高等數(shù)學(xué)第05章：不定積分

1、第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì) 一、不定積分的概念一、不定積分的概念二、基本積分公式二、基本積分公式三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì) 例如例如: ， 是函數(shù)是函數(shù) 在在 上的原函上的原函數(shù)數(shù). ，sin x是是cos x在在 上的原函數(shù)上的原函數(shù).),(32()3xx 2x),(xxcos)(sin33x又如又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以所以sec x是是sec x tan x的原函數(shù)的原函數(shù). 定義定義 設(shè)設(shè)f (x) 在區(qū)間在區(qū)間上有上有定義定義, ,如果對(duì)任意的如果對(duì)任意的 都有都有 F(x)=f (x) 或或 dF(x)=f (x)dx則稱則稱F(x)為為 f

2、(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).xI 1.1.原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念一、一、不定積分的概念不定積分的概念 （1 1）一個(gè)函數(shù)具備什么條件）一個(gè)函數(shù)具備什么條件, ,能保證它的原能保證它的原函函數(shù)一定存在？數(shù)一定存在？（2 2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼此此 之間有何關(guān)系？之間有何關(guān)系？ 問(wèn)題問(wèn)題: :答案答案: (1)(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在具體理由將在下一章給出一定存在具體理由將在下一章給出 (2) (2) 若函數(shù)若函數(shù) f f ( (x x) ) 在區(qū)間在區(qū)間 I I 上

3、存在原函數(shù)，則上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng)其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng). .證證 設(shè)設(shè)F(x)，G(x)是是f (x)在區(qū)間在區(qū)間 I 上的任意兩個(gè)原函上的任意兩個(gè)原函 數(shù)數(shù).所以所以 F(x) = G(x) = f (x)，即即 G(x) = F(x) C0 ( C0為某常數(shù)為某常數(shù)).).所以有所以有 G(x) F(x) = C0 ，于是于是 G(x) F(x) = G(x) F(x) = f (x) f (x) = 0定義定義2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)F(x)是是f (x)在在區(qū)間區(qū)間 I 上上的一個(gè)原函數(shù)，那的一個(gè)原函數(shù)，那么么f (x)的全體的全體原函數(shù)原函數(shù)F(x

4、) C(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )稱為稱為f (x)在在區(qū)區(qū)間間 I 上上的不定積分的不定積分. . 記作記作()dfxx 其中記號(hào)其中記號(hào) 稱為積分號(hào)稱為積分號(hào)，f (x)稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)，f (x)dx稱為稱為被積表達(dá)式，被積表達(dá)式，x稱為積分變量，稱為積分變量，C為積分常數(shù)為積分常數(shù). .( )d( )f xxF xC ，即即2.不定積分的概念不定積分的概念2 1 darctan.1xxxCx 所所 以以 在在上上 有有例例1 求求4d .xx .5d54Cxxx，xx45)5(解解21(arctan)()1x xx ，解解例例2 求求21d.1xx 例例3 求求.d1xx,

5、1)1(1)(1 )ln(0 xxxxxx 時(shí)，有當(dāng)解解)0( lnd1 .1)(ln0 xCxxxxxx時(shí)，有當(dāng)).0( lnd1xCxxx, 0 )ln(, 0 lnlnxxxxx當(dāng)當(dāng).)ln(d1Cxxx又 函數(shù)函數(shù)f (x)的原函數(shù)圖形稱為的原函數(shù)圖形稱為f (x)的的積分曲線積分曲線, ,不定積分表示的不是一個(gè)原不定積分表示的不是一個(gè)原函數(shù)函數(shù), ,而是無(wú)窮多個(gè)而是無(wú)窮多個(gè)( (全部全部) )原函數(shù)原函數(shù), ,通常通常說(shuō)成一族函數(shù)說(shuō)成一族函數(shù), ,反映在幾何上則是一族反映在幾何上則是一族曲線曲線, ,這族曲線稱為這族曲線稱為f (x)的的積分曲線族積分曲線族. .圖5.13. .不定

6、積分的幾何意義不定積分的幾何意義 在相同的橫坐標(biāo)處在相同的橫坐標(biāo)處, ,所有積分曲線的斜率所有積分曲線的斜率均為均為k, ,因此因此, ,在每一條積分曲線上在每一條積分曲線上, ,以以x為橫為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的坐標(biāo)的點(diǎn)處的 切線彼此平行（圖切線彼此平行（圖5.15.1）. .f (x)為積分曲線在為積分曲線在( (x, f (x)處的切線斜率處的切線斜率. .例例3,于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程，設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(2.3),(2.3),且其上任一點(diǎn)的切線斜率等且其上任一點(diǎn)的切線斜率等. 21d2yx xxC (2,3) 1 C 把把代代入入上上述述方方程程，得得

7、，解解 ，依題意可知依題意可知設(shè)所求的曲線方程為設(shè)所求的曲線方程為xyxfy )(1 1 2 2xy因因此此所所求求曲線曲線 的的 方方 程為程為特別地，有特別地，有.dCxx4 4 不定積分與微分的關(guān)系不定積分與微分的關(guān)系微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算. ，或xxfxxfxfxxf)d()d(d )()d( (1)，或CxFxFCxFxxF)()(d )()d( (2)Cxxxcosd sin )6().( d )1 (為常數(shù)kCkxxk 二、基本積分公式二、基本積分公式.|lnd )3(Cxxx.d )5(eeCxxx. )1( 1d )2(1Cxxx.lnd )

8、4(Caxaaxx.cot d cscsind )8(22Cxxxxx. secd tan sec)10(Cxxxx.sin d cos )7(Cxxx.tan d seccosd )9(22Cxxxxx. cscd cot csc )11(Cxxxx.arcsin d 11 )12(2Cxxx.tanarcd 11 )13(2Cxxx例例4 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分.d1(3) .d1(2) .d)1 (23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1) 313xxxxdd1(3)22.22111 211CxCx2 111.21CCxx 例例5

9、 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分(1) 2.().21d (2)d (3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxC(3). deexxxC11111() d()()122ln 22ln2xxxxCC (2) 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面號(hào)的前面. .xxfkxxkf)d()d().0(kk是常數(shù)，性質(zhì)性質(zhì)2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即12( )( )( )dnxxxxfff性質(zhì)性質(zhì)2 兩個(gè)函數(shù)的和兩個(gè)函數(shù)的和(或差或差)的不定積分等于各函數(shù)的不定積分

10、等于各函數(shù)不定積分的和不定積分的和(或差或差)，即，即 ( )( )d( )d( )df xg xxf xxg xx12( )d( )d( )dnxxxxxxfff例例6 求求.d )345232(xxxxxxxxxxxd3d4d5d2 23xxxxxxxxxxxd3d4d5d2 d)345 23232(解解.323521 234Cxxxx 注注 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常個(gè)任意常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可數(shù)，因此只要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可 例例7 求求xxxd )sin23(xxxx

11、xxxdsin2d d)sin233(解解.cos23ln)cos(23ln33CxCxxx例例8 求求.d) 1(2xxx53122222(1)(d)dxxxxxxx,22123252) 1(xxxxx解解531222d2ddxxxxxx .325472232527Cxxx例例9 求求2cosd2xx21cos1cosdddcosd222xxxxxxx1(sin)2xxC解解.arctanCxx例例10 求求xxxd122xxxxxd)11(1 d1222解解xxxd11d2.arctan33Cxxxxxxd 11)1( 22xxxxxxxd11)1)(1(d1222224解解xxxxd11

12、 d)1(22.d1224xxx例例11 求求.dtan2xx.tan Cxx例例12 求求xxxx)d1(secdtan 22解解xxxddsec2注注 例例9-9-例例1212在基本積分公式中沒(méi)有相應(yīng)的在基本積分公式中沒(méi)有相應(yīng)的類型類型, ,但經(jīng)過(guò)對(duì)被積函數(shù)的適當(dāng)變形化為基但經(jīng)過(guò)對(duì)被積函數(shù)的適當(dāng)變形化為基本公式所列函數(shù)的積分后本公式所列函數(shù)的積分后, ,便可逐項(xiàng)積分求便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果得結(jié)果. .第二節(jié)第二節(jié) 不定積分的積分方法不定積分的積分方法一、一、 第一類換元積分法第一類換元積分法二、二、 第二類換元積分法第二類換元積分法三、三、 分部積分法分部積分法四、四、 簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分簡(jiǎn)

13、單有理函數(shù)的積分五、五、 積分表的使用積分表的使用.d2cosxx求 一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法例例1，uxd21d 原因在于被積函數(shù)原因在于被積函數(shù)cos 2x與公式與公式 中的被積中的被積函數(shù)不一樣函數(shù)不一樣.如果令如果令u=2x，則，則cos2x=cos u，d u=2dx，從，從而而xx d cosuuuuxxd cos21d21cosd 2cos 所以有所以有？.2sin21d2cosCxxx分析分析.sin21dcos21 cossincossinddCuuuuuuuuu的原函數(shù)，因此有被積函數(shù)是而言，即對(duì)新的積分變量由于.2sin21sin21 2CxCuxu代回，

14、得再把綜合上述分析，此題的正確解法如下：綜合上述分析，此題的正確解法如下：,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos 解解.2sin21sin21CxCu，則有得uxd21d.d2cosxx求 )()()d( 有具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則且，如果xuCuFuufj(1) )( )d()( CxFxx xfjjj定理定理1 公式公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積分法積分法.也稱也稱“湊微分法湊微分法”.用第一換元積分法求不定積分的步驟是用第一換元積分法求不定

15、積分的步驟是uufxxxfxuxxud )(d)( )()(d)(djjjj令 CuFufuF)()()( .)( )(CxFxujj代回 還應(yīng)注意到，在換元還應(yīng)注意到，在換元積分積分還原的解題過(guò)程中還原的解題過(guò)程中,關(guān)關(guān)鍵是換元鍵是換元,若在被積函數(shù)中作變量代換若在被積函數(shù)中作變量代換 = u,還需要在還需要在被積表達(dá)式中再湊出被積表達(dá)式中再湊出 即即 ,也就是也就是 ,這樣才能這樣才能以以u(píng)為積分變量作積分為積分變量作積分,也就是所求積分化為也就是所求積分化為 ()xj jxxd)( j)(dxjudCxFuufxxf)(d )()(d )(jjj 在上述解題過(guò)程中在上述解題過(guò)程中u可不必

16、寫出，從這個(gè)意義上講，第可不必寫出，從這個(gè)意義上講，第一換元積分法也稱為一換元積分法也稱為“湊微分湊微分”法法. d31 d 20082008) 13(uxux于是有例例2 求求.d) 13(2008xx，得，得令uxxuxud31d3dd13解解uud31=2008.)13(60271200913120092009CxCu例例3 求求 .d 231xx于是有，得得令 d21dd2d,23uxxuxu解解 d211 d231uuxxuud121=Cu 221.23Cx 例例4 求求.d 42xxx d2d4 2則，則令xxuux解解 d21 d42uuxxxCu233221=.31)4(223

17、Cx例例5 求xxxd)ln(2，)lnd(d1xxx解解)lnd( d)(ln)(ln22xxxxx.31)(ln3Cx例例6 求求.d12arctanexxx，)(arctandd112xxx解解)d(arctand1 eearctan2arctanxxxxx.earctanCx 用湊微分法計(jì)算不定積分時(shí)，熟記湊微分公用湊微分法計(jì)算不定積分時(shí)，熟記湊微分公式是十分必要的，以下是湊微分公式式是十分必要的，以下是湊微分公式(在在 下列各下列各式中，式中，a，b均為常數(shù)，且均為常數(shù)，且 ) : 0a).(d1d .1baxax).(d2d1.4bxaaxx).(d21d.22baxaxx).1(

18、 )(d)1(1d.31baxaxx).(d1d1 .52bxaaxx).(lndd1 .6bxxx).arccosd()arcsind(d11.102xxxx).e(dde .7bxxx).sin(d1dcos .8bxaaxx).cos(d1dsin .9bxaaxx).cotarc(d)(arctandd11.112xxxx例例7 求求.d 122xxaaxaaxd 1112xxaxaxad 111d 1 2222解解.arctan1Caxa.d 122x-xa例例8 求求xax-axxad 111d 1 222解解axaaxd 111 2.arcsin Cax例例9 求求.d 122x

19、axxaxaxaxaxd1121d 1 22解解.ln21 Caxaxa)d(1)d( 121axaxaxaxaxaxxaxad1d 121Caxaxalnln21類似地，有類似地，有.ln21d122Cxaxaaxxa例例10 求 .d tanxx.|cos|ln=Cx 類似地，有.|sin|lnd cotCxxx dcossin d tan xxxxx解)d(cos cos1xx例例11 求.dcos sin4xxx )sind( dcossinsin44xxxxx解解.51sin5Cx d12d11tttxx.d11xx例例12 求求函數(shù)的積分，所以有可將無(wú)理函數(shù)化為有理作變量代換，令,

20、 tx 解解ttd122.1ln22Cxx)1 (dt112d2ttCtt1ln22 二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法 一般的說(shuō)，若積分一般的說(shuō)，若積分 不易計(jì)算可以作適當(dāng)?shù)牟灰子?jì)算可以作適當(dāng)?shù)?變量代換變量代換 ，把原積分化為，把原積分化為 的形的形式而可能使其容易積分式而可能使其容易積分.當(dāng)然在求出原函數(shù)后，當(dāng)然在求出原函數(shù)后， 還要還要將將 代回代回.還原成還原成x的函數(shù)，這就是第二換元的函數(shù)，這就是第二換元積分法計(jì)算不定積分的基本思想積分法計(jì)算不定積分的基本思想.xxfd)()(txjtxxfd )()(jj)(1xtj定理定理2)(txj( )0.tj( )( ) d( ),

21、ftttF tCjj1( )d( )( )d( ) ( )f xxftttF tCFxCjjj設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)， 且如果則有 第二類換元法求不定積分的步驟為( )d( )( )d( ) ( )d( )f xxftttxtg ttF tC換元能用基本公式與湊微分求jjj( ) txj還原1( )FtCj ，所以有，得，得令ttxxtxtd2d112例例13 求求.d1xxxtt)d1(22tttxxtd21d11 2 .1)1 (3212CxxxCtt3322解解例例12例例13的解題方法稱為根代換法的解題方法稱為根代換法,一般地說(shuō)，應(yīng)用根代換積分時(shí)適用于如下情形：一般地說(shuō)，應(yīng)用根代換積分時(shí)適

22、用于如下情形：()dnnaxbaxbfxtcxdcxd 方方法法是是令令()dnnxxfeaxeat 方方法法是是令令).0( d22axxa，例例14 求ttattataxxadcos dcoscosd 2222解解 ).22( x cos sin1 sin dcosdsin222222tatataaxattaxtax，而，設(shè)）（tttattad2cosd2d22cos122.cossin22sin21222CtttaCtta并有，則，因?yàn)?arcsinsinsinaxtaxttax,1sin1cos2222axaaxxtCxaxaxaxxa2arcsin2d 22222.cos ,cos2

23、222axataxat斜邊鄰邊直接寫出：角形也可由圖所示的直角三上面axtax220).( d22axax，例例15 求求ttataxaxdseccos1d1222解解，于是令tataataxataxcos1sec1tan11 ,tan22222，ttaxdsecd2.tansecln dsecCtttt，鄰邊斜邊可得，利用圖所示三角形，根據(jù)aaxtaxt22sec tan).ln( ln lnd1 12212222aCCCxaxCaxaaxxax其中ax22axt0).( d122axax，例例16 求求，令 sec tax 解解，于是tttaxtaataaxd tansecd tan1se

24、c1122222 d sec=tt dtantansec=d 22ttattaaxx.|tansec|ln=Ctt，鄰邊對(duì)邊得利用圖所示三角形，易根據(jù)aaxtaxt22tan ,sec).ln( ln ln d1 12212222aCCCxaxCaaxaxxax其中ax22axt例例14例例16中的解題方法稱為三角代換法或三角換中的解題方法稱為三角代換法或三角換元法元法.dtansecd,sec,d ),(dsecd,tan,d ),(dcosd,sin,d ),(2222222tttaxtaxxaxxRttaxtaxxxaxRttaxtaxxxaxR可令；可令；可令.),(2222根號(hào)的是去

25、掉被積函數(shù)中的函數(shù)，三角換元法的目構(gòu)成的有理和表示由其中xaxxaxR 一般的說(shuō)，應(yīng)用三角代換法求積分時(shí)適用于如一般的說(shuō)，應(yīng)用三角代換法求積分時(shí)適用于如下情形：下情形：.|cos|lndtan )14(Cxxx補(bǔ)充的積分公式：.|sin|lndcot )15(Cxxx.|tansec|lndsec )16(Cxxxx.|ln21d )19(22Caxaxaaxx.|cotcsc|lndcsc )17(Cxxxx.arctan1d )18(22Caxaxax.arcsind )20(22Caxxax.|lnd )21(2222Caxxaxx.|lnd )22(2222Caxxaxx由函數(shù)乘積的微

26、分公式由函數(shù)乘積的微分公式，)(d)d()d(vuuvuv移項(xiàng)得移項(xiàng)得，)d()d()(duvuvvu(1) dduvuvvu對(duì)上式兩端同時(shí)積分，得對(duì)上式兩端同時(shí)積分，得公式公式(1)或公式或公式(2)稱為分部積分公式稱為分部積分公式 .(2) dd xu vuvxuv或或 三、分部積分法三、分部積分法注意：注意： 使用分部積分公式的目的是在于化難使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇u和和v.選選u的法則是的法則是: 指多弦多只選多指多弦多只選多 反多對(duì)多不選多反多對(duì)多不選多 指弦同在可任選指弦同在可任選 一旦選中要固定一旦選中要固定.d

27、, dedcosdsin.1vxuxxxkxxxkxxnkxnnn余下的為令的不定積分，形如.,dd darcsin,darctan,dln.2uxxvxxxxxxxxxnnnn余下的為定積分，令的不形如即一般情況下，即一般情況下，u與與dv按以下規(guī)律選擇按以下規(guī)律選擇.d ,d dcose,dsine.3應(yīng)保持一致和部積分公式，兩次選擇因?yàn)橐褂脙纱畏郑珣?yīng)注意和任意選擇的不定積分，可以形如vuvuxbxxbxaxax例例1 求求.dsinxxx cosdddsind ，則，則，令xvxuxxvxu解解xxxxxxxd )cos(cos dsin.sincosCxxxxxxxd coscos

28、.de2xxx例2 求 d2dddee2xxvxxuxvux，則，令解d2d eeee22xxxxxxxxx則 dd eee22xxxxxxxx則eedd d d xxvxuxvxu，則，令繼續(xù)使用分部積分法 . )22 (22 22eeeeCxCxxxxxxx例例3 求求.dtanarcxxx解解 ddarctan，令xxvxuxxxxxxxxd112arctan21 darctan 222 d)111 (21arctan2122xxxx.arctan 21 2arctan21 2Cxxxx 2d11d22，則，則xxvxu.dln4xxx例例4 求求 )5(dlndln 54xxxxx解解

29、xxxxd51ln545 .25ln555Cxxx例例5 求求.dlnxx)ln(dlndln xxxxxx解解.lndlnCxxxxxx.dcosexxx例例6 求求 )(dcos dcos eexxxxx解解xxxxxdsincosee)(dsincos eexxxxxxxxxxxdcossincoseee,dcossincosdcos eeeexxxxxxxxxx這樣便出現(xiàn)了循環(huán)公式,sincosdcos2 1eeeCxxxxxxx移項(xiàng)得).2( )sin(cos2dcos1eeCCCxxxxxxCxxxxxx)cos(sin2dsin ee類似地，有例例7 求求.dsinarcxx)a

30、rcsin(darcsindarcsinxxxxxx解解xxxxxd1arcsin2.)1ln(21arctandarctan 2Cxxxxx類似地，有.1arcsin2Cxxx例例8 求求.dcosxx，有，則令ttxxtxtd2d2解解 dcos2dcostttxx2 sin2costttC2 sin2 sin dt ttt 2sin 2 cos .xxxC 在計(jì)算積分時(shí)在計(jì)算積分時(shí),有時(shí)需要同時(shí)有時(shí)需要同時(shí)使用換元積分法與分部積分法使用換元積分法與分部積分法.對(duì)于某些特殊類型的被積函數(shù)的積分，如有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式等，可通過(guò)恒等變形，應(yīng)用上述兩種方法進(jìn)行求解 四、簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分四、簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分例1 求23d56xxxx解: 因?yàn)?)3)(2(652xxxx所以,可設(shè) 32) 3)(2(36532xBxAxxxxxx(2)(3)xx用同乘等式兩邊，得 )2(33xBxAx得5,A 6B 2356dd2356xxxxxxxdd56235ln26ln3.xxxxxxC 于是例2 求 解3221d2xxxxx2223)1(1)1(12212xCxBxAxxxxxxx兩端去分母得 CxxBxxAx)1()1(122令1,225, 2, 1, 0BCBAxAx得得令得 32221113dd12(1)xxxxxxxxx2111dd(1)3d(1)