數(shù)字信號處理第六章無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計

1、第第6 6章章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計 6.1 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 6.2 6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計 6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 6.4 6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIRIIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 6.5 6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計定義：定義： 是指輸入輸出均為是指輸入輸出均為數(shù)字信號數(shù)字信號，通過一定運算，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者關系改變輸入信

2、號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。濾除某些頻率成分的器件。 高精度、穩(wěn)定、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)高精度、穩(wěn)定、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能等特殊濾波功能等優(yōu)點：優(yōu)點：6-1 6-1 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念 一、數(shù)字濾波器的分類一、數(shù)字濾波器的分類 經典濾波器：經典濾波器：現(xiàn)代濾波器：現(xiàn)代濾波器：特點：特點：輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占不同的頻帶，通過一個合適的頻率成分各占不同的頻帶，通過一個合適的選頻選頻濾波器濾波器達到濾波目的。達到濾波目的。維納濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器卡爾曼濾波

3、器自適應濾波器等自適應濾波器等特點：特點：信號和干擾的頻帶互相重疊信號和干擾的頻帶互相重疊按功能分：按功能分：低通、高通、帶通、帶阻低通、高通、帶通、帶阻)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻22222222其特點其特點為：為： （1）頻率變量以數(shù)字頻率）頻率變量以數(shù)字頻率 表示，表示， （2）以數(shù)字抽樣頻率）以數(shù)字抽樣頻率 為周期為周期 （3）依取樣定理）依取樣定理所以：所以：在在0,2間，數(shù)字信號最高頻率為間，數(shù)字信號最高頻率為 以上理想濾波器無法實現(xiàn)，因為以上理想濾波器無法實現(xiàn)，因為h(n)均為非因果均為非因果無限長無限長,只能按某些準則設計濾波器只能按某些準則

4、設計濾波器,使之盡可能逼近使之盡可能逼近它它T22Tfss2s低頻頻帶：低頻頻帶：2k2k附近；高頻頻帶附近；高頻頻帶: : ( (2k+1)2k+1)附近附近注意與模擬濾波器區(qū)別注意與模擬濾波器區(qū)別按實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或單位抽樣響應分：按實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或單位抽樣響應分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n zFIR濾波器（濾波器（N-1階）階）IIR濾波器（濾波器（N階）階）二、數(shù)字濾波器的技術要求二、數(shù)字濾波器的技術要求()()()jjjjH eH ee 為幅頻特性：信號通過該濾波器后各頻率成分為幅頻特性：信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況的衰減

5、情況()jH e 為相頻特性：各頻率成分通過濾波器后在時為相頻特性：各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況間上的延時情況()j一般選頻濾波器的技術要求由一般選頻濾波器的技術要求由幅頻幅頻給出，相頻特性不給出，相頻特性不做要求。做要求。 通帶：通帶： 0pww1(1) |()| 1jwH e0|()|20lg20lg|()|()|ppjjwpjwH eadBH edBH e阻帶阻帶: :sww2|()|jwH e：通帶內允許的最大衰減：通帶內允許的最大衰減ps：阻帶內應達到的最小衰減：阻帶內應達到的最小衰減0|()|20lg20lg|()|()|ssjjwsjwH eadBH edBH e 當

6、幅度為當幅度為 時，時， ，此時，此時 ，故稱，故稱 為為 通帶截止頻率通帶截止頻率 2 /2cww3padBcw3dB1) IIR1) IIR濾波器設計方法濾波器設計方法( )aHs( )H Z變換成滿足預定指標的數(shù)字濾波器變換成滿足預定指標的數(shù)字濾波器 三、數(shù)字濾波器設計方法概述三、數(shù)字濾波器設計方法概述b.b.直接設計法：直接在頻域或時域設計直接設計法：直接在頻域或時域設計a.a.借助模擬濾波器設計借助模擬濾波器設計）FIRFIR濾波器設計方法濾波器設計方法 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 頻率采樣法頻率采樣法 ）線性相位濾波器設計方法）線性相位濾波器設計方法 FIRFIR濾波器：常用（相位特性嚴格線

7、性，濾波器：常用（相位特性嚴格線性，這是這是AFAF無法達到的）無法達到的） IIRIIR濾波器：必須使用全通網(wǎng)絡對其非線濾波器：必須使用全通網(wǎng)絡對其非線性相位特性進行相位校正性相位特性進行相位校正 6-2 6-2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計 (1) (1) 模擬濾波器設計方法已相當成熟，有嚴格的設模擬濾波器設計方法已相當成熟，有嚴格的設計公式，現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用。計公式，現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用。(2) (2) 常用的模擬濾波器：常用的模擬濾波器：巴特沃斯巴特沃斯，切比雪夫，橢，切比雪夫，橢圓，貝塞爾濾波器等。圓，貝塞爾濾波器等。(3) (3) 設計濾波器時，總是先設

8、計設計濾波器時，總是先設計低通濾波器低通濾波器，再通，再通過低通濾波器轉換成希望類型的濾波器。過低通濾波器轉換成希望類型的濾波器。1、概述、概述 各種理想濾波器的幅頻特性各種理想濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c2、模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法、模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法設計指標：設計指標： ， ， 和和 。 papsas通帶截止頻率通帶截止頻率ps阻帶截止頻率阻帶截止頻率p0通帶：通帶：s阻帶：阻帶：用用 表示表示pasadB通帶最大衰減系數(shù)通帶最大衰減系數(shù)阻帶最小衰減系數(shù)阻帶最小衰減系數(shù)()1/2, 20lg()3acacHjH

9、jdBc稱為稱為3dB截止頻率截止頻率在指標給定后，需要設計一個傳輸函數(shù)在指標給定后，需要設計一個傳輸函數(shù) ，希望其幅，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標度平方函數(shù)滿足給定的指標 和和 。 ( )aHspasa2222()10lg()()10lg()apapasasHjHjHjHj2)(lg10pajH2)(lg10sajH所以所以幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù))()()(*2jHjHjHaaah(t)為實函數(shù)，為實函數(shù)，pasa)()(| )(|2jHjHjH)()(sHsHjs對于穩(wěn)定系統(tǒng)，對于穩(wěn)定系統(tǒng)， 的極點位于左半的極點位于左半s s平面，所以平面，所以 的極點為右半的極點為右半s s平面平

10、面)(sH) s(H )()(*jHjH 由由 確定確定 的方法的方法 （1）求）求 （2）分解）分解 得到各零極點，將左半面的得到各零極點，將左半面的極點極點 歸于歸于 ，對稱的零點任一半歸，對稱的零點任一半歸 。 （3）按頻率特性確定增益常數(shù)）按頻率特性確定增益常數(shù) 。 22)()(jHAa) s (Ha22)()()(2SaaAsHsH)(A2 )(sHa)(sHa3、巴特沃斯低通濾波器設計方法、巴特沃斯低通濾波器設計方法, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc (1)(1)、幅度平方函數(shù)、幅度平方函數(shù)當當 =0 =0 時，時， =1=1|()|H j2當當 時，時， =0.

11、5,=0.5,取取3dB3dB值值c|()|H j2當當 時，隨時，隨 加大，幅度迅速下降，加大，幅度迅速下降， N愈大，幅度下降的愈大，幅度下降的速度愈快，過渡帶愈窄速度愈快，過渡帶愈窄c (2)、特點、特點(3)、幅度平方函數(shù)極點分布及幅度平方函數(shù)極點分布及Ha(s)Ha(s)的構成的構成21( )()1()aaNcHs Hssj, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc通帶內有最大平坦的幅度特性；通帶內有最大平坦的幅度特性；不管不管N為多少，都通過為多少，都通過 點。點。巴氏濾波器在通帶和阻帶內幅度特性是單調的巴氏濾波器在通帶和阻帶內幅度特性是單調的211)(2NCjs0)(1

12、2NCjs求極點：求極點：)21221(211NkjCCNkejsk=0,1,2,2N-1k=0,1,2,2N-12N2N個極點等間隔分布在半徑為個極點等間隔分布在半徑為cc的圓上的圓上, ,間隔為間隔為N設設N=3N=3，極點間隔為，極點間隔為/3/3為形成穩(wěn)定的濾波器，為形成穩(wěn)定的濾波器，2N2N個極點中只取個極點中只取s s平面左半平平面左半平面的面的N N個極點構成個極點構成Ha(s)Ha(s)NkkassksH10)()()()()(3/23/20jcjcaessesksH1)0(aH30cK)()()(32323jccjccaessessH 為使設計統(tǒng)一，將所有頻率歸一化，采用對為

13、使設計統(tǒng)一，將所有頻率歸一化，采用對3 截止截止頻率頻率 進行歸一化。進行歸一化。 dBc1010)(1)()(NkckcNkkNcasssssH101( )()aNkkHppppsc令令其中其中 為歸一化極點為歸一化極點 kp121()22,0,1,.1kjNkpekN1+2p+2p1+2p+2p2 2+p+p3 3NNNappbpbpbbpH1122101)(舉例：求出三階巴特沃斯低通濾波器的傳輸函數(shù)舉例：求出三階巴特沃斯低通濾波器的傳輸函數(shù))(sHasradc/2設3N查表得查表得322211)(ppppHacsp32)()(2)(211)(cccsssasH324888sss將將代入上

14、式得代入上式得下面介紹如何確定階數(shù)下面介紹如何確定階數(shù)N221|() |1()appNcHj210lg |() |papaHj 由上面兩式可得：由上面兩式可得： /1021 ()10papNc同理同理 /1021()10saNsc/10/10101()101psapNas上兩式得：上兩式得：/10/10101/,101psaspspspak lglgspspkN 令令則（1）（2）的確定的確定: : c由由(1)式式 得：得：1/2(101)pa aNcp 由由(2)式式 得：得：1/2(101)sa aNcs /1021 ()10papNc/1021()10saNsc總結以上總結以上,低通巴

15、特沃斯濾波器的設計步驟如下低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下（1）由）由p,p,s和和sN, c（2）求出歸一化極點）求出歸一化極點pk，代入，代入101( )()aNkkHppp或根據(jù)階數(shù)或根據(jù)階數(shù)N直接查表得到歸一化傳輸函數(shù)直接查表得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)得得Ha(p)（3）將）將Ha(p)去歸一化，將去歸一化，將p=s/c代入代入Ha(p)，得，得 到實際的濾波器傳輸函數(shù)到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。 例：例： 已知通帶頻率已知通帶頻率fp=5kHz處處,通帶最大衰減通帶最大衰減p=2dB,阻帶截止頻率阻帶截止頻率fs=12kHz,阻帶最小衰減阻帶最小衰減s=30dB，按照，按照以

16、上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。解解 (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)N。0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2)由由N=5，直接查表得到：，直接查表得到：極點：極點：-0.3090j0.9511, -0.8090j0.5878; -1.0000或查表得到或查表得到Ha(p)分母多項式系數(shù)：分母多項式系數(shù)：b0=1.0000, b1=3.2361, b2=5.2361, b3=5.2361, b4=3.23615432432101( )aHppb pb pb pb pb(3) 為將為

17、將Ha(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB截止頻率截止頻率c10.12(101)25.2755/paNcpkrad s 將將p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：55423324543210( )cacccccHssbsbsbsbsb將將c代入代入 式，得到：式，得到：Nscs21) 110(1 . 0skrads/525.102 值小于指標的值小于指標的12KHZ12KHZ，說明阻帶指標有富裕，說明阻帶指標有富裕s4 4、切比雪夫（、切比雪夫（ChebyshevChebyshev）濾波器）濾波器n巴特沃斯濾波器的頻率特性在通帶和阻帶內都是單調巴特沃斯濾波器的頻率特性在通帶和阻帶內都

18、是單調的，所以當通帶邊界滿足指標時則通帶內肯定有余量的，所以當通帶邊界滿足指標時則通帶內肯定有余量n為得到既滿足指標而階次又比較低的濾波器，更好的為得到既滿足指標而階次又比較低的濾波器，更好的設計方法應該是將精度均勻的分布在整個通帶或阻帶設計方法應該是將精度均勻的分布在整個通帶或阻帶內，或同時分布在兩者之內，這可以通過選擇具有等內，或同時分布在兩者之內，這可以通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達到。波紋特性的逼近函數(shù)來達到。n切比雪夫濾波器的振幅特性就具有這種等波紋特性，切比雪夫濾波器的振幅特性就具有這種等波紋特性，二種形式：二種形式：切比雪夫切比雪夫型：型：切比雪夫切比雪夫型：型：通帶內等波

19、紋，阻帶內單調通帶內等波紋，阻帶內單調通帶內單調，阻帶內等波紋通帶內單調，阻帶內等波紋切比雪夫切比雪夫型濾波器幅頻特性型濾波器幅頻特性 為小于為小于1 1的正數(shù)，表示通帶內振幅波動的程度的正數(shù)，表示通帶內振幅波動的程度22a22Np1A ()H (j)1C () 切比雪夫切比雪夫型濾波器的平方幅度函數(shù)為：型濾波器的平方幅度函數(shù)為： 1),(1),coscos()(11xxNchchxxNxCN是是N N階切比雪夫多項式，定義為：階切比雪夫多項式，定義為：)(xCN1 x時時1)(xCN2222221)(11)(0 xCxCNN1)(1111222xCN即即 在在0，p上有波動，最大值為上有波動

20、，最大值為1，最小值，最小值為為2)( jHa211p0 即即 當當|x|1時，即時，即 時，時， CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨是雙曲線函數(shù)，隨x單調上升。單調上升。 單調下降，單調下降，階數(shù)階數(shù)N N越大，過渡帶內越大，過渡帶內幅度響應變化越陡，也就是衰減迅速。幅度響應變化越陡，也就是衰減迅速。p2)( jH 平方幅度函數(shù)與三個參數(shù)即平方幅度函數(shù)與三個參數(shù)即,p和和N有關。其中有關。其中與通帶內允許的波動大小有關，定義允許的通帶波與通帶內允許的波動大小有關，定義允許的通帶波紋紋用下式表示：用下式表示：2max2min2maxmin2()10lg()1()1,()1AAA因此因此 220.110

21、lg(1)101這樣已知通帶波紋這樣已知通帶波紋，可求出參數(shù)，可求出參數(shù)階數(shù)階數(shù)N影響過渡帶的寬度，同時也影響通帶內波動的疏影響過渡帶的寬度，同時也影響通帶內波動的疏密密)(11)(11)(22222psNpsNsNArchCCA1)(11)(2spsANArchCh)(1)(112pssArchAArchN3dB截止頻率用截止頻率用c表示表示21)(2cA1)(22pcNC1pc1)()(pcpcNNarchchC)1(1archNchpc以上以上p,和和N確定后，可以求出濾波器的極點，并確確定后，可以求出濾波器的極點，并確定定Ha(p)，p=s/p。查閱相關模擬濾波器手冊，可求出查閱相關模

22、擬濾波器手冊，可求出NiiNapppH11)(21)(去歸一化后：去歸一化后：NipiNNpapssH11)(2)(P162163 自學設計步驟，例自學設計步驟，例6.2.25.模擬濾波器的頻率變換模擬濾波器的頻率變換模擬高通、帶通、帶阻濾模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計波器的設計 對于高通、帶通、帶阻模擬濾波器均可由低通對于高通、帶通、帶阻模擬濾波器均可由低通型導出，只需把按歸一化頻率（型導出，只需把按歸一化頻率（ ）設計的低）設計的低通濾波器作為原型，加以適當?shù)耐V波器作為原型，加以適當?shù)念l率變換頻率變換，就可以，就可以得到所需的其他類型的濾波器。如圖所示：得到所需的其他類型的濾波器。如圖

23、所示：1 C給定高通給定高通、帶通或、帶通或帶阻的技帶阻的技術指標術指標低通濾低通濾波器技波器技術指標術指標設計歸一設計歸一化模擬低化模擬低通濾波器通濾波器高通、帶高通、帶通或帶阻通或帶阻濾波器濾波器頻率頻率轉換轉換頻率頻率轉換轉換自學自學P164170( )( )cpsH sG p歸一化模擬低通歸一化模擬低通 模擬高通模擬高通歸一化模擬低通歸一化模擬低通 模擬帶通模擬帶通22()()()()luulluulspsspsHsGp 歸一化模擬低通歸一化模擬低通 模擬帶阻模擬帶阻220( )( )sBpsH sG p通帶中心頻率通帶中心頻率20=lu，通帶寬度，通帶寬度B=ul帶通上限頻率帶通上限

24、頻率u，帶通下限頻率，帶通下限頻率l 6.3 脈沖響應不變法脈沖響應不變法（2）濾波器的）濾波器的因果穩(wěn)定性因果穩(wěn)定性應在數(shù)字濾波器中保持，也應在數(shù)字濾波器中保持，也即即s s平面的左半平面應映射到平面的左半平面應映射到Z Z平面的單位圓內。平面的單位圓內。 從模擬濾波器設計從模擬濾波器設計IIRIIR數(shù)字濾波器就是要由給出的數(shù)字濾波器就是要由給出的H(s)H(s)進一步求得進一步求得H(Z)H(Z)，即做一個從，即做一個從s s平面到平面到Z Z平面的變平面的變換，這個變換應遵循兩個基本的換，這個變換應遵循兩個基本的目標目標：（1 1）數(shù)字濾波器的）數(shù)字濾波器的頻率響應頻率響應要模仿模擬濾波

25、器的頻要模仿模擬濾波器的頻響，即響，即s s平面的虛軸平面的虛軸j應映射到應映射到Z Z平面的單位圓上。平面的單位圓上。0Sz- 工程上常用工程上常用脈沖響應不變法脈沖響應不變法和和雙線性變換法雙線性變換法。 0Sz- 沖激響應不變法是從沖激響應不變法是從時域時域出發(fā)出發(fā),要求數(shù)字濾波器要求數(shù)字濾波器的沖激響應的沖激響應h(n)對應于模擬濾波器對應于模擬濾波器ha(t) 的的等間隔抽等間隔抽樣樣。 h(n)=ha(nT) ,其中其中T是抽樣周期。是抽樣周期。 因此因此時域逼近良好時域逼近良好。一、變換原理一、變換原理時域時域采樣采樣( )aHs拉氏逆拉氏逆變換變換( )h t()( )ah n

26、Th nZ變換變換( )H z設設 只有單階極點只有單階極點( )aHs1( )NiaiiAHsss對對 進行逆拉氏變換得進行逆拉氏變換得( )aHs( )ah t1( )( )iNs taiih tAe u t1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT11( )1iNisTiAH zez 可見：可見： 的極點的極點 映射到映射到z平面，其極點變成平面，其極點變成 ，系數(shù)，系數(shù) 不變不變 ( )aHsisis TeiA平面）（平面）zzeAzHsssAsHNiTsiNiiiai1111)()( 下面分析從模擬濾波器轉換到數(shù)字濾波器，下面分析從模擬濾波器轉換到數(shù)字濾波器，S平平

27、面和面和Z平面的映射關系平面的映射關系dtethsHst)()(aannTtthth)()()(aannsTaenTh)( nstdtenTtth)()(adtenTtthstn )()(asTsTezeznnnnsTazHznhenThsH)()()()(sTez s平面與平面與z平面的映射關系平面的映射關系 根據(jù)采樣序列拉氏變換與原模擬信號拉氏變換的關系根據(jù)采樣序列拉氏變換與原模擬信號拉氏變換的關系maamTjsHTsH21)( )( )sTaz eH zHsmamTjsHT21上式表明：上式表明：Ha(s)在在S平面沿虛軸按周期平面沿虛軸按周期 作周期延作周期延拓，然后再經過拓，然后再經

28、過 的映射關系映射到的映射關系映射到 Z 平面上平面上。STezT2jsrezj,令STezTjTjeereTerT,則01r：s虛軸對應虛軸對應z平面單位圓上平面單位圓上 01r：s虛軸左半邊對應虛軸左半邊對應z平面單位圓內平面單位圓內 01r：s虛軸右半邊對應虛軸右半邊對應z平面單位圓外平面單位圓外 S平面沿平面沿 軸分割成一條條寬為軸分割成一條條寬為 的水平帶。的水平帶。每條水平帶都每條水平帶都重疊重疊地映射到整個地映射到整個z平面。平面。 j2T脈沖響應不變法映射關系脈沖響應不變法映射關系: 應指出，應指出，Z=esT的映射關系反映的的映射關系反映的是是Ha(s)的周期延拓與的周期延拓

29、與 H(z)的關系的關系，而不是，而不是Ha(s)本身與本身與H(z)的關系，因此，使用脈沖響應的關系，因此，使用脈沖響應不變法時，從不變法時，從Ha(s)到到H(z)并沒有并沒有一個由一個由S平面到平面到Z平面的平面的一一對一一對應應的簡單代數(shù)映射關系，存在的簡單代數(shù)映射關系，存在多對一多對一的映射關系的映射關系 如果原模擬信號的頻帶不是限于如果原模擬信號的頻帶不是限于 之間，則之間，則會在的會在的 奇數(shù)倍附近產生頻率混疊，映射到奇數(shù)倍附近產生頻率混疊，映射到z z平平面在面在 附近產生混疊。附近產生混疊。 TTw 所出現(xiàn)的問題所出現(xiàn)的問題: :此法只適用于此法只適用于帶限濾波器帶限濾波器修

30、正修正H(z):11( )1kNks TkTAH zez當當T 很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正正( )()ah nTh nT令：令：)(1)(1)(TjHTjHTeHaaj保持線性關系：保持線性關系：線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器優(yōu)缺點優(yōu)缺點優(yōu)點：優(yōu)點：缺點：缺點：T 頻率響應混迭頻率響應混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應時域逼近良好時域逼近良好( )ah t2211( )4313aHss

31、sss試用脈沖響應不變法，設計試用脈沖響應不變法，設計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz設設T = 1s，則，則1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模擬濾波器的頻率響應：模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：2

32、0.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 6.4 雙線性變換法雙線性變換法 脈沖響應不變法是使數(shù)字濾波器脈沖響應不變法是使數(shù)字濾波器在時域上模仿模在時域上模仿模擬濾波器擬濾波器，但它的缺點：產生頻率響應的混疊失真。，但它的缺點：產生頻率響應的混疊失真。這是由于從這是由于從S平面平面-Z平面是平面是多值的映射關系多值的映射關系所造成的。所造成的。為了克服這一缺點，采用雙線性變換法。為了克服這一缺點，采用雙線性變換法。一、變換原理一、變換原理 雙線性變換法是從雙線性變換法是從頻域頻域出發(fā)，使出發(fā)，使DF的頻率響應的頻率響應與與AF的頻率響應相似的一種

33、變換法。的頻率響應相似的一種變換法。雙線性變換的映射關系雙線性變換的映射關系 由上圖可知，將由上圖可知，將 S平面進行壓縮，這可通過正切變平面進行壓縮，這可通過正切變換實現(xiàn)：換實現(xiàn)：)2(21TtgT 由上式可知，當由上式可知，當 由由 經過經過0變到變到 時，時，將由將由 經過經過0變到變到1TT)2(21TtgTjj222211112TjTjTjTjeeeeTTjTjTjTjeeeeTTTjTS111121212121112)2cos()2sin(2TSTSeeT11112222211112TSTSTSTSeeeeT令令 j=S, j1=S1TSeZ111112ZZTSSTSTZ22若用若

34、用S表示表示Z，可得：，可得：除了零頻率附近，除了零頻率附近， 與與 之間嚴重非線性之間嚴重非線性22tgT下面分析下面分析與與的關系：的關系：TTtgT11)2(2二、優(yōu)缺點：二、優(yōu)缺點：優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象，這是因為優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象，這是因為s s平面平面與與Z Z平面是單值的平面是單值的一一對應一一對應關系，因而雙線性變關系，因而雙線性變換不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。換不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。缺點：除了零頻率附近，缺點：除了零頻率附近，與與 之間嚴重非線性之間嚴重非線性 2 2）適合于）適合于片斷常數(shù)特性片斷常數(shù)特性的濾波器設計，不然會產生的濾波器設計，不然會產生畸變畸變1 1）

35、線性相位線性相位模擬濾波器模擬濾波器 非線性相位非線性相位數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器理想微分器經雙線性變換后幅頻響應產生畸變理想微分器經雙線性變換后幅頻響應產生畸變 雖然雙線性變換有這樣一個缺點，但是目前仍雖然雙線性變換有這樣一個缺點，但是目前仍然是使用最普遍，最有成效的一種設計工具。因為然是使用最普遍，最有成效的一種設計工具。因為大量的濾波器都具有大量的濾波器都具有片斷常數(shù)片斷常數(shù)的頻響特性。的頻響特性。三、三、模擬濾波器的數(shù)字化模擬濾波器的數(shù)字化 由于雙線性變換中，由于雙線性變換中，S S與與Z Z之間有簡單的代數(shù)關之間有簡單的代數(shù)關系，故可由模擬系統(tǒng)函數(shù)通過代數(shù)置換直接得數(shù)字系，故可由模擬系統(tǒng)

36、函數(shù)通過代數(shù)置換直接得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即11112)()(zzTsasHzH例例1 試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法將下試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法將下圖所示的圖所示的RC低通濾波器轉換成數(shù)字濾波器。低通濾波器轉換成數(shù)字濾波器。首先按照寫出該濾波器首先按照寫出該濾波器的傳輸函數(shù)的傳輸函數(shù)Ha(s)為為1( ),aHssRC利用脈沖響應不變法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)利用脈沖響應不變法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為為11( )1TH zez利用雙線性變換法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)利用雙線性變換法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為為1111212

37、12112(1)( )( )12,22azsTzzHzHsa zTTTT四、利用模擬濾波器設計四、利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器的步驟的步驟 確定數(shù)字低通濾波器的技術指標：確定數(shù)字低通濾波器的技術指標： ， ， ，pwpaswsa 將數(shù)字低通指標轉換成模擬低通指標，主要對將數(shù)字低通指標轉換成模擬低通指標，主要對邊界頻率邊界頻率 和和 的轉換，對的轉換，對 和和 不作變化。不作變化。 pwswpasaA.采用脈沖響應不變法采用脈沖響應不變法/w T B.B.采用雙線性變換法采用雙線性變換法21tan2wT 按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾按照模擬低通濾波器的技術指

38、標設計模擬低通濾波器。波器。 用脈沖響應不變法或雙線性變換法用脈沖響應不變法或雙線性變換法將將 從從s平面平面轉換到轉換到z平面平面,得到數(shù)字低通濾波器得到數(shù)字低通濾波器 。 ( )aHs( )H z數(shù)字指標轉換數(shù)字指標轉換成模擬指標成模擬指標巴特沃斯濾波器：巴特沃斯濾波器：沖擊響應沖擊響應不變法不變法/T CCH(s):Nps/ 求求計計算算 ，查查表表得得H H( (p p) )，用用代代入入 N1i1TsiZe1TA)Z(Hi N1iiiassA) s (H雙線性雙線性變換法變換法數(shù)字指標轉換數(shù)字指標轉換成模擬指標成模擬指標22 tgT CCH(s):Nps/ 求求計計算算 ，查查表表得

39、得H H( (p p) )，用用代代入入112 1ZsT1ZH(Z)H(s) H(s) )/(log2)110/()110(logNsp10A1 . 0R1 . 010sp ppCR /102N(101) 例例2 設計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內頻率低于設計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內頻率低于 時，容許幅度誤差在時，容許幅度誤差在 以內，在頻率以內，在頻率 到到 之間之間的阻帶衰減大于的阻帶衰減大于 。指定模擬濾波器采用巴特沃斯。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換低通濾波器。試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法設計濾波器。法設計濾波器。 0.2 rad1d

40、B0.315dB解：解： (1)用脈沖響應不變法設計數(shù)字低通濾波器用脈沖響應不變法設計數(shù)字低通濾波器 數(shù)字低通的技術指標為：數(shù)字低通的技術指標為： 0.2,1ppWrad adB0.3,15ssWrad adB 模擬低通的技術指標為：模擬低通的技術指標為： 1 ,0.2/ ,pTsrad s 1,0.3/ ,15pssadBrad s adB 設計巴特沃斯低通濾波器，先計算設計巴特沃斯低通濾波器，先計算N N和和 截止頻截止頻 率率 3dBclglgspspkN 0.31.50.2sspp0.10.11010.092101psaspaklg0.0925.884lg1.5N 濾波器階數(shù)只能取整數(shù)

41、，為滿足或超過給定指標，取濾波器階數(shù)只能取整數(shù)，為滿足或超過給定指標，取N=6N=610.12(101)paNcp 0.7032/rad s通帶指標正好可滿足條件，而給阻帶指標帶來了一通帶指標正好可滿足條件，而給阻帶指標帶來了一定的裕量定的裕量根據(jù)階數(shù)根據(jù)階數(shù)N=6，查表：，查表：234561( )(1 3.86377.46419.14167.46413.863)aHppppppp將將 代入代入 中去歸一化得中去歸一化得: :csp ( )aHp234560.1209( )(0.12090.1211.8253.1793.6912.716)aHsssssss 用脈沖響應不變法將用脈沖響應不變法將

42、 轉換成轉換成 。 ( )aHs( )H z1111212120.2871 0.44662.1428 1.14541.8558 0.6304( )1 0.12970.69491 1.06910.36991 0.99720.2570zzzH zzzzzzz N1iiiassA) s (H N1i1TsiZe1TA)Z(Hi注注: : 在在沖激響應不變法沖激響應不變法中，因有混疊現(xiàn)象，所以一般中，因有混疊現(xiàn)象，所以一般都是讓都是讓阻帶好于指標阻帶好于指標，通帶恰好滿足指標以減少混疊，通帶恰好滿足指標以減少混疊，而在，而在雙線性變換雙線性變換中不存在混疊。一般是讓阻帶恰好中不存在混疊。一般是讓阻帶恰

43、好滿足指標，滿足指標，通帶優(yōu)于指標通帶優(yōu)于指標。(2)用雙線性變換設計數(shù)字濾波器用雙線性變換設計數(shù)字濾波器 同同(1)(1) 模擬低通指標：模擬低通指標： 21tan,12w TT 2tan0.10.65/ ,1pprad s adB 2tan0.151.019/ ,15ssrad s adB 0.2,1ppWrad adB0.3,15ssWrad adB設計巴特沃斯低通，階數(shù)設計巴特沃斯低通，階數(shù)N N計算計算 1.568,0.092sspsppklglg0.0925.306lglg1.568spspkN 取取N=6，將，將 代入代入 s10.12(101)0.7662/saNcsrad s

44、 這樣阻帶技術指標滿足要求，通帶指標已經超標。這樣阻帶技術指標滿足要求，通帶指標已經超標。 查表得歸一化傳輸函數(shù)查表得歸一化傳輸函數(shù) ，將，將 代入去歸一化得代入去歸一化得( )aHpcsp 2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss 用雙線性變換將用雙線性變換將 轉換成數(shù)字濾波器轉換成數(shù)字濾波器 ( )aHs( )H z11211( )( )|azsTzH zHs1 61212120.0007378(1)1(1 1.2680.705)(1 1.0100.358) 1 0.90440.2155zzzzzzz 6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計 上面介紹了低通數(shù)字濾波器的設計方法，實際上面介紹了低通數(shù)字濾波器的設計方法，實際中還有高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。設計數(shù)字中還有高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。設計數(shù)字選頻濾波器有如下方法：選頻濾波器有如下方法：1 1）原型