實(shí)例某商店賣(mài)兩種牌子的果汁

1、1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 實(shí)例：某商店賣(mài)兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣(mài)兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣(mài)計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣(mài) 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣(mài)每瓶賣(mài) 元，則每天可賣(mài)出元，則每天可賣(mài)出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問(wèn)：店主每天以什么價(jià)格賣(mài)兩種牌子的果汁可問(wèn)：店主每天以什么價(jià)格賣(mài)兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()

2、4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問(wèn)題的提出2二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的的圖圖形形觀(guān)觀(guān)察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 播放播放機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿(mǎn)足不等式若滿(mǎn)足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱(chēng)函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿(mǎn) 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿(mǎn) 足 不 等 式),(),

3、(00yxfyxf ，則稱(chēng)函數(shù)在，則稱(chēng)函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極極大大值值、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)為為極極值值. .使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為極極值值點(diǎn)點(diǎn). .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無(wú)極值處無(wú)極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),

4、(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件證證定定理理 2 2（充充分分條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，

5、則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒(méi)有極值；時(shí)沒(méi)有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒(méi)有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論還需另作討論機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7例例 4 4 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z確定的函數(shù)確定的函數(shù)),(yxfz 的極值的極值解解求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在

6、內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類(lèi)似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8例例 5 5 求求二二元元函函數(shù)數(shù))4(),(2yxyxyxfz 在在直直線(xiàn)線(xiàn)6 yx，x軸軸和和y軸軸所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的最最大大值值與與最最小小值值.解解例例 6 6 求求122 yxyx

7、z的最大值和最小值的最大值和最小值.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9實(shí)例：實(shí)例： 小王有小王有200元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶，設(shè)他購(gòu)買(mǎi)購(gòu)買(mǎi) 張磁盤(pán)，張磁盤(pán)， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤(pán)盤(pán)8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問(wèn)他如何分配這元，問(wèn)他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx三、條件極值拉

8、格朗日乘數(shù)法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 10拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點(diǎn)，可能極值點(diǎn)，先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).條件極值條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值：對(duì)自變量有附加條件的極值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為常數(shù)，可由均為常數(shù)，可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出tzyx,，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo)，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).例例 7 7 將將正正數(shù)數(shù) 12分分成成三三個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使得得zyxu23 為為最最大大.解解機(jī)動(dòng)