常微分方程的消元法和首次積分法PPT精選文檔

1、4.2、微分方程組的消元法和首次積分法 我們介紹微分方程組的兩種求解方法我們介紹微分方程組的兩種求解方法: :消元法消元法和和首次積分法首次積分法, ,這兩種方法對(duì)求解一些簡(jiǎn)單的這兩種方法對(duì)求解一些簡(jiǎn)單的微分方程組是很有效的方法微分方程組是很有效的方法, ,但在學(xué)習(xí)這兩種方法時(shí)但在學(xué)習(xí)這兩種方法時(shí)必需注意它們的必需注意它們的局限性局限性. .一、一、微分方程組的消元法微分方程組的消元法 將將一階微分方程組：一階微分方程組： ),(dd),(dd212111nnnnyyyxfxyyyyxfxy中的未知函數(shù)中的未知函數(shù)nyyy,21只保留一個(gè)，只保留一個(gè)，消去消去其他未知函數(shù)，得到其他未知函數(shù)，得

2、到一個(gè)未知函數(shù)的高階方程，一個(gè)未知函數(shù)的高階方程，其他未知函數(shù)其他未知函數(shù). .這種方法常用于二個(gè)或三個(gè)這種方法常用于二個(gè)或三個(gè)先求出這個(gè)未知函數(shù)，然后再由其他方程求出先求出這個(gè)未知函數(shù)，然后再由其他方程求出方程構(gòu)成的方程構(gòu)成的常系數(shù)微分方程組常系數(shù)微分方程組的求解的求解. .例例1 1 求解方程組求解方程組 2122112dd23ddyyxyyyxy解解 保留保留2y, ,消去消去1y. .由第二個(gè)方程由第二個(gè)方程解出解出1y，得，得)dd(21221yxyy 對(duì)上式兩邊關(guān)于對(duì)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得x)dddd(21dd22221xyxyxy 代入原方程組的第一代入原方程組的第一個(gè)方

3、程得個(gè)方程得:0dd2dd22222 yxyxy二階常系數(shù)線性齊次方程二階常系數(shù)線性齊次方程, ,通解為通解為xexccy)(212 xexcccy)22(212211 故原方程組的通解為故原方程組的通解為 xxexccyexcccy)()22(212122211其中其中21,cc是任意常數(shù)是任意常數(shù). . 2122112dd23ddyyxyyyxy)dd(21221yxyy 一階線性非齊次方程的通解為一階線性非齊次方程的通解為xxecexcccy332211)22(21 出現(xiàn)了三個(gè)任意常數(shù)出現(xiàn)了三個(gè)任意常數(shù)?,321ccc因此為因此為避免避免出現(xiàn)出現(xiàn)增解增解，在求出一個(gè)未知函數(shù)后，在求出一個(gè)

4、未知函數(shù)后，03 c是一個(gè)多余的任意常數(shù)是一個(gè)多余的任意常數(shù). .不要再用求積分的方不要再用求積分的方法來求其他的未知函數(shù)法來求其他的未知函數(shù). . 2122112dd23ddyyxyyyxyxexccy)(212 xexccyxy)(23dd2111 例例2 2 求解方程組求解方程組xytyytx2dd,dd 解解 將第一個(gè)方程求導(dǎo)得將第一個(gè)方程求導(dǎo)得tytxdddd22 代入第二個(gè)方程得代入第二個(gè)方程得0)dd(1dd222 txxtx不顯含自變量不顯含自變量t txpptxptxdddd,dd22 設(shè)設(shè),ln1ctcx ,12tcecx 再由第一個(gè)方程得再由第一個(gè)方程得.121tcecc

5、y , 0)dd( xpxppxctxp1dd 二二 微分算子與線性微分方程組微分算子與線性微分方程組 這里介紹微分算子這里介紹微分算子D 及其用消元法解線性及其用消元法解線性微分方程組的應(yīng)用微分方程組的應(yīng)用. .)(tx設(shè)設(shè)是定義在某區(qū)間是定義在某區(qū)間I I上的具有上的具有n 階連續(xù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，微分算子導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，微分算子D 被定義為被定義為.1 ,dd,ddnktxxDtxDxkkk 相應(yīng)地定義算子多項(xiàng)式：相應(yīng)地定義算子多項(xiàng)式：,111nnnnaDaDaDL .1)1(1)(xaxaxaxnnnn xaDaDaDLxnnnn)(111 L L是線性算子是線性算子! !例如設(shè)例如設(shè),

6、23, 13221txDLDL 則則)(2121xLLxLL 32291218ttt )29)(1(322ttD )(1212xLLxLL 32291218ttt )6)(23(3ttD 321)1(tDxL ,29322ttxL ,63tt )()(2241312211tgxLxLtgxLxL微分算子法求解常系數(shù)線性微分方程組微分算子法求解常系數(shù)線性微分方程組. .)()()(132122341tgLtgLxLLLL 2x僅依賴于變僅依賴于變量量的一個(gè)高階微分方程的一個(gè)高階微分方程?)()()(122412341tgLtgLxLLLL 解解: :設(shè)設(shè),2, 3221DLDL , 2)(,)(

7、21 tgttg例例 3 3 求解方程組求解方程組 283223222121121xxxxtxxxtxtxtx8313dd2dd22222 )()()(132122341tgLtgLxLLLL 二階線性常系數(shù)非齊次微分方程通解為二階線性常系數(shù)非齊次微分方程通解為12583212 tececxtt82, 3243 DLDL12583212 tececxtt代入原方程組的第一個(gè)方程中得代入原方程組的第一個(gè)方程中得ttecectxtx3211162413dd2 一階線性非齊次微分方程通解為一階線性非齊次微分方程通解為233321132236113tttececectx 283223222121121

8、xxxxtxxx代入原系統(tǒng)的第二個(gè)代入原系統(tǒng)的第二個(gè)方程中得方程中得. 03 c積分可以得到未知函數(shù)組合積分可以得到未知函數(shù)組合形式的解，形式的解，三三 微分方程組的首次積分法微分方程組的首次積分法經(jīng)經(jīng)適當(dāng)組合適當(dāng)組合化為一個(gè)化為一個(gè)可積分的微分方程可積分的微分方程. .首次積分法是將方程組首次積分法是將方程組 ),(21niixxxtfx ), 2 , 1(ni 這個(gè)方程的未知函數(shù)可能是方程組中這個(gè)方程的未知函數(shù)可能是方程組中幾個(gè)未知函數(shù)組合形式幾個(gè)未知函數(shù)組合形式.該方程為一個(gè)原方程組的首次積分該方程為一個(gè)原方程組的首次積分. .解解 將將兩個(gè)方程相加兩個(gè)方程相加得得()d xyxydt以

9、以作為一個(gè)未知函數(shù)，對(duì)上式積分得作為一個(gè)未知函數(shù)，對(duì)上式積分得yx 1txyc e原方程組的一個(gè)首次積分原方程組的一個(gè)首次積分. .再將再將兩個(gè)方程相減兩個(gè)方程相減得得()()d xyxydt 例例 4 4 求解方程組求解方程組xtyytxdd,dd這里這里21,cc是任意常數(shù)是任意常數(shù). .1212ttttxc ec eyc ec e 解出未知解出未知函數(shù)函數(shù), ,原方程組通解為原方程組通解為2txyc e原方程組的另一個(gè)首次積分原方程組的另一個(gè)首次積分. .解解 把方程組中的第一個(gè)方程乘以把方程組中的第一個(gè)方程乘以, x第二個(gè)方第二個(gè)方程乘以程乘以, y然后兩式相加得然后兩式相加得)1)(

10、dddd2222 yxyxtyytxxtyxyxyxd)1)(2)(d222222 把把看作未知函數(shù)看作未知函數(shù), ,積分得積分得22yx 1222221ceyxyxt 12222ceeyxtt 例例 5 5 求解方程組求解方程組 )1(dd)1(dd2222yxyxtyyxxytx再利用原方程可得再利用原方程可得)(dddd22yxtxytyx 1)(arctandd xyt )1(dd)1(dd2222yxyxtyyxxytx另一個(gè)首次積分另一個(gè)首次積分2arctanctxy 采用極坐標(biāo)采用極坐標(biāo),sin,cos ryrx 原微分方程的通解為原微分方程的通解為 ttectcyectcx22

11、22121)sin(1)cos(12222ceeyxtt 考慮一般的考慮一般的階微分方程組階微分方程組 n),(1niixxtfx ni, 2 , 1 其中其中),(1nixxtf1 nRD對(duì)對(duì)nxxx,21是連續(xù)可微的是連續(xù)可微的. .設(shè)設(shè)連續(xù)可連續(xù)可微，且不是常數(shù)，微，且不是常數(shù)，),(21nxxxt 使使),(21nxxxt 成為成為與與t t 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù), ,此常數(shù)與所取解有關(guān)此常數(shù)與所取解有關(guān), ,則稱則稱為方程組為方程組的的一個(gè)首次積分一個(gè)首次積分.cxxxtn ),(21 把方程組任一把方程組任一解解代入代入)(txxii 設(shè)微分方程組有設(shè)微分方程組有n個(gè)首次積分個(gè)首次

12、積分nnnncxxxtcxxxt ),(,),(211211 如果在某區(qū)域內(nèi)它們的如果在某區(qū)域內(nèi)它們的JacobiJacobi行列式行列式0),(),(11 nnxxDD ),(1niixxtfx ni, 2 , 1 則稱它們?cè)趨^(qū)域則稱它們?cè)趨^(qū)域G G內(nèi)為內(nèi)為互相獨(dú)立互相獨(dú)立. .011 nnfxfxt ),(1niixxtfx ni, 2 , 1 定理定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(21nxxxt D在區(qū)域在區(qū)域內(nèi)內(nèi)是方程組的首次積分的是方程組的首次積分的充要條件充要條件為為連續(xù)可微，且它不是常數(shù)連續(xù)可微，且它不是常數(shù)，則，則cxxxtn ),(21 檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)是否為方程組的是否

13、為方程組的首次積分首次積分? ? 定理定理2 2 若若已知方程組的已知方程組的一個(gè)首次積一個(gè)首次積分分，則可把方程組求解問題轉(zhuǎn)化為含則可把方程組求解問題轉(zhuǎn)化為含 n -1 -1 個(gè)方程個(gè)方程的方程組的求解問題的方程組的求解問題. .定理定理3 3 若若方程組有方程組有n個(gè)互相獨(dú)立的個(gè)互相獨(dú)立的首次積分首次積分,21n 則可由它們得到則可由它們得到微分方程微分方程組的通解組的通解. .為了求解方程組為了求解方程組, ,只需只需求出它的求出它的n n個(gè)互相獨(dú)立的首次積分就可以了個(gè)互相獨(dú)立的首次積分就可以了. .事實(shí)事實(shí)上上, ,前面例題給出的首次積分是前面例題給出的首次積分是互互相獨(dú)立的相獨(dú)立的. . 因此由它們確定出的解都是通解因此由它們確定出的解都是通解. .),(1niixxtfx ni, 2 , 1 例例 6 6 利用首次積分求解方程組利用首次積分求解方程組 22)(dd)(ddxyxtyxyytx解解 兩個(gè)方程相除得兩個(gè)方程相除得xyyx dd得到原方程組的一個(gè)首次積分得到原方程