散射方法求解； 3. 具有無窮多守恒律； 4. 具有Backlund 變換；57 5. 可約化為完全可積的Hamilton系統(tǒng)。 對(duì)于孤立子方程的各種定解問題解的定性研究和數(shù)值分析方法的研究成為非線性偏微分方程研究和微分方程數(shù)值解法的重要研究?jī)?nèi)容, 引起國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家的極大興趣. 周毓麟、郭柏靈院士、郭本渝教授等是國(guó)內(nèi)孤立子方程的各種定解問題解的定性研究和數(shù)值分析方法研究的先驅(qū)代表、領(lǐng)軍人物58 最近的新進(jìn)展是Camassa-Holm類方程的提出和尖孤子的發(fā)現(xiàn)；緊孤子的發(fā)現(xiàn)和完全非線性色散方程的出現(xiàn)。 Camassa-Holm方程xxxxxxxx

26、xtxtuuuuuuuuu23259 其具有下列形式的尖孤子解ctxcetxu),(60 不象經(jīng)典孤立子，這種孤立子在波的波峰或波谷處一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。最近發(fā)現(xiàn)的DegasperisProcesi方程xxxxxxxxxttuuuuuuuu3461 和描述細(xì)柱狀可壓縮超彈性桿中有限長(zhǎng)小幅形變波的非線性色散方程)2(3xxxxxxxxxttuuuuuuuu62 也有這樣的尖孤子解。關(guān)于這些方程的定解問題研究和精確解是當(dāng)前的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域。63 完全非線性色散KdV方程0)()(xxxnxmtuuu64 具有所謂尖孤子解，這種孤立子具有緊支撐集。otherwisektkxtkxtxu, 0),sin()

27、,(65 即這種孤立子僅在一個(gè)有限區(qū)間上取值，而在此區(qū)間外為零。66五、啟示 從1834年流體運(yùn)動(dòng)中孤立波的發(fā)現(xiàn)，至今已有170多年的歷史。60年的爭(zhēng)論、60年的寂靜，和當(dāng)今在多學(xué)科、多領(lǐng)域的重要應(yīng)用，充分說明了數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)研究的重要性。科學(xué)中基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與研究，有極其深刻的意義。 以史為鑒，由這段170年的歷史不難看出：那種用急功近利的眼光，來看待基礎(chǔ)研究和教學(xué)的觀點(diǎn)看法，顯然是違背科學(xué)史和短視有害的。67色散波動(dòng)和擴(kuò)散波動(dòng) 考慮一般的線性發(fā)展方程,僅限于一個(gè)空間變量情形, 對(duì)多個(gè)自變量情形有類似結(jié)果. 設(shè)這里 是常系數(shù)線性偏微分算子.設(shè)0),(uxtLL68 只要是齊次方程,可得)(exp),(tkxiAtxu0),(ikiL69 稱為方程的色散關(guān)系. 它確定了頻率 與波數(shù) 之間的關(guān)系.顯然, 方程和色散關(guān)系之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 可以互相推出. 若從色散關(guān)系中解出)(kWk70 一般而言, 表示一組函數(shù), 其個(gè)數(shù)決定于色散關(guān)系方程中 的次數(shù) ,而 是方程中關(guān)于變量 的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù). 上式右端的每一個(gè)函數(shù),稱為一個(gè)模式(mode). 對(duì)應(yīng)于每一個(gè)模式,有方程的一個(gè)特解.nnt71 當(dāng) 是一個(gè)模式,其對(duì)應(yīng)的Fourier分量是)(k)(exp),(tkkxitxu),(txu72 隨 的演化性質(zhì)決定 于 的 性質(zhì). 1.當(dāng) 是實(shí)的, 相