112與三角形有關(guān)的角

1、人民教育出版社義務(wù)教育教科書(shū)八年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)） 11.2 11.2 與三角形有關(guān)的角與三角形有關(guān)的角 學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理 2能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 探索并證明三角形內(nèi)角和定理，體會(huì)證明的必要性探索并證明三角形內(nèi)角和定理，體會(huì)證明的必要性 11.2.1 三角形的內(nèi)角方法：方法：度量、剪拼圖、折疊度量、剪拼圖、折疊 探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理BBCCAAABBC問(wèn)題問(wèn)題1在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個(gè)三角形三個(gè)在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的

2、和等于內(nèi)角的和等于180，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的嗎？請(qǐng)大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究嗎？請(qǐng)大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究 問(wèn)題問(wèn)題1在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個(gè)三角形三個(gè)在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于內(nèi)角的和等于180，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的嗎？請(qǐng)大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究嗎？請(qǐng)大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究 探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理AABBCABBCC方法：方法：度量、剪拼圖、折疊度量、剪拼圖、折疊 問(wèn)題問(wèn)題1在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個(gè)三角形三個(gè)在小學(xué)我們已經(jīng)知道任

3、意一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于內(nèi)角的和等于180，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的嗎？請(qǐng)大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究嗎？請(qǐng)大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究 探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理ABC方法：方法：度量、剪拼圖、折疊度量、剪拼圖、折疊 三角形兩邊的夾角叫做三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問(wèn)追問(wèn)1運(yùn)用度量的方法，得出的三個(gè)內(nèi)角的和都運(yùn)用度量的方法，得出的三個(gè)內(nèi)角的和都是是180嗎？為什么？嗎？為什么？測(cè)量可能會(huì)有誤差測(cè)量可能會(huì)有誤差在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)。可是有

4、一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來(lái)，它指著老大說(shuō)：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行?。　崩洗笳f(shuō)：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來(lái)了”“為什么？”老二很納悶。同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？?jī)?nèi)角三兄弟之爭(zhēng)如下圖所示是我們常用的三角板,它們的三個(gè)角之和為多少度?想一想:任意三角形的三個(gè)內(nèi)角之和也為180度嗎?30+60+90=18045+45+90=180思考與探索三角形的三個(gè)內(nèi)角和是多少?把三個(gè)角拼在一起試試看？你有什么辦法可以驗(yàn)證呢?從剛才拼角的過(guò)程你能想出證明的辦法嗎?180實(shí)踐操作21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長(zhǎng)BC到D，于是CEBA (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩

5、直線平行).B=2 (兩直線平行，同位角相等).1+2+ACB=180A+B+ACB=180在ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作1=A，證法一21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長(zhǎng)BC到D， 過(guò)C作CEBA， A=1 (兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)B=2(兩直線平行，同位角相等)1+2+ACB=180A+B+ACB=180證法二F21ECBA三角形的內(nèi)角和等于1800.過(guò)A作EFBC，B=2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等) C=1(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等) 2+1+BAC=180B+C+BAC=180證法三CBEA三角形的內(nèi)角和等于1800.過(guò)A作AEBC，B=BAE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角

6、相等)EAB+BAC+C=180(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))B+C+BAC=180證法四 在這里，為了證明的需要，在原來(lái)在這里，為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫(huà)的線叫做的圖形上添畫(huà)的線叫做輔助線輔助線。在平面。在平面幾何里，輔助線通常畫(huà)成幾何里，輔助線通常畫(huà)成虛線虛線。 為了證明三個(gè)角的和為為了證明三個(gè)角的和為1800,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ),這這種種轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法是數(shù)學(xué)中的常用方法.思路總結(jié)思路總結(jié)課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)1如圖，說(shuō)出各圖中如圖，說(shuō)出各圖中1 的度數(shù)的度數(shù)80501 30 105 1 221（1） （2） （3） 練習(xí)練

7、習(xí)2如圖，從如圖，從A 處觀測(cè)處觀測(cè)C 處的仰角處的仰角CAD = = 30，從，從B 處觀測(cè)處觀測(cè)C 處的仰角處的仰角CBD = = 45從從C 處觀處觀測(cè)測(cè)A，B 兩處的視角兩處的視角ACB 是多少？是多少？ 課堂練習(xí)課堂練習(xí)ABDC(口答)下列各組角是同一個(gè)三角形的內(nèi)角嗎?為什么?（2）60， 40， 90（3）30， 60， 50（1）3， 150， 27 （是是 ）（ 不是不是）（ 不是不是）鞏固練習(xí)（1）在）在ABC中，中，A=35， B=43 則則 C= . （2）在）在ABC中，中， A :B:C=2:3:4則則A = B= C= . （3）一個(gè)三角形中最多有一個(gè)三角形中最多有

8、 個(gè)直角？為什么？個(gè)直角？為什么？（4）一個(gè)三角形中最多有）一個(gè)三角形中最多有 個(gè)鈍角？為什么？個(gè)鈍角？為什么？（5）一個(gè)三角形中至少有）一個(gè)三角形中至少有 個(gè)銳角？為什么？個(gè)銳角？為什么？（6）任意一個(gè)三角形中）任意一個(gè)三角形中,最大的一個(gè)角的度數(shù)至少最大的一個(gè)角的度數(shù)至少為為 .102 80 60 40 60211應(yīng)用新知應(yīng)用新知解解：在在ACD中中 CAD 30 D 90 DABC ACD =180 -30 -90 =6 0 在在BCD中中 CBD = 45 D 90 BCD = 180 - 90-45 =45 ACB = ACD - BCD = 6 0 - 45 鞏固練習(xí)1.如圖,從A

9、處觀測(cè)C處時(shí)仰角CAD30,從B處觀測(cè)C處時(shí)仰角CBD45.從C處觀測(cè)A、B兩處時(shí)視角ACB是多少?運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理例例1如圖，在如圖，在ABC 中中， BAC = =40, , B = = 75，AD 是是ABC 的角平分線求的角平分線求ADB 的度數(shù)的度數(shù)CBDA解解BAC = =40AD 是是ABC 的角平分線的角平分線BAD= BAC=2021在在ABD中中ADB=180-B-BAD =180-75-20=85ADB 的度數(shù)為的度數(shù)為85ABC在直角三角形ABC中,C90，由三角形內(nèi)角和定力，得, A +B+ C=180即 A +B+ 90=180，所以 A +

10、B= 90.例題講解例題講解1 1也就是說(shuō)， 直角三角形的兩個(gè)銳角互余.由三角形內(nèi)角和定理可得：由三角形內(nèi)角和定理可得： 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形可以用符號(hào)“Rt”表示，直角三角形ABC也可以寫(xiě)成RtABC.ABC已知ABC中,ABCC=2A ,BD是AC邊上的高，求DBC的度數(shù)。D解：設(shè)Ax0，則ABCC2x0 x2x2x180 （三角形內(nèi)角和定理）解得x36C2360720DBC1800900720（三角形內(nèi)角和定理）在BDC中，BDC900(三角形高的定義）DBC180?例題講解例題講解2 2如圖,C島在A島的北偏東50方向，B島在

11、A島的北偏東80方向，C島在B島的北偏西40方向。求下面各題.（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _ A(2)從C島看A 、B兩島的視角C是多少?508040DBCE北北解： ADBE DABABE180 ABE 180DAB 180 80 100 在在ABC中中,C 180 CAB ABC 18030 60 90 ABCABECBE30 1004060例題講解例題講解3 3DCE北A50B40 北MN在AMC中 AMC=90, MAC=50解：過(guò)點(diǎn)C畫(huà)MNAD分別交AD、BE于點(diǎn)M、N12例:如圖,C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80方向，C島在B島的北偏西40方向。1

12、=180 -90-50 =40 ADBE AMC+ BNC =180 BNC =90同理得2 =50 ACB =180 -1 -2=180 -40-50 =90例題講解例題講解3 3BDCE北A 你能想出一個(gè)更簡(jiǎn)捷的方法來(lái)求C的度數(shù)嗎？125040解：解： 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C畫(huà)畫(huà)CFAD 1DAC50 , F CFAD, 又又AD BE CF BE2CBE 40 ACB12 50 40 90 例題講解例題講解3 32.如圖,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊形狀完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是 ( )(A)帶去帶去(B)帶去帶去(C)帶去帶去(D)帶和去帶和去C鞏固練習(xí)3.

13、ABC中,若ABC,則ABC是( )A、銳角三角形B、直角三角形 C、鈍角三角形D、等腰三角形4. 一個(gè)三角形至少有（ ） A、一個(gè)銳角 B、兩個(gè)銳角 C、一個(gè)鈍角 D、一個(gè)直角BB鞏固練習(xí)5. 如圖ABC中,CD平分ACB,DEBC,A70,ADE50, 求BDC的度數(shù).ABCDE解:A70 ACB=180 -A-B=180-70-50=60DE/BCB=ADE50 CD平分ACB30602121ACBDCBDCBBBDC1801003050180鞏固練習(xí)甲樓高16米,乙樓座落在甲樓的正北面,已知當(dāng)?shù)囟林形?2點(diǎn),太陽(yáng)光線與水平面夾角為450,如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上,那么兩樓的距離

14、應(yīng)是多少？甲甲乙乙16米米450？45016米米解:由題意知ABC45,90ACBABCACBABCBAC1804590180 45BC=AB=16答:兩樓的距離是16米.拓展與思考12、在中，如果= B= C，那么是什么三角形？2131解:設(shè)A=x,那么B=2x,C=3x根據(jù)題意得:18032xxx解得 30 xA=30,B=60,C=90所以是直角三角形拓展與思考2小結(jié)1、三角形的內(nèi)角和：三角形三個(gè)內(nèi)角之和為1802、由三角形內(nèi)角和等于180，可得出(1)直角三角形兩銳角互余；(2)一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角或鈍角；(3)任意一個(gè)三角形中，最多有三個(gè)銳角，最少有兩個(gè)銳角；(4)一個(gè)三角形中至

15、少有一個(gè)角小于或等于6011.2.2 三角形的外角ABCD三角形的外角：三角形的外角： 三角形的三角形的一邊一邊與與另一邊的反向延長(zhǎng)另一邊的反向延長(zhǎng)線線組成的角組成的角ABCDE看一看：看一看：算一算：算一算：若若 A55， B=60,試求試求 ACB, ACD, CAE的度數(shù)并說(shuō)出你的理由的度數(shù)并說(shuō)出你的理由圖中哪些角是三角形的圖中哪些角是三角形的內(nèi)角內(nèi)角，哪些角是三角形的哪些角是三角形的外角外角？115606555125通過(guò)上題的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)通過(guò)上題的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)ACD， CAE與三角形的內(nèi)角之間有怎樣的與三角形的內(nèi)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系呢？呢？請(qǐng)你試著用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)請(qǐng)你試著用

16、自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)想一想：想一想：三角形的一個(gè)三角形的一個(gè)外角外角等于與它等于與它不相鄰不相鄰的的兩個(gè)內(nèi)角兩個(gè)內(nèi)角的和。的和。求下列各圖中求下列各圖中1 1的度數(shù)。的度數(shù)。30 60 1 1 35 120 1 145 50 1 11=1=1=908595 ACD A ()； ACD B ()結(jié)論：結(jié)論：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相 鄰的內(nèi)角。鄰的內(nèi)角。DACB你選什么你選什么 ？把圖中把圖中1 1、 2 2、 3 3按由大到小的按由大到小的順序排列順序排列B 3 32 21ACDE123ABC123方法方法1 1方法方法2 2三角形的外角和等于三角形的

17、外角和等于36036012 3 ?從哪些途徑探究這個(gè)結(jié)果從哪些途徑探究這個(gè)結(jié)果議一議議一議ABC1232 ABC=1803 ACB=180三個(gè)式子相加得到三個(gè)式子相加得到1 2 3 BAC ABCACB=540而而B(niǎo)AC ABCACB=1801 2 33601 BAC=180解：解：BC1234A D判斷題：判斷題：1 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）2 2、三角形的外角和等于它內(nèi)角和的、三角形的外角和等于它內(nèi)角和的2 2倍。（倍。（ ）3 3、三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和。（、三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和。（ ）4 4、三角形

18、的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（ ）5 5、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角。（、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角。（ ）6 6、三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角。、三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角。（ ）練一練練一練學(xué)一學(xué)學(xué)一學(xué)例例1:1:如圖，如圖，D D是是ABCABC的的BCBC邊上一點(diǎn)，邊上一點(diǎn)，B BBADBAD，ADCADC8080,BAC=70,BAC=70. .求：（求：（1 1）B B的度數(shù)；的度數(shù)； （2 2）C C的度數(shù)的度數(shù). .問(wèn)：?jiǎn)枺海?）中為什么）中為什么ADCADCB+BADB+BAD？ （2 2）中求）中求C C的度數(shù)還有其他方法嗎？的度數(shù)還有其他方法嗎？ABCD808070704040練一練練一練A AB BC CD DE EF F . .ADECFB123360 0NPMABCDEFG + 180180練一練練一練已知圖中已知圖中A A、 B B、 C C分別為分別為80， 20 ， 30 ，求，求1