大一高數(shù)第八章8-1-1多元函數(shù)的基本概念ppt課件

1、推廣推廣第八章第八章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 第八章 第一節(jié)第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 （1 1鄰域鄰域一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx )(0oPPU 00PP說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成也可寫成. )

2、(0PU點(diǎn)點(diǎn) 的去心鄰域記為的去心鄰域記為0P（2 2區(qū)域區(qū)域.)(的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在點(diǎn)點(diǎn)是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于EP .為開集為開集則稱則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集EP 的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)為為），則則稱稱可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)點(diǎn)也也有有不不屬屬于于的的點(diǎn)點(diǎn)，于于的的任任一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點(diǎn)點(diǎn)EPEEPEEPEP 的的

3、邊邊界界的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為EE是是連連通通的的開開集集，則則稱稱且且該該折折線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)都都屬屬于于連連結(jié)結(jié)起起來來，任任何何兩兩點(diǎn)點(diǎn)，都都可可用用折折線線內(nèi)內(nèi)是是開開集集如如果果對(duì)對(duì)于于設(shè)設(shè)DDDD 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo則則稱稱為為無無界界點(diǎn)點(diǎn)集集為為有有界界點(diǎn)點(diǎn)集集，否否成成立立，則則稱稱對(duì)對(duì)一一切切即即，不不超超過過間間的的距距離離與與某某一一定定點(diǎn)點(diǎn)，使使一一切切點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于點(diǎn)點(diǎn)集集EEPKAPKAPAEPKE 0

4、| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo（3聚點(diǎn)聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，P 是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，如如果果點(diǎn)點(diǎn) P 的的任任何何一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn). 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)； 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn) 點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yx

5、yx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合（3 3n n維空間維空間 n n維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為;nR n n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 .)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離間的距離3, 2, 1 n),(21nxxxP),(21nyyyQ設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為 n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)

6、、區(qū)域等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念也可定義鄰域：鄰域：二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng),2hrV ,(為為常常數(shù)數(shù)）RVTRp 0, 0),( hrhr 0, 0),(TTVTV 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 hr（1 1二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)D稱為該函數(shù)的定義域，稱為該函數(shù)的定義域，yx,稱為自變量，稱為自變量，z稱為因變量稱為因變量數(shù)集數(shù)集 DyxyxfzzW ),(),(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域),(yxfz 在在),(00yx點(diǎn)的值記為點(diǎn)的值記為)

7、,(0000yxfzyyxx或或 例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域例如例如)ln(yxz 的定義域的定義域 0),( yxyxD是無界開區(qū)域是無界開區(qū)域xyoxyzln 的定義域的定義域不是區(qū)域不是區(qū)域 0),( xyyxD（2 2） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面通常是一張曲面. .xyzsin 圖形如右圖圖形如右圖. .例如例如, ,xyzo例如例如,

8、 ,2222azyx 左圖球面左圖球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: :),(yxfz ),(,000yxPDD定義定義1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)槭鞘堑膬?nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，假如的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，假如 P以任何方式無限以任何方式無限趨近于趨近于0P時(shí)，時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)值總是無限趨近于函數(shù)的對(duì)應(yīng)值總是無限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)某一個(gè)確定的常數(shù),A),(yxfz 0 xx0yyAyxfyyxx ),(lim00) 0(),( Ayxf|0PP 則稱則稱A A為函數(shù)為函數(shù)當(dāng)當(dāng)記為記為 或或這里這里三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限時(shí)的極限時(shí)的

9、極限說明：說明：（1 1定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2 2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3 3二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxy

10、x ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 值或有的極限不存在，值或有的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限不存在則可以斷定函數(shù)極限不存在 . .例例4. 4. 討論函數(shù)討論函數(shù)函數(shù)趨于不同函數(shù)趨于不同 若當(dāng)點(diǎn) 以不同方式趨于以不同方式趨于,),(000時(shí)時(shí)yxP),(yxP),(yxP解解: : 設(shè)設(shè) 沿直線沿直線 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) , , 則有則有kxy )0 , 0(22),(yxyxyxf 在點(diǎn)在點(diǎn) 的極限的極限. .)

11、0 ,0(222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx 21kk 值不同極限不同值不同極限不同 ! !k),(yxf故故在在 點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在 . .)0 , 0(例例4 4 證明證明 不存不存在在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有四、多元函數(shù)

12、的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3對(duì)二元函數(shù)對(duì)二元函數(shù)),( yxf，假如假如),(),(lim0000yxfyxfyyxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)),( yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處連續(xù)處連續(xù).例如例如, , 函數(shù)函數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf又如又如, , 函數(shù)函數(shù)11),(22 yxyxf上間斷上間斷. .122 yx在圓周在圓周在點(diǎn)在點(diǎn) 極限不存在極限不存在, , )0 , 0( 故 為其間斷點(diǎn).)0 , 0(注注1 1）（2）二元連續(xù)函數(shù)是一個(gè)無孔無縫的曲面二元連續(xù)函數(shù)是一個(gè)無孔無縫的曲面如果函數(shù)在如果函數(shù)在 上各點(diǎn)處都連續(xù)上各點(diǎn)處都連續(xù), , 則稱

13、此函數(shù)在則稱此函數(shù)在 上上連續(xù)連續(xù)DD例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2)0 , 0(),(fyxf故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 220yx例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22

14、220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1 1最大值和最小值定理最大值和最小值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在 上至少取上至少取得它的最大值和最小值各一次得它的最大值和最小值各一次DD 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D D上取得上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上取得介于這兩值之間的任上取得介于這兩值之間的任何值至少一次何值至少一次

15、（2 2介值定理介值定理多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)例如例如221 yyxxz )sin(yxz )1ln(yxz 等都是二元初等函數(shù)等都是二元初等函數(shù)).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點(diǎn)點(diǎn)在在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求一切多元初等函

16、數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）五、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能. .例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 244

17、2223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在. .),(lim)0 , 0(),(yxfyx原因?yàn)槿羧≡驗(yàn)槿羧?2yx 244262)(),(yyyyyyf .41練練 習(xí)習(xí) 題題)0()(22 yyyxxyf )(xf22),(yxxyyxf ),(yxf)1ln(4222yxyxz 3、假設(shè)、假設(shè),那么那么_.,那么那么_.的定義域是的定義域是_.4、假設(shè)、假設(shè)函數(shù)函數(shù)一一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yx

18、yxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyyx. .二二、1 1、41 ； 2 2、0 0； 3 3、 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 不存在