第二章第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

1、第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性1.1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義與性質(zhì)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義與性質(zhì)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)定定義義圖像法圖像法圖像關(guān)于圖像關(guān)于_對稱對稱圖像關(guān)于圖像關(guān)于_對稱對稱符號表示符號表示f(-xf(-x)=-f(x)=-f(x) )f(-xf(-x)=f(x)=f(x) )性性質(zhì)質(zhì)定義域定義域關(guān)于關(guān)于_對稱對稱單調(diào)性單調(diào)性在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有有_的單調(diào)性的單調(diào)性有有_的單調(diào)性的單調(diào)性圖像與原圖像與原點的關(guān)系點的關(guān)系若奇函數(shù)若奇函數(shù)f(xf(x) )在原點有在原點有意義，則意義，則f(0)=_f(0)=_原點原點y y軸軸原點原點相同相同相反相反0

2、 02.2.周期性周期性(1)(1)周期函數(shù)：若周期函數(shù)：若T T為函數(shù)為函數(shù)f(xf(x) )的一個周期，則需滿足的條件：的一個周期，則需滿足的條件：T0;T0;_對定義域內(nèi)的任意對定義域內(nèi)的任意x x都成立都成立. .(2)(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(xf(x) )的所有周期中存在一個的所有周期中存在一個_，那么這個，那么這個_就叫做它的最小正周期就叫做它的最小正周期(3)(3)周期不唯一：若周期不唯一：若T T是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)(xRy=f(x)(xR) )的一個周期，則的一個周期，則nT(nZnT(nZ, ,且且n0)n0)也是也是f(xf(x)

3、 )的周期的周期. . f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )最小的正數(shù)最小的正數(shù)最小的正數(shù)最小的正數(shù)判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“”或或“”）. .（1 1）偶函數(shù)圖像不一定過原點，奇函數(shù)的圖像一定過原）偶函數(shù)圖像不一定過原點，奇函數(shù)的圖像一定過原點點.( ).( )（2 2）函數(shù)）函數(shù)f(xf(x)=0,x(0,+)=0,x(0,+)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).( ).( )（3 3）若函數(shù)）若函數(shù)y=f(x+ay=f(x+a) )是偶函數(shù)，則函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(xy=f(x) )關(guān)于直線關(guān)于直線x=ax=a對對稱稱.(

4、 ) .( ) （4 4）若函數(shù)）若函數(shù)y=f(x+by=f(x+b) )是奇函數(shù)，則函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(xy=f(x) )關(guān)于點（關(guān)于點（b,0)b,0)中心對稱中心對稱.( ).( )（5 5）對于函數(shù)）對于函數(shù)y=f(x),x(0,+),y=f(x),x(0,+),若若2 2是是f(xf(x) )的一個周期，則的一個周期，則-2-2也是也是f(xf(x) )的一個周期的一個周期.( ).( )【解析【解析】（1 1）錯誤）錯誤. .當奇函數(shù)的定義域不含當奇函數(shù)的定義域不含0 0時，則圖像不過時，則圖像不過原點原點. .（2 2）錯誤）錯誤. .函數(shù)函數(shù)f f（x)x)的定義域不關(guān)

5、于原點對稱的定義域不關(guān)于原點對稱. .（3 3）正確）正確. .函數(shù)函數(shù)y=f(x+ay=f(x+a) )關(guān)于直線關(guān)于直線x=0 x=0對稱，則函數(shù)對稱，則函數(shù)y=f(xy=f(x) )關(guān)關(guān)于直線于直線x=ax=a對稱對稱. .（4 4）正確）正確. .函數(shù)函數(shù)y=f(x+by=f(x+b) )關(guān)于點（關(guān)于點（0 0，0 0）中心對稱，則函數(shù)）中心對稱，則函數(shù)y=f(xy=f(x) )關(guān)于點關(guān)于點(b,0)(b,0)中心對稱中心對稱. .(5)(5)錯誤錯誤. .若若-2-2是函數(shù)是函數(shù)f(xf(x) )的周期，則的周期，則f(1)=f(1-2)=f(-1)f(1)=f(1-2)=f(-1)不

6、合不合題意題意. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） (5)(5) 1.1.已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(xy=f(x) )是奇函數(shù)，則函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+1)y=f(x+1)的圖像的對稱中的圖像的對稱中心是心是( )( )（A A）(1,0) (1,0) （B B）(-1,0) (-1,0) （C C）(0,1) (0,1) （D D）(0,-1)(0,-1)【解析【解析】選選B.B.函數(shù)函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖像關(guān)于點的圖像關(guān)于點(0,0)(0,0)對稱，函數(shù)對稱，函數(shù)y=f(x+1)y=f(x+1)的圖像可由的圖像可由y=f(xy=f(x) )的

7、圖像向左平移的圖像向左平移1 1個單位得到，故個單位得到，故函數(shù)函數(shù)y=f(x+1)y=f(x+1)的圖像的對稱中心為（的圖像的對稱中心為（-1-1，0 0）. . 2.2.函數(shù)函數(shù) 的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于( )( )(A)y(A)y軸對稱軸對稱 (B)(B)直線直線y=-xy=-x對稱對稱(C)(C)坐標原點對稱坐標原點對稱 (D)(D)直線直線y=xy=x對稱對稱【解析【解析】選選C.C.函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )的定義域為的定義域為(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)，且且函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù). . 1f xxx 11fxx(x)f x ,xx 3.3.已知定義在

8、已知定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(xf(x),),滿足滿足f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),則則f(8)f(8)的值的值為為( )( )（A A）-1 -1 （B B）0 0 （C C）1 1 （D D）2 2【解析【解析】選選B.f(x+4)=f(xB.f(x+4)=f(x),),f(xf(x) )是以是以4 4為周期的周期函數(shù)，為周期的周期函數(shù)，f(8)=f(0).f(8)=f(0).又函數(shù)又函數(shù)f(xf(x) )是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)，f(8)=f(0)=0,f(8)=f(0)=0,故選故選B.B. 4.4.已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(xy=f(x)

9、 )是定義在是定義在R R上的偶函數(shù)，且在上的偶函數(shù)，且在(-,0)(-,0)上是減上是減少的，若少的，若f(a)f(2),f(a)f(2),則實數(shù)則實數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是( )( )（A A）a2 a2 （B B）a-2a-2或或a2a2（C C）a-2 a-2 （D D）-2a2-2a2【解析【解析】選選B.B.由題意知函數(shù)由題意知函數(shù)y=f(xy=f(x) )在在(0,+)(0,+)上是增加的，且上是增加的，且f(-2)=f(2),f(-2)=f(2),故由故由f(a)f(2),f(a)f(2),得得f(|a|)f(2),|a|2f(|a|)f(2),|a|2，解，解得得a2

10、a2或或a-2.a-2. 考向考向 1 1 函數(shù)奇偶性的判斷函數(shù)奇偶性的判斷【典例【典例1 1】判斷下列各函數(shù)的奇偶性判斷下列各函數(shù)的奇偶性. . 2221x1 f xx1.1xlg(1x )(2) f x.x22xx,x0,(3)f xxx,x0.【思路點撥【思路點撥】先求定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱，在定先求定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱，在定義域下，解析式帶絕對值號的先盡量去掉，再判斷義域下，解析式帶絕對值號的先盡量去掉，再判斷f(-xf(-x) )與與f(xf(x) )的關(guān)系，分段函數(shù)應(yīng)分情況判斷的關(guān)系，分段函數(shù)應(yīng)分情況判斷. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由由 0,0,得

11、得-1-1x1,x1,因此函數(shù)的定義域為因此函數(shù)的定義域為(-1(-1，1 1，不關(guān)于原點對稱，故，不關(guān)于原點對稱，故f(x)f(x)為非為非奇非偶函數(shù)奇非偶函數(shù). .1x1x（2 2）由）由 得得-1-1x x0 0或或0 0 x x1.1.函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )的定義域為的定義域為(-1,0)(0,1).(-1,0)(0,1).此時此時x-2x-20,|x-2|-2=-x,0,|x-2|-2=-x,又又函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù). .21x0,x22, 2lg 1xf x.x 22lg 1xlg1xfxf x ,xx (3)(3)顯然函數(shù)顯然函數(shù)f(xf(x) )的定義

12、域為：的定義域為：(-(-，0)(0,+)0)(0,+)，關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱，當當x0 x0-x0，則，則f(-xf(-x)=-(-x)=-(-x)2 2-x-x=-x=-x2 2-x=-f(x-x=-f(x) )；當；當x0 x0時時,-x0,-x0，則則f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2-x=x-x=x2 2-x=-f(x-x=-f(x).).綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x x，總有，總有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )成立，成立，函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù). .【拓展提升【拓展提升】判斷函數(shù)奇偶性的方法判斷函數(shù)奇

13、偶性的方法(1)(1)符號定義法：符號定義法：（2 2）圖像法：）圖像法：(3)(3)性質(zhì)法：用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)來判斷其和差積商函數(shù)的奇性質(zhì)法：用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)來判斷其和差積商函數(shù)的奇偶性偶性【提醒【提醒】“性質(zhì)法性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的成立的. 奇函數(shù)與奇函數(shù)與奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)與偶奇函數(shù)與偶函數(shù)函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)與偶函數(shù)偶函數(shù)和和奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)差差奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)積積偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)商商偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù) 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】（1 1）若函數(shù)）若函數(shù)f(xf(x)=3)

14、=3x x+3+3-x-x與與 g(xg(x)=3)=3x x-3-3-x-x的定義域的定義域均為均為R R，則，則( )( )（A A）f(xf(x) )與與g(xg(x) )均為偶函數(shù)均為偶函數(shù)（B B）f(xf(x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù),g(x,g(x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù)（C C）f(xf(x) )與與g(xg(x) )均為奇函數(shù)均為奇函數(shù)（D D）f(xf(x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù),g(x,g(x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù)【解析【解析】選選B.f(-xB.f(-x)=3)=3-x-x+3+3x x=f(x=f(x) )，g(-xg(-x)=3)=3-x-x-3-3x x=-g(x=-g(

15、x) )，f(xf(x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù),g(x,g(x) )為奇函數(shù)，故選為奇函數(shù)，故選B.B.（2 2）判斷下列函數(shù)的奇偶性：）判斷下列函數(shù)的奇偶性：【解析【解析】由由 得得-2x2-2x2且且x0,x0,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )的定義域關(guān)于原點對稱，且的定義域關(guān)于原點對稱，且x+3x+30,0,又又函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù). . 2224xf xx33x2x0,f x0 x0,x2x0.；， ， 24x0 x33 ， 224x4xf x.x33x 224( x)4xfxf x ,xx f(xf(x) )的定義域為的定義域為R R，關(guān)于原點對稱，當，關(guān)于原點對稱，當

16、x x0 0時，時，-x-x0,0,f(-xf(-x)=-(-x)=-(-x)2 2-2=-(x-2=-(x2 2+2)=-f(x+2)=-f(x););當當x x0 0時，時，-x-x0,f(-x)=(-x)0,f(-x)=(-x)2 2+2=-(-x+2=-(-x2 2-2)=-f(x-2)=-f(x););當當x=0 x=0時，時，f(0)=0,f(0)=0,也滿足也滿足f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x).).故該函數(shù)為奇函數(shù)故該函數(shù)為奇函數(shù). .考向考向 2 2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【典例【典例2 2】(1)(1)已知定義在已知定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(x

17、f(x) )和偶函數(shù)和偶函數(shù)g(xg(x) )滿足滿足f(x)+g(xf(x)+g(x)=a)=ax x-a-a-x-x+2(a+2(a0,0,且且a1).a1).若若g(2)=a,g(2)=a,則則f(2)=( )f(2)=( )(A)2 (B) (C) (D)a(A)2 (B) (C) (D)a2 2(2)(2013(2)(2013蘇州模擬）蘇州模擬）“a=1”a=1”是是“函數(shù)函數(shù) 在其定義在其定義域上為奇函數(shù)域上為奇函數(shù)”的的_條件（填條件（填“充分不必要充分不必要”“”“必要不必要不充分充分”“”“充要充要”或或“既不充分也不必要既不充分也不必要”）. . xx2af x2a1541

18、74【思路點撥【思路點撥】(1)(1)利用利用f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)構(gòu)造方程組求構(gòu)造方程組求解解. . (2)(2)分清條件分清條件p p與結(jié)論與結(jié)論q q，分別驗證，分別驗證p pq q與與q qp p是否成立是否成立. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.f(xB.f(x) )為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，g(xg(x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a.f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a.f(2)+g(2)=af(2)+g(2)=a2 2-a-a-2-2+2+2， f(-

19、2)+g(-2)=g(2)-f(2)=af(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-2-a-a2 2+2+2， 由由聯(lián)立得，聯(lián)立得，g(2)=a=2,f(2)=ag(2)=a=2,f(2)=a2 2-a-a-2-2= =15.4(2)(2)當當a=1a=1時，時， 此時定義域為此時定義域為R R，且且f(xf(x) )是其定義域上的奇函數(shù)是其定義域上的奇函數(shù). .當當 是其定義域上的奇函數(shù)時，是其定義域上的奇函數(shù)時，f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),且且a0.a0.即即 xx21f x,21 xxxxxx211221fxf x ,211221 xx2af x2axxxx2

20、a2a,2a2a xxxx12a2a,1a22a1a,a1.a 經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗a=a=1 1時，時，f(xf(x) )的定義域關(guān)于原點對稱，故的定義域關(guān)于原點對稱，故f(xf(x) )是奇函是奇函數(shù)時，數(shù)時，a=a=1.1.從而從而“a=1”a=1”是是“函數(shù)函數(shù) 在其定義域上為奇函數(shù)在其定義域上為奇函數(shù)”的的充分不必要條件充分不必要條件. .答案：答案：充分不必要充分不必要 xx2af x2a【互動探究【互動探究】將將(2)(2)題改為題改為“若若 在其定義在其定義域上為偶函數(shù)，求域上為偶函數(shù)，求a,ba,b的值的值”. .【解析【解析】f(xf(x) )為偶函數(shù)，為偶函數(shù)， 即即所以所以a=

21、1,b=-1.a=1,b=-1. xxb 2af x(a0)2a xxxxxxxxb 2aba 2fxf x2a1a 2ba 2b 2a1a 22a，a1ba ，a1b1 ，【拓展提升【拓展提升】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法（1 1）求函數(shù)值）求函數(shù)值. .將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解. .（2 2）求解析式）求解析式. .將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)

22、于f(xf(x) )的方程（組），從而得到的方程（組），從而得到f(xf(x) )的解析式的解析式. . （3 3）求函數(shù)解析式中參數(shù)的值）求函數(shù)解析式中參數(shù)的值. .利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)f(x)f(-xf(-x)=0)=0得到關(guān)于待求參數(shù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程（組），進而得的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程（組），進而得出參數(shù)的值出參數(shù)的值. .（4 4）畫函數(shù)圖像和判斷單調(diào)性）畫函數(shù)圖像和判斷單調(diào)性. .利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖像及判斷另一區(qū)間上的利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖像及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)

23、性單調(diào)性. .【變式備選【變式備選】（1 1）設(shè)）設(shè)f f（x x）是定義在）是定義在R R上的奇函數(shù)，當上的奇函數(shù)，當x0 x0時，時，f f（x x）=2x=2x2 2-x-x，則，則f f（1 1）=( )=( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3【解析【解析】選選A.A.由奇函數(shù)的定義有由奇函數(shù)的定義有f f（-x-x）=-f=-f（x x），所以），所以f f（1 1）=-f=-f（-1-1）=-=-2 2（-1-1）2 2+1+1=-3.=-3.（2 2）已知函數(shù)）已知函數(shù) 為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則a+ba+b=_.=_.【解析【解

24、析】設(shè)設(shè)x x0,0,則則-x-x0,0,f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2-x=x-x=x2 2-x.-x.又又f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),xx0 0時，時，f(x)=-f(-xf(x)=-f(-x)=-x)=-x2 2+x=ax+x=ax2 2+bx,+bx,a=-1,b=1,a+b=0.a=-1,b=1,a+b=0.答案：答案：0 0 22xx,x0,f xaxbx,x0考向考向 3 3 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用函數(shù)的周期性及其應(yīng)用【典例【典例3 3】(1)(2012(1)(2012江蘇高考）設(shè)江蘇高考）設(shè)f(xf(x) )是定義在是定義在R R上且周期為上且周

25、期為2 2的函數(shù)，在區(qū)間的函數(shù)，在區(qū)間-1-1，1 1上，上，其中其中a,bRa,bR, ,若若 則則a+3ba+3b的值為的值為_._.(2)(2)（20132013寶雞模擬）定義在寶雞模擬）定義在R R上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)f(xf(x) )滿足滿足f(2+x)+f(2-x)=0(xf(2+x)+f(2-x)=0(xR)R)，且當，且當x x0,20,2時，時，則則f(2 013)=_.f(2 013)=_. ax1, 1x0,f xbx2,0 x1,x1 13f( )f( ),22 2f x4x，【思路點撥【思路點撥】(1)(1)利用周期性可知利用周期性可知f(-1)=f(1), f(-1

26、)=f(1), 列式求解列式求解. .(2)(2)先根據(jù)先根據(jù)f(2+x)+f(2-x)=0f(2+x)+f(2-x)=0及偶函數(shù)的定義求周期及偶函數(shù)的定義求周期, ,再根據(jù)周再根據(jù)周期性求期性求f(2 013).f(2 013).【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)因為因為f(xf(x) )的周期為的周期為2,2,所以所以即即311f( )f()f( ),222331f( )f(2)f(),22211f( )f().22又因為又因為所以所以3a+2b=-2, 3a+2b=-2, 又因為又因為f(-1)=f(1),f(-1)=f(1),所以所以 即即b=-2a, b=-2a, 將將代入代入，得，

27、得a=2,b=-4,a+3b=2+3a=2,b=-4,a+3b=2+3(-4)=-10.(-4)=-10.答案：答案：-10-10b2111b42f()a1,f( ),1222312 1b4a1,23 b2a1,2 (2)(2)函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，f(2+x)=-f(2-x)=-f(x-2)f(2+x)=-f(2-x)=-f(x-2)，f(x+4)=-f(xf(x+4)=-f(x) )，f(x+8)=f(xf(x+8)=f(x),),即函數(shù)即函數(shù)f(xf(x) )的一個周期為的一個周期為8 8，答案：答案： f 2 013f 251 85f 5f 13. 3【拓展提升

28、【拓展提升】函數(shù)周期性的三個常用結(jié)論函數(shù)周期性的三個常用結(jié)論若對于函數(shù)若對于函數(shù)f(xf(x) )定義域內(nèi)的任意一個定義域內(nèi)的任意一個x x都有：都有：（1 1）f(x+af(x+a)=-f(x)(a0)=-f(x)(a0)，則函數(shù)，則函數(shù)f(xf(x) )必為周期函數(shù)必為周期函數(shù),2|a|,2|a|是是它的一個周期它的一個周期. .（2 2） 則函數(shù)則函數(shù)f(xf(x) )必為周期函數(shù)，必為周期函數(shù)，2|a|2|a|是是它的一個周期它的一個周期. .（3 3） 則函數(shù)則函數(shù)f(xf(x) )必為周期函數(shù)，必為周期函數(shù)，2|a|2|a|是它的是它的一個周期一個周期. .【提醒【提醒】應(yīng)用函數(shù)的

29、周期性時，應(yīng)保證自變量在給定的區(qū)間內(nèi)應(yīng)用函數(shù)的周期性時，應(yīng)保證自變量在給定的區(qū)間內(nèi). . 1f xaa0 ,f x 1f xa,f x 【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)設(shè)f(xf(x) )是定義在是定義在R R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x x，恒有恒有f(x+2)=-f(xf(x+2)=-f(x).).當當xx0,20,2時，時，f(xf(x)=2x-x)=2x-x2 2. .(1)(1)求證：求證：f(xf(x) )是周期函數(shù)是周期函數(shù). .(2)(2)當當xx2,42,4時，求時，求f(xf(x) )的解析式的解析式. .(3)(3)計算計算f(0)+f(1)+f(2)+f(

30、2 013).f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).【解析【解析】（1 1）f(x+2)=-f(xf(x+2)=-f(x),),f(x+4)=-f(x+2)=f(xf(x+4)=-f(x+2)=f(x) )，f(xf(x) )是周期為是周期為4 4的周期函數(shù)的周期函數(shù). .(2)(2)當當xx-2,0-2,0時，時，-x-x0,20,2，由已知得，由已知得f(-xf(-x)=2(-x)-(-x)=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x2 2. .又又f(xf(x) )是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)=-2x-x)=-2x-x2 2, ,f(x

31、f(x)=x)=x2 2+2x.+2x.又當又當xx2,42,4時，時，x-4x-4-2,0-2,0, ,f(x-4)=(x-4)f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4).+2(x-4).又又f(xf(x) )是周期為是周期為4 4的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，f(xf(x)=f(x-4)=(x-4)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8.從而求得從而求得xx2,42,4時，時，f(xf(x)=x)=x2 2-6x+8.-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=

32、1,f(3)=-1.又又f(xf(x) )是周期為是周期為4 4的周期函數(shù)的周期函數(shù), ,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)= =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0，f(0)+f(1)+f(2)+f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.【創(chuàng)新體驗【創(chuàng)新體驗】分段函數(shù)的性

33、質(zhì)判斷分段函數(shù)的性質(zhì)判斷【典例【典例】（20122012福建高考）設(shè)函數(shù)福建高考）設(shè)函數(shù) 則下列結(jié)論錯誤的是則下列結(jié)論錯誤的是( )( )（A A）D D（x)x)的值域為的值域為0,10,1（B B）D(xD(x) )是偶函數(shù)是偶函數(shù)（C C）D D（x)x)不是周期函數(shù)不是周期函數(shù)（D D）D D（x)x)不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù) 1,xD x0,x為有理數(shù)，為無理數(shù)，【思路點撥【思路點撥】 找找準準創(chuàng)創(chuàng)新新點點定義域創(chuàng)新：定義域創(chuàng)新：尋尋找找突突破破口口（1 1）判斷奇偶性時，應(yīng)注意）判斷奇偶性時，應(yīng)注意-x-x與與x x要么都是有理數(shù)，要么都是有理數(shù)，要么都是無理數(shù)要么都是無理數(shù). .

34、（2 2）判斷周期性時，利用有理數(shù)加有理數(shù)仍是有理）判斷周期性時，利用有理數(shù)加有理數(shù)仍是有理數(shù)，有理數(shù)加無理數(shù)仍是無理數(shù)判斷數(shù)，有理數(shù)加無理數(shù)仍是無理數(shù)判斷. .（3 3）判斷單調(diào)性時，根據(jù)實數(shù)的連續(xù)性判斷）判斷單調(diào)性時，根據(jù)實數(shù)的連續(xù)性判斷. . 1,x,D x0,x為有理數(shù)為無理數(shù)【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選C.C.由已知條件可知，由已知條件可知，D(xD(x) )的值域是的值域是0,10,1，選，選項項A A正確；當正確；當x x是有理數(shù)時，是有理數(shù)時，-x-x也是有理數(shù)，且也是有理數(shù)，且D(-x)=1,D(x)=1,D(-x)=1,D(x)=1,故故D(-x)=D(xD(-x)=D(x)

35、 )，當，當x x是無理數(shù)時，是無理數(shù)時，-x-x也是無理數(shù)，且也是無理數(shù)，且D(-x)D(-x)=0,D(x)=0,=0,D(x)=0,即即D(-x)=D(xD(-x)=D(x) )，故，故D(xD(x) )是偶函數(shù)，選項是偶函數(shù)，選項B B正確；當正確；當x x是有理數(shù)時，對于任一非零有理數(shù)是有理數(shù)時，對于任一非零有理數(shù)a,x+aa,x+a是有理數(shù)，且是有理數(shù)，且D(x+a)=1=D(xD(x+a)=1=D(x),),當當x x是無理數(shù)時，對于任一非零有理數(shù)是無理數(shù)時，對于任一非零有理數(shù)b,x+bb,x+b是是無理數(shù)，所以無理數(shù)，所以D(x+b)=D(xD(x+b)=D(x)=0,)=0,

36、故故D(xD(x) )是周期函數(shù)，但不存在最是周期函數(shù)，但不存在最小正周期，選項小正周期，選項C C不正確；由實數(shù)的連續(xù)性易知，不存在區(qū)間不正確；由實數(shù)的連續(xù)性易知，不存在區(qū)間I I，使使D D（x)x)在區(qū)間在區(qū)間I I上是增加的或減少的，故上是增加的或減少的，故D D（x)x)不是單調(diào)函數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)，選項選項D D正確正確. .【思考點評【思考點評】1.1.方法感悟：本題充分考查了利用定義判斷函數(shù)奇偶性、周期方法感悟：本題充分考查了利用定義判斷函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性的方法性、單調(diào)性的方法. .本題中自變量的范圍分別是有理數(shù)和無理本題中自變量的范圍分別是有理數(shù)和無理數(shù)，因此在判斷奇偶

37、性時，應(yīng)考慮數(shù)，因此在判斷奇偶性時，應(yīng)考慮-x-x與與x x的范圍是否一致；在的范圍是否一致；在判斷周期性時應(yīng)考慮判斷周期性時應(yīng)考慮x x與與x+ax+a或或x+bx+b在在a a或或b b取何值時范圍一致取何值時范圍一致. .2.2.技巧提升：對于函數(shù)類創(chuàng)新題，常見的類型有討論新函數(shù)的技巧提升：對于函數(shù)類創(chuàng)新題，常見的類型有討論新函數(shù)的性質(zhì)、利用新函數(shù)進行計算、判斷新函數(shù)的圖像等，常見的方性質(zhì)、利用新函數(shù)進行計算、判斷新函數(shù)的圖像等，常見的方法有排除法、特征分析法、特殊值法或定義法法有排除法、特征分析法、特殊值法或定義法. .創(chuàng)新題目雖然構(gòu)思巧妙，但考查的還是基本知識和基本技能，創(chuàng)新題目雖然

38、構(gòu)思巧妙，但考查的還是基本知識和基本技能，解題的關(guān)鍵是抓住創(chuàng)新點充分利用定義，把新信息和所學(xué)知識解題的關(guān)鍵是抓住創(chuàng)新點充分利用定義，把新信息和所學(xué)知識相結(jié)合求解相結(jié)合求解. .1.1.（20122012陜西高考）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的陜西高考）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為為( )( )（A A）y=x+1 y=x+1 （B B）y=-xy=-x3 3（C C） （D D）y=x|xy=x|x| |1yx【解析【解析】選選D.D.選項選項A A不是奇函數(shù)，是增函數(shù)；選項不是奇函數(shù)，是增函數(shù)；選項B B是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，不是增函數(shù)；選項不是增函數(shù)；選項C C是反比例函數(shù)，為奇

39、函數(shù)，不是增函數(shù)；是反比例函數(shù)，為奇函數(shù)，不是增函數(shù)；選項選項D D，去掉絕對值號，變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，去掉絕對值號，變?yōu)榉侄魏瘮?shù)符合題意符合題意. .22xx0yxx0， ，2.(20132.(2013南昌模擬南昌模擬) )函數(shù)函數(shù) 是奇函數(shù)是奇函數(shù), ,且在且在(0,+)(0,+)上增加的，則上增加的，則a a等于等于( )( )(A)0 (B)-1 (C)1 (D)(A)0 (B)-1 (C)1 (D)1 1【解析【解析】選選C. C. 由題意知由題意知 a=1.a=1. 22x(1a )xaf xx 2af xx1ax ，2a01a0 ，3.(20133.(2013合肥模擬）已知定義在合肥模

40、擬）已知定義在R R上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(xy=f(x) )滿足下列三滿足下列三個條件：個條件：對于任意的對于任意的xRxR都有都有f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x) )；對于任意的對于任意的0 x0 x1 1x x2 222都有都有f(xf(x1 1) )f f（x x2 2););函數(shù)函數(shù)y=f(x+2)y=f(x+2)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于y y軸對稱，軸對稱，則下列結(jié)論正確的是則下列結(jié)論正確的是( )( )（A A）f(6.5)f(6.5)f(5)f(5)f(15.5)f(15.5)（B B）f(5)f(5)f(6.5)f(6.5)f(15.5)f(15.5)（C C）f(5)

41、f(5)f(15.5)f(15.5)f(6.5)f(6.5)（D D）f(15.5)f(15.5)f(5)f(5)f(6.5)f(6.5)【解析【解析】選選A.A.由題意知，函數(shù)由題意知，函數(shù)f(xf(x) )是周期為是周期為4 4的函數(shù)，且在區(qū)的函數(shù)，且在區(qū)間間0,20,2上遞增，函數(shù)上遞增，函數(shù)f(xf(x) )的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線x=2x=2對稱，對稱，f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),f(5)=f(1),f(15.5)=f(3.5)=f(0.5).f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),f(5)=f(1),f(15.5)=f(3.5)=f(0.5).由由f(0.5)f(0.5)f(1)f(1)f(1.5)f(1.5)，知，知f(15.5)f(15.5)f(5)f(5)f(6.5).f(6.5).4.(20124.(2012山東高考山東高考) )定義在定義在R R上的函數(shù)上的函數(shù)f(xf(x) )滿足滿足f(x+6)=f(xf(x+6)=f(x),),當當-3