121測量距離問題

1、:多應用實際測量中有許正弦定理和余弦定理在;) 1 ( 測量距離;)2(測量高度.) 3( 測量角度包含不可達到的點1為了測量 B、C 之間的距離，在河岸 A、C 處測量，如)D圖 2，測得下面四組數據，較合理的是(圖 2Ac 與Cb、c 與Bc 與 bDb、與測量寬度例1：如圖 5 某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點 A、B，觀察對岸的點 C，測得CAB75，CBA45，且 AB100 米(1)求 sin75；(2)求該河段的寬度圖 5解：(1)sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin45(2)CAB75，CBA45，ACB180CA

2、BCBA60，由正弦定理得：ABsinACBBCsinCAB.ABsin75.sin60BC=如圖5，過點 B 作 BD 垂直于CD，垂足為D，則BD 的長就是該河段的寬度在RtBDC 中，求不可到達兩點之間的距離問題例2：如圖 7，A、B 兩點都在河的對岸(不可到達)，在河岸邊選定兩點 C、D，測得 CD1 000 米，ACB30，BCD30，BDA30，ADC60，求 AB 的長圖 7解：由題意知ACD 為正三角形，所以 ACCD1 000 米在BCD 中，BDC90，測量不能達到的兩點間的距離，利用解斜三角形是一個重要的方法解決這類問題的關鍵是構造一個或幾個三角形，測出有關邊長和角，用正

3、、余弦定理進行計算航行問題例 3：一船在 A 處向北偏西 30的方向以每小時 30 海里的速度航行，一個燈塔原來在船的北偏東 15，經過 40 分鐘后，船在 B 處，燈塔 C 在船的北偏東 45，求船和燈塔之間原來的距離解：如圖9.圖 9由已知：AB20 海里，CAB45，ABC105.在ABC 中，根據正弦定理得：AC ABsinABC sinC解決有關航行問題的應用題，關鍵是對一些數學術語要理解好，把它翻譯到圖形中作出草圖，然后運用正弦、余弦定理求解1.2.2測量高度問題1仰角和俯角是指與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線與目標視線的_，目標視線在水平視線上方時叫_，目標視線在水平視線下方

4、時叫_.圖 1，仰角為_，俯角為_.夾角仰角俯角12圖 1例 1.如圖 4，測量河對岸的塔高 AB 時，可以選與塔底 B在同一水平面內的兩個測點 C 與 D.測得 BCD15，BDC30，CD30 米，并在點 C 測得塔頂 A 的仰角為 60，求塔高 AB.圖4解：在BCD 中，CBD1801530135，由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD.所以 BC30sin30sin135152.在 RtABC 中，ABBCtanACB152tan60156(m)測量高度問題山高問題例 2：如圖6，在山頂鐵塔上 B 處測得地面上一點 A 的俯角為，在塔底 C 處測得 A 的俯角為，已知鐵塔 BC

5、 的高度為 h m，求山高 CD.思維突破：利用正弦定理、余弦定理解三角形ABhsin(90)sin()hcossin()，圖 6解：在ABC 中，BAC，BCA90.又BCh，由正弦定理得，在RtABD 中，BAD，BDABsin.CDBDhhcossinsin()hhcossinsin().答：山高CD 為hcossinsin()m.求三角形的邊或角時，盡可能考慮轉化為解直角三角形，這樣計算簡單，在上題解法中，先由正弦定理求出AB 后最后解 RtABD 求出BD，最后求出CD.一船向正北航行，看見正西方向有相距 10 n mile 的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈

6、塔在船的南偏西60 ，另一燈塔在船的南偏西75 ，則這只船的速度是每小時()CA5 n mileC10 n mileB5D10 n mile n mile解析： A、 B 為兩燈塔，船由C 向正北航行半小時后到達 D，則BDADAB15 ，BDAB10，又DBC30 ，DC10sin30 5，v50.510(n mile/h) 1.2.3測量角度問題船的航向問題例 1：如圖 1，當甲船位于 A 處時獲悉在其正東方向相距20 海里的 B 處有一艘漁船遇險等待營救甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往 B 處救

7、援(角度精確到 1)?圖 1解：要求乙船的航向，即求ACB 的度數易知C90，AB20，AC10，CAB120.在CAB 中，故乙船應朝北偏東70方向直線前往 B 處2.如下圖，已知半圓的直徑如下圖，已知半圓的直徑AB=2，點，點C在在AB的延長線上，的延長線上，BC=1，點，點P為半圓上的動點。為半圓上的動點。以以PC為邊作等邊為邊作等邊PCD，且點，且點D與圓心與圓心O分分別在別在PC的兩側，求四邊形的兩側，求四邊形OPDC的面積的最的面積的最大值大值。CPDOAB解：解：。，四邊形的面積為設yPOBcos2222OCOPOCOPPCPOC中，由余弦定理得則在cos45PCDOPCSSy435cos3sin)cos45(3sin21sin2121435)3sin(2435)cos23sin21(243526523maxy時，即當1 1、審題（分析題意，弄清已知和所求，、審題（分析題意，弄清已知和所求，根據提意，畫出示意圖；根據提意，畫出示意圖；2.2.建模（將實際問題