數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用

1、 20152015年物理教研組講座年物理教研組講座 數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)在高中物理中的應(yīng)用 方法概述方法概述數(shù)學(xué)是解決物理問(wèn)題的重要工具，借助數(shù)學(xué)方法可使一數(shù)學(xué)是解決物理問(wèn)題的重要工具，借助數(shù)學(xué)方法可使一些復(fù)雜的物理問(wèn)題顯示出明顯的規(guī)律性，能達(dá)到打通關(guān)卡、些復(fù)雜的物理問(wèn)題顯示出明顯的規(guī)律性，能達(dá)到打通關(guān)卡、長(zhǎng)驅(qū)直入地解決物理問(wèn)題的目的中學(xué)物理長(zhǎng)驅(qū)直入地解決物理問(wèn)題的目的中學(xué)物理考試大綱考試大綱中中對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題的能力作出了明確的要對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題的能力作出了明確的要求，要求考生有求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題”的能力對(duì)這一的

2、能力對(duì)這一能力的考查在歷年高考試題中也層出不窮。能力的考查在歷年高考試題中也層出不窮。所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀(guān)事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀(guān)事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問(wèn)題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)可以說(shuō)，任何物理問(wèn)題的分析、問(wèn)題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)可以說(shuō)，任何物理問(wèn)題的分析、處理過(guò)程，都是數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過(guò)程本專(zhuān)題中所指的數(shù)學(xué)處理過(guò)程，都是數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過(guò)程本專(zhuān)題中所指的數(shù)學(xué)方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、幾何幾何法、圖象法

3、、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差(比比)數(shù)列求和數(shù)列求和法等法等 一、極值法一、極值法數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問(wèn)題中常用的極值數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問(wèn)題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等判別式法等1利用三角函數(shù)求極值利用三角函數(shù)求極值ya cos b sin ( cos sin )令令sin ，cos 則有：則有：y (sin cos cos sin ) sin ()所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)，時(shí)，y有最大值，且有最大值，且ymax 22ab 22aab 2

4、2bab 22aab 22bab 22ab 22ab 222ab 例例1：物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動(dòng)：物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為，物體重為，物體重為G，欲使物體沿水平地面做，欲使物體沿水平地面做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所用的最小拉力勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所用的最小拉力F為多大？為多大？ NFfmg矢量就是解析知何中的向量，當(dāng)物體受三力平衡時(shí)，將三力矢量首尾相連后，必定構(gòu)成三角形，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的垂直線(xiàn)段最短可求極值。mgFtan= =sinminmgF2min1sinGGF應(yīng)用幾何圖形應(yīng)用幾何圖形分析物理問(wèn)題分析物理問(wèn)題2利用二次函數(shù)求極值利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù)

5、：二次函數(shù)：yax2bxca(x2 x )c a(x )2 (其中其中a、b、c為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù))，當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，有極值時(shí)，有極值ym (若二次項(xiàng)系數(shù)若二次項(xiàng)系數(shù)a0，y有極小值；若有極小值；若a1，由三角函數(shù)的單調(diào)性可知，由三角函數(shù)的單調(diào)性可知所以所以i增大，增大，r增大，（增大，（i-r）也增）也增大，大，x 增大，故選增大，故選D。將將“數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)”問(wèn)題回歸問(wèn)題回歸到到“物理物理”問(wèn)題問(wèn)題rridxcos)sin( 例例2：物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動(dòng)：物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為，物體重為，物體重為G，欲使物體沿水平地面做，欲使物體沿水平地面做勻

6、速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所用的最小拉力勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所用的最小拉力F為多大？為多大？ NFfmg矢量就是解析知何中的向量，當(dāng)物體受三力平衡時(shí)，將三力矢量首尾相連后，必定構(gòu)成三角形，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的垂直線(xiàn)段最短可求極值。mgFtan= =sinminmgF2min1sinGGF應(yīng)用幾何圖形應(yīng)用幾何圖形分析物理問(wèn)題分析物理問(wèn)題例例15：(2009江蘇單科江蘇單科)15題如圖所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)題如圖所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、足夠長(zhǎng)且電阻忽略、足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為，條形勻強(qiáng)磁

7、場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長(zhǎng)度為、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線(xiàn)框連接在一起組成體棒和正方形的單匝線(xiàn)框連接在一起組成 “ ”型裝置，型裝置，總質(zhì)量為總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上。，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流的電流（由（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫(huà)出）。線(xiàn)框的邊長(zhǎng)為外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫(huà)出）。線(xiàn)框的邊長(zhǎng)為d（d l），），電阻為電阻為R，下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合。，下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合。將裝置由靜止釋放，導(dǎo)將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回，體棒恰好運(yùn)動(dòng)到

8、磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直。重力加速度為中始終與導(dǎo)軌垂直。重力加速度為g。求：。求：（1）裝置從釋放到開(kāi)始返回的過(guò)程中，線(xiàn)框中產(chǎn)生的焦耳熱）裝置從釋放到開(kāi)始返回的過(guò)程中，線(xiàn)框中產(chǎn)生的焦耳熱Q； （2）線(xiàn)框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間）線(xiàn)框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t1 ； （3）經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線(xiàn)框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大）經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線(xiàn)框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大距離距離m 。導(dǎo)體棒中通以大小恒為導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流的電流將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊界處返回將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)域下邊

9、界處返回V=0甲甲V1乙乙V=0丙丙212102sinmvBIlddmg乙到丙動(dòng)能定理：乙到丙動(dòng)能定理：tmRvdBgtmdIBmgv)sin(sin22dtv2甲到乙微元法：甲到乙微元法：mRdBgtvtmRvdBgv3211222sin)sin(求和求和sin2)sin2(2321mgRdBmgdBIldmt等量的同種電荷形成的電場(chǎng)的特點(diǎn)等量的同種電荷形成的電場(chǎng)的特點(diǎn)（以正電荷形成的場(chǎng)為例）（以正電荷形成的場(chǎng)為例）1.1.場(chǎng)強(qiáng)特點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)特點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)O O點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)E Eo o: :0ABOEEE設(shè)兩點(diǎn)電荷設(shè)兩點(diǎn)電荷的帶電量均的帶電量均為為q q，間距為，間距為R R，向右為正，向右

10、為正方向方向兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)上任意一點(diǎn)兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)上任意一點(diǎn)P P處的場(chǎng)強(qiáng)處的場(chǎng)強(qiáng)E EP P: :22()ABAAPqqEEEkkrR r總結(jié)：在兩個(gè)等量正電荷的連線(xiàn)上，總結(jié)：在兩個(gè)等量正電荷的連線(xiàn)上，由由A A點(diǎn)向點(diǎn)向B B點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小先點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小先減后增，在減后增，在r rA A=R/2=R/2（即中點(diǎn)（即中點(diǎn)O O處）場(chǎng)強(qiáng)處）場(chǎng)強(qiáng)最小為零；場(chǎng)強(qiáng)的方向先向右再向左最小為零；場(chǎng)強(qiáng)的方向先向右再向左即除中點(diǎn)即除中點(diǎn)O O外，場(chǎng)強(qiáng)方向指向中點(diǎn)外，場(chǎng)強(qiáng)方向指向中點(diǎn)O O。兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)Q Q處的場(chǎng)強(qiáng)處的場(chǎng)強(qiáng)E EQ Q: :2224

11、2sin2sin(2sin cos)()2cosABAQqkqEEEEkRR 解析方程可得：當(dāng)解析方程可得：當(dāng)=35.26=35.26 時(shí)出現(xiàn)場(chǎng)強(qiáng)最大值時(shí)出現(xiàn)場(chǎng)強(qiáng)最大值R42x總結(jié)：在兩個(gè)等量正電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，由總結(jié)：在兩個(gè)等量正電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，由O O點(diǎn)向點(diǎn)向N N（M M）點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小先增后減，）點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小先增后減，當(dāng)當(dāng)=35.26=35.26時(shí)出現(xiàn)場(chǎng)強(qiáng)最大值；時(shí)出現(xiàn)場(chǎng)強(qiáng)最大值；場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)強(qiáng)的方向的方向由由O O點(diǎn)指向點(diǎn)指向N N（M M）。）。29316maxRkqE結(jié)論：結(jié)論：在兩個(gè)等量負(fù)電荷的在兩個(gè)等量負(fù)電荷的連線(xiàn)上連線(xiàn)上，由，由A A點(diǎn)點(diǎn)向向B B點(diǎn)方向，

12、電場(chǎng)強(qiáng)度的大小點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小先減后增先減后增，在，在r rA A=R/2=R/2（即（即中點(diǎn)中點(diǎn)O O處）場(chǎng)強(qiáng)最小為零處）場(chǎng)強(qiáng)最小為零；場(chǎng)強(qiáng)；場(chǎng)強(qiáng)的方向先向左再向右（除中點(diǎn)的方向先向左再向右（除中點(diǎn)O O外）。在其外）。在其連線(xiàn)的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上中垂線(xiàn)上，由，由O O點(diǎn)向點(diǎn)向N N（M M）點(diǎn)方向，）點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小電場(chǎng)強(qiáng)度的大小先增后減，當(dāng)先增后減，當(dāng)=35.26=35.26時(shí)出現(xiàn)場(chǎng)強(qiáng)最大值時(shí)出現(xiàn)場(chǎng)強(qiáng)最大值；場(chǎng)強(qiáng)的方向由；場(chǎng)強(qiáng)的方向由 N N（M M）指向指向O O點(diǎn)。點(diǎn)。等量的兩個(gè)負(fù)等量的兩個(gè)負(fù)電荷形成的場(chǎng)電荷形成的場(chǎng)外外推推EOx+Q+Q等量同種正電荷形成的電場(chǎng)等量同種正電荷

13、形成的電場(chǎng)兩電荷的連線(xiàn)和延長(zhǎng)線(xiàn)上兩電荷的連線(xiàn)和延長(zhǎng)線(xiàn)上E-x圖象圖象 yEO圖5 在中垂線(xiàn)上，隨距離增在中垂線(xiàn)上，隨距離增大，場(chǎng)強(qiáng)大小先增后減，場(chǎng)大，場(chǎng)強(qiáng)大小先增后減，場(chǎng)強(qiáng)方向相反；在兩電荷連線(xiàn)強(qiáng)方向相反；在兩電荷連線(xiàn)中點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零。中點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零。 E-Y圖象圖象 例題分析例題分析（2010江蘇物理江蘇物理5）空間有一沿）空間有一沿x軸對(duì)稱(chēng)分布的電場(chǎng)，軸對(duì)稱(chēng)分布的電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度其電場(chǎng)強(qiáng)度E隨隨x變化的圖像如圖所示下列說(shuō)法正確變化的圖像如圖所示下列說(shuō)法正確的是的是（A）O點(diǎn)的電勢(shì)最低點(diǎn)的電勢(shì)最低（B）x2點(diǎn)的電勢(shì)最高點(diǎn)的電勢(shì)最高（C）x1和和x1兩點(diǎn)的電勢(shì)相等兩點(diǎn)的電勢(shì)相等（D）x1和和x3兩點(diǎn)

14、的電勢(shì)相等兩點(diǎn)的電勢(shì)相等【解析】由以上規(guī)律判斷可知等量正（負(fù)）點(diǎn)電荷或均勻帶正（負(fù)）電圓環(huán)的中垂線(xiàn)上符合題目所給的E-x圖像。由等量正點(diǎn)電荷中垂線(xiàn)上電勢(shì)的規(guī)律可知A錯(cuò)，因?yàn)镺點(diǎn)電勢(shì)可能最高；x2點(diǎn)的電勢(shì)不是最高，而是場(chǎng)強(qiáng)最大；x1和x3兩點(diǎn)的電勢(shì)不相等，可能x1高于x3，也可能相反；由對(duì)稱(chēng)性可知C正確?！?0082008上海上海】如圖所示，在光滑絕緣如圖所示，在光滑絕緣水平面上，兩個(gè)帶等量正電的點(diǎn)電荷水平面上，兩個(gè)帶等量正電的點(diǎn)電荷M M、N N，分別固定在，分別固定在A A、B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，O O為為ABAB連線(xiàn)的連線(xiàn)的中點(diǎn)，中點(diǎn)，CDCD為為ABAB的垂直平分線(xiàn)。在的垂直平分線(xiàn)。在COC

15、O之間之間的的F F點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)帶負(fù)電的小球點(diǎn)由靜止釋放一個(gè)帶負(fù)電的小球P P（設(shè)不改變?cè)瓉?lái)的電場(chǎng)分布），在以后的一段時(shí)間內(nèi)，設(shè)不改變?cè)瓉?lái)的電場(chǎng)分布），在以后的一段時(shí)間內(nèi)，P P在在CDCD連線(xiàn)上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。若連線(xiàn)上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。若A.A.小球小球P P的帶電量緩慢減小，則它往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中振幅不的帶電量緩慢減小，則它往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中振幅不斷減小斷減小B.B.小球小球P P的帶電量緩慢減小，則它往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中每次經(jīng)的帶電量緩慢減小，則它往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中每次經(jīng)過(guò)過(guò)O O點(diǎn)時(shí)的速率不斷減小點(diǎn)時(shí)的速率不斷減小C.C.點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷M M、N N的帶電量同時(shí)等量地緩慢增大，則小球的帶電量同時(shí)等量地緩慢增大，

16、則小球P P往往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中周期不斷減小復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中周期不斷減小D.D.點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷M M、N N的帶電量同時(shí)等量地緩慢增大，則小球的帶電量同時(shí)等量地緩慢增大，則小球P P往往復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中振幅不斷減小復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中振幅不斷減小等量的異種電荷形成的電場(chǎng)的特點(diǎn)等量的異種電荷形成的電場(chǎng)的特點(diǎn)1.1.場(chǎng)強(qiáng)特點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)特點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)O O點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)E Eo o: :2282()2ABOqkqEEEkRR 設(shè)兩點(diǎn)電荷的帶電設(shè)兩點(diǎn)電荷的帶電量均為量均為q q，間距為，間距為R R，向右為正方向向右為正方向兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)上任意一點(diǎn)兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)上任意一點(diǎn)P P處的場(chǎng)強(qiáng)處的場(chǎng)強(qiáng)E EP P: :22()ABAAP

17、qqEEEkkrR r 總結(jié)：在兩個(gè)等量異種電荷的連線(xiàn)上，總結(jié)：在兩個(gè)等量異種電荷的連線(xiàn)上，由由A A點(diǎn)向點(diǎn)向B B點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小先減點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小先減小后增大，在小后增大，在r rA A=R/2=R/2（即中點(diǎn)（即中點(diǎn)O O處）場(chǎng)處）場(chǎng)強(qiáng)最??；場(chǎng)強(qiáng)的方向指向負(fù)電荷。強(qiáng)最?。粓?chǎng)強(qiáng)的方向指向負(fù)電荷。32282cos2coscos()2cosABAQqkqEEEEkRR 總結(jié)：在兩個(gè)等量異種電荷的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，由總結(jié)：在兩個(gè)等量異種電荷的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，由O O點(diǎn)向點(diǎn)向N N（M M）點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小一直在減??；場(chǎng)強(qiáng)的方）點(diǎn)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小一直在減??；場(chǎng)強(qiáng)的方向平行于向

18、平行于ABAB連線(xiàn)指向負(fù)電荷一端。連線(xiàn)指向負(fù)電荷一端。兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)Q Q處的場(chǎng)強(qiáng)處的場(chǎng)強(qiáng)E EQ Q: :等量異種電荷形成的電場(chǎng)等量異種電荷形成的電場(chǎng)-QQXE+QO 關(guān)于兩電荷連線(xiàn)的中點(diǎn)關(guān)于兩電荷連線(xiàn)的中點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)的 任意兩任意兩點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相同，越靠近兩電點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相同，越靠近兩電荷的地方電場(chǎng)強(qiáng)度越大；在兩電荷連線(xiàn)中，荷的地方電場(chǎng)強(qiáng)度越大；在兩電荷連線(xiàn)中，中點(diǎn)中點(diǎn)O 處場(chǎng)強(qiáng)最小，但不為零。處場(chǎng)強(qiáng)最小，但不為零。E-x圖象圖象 EOy圖圖2 在兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，場(chǎng)強(qiáng)方向在兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，場(chǎng)強(qiáng)方向處處相同，

19、關(guān)于處處相同，關(guān)于O 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等，大小相等，O 點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)最大點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)最大 E-y圖象圖象 2.2.電勢(shì)特點(diǎn)電勢(shì)特點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)O O點(diǎn)處的電勢(shì)點(diǎn)處的電勢(shì)o o: :40ABOkqR兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)上任意一點(diǎn)兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)上任意一點(diǎn)P P處的電勢(shì)處的電勢(shì)P P: :設(shè)兩點(diǎn)電荷的帶電設(shè)兩點(diǎn)電荷的帶電量均為量均為q q，間距為，間距為R R。()()ABAAAAPqqkqRkkrRrr Rr總結(jié)：在兩個(gè)總結(jié)：在兩個(gè)等量正等量正電荷的連線(xiàn)上，由電荷的連線(xiàn)上，由A A點(diǎn)點(diǎn)向向B B點(diǎn)方向，電勢(shì)先減后增，在點(diǎn)方向，電勢(shì)先減后增，在r rA A=R/2=R/2（即（即中點(diǎn)中點(diǎn)O O處

20、）電勢(shì)最小，但電勢(shì)總為正。處）電勢(shì)最小，但電勢(shì)總為正。兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)Q Q處的電勢(shì)處的電勢(shì)Q Q: :4cos202cosABQqkqkRR總結(jié)：在兩個(gè)總結(jié)：在兩個(gè)等量正等量正電荷的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)電荷的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，由上，由O O點(diǎn)向點(diǎn)向N N（M M）點(diǎn)方向，電勢(shì)一直減）點(diǎn)方向，電勢(shì)一直減小且大于零，即小且大于零，即O O點(diǎn)最大，點(diǎn)最大，N(M)N(M)點(diǎn)為零。點(diǎn)為零。等量的兩個(gè)負(fù)等量的兩個(gè)負(fù)電荷形成的場(chǎng)電荷形成的場(chǎng)外外推推結(jié)論：結(jié)論：在兩個(gè)等量負(fù)電荷在兩個(gè)等量負(fù)電荷連線(xiàn)上連線(xiàn)上，由，由A A點(diǎn)向點(diǎn)向B B點(diǎn)方向，電勢(shì)點(diǎn)方向，電勢(shì)先增后減先增后減

21、，在，在r rA A=R/2=R/2（即（即中點(diǎn)中點(diǎn)O O處）電勢(shì)最大但電勢(shì)總為處）電勢(shì)最大但電勢(shì)總為負(fù)負(fù)；在兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線(xiàn)的；在兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上中垂線(xiàn)上，由，由O O點(diǎn)向點(diǎn)向N N（M M）點(diǎn)）點(diǎn)方向，電勢(shì)方向，電勢(shì)一直增大且小于零一直增大且小于零，即，即O O點(diǎn)最小，點(diǎn)最小，N(M)N(M)點(diǎn)為零。點(diǎn)為零。2.2.電勢(shì)特點(diǎn)電勢(shì)特點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)O O點(diǎn)處的電勢(shì)點(diǎn)處的電勢(shì)o o: :022ABOqqkkRR（ ） （ ）設(shè)兩點(diǎn)電荷的帶電設(shè)兩點(diǎn)電荷的帶電量均為量均為q q，間距為，間距為R R。兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)Q Q處的電勢(shì)處的電勢(shì)Q Q: :

22、02cos2cosABQqqkkRR總結(jié)：總結(jié)：等量異種等量異種電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上電荷連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上任意一點(diǎn)電勢(shì)均為零即等量異種電荷任意一點(diǎn)電勢(shì)均為零即等量異種電荷的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)（面）是零勢(shì)線(xiàn)（面）的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)（面）是零勢(shì)線(xiàn)（面）兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)上任意一點(diǎn)兩點(diǎn)電荷連線(xiàn)上任意一點(diǎn)P P處的電勢(shì)處的電勢(shì)P P: :()ABAAPqqkkrRr總結(jié)：在兩個(gè)等量異種電荷的連線(xiàn)上，總結(jié)：在兩個(gè)等量異種電荷的連線(xiàn)上，由由A A點(diǎn)向點(diǎn)向B B點(diǎn)方向，電勢(shì)一直在減小，在點(diǎn)方向，電勢(shì)一直在減小，在r rA A=R/2=R/2（即中點(diǎn)（即中點(diǎn)O O處）電勢(shì)為零，正電處）電勢(shì)為零，正電荷一側(cè)為正勢(shì)，荷一側(cè)為正勢(shì)，負(fù)電

23、荷一側(cè)為負(fù)勢(shì)負(fù)電荷一側(cè)為負(fù)勢(shì)。 等量同種正電荷形成的電場(chǎng)，若取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)都大于零；關(guān)于兩電荷連線(xiàn)的中點(diǎn)O 對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)電勢(shì)相等，在兩電荷連線(xiàn)上，越接近中點(diǎn)，電勢(shì)越低，中點(diǎn)是連線(xiàn)上電勢(shì)的最低點(diǎn)，但不為零。在連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，關(guān)于某電荷對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)電勢(shì)不相等，連線(xiàn)上的連線(xiàn)上的電勢(shì)高于延長(zhǎng)線(xiàn)上的電勢(shì)（疊加）電勢(shì)高于延長(zhǎng)線(xiàn)上的電勢(shì)（疊加）。若以?xún)呻姾蛇B線(xiàn)中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，兩電荷連線(xiàn)所在線(xiàn)為 x軸，以縱軸為電勢(shì)，作出的x 圖象如圖6所示。xO+Q+Q圖6yO圖7 在兩電荷連線(xiàn)中垂線(xiàn)上，中點(diǎn)電勢(shì)最高，根據(jù)沿電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)逐漸降低。若以電荷連線(xiàn)中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，中垂線(xiàn)方向?yàn)闄M軸y 。縱

24、軸為電勢(shì) ，作出的 y圖象如圖7所示。 等量同種負(fù)電荷形成的電場(chǎng)與上述相反yO 關(guān)于正電荷對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，根據(jù)等勢(shì)面圖，延長(zhǎng)線(xiàn)上的電勢(shì)比連線(xiàn)上的電勢(shì)高，關(guān)于負(fù)電荷對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)上的電勢(shì)比連線(xiàn)上的電勢(shì)低。再根據(jù)正電荷周?chē)碾妱?shì)大于零，負(fù)電荷周?chē)碾妱?shì)小于零。以?xún)呻姾蛇B線(xiàn)中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，連線(xiàn)所在線(xiàn)橫軸為x 軸，縱軸為電勢(shì) ，建立直角坐標(biāo)系。-x圖象。 Ox+Q-Q圖3（2011上海單科）14兩個(gè)等量異種點(diǎn)電荷位于x軸上，相對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布，正確描述電勢(shì) 隨位置x變化規(guī)律的是圖【解析】電場(chǎng)線(xiàn)如下圖， 根據(jù)“沿電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)降低”的原理，C、D是錯(cuò)誤的；再根據(jù)正電荷周?chē)碾妱?shì)為正，負(fù)電荷周?chē)碾妱?shì)為負(fù)

25、，B也錯(cuò)誤，A正確。所以本題選A。（2009江蘇物理江蘇物理8）空間某一靜電場(chǎng)的電勢(shì) 在X 軸上分布如圖所示，X軸上兩點(diǎn)B、C點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度在X方向上的分量分別是 、 ，下列說(shuō)法中正確的有 A 的大小大于 的大小 B 的方向沿軸正方向 C電荷在0點(diǎn)受到的電場(chǎng)力在x方向上的分量最大 D負(fù)電荷沿x軸從B移到C的過(guò)程中，電場(chǎng)力先做正功，后做負(fù)功【解析】本題的入手點(diǎn)在于如何判斷的大小，由圖象可知在x軸上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度在x方向的分量不相同，如果在x方向上取極小的一段，可以把此段看做是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，用勻強(qiáng)磁場(chǎng)的處理方法思考，從而得到結(jié)論，此方法為微元法微元法；需要對(duì)電場(chǎng)力的性質(zhì)和能的性質(zhì)由較為全面的理解。在B點(diǎn)和

26、C點(diǎn)附近分別取很小的一段d，由圖象，B點(diǎn)段對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差大于C點(diǎn)段對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差，(正點(diǎn)電荷電勢(shì)）ADBxECxEBxEBxECxE正正弦定理的應(yīng)用正弦定理的應(yīng)用 正弦定理：正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。即 CcBAsinsinbsina例例1.（2008年四川延理綜考卷）年四川延理綜考卷）兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a和b，用質(zhì)量可忽略的剛性細(xì)桿相連，放置在一個(gè)光滑的半球面內(nèi)，如圖1所示。己知小球a和b的質(zhì)量之比為 ，細(xì)桿長(zhǎng)度是球面半徑的 倍。兩球處于平衡狀態(tài)時(shí)，細(xì)桿與水平面的夾角是 A450 B300 C22.50 D150圖12、利用導(dǎo)數(shù)求物理極值、利用導(dǎo)數(shù)求物理極值一般地，求函數(shù)一般地，求函數(shù) 極值的方法是：解方程極值的方法是：解方程 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)時(shí)（1）如果在）如果在 附近的左側(cè)附近的左側(cè) ，右側(cè)，右側(cè) 則則 是極大值是極大值（2）如果在）如果在 附近的左側(cè)附近的左側(cè) ，右側(cè)，右側(cè) 則則 是極小值是極小值導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用例1 (利用三角函數(shù)求極值)如圖甲所示,