121測(cè)量距離問題

1、:多應(yīng)用實(shí)際測(cè)量中有許正弦定理和余弦定理在;) 1 ( 測(cè)量距離;)2(測(cè)量高度.) 3( 測(cè)量角度包含不可達(dá)到的點(diǎn)1為了測(cè)量 B、C 之間的距離，在河岸 A、C 處測(cè)量，如)D圖 2，測(cè)得下面四組數(shù)據(jù)，較合理的是(圖 2Ac 與Cb、c 與Bc 與 bDb、與測(cè)量寬度例1：如圖 5 某河段的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn) A、B，觀察對(duì)岸的點(diǎn) C，測(cè)得CAB75，CBA45，且 AB100 米(1)求 sin75；(2)求該河段的寬度圖 5解：(1)sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin45(2)CAB75，CBA45，ACB180CA

2、BCBA60，由正弦定理得：ABsinACBBCsinCAB.ABsin75.sin60BC=如圖5，過點(diǎn) B 作 BD 垂直于CD，垂足為D，則BD 的長就是該河段的寬度在RtBDC 中，求不可到達(dá)兩點(diǎn)之間的距離問題例2：如圖 7，A、B 兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，在河岸邊選定兩點(diǎn) C、D，測(cè)得 CD1 000 米，ACB30，BCD30，BDA30，ADC60，求 AB 的長圖 7解：由題意知ACD 為正三角形，所以 ACCD1 000 米在BCD 中，BDC90，測(cè)量不能達(dá)到的兩點(diǎn)間的距離，利用解斜三角形是一個(gè)重要的方法解決這類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)或幾個(gè)三角形，測(cè)出有關(guān)邊長和角，用正

3、、余弦定理進(jìn)行計(jì)算航行問題例 3：一船在 A 處向北偏西 30的方向以每小時(shí) 30 海里的速度航行，一個(gè)燈塔原來在船的北偏東 15，經(jīng)過 40 分鐘后，船在 B 處，燈塔 C 在船的北偏東 45，求船和燈塔之間原來的距離解：如圖9.圖 9由已知：AB20 海里，CAB45，ABC105.在ABC 中，根據(jù)正弦定理得：AC ABsinABC sinC解決有關(guān)航行問題的應(yīng)用題，關(guān)鍵是對(duì)一些數(shù)學(xué)術(shù)語要理解好，把它翻譯到圖形中作出草圖，然后運(yùn)用正弦、余弦定理求解1.2.2測(cè)量高度問題1仰角和俯角是指與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線與目標(biāo)視線的_，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫_，目標(biāo)視線在水平視線下方

4、時(shí)叫_.圖 1，仰角為_，俯角為_.夾角仰角俯角12圖 1例 1.如圖 4，測(cè)量河對(duì)岸的塔高 AB 時(shí)，可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn) C 與 D.測(cè)得 BCD15，BDC30，CD30 米，并在點(diǎn) C 測(cè)得塔頂 A 的仰角為 60，求塔高 AB.圖4解：在BCD 中，CBD1801530135，由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD.所以 BC30sin30sin135152.在 RtABC 中，ABBCtanACB152tan60156(m)測(cè)量高度問題山高問題例 2：如圖6，在山頂鐵塔上 B 處測(cè)得地面上一點(diǎn) A 的俯角為，在塔底 C 處測(cè)得 A 的俯角為，已知鐵塔 BC

5、 的高度為 h m，求山高 CD.思維突破：利用正弦定理、余弦定理解三角形ABhsin(90)sin()hcossin()，圖 6解：在ABC 中，BAC，BCA90.又BCh，由正弦定理得，在RtABD 中，BAD，BDABsin.CDBDhhcossinsin()hhcossinsin().答：山高CD 為hcossinsin()m.求三角形的邊或角時(shí)，盡可能考慮轉(zhuǎn)化為解直角三角形，這樣計(jì)算簡單，在上題解法中，先由正弦定理求出AB 后最后解 RtABD 求出BD，最后求出CD.一船向正北航行，看見正西方向有相距 10 n mile 的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈

6、塔在船的南偏西60 ，另一燈塔在船的南偏西75 ，則這只船的速度是每小時(shí)()CA5 n mileC10 n mileB5D10 n mile n mile解析： A、 B 為兩燈塔，船由C 向正北航行半小時(shí)后到達(dá) D，則BDADAB15 ，BDAB10，又DBC30 ，DC10sin30 5，v50.510(n mile/h) 1.2.3測(cè)量角度問題船的航向問題例 1：如圖 1，當(dāng)甲船位于 A 處時(shí)獲悉在其正東方向相距20 海里的 B 處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往 B 處救

7、援(角度精確到 1)?圖 1解：要求乙船的航向，即求ACB 的度數(shù)易知C90，AB20，AC10，CAB120.在CAB 中，故乙船應(yīng)朝北偏東70方向直線前往 B 處2.如下圖，已知半圓的直徑如下圖，已知半圓的直徑AB=2，點(diǎn)，點(diǎn)C在在AB的延長線上，的延長線上，BC=1，點(diǎn)，點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)。為半圓上的動(dòng)點(diǎn)。以以PC為邊作等邊為邊作等邊PCD，且點(diǎn)，且點(diǎn)D與圓心與圓心O分分別在別在PC的兩側(cè)，求四邊形的兩側(cè)，求四邊形OPDC的面積的最的面積的最大值大值。CPDOAB解：解：。，四邊形的面積為設(shè)yPOBcos2222OCOPOCOPPCPOC中，由余弦定理得則在cos45PCDOPCSSy435cos3sin)cos45(3sin21sin2121435)3sin(2435)cos23sin21(243526523maxy時(shí)，即當(dāng)1 1、審題（分析題意，弄清已知和所求，、審題（分析題意，弄清已知和所求，根據(jù)提意，畫出示意圖；根據(jù)提意，畫出示意圖；2.2.建模（將實(shí)際問題