數(shù)學(xué)物理方法第4章學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)物理數(shù)學(xué)物理(wl)方法第方法第4章章第一頁(yè)，共65頁(yè)。目的與要求：掌握目的與要求：掌握(zhngw)留數(shù)的概念及計(jì)算方法。留數(shù)的概念及計(jì)算方法。掌握掌握(zhngw) 用留數(shù)定理計(jì)算典型實(shí)定積分的方用留數(shù)定理計(jì)算典型實(shí)定積分的方 法。法。重點(diǎn)重點(diǎn)(zhngdin)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理第1頁(yè)/共65頁(yè)第二頁(yè)，共65頁(yè)。0z)(zf設(shè)設(shè)為為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)的一個(gè)孤立奇點(diǎn); ;內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù):)(zfRzz 00在在0z.的某去心鄰域的某去心鄰域0zRzz 00鄰域內(nèi)包含鄰域內(nèi)包含0z的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線的任一

2、條正向簡(jiǎn)單閉曲線ll001010)()()(azzazzazfkk+ + + + + + + += = LLLLL+ + + + + + +kkzzazza)()(001第2頁(yè)/共65頁(yè)第三頁(yè)，共65頁(yè)。00 ( (柯西定理柯西定理)i 2LLL+ + + + + + += = l0l0kkzzzazzzad)(d)(1010LL+ + + + + + + + zzzazzzazakl0kl0l0d)(d )(d001012 = =ia的系數(shù)的系數(shù)洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)101)( zza lzzfd)(積分積分0()Res f z=的留數(shù)的留數(shù)在在0)(zzfzzfiald )(21

3、1 = = 即即第3頁(yè)/共65頁(yè)第四頁(yè)，共65頁(yè)。說明說明(shumng):2. 留數(shù)定理將沿封閉曲線留數(shù)定理將沿封閉曲線(qxin)l積分轉(zhuǎn)化為求積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在被積函數(shù)在l內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).1( )d2 iRes().njjlf zzf b =內(nèi)部處處解析內(nèi)部處處解析；上及上及在在llzf)(. 11.留數(shù)定理留數(shù)定理)(zf在區(qū)域在區(qū)域 B內(nèi)除有限個(gè)孤內(nèi)除有限個(gè)孤12,nb bbL外處處解析外處處解析, l 是閉區(qū)域是閉區(qū)域B包圍諸奇包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線, , 那么那么立奇點(diǎn)立奇點(diǎn)函數(shù)函數(shù)第4頁(yè)/共65頁(yè)第五頁(yè)，共65頁(yè)。證證

4、12( )d( )d( )dlllnf z zf z zf z z+L( )dlf zz =12111( )d( )d( )d2 i2 i2 illlnf zzf zzf zz+L12( )( )( )ResResResnf bf bf b=+L兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以 且且2 i 1b2bnbBLl.由復(fù)連通由復(fù)連通(lintng)域的柯西定理域的柯西定理.),(Res1即可得即可得 = = =njbjf第5頁(yè)/共65頁(yè)第六頁(yè)，共65頁(yè)。(1) 如果如果0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn), , 0(). 0Res f z=則則0000()lim() (. )Reszzf zzzf zz=如

5、果如果 為為 的一級(jí)極點(diǎn)的一級(jí)極點(diǎn), , 那末那末0z)(zf規(guī)則規(guī)則(guz)1(guz)1(2) 如果如果0z為為的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn), , )(zf(3) 如果如果0z為為的極點(diǎn)的極點(diǎn), , 則有如下計(jì)算規(guī)則則有如下計(jì)算規(guī)則)(zf)(zf展開展開則需將則需將成洛朗級(jí)數(shù)求成洛朗級(jí)數(shù)求1 a第6頁(yè)/共65頁(yè)第七頁(yè)，共65頁(yè)。例例1 求求nzzezf= =)(在在0= =z的留數(shù)的留數(shù).解解階階極極點(diǎn)點(diǎn)，的的是是因因?yàn)闉閚zfz)(0= = Res0f所所以以.)!1(1 = =n = = nznnnzzezzn110ddlim)!1(1如果如果 為為 的的 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn), 0z)(zfm1

6、00101()lim()( )(1)!.dResdmmmzzf zzzf zmz=規(guī)則規(guī)則(guz)2(guz)2那末那末(n m)第7頁(yè)/共65頁(yè)第八頁(yè)，共65頁(yè)。例例2 求求51)(zezfz = =在在0= =z的留數(shù)的留數(shù). .解解 0= =z是是)(zf的四級(jí)極點(diǎn)的四級(jí)極點(diǎn). + + + + + + + += = 1! 6! 5! 4! 3! 21116543255Lzzzzzzzzez,! 6! 51! 41! 31! 211234L+ + + + + + += =zzzzz1(0)Res fl=所所以以.241! 41= = =在在+ z0內(nèi)將內(nèi)將展成洛朗級(jí)數(shù)展成洛朗級(jí)數(shù):)(z

7、f第8頁(yè)/共65頁(yè)第九頁(yè)，共65頁(yè)。例例3 計(jì)算積分計(jì)算積分2,(1)zlezz zdl為正向圓周為正向圓周:. 2= =z解解20(0)lim(1)Resdzzefzzz z=,)1(lim20 = =zezz2211(1)lim(1)(2 1)!(1)dResdzzefzzz z=0= =z為一級(jí)極點(diǎn)為一級(jí)極點(diǎn),1= =z為二級(jí)極點(diǎn)為二級(jí)極點(diǎn), = =zezzzddlim121)1(limzzezz = =, 0= =2(1)zlezz zd所所以以210i() =+2(0)(1)i ResResff =+2 i. =第9頁(yè)/共65頁(yè)第十頁(yè)，共65頁(yè)。規(guī)則規(guī)則(guz)3(guz)3 如果

8、如果,0)(,0)(,0)(000 = = zQzQzP設(shè)設(shè),)()()(zQzPzf= =)(zP及及)(zQ在在0z都解析都解析，那末那末0z為為的一級(jí)極點(diǎn)的一級(jí)極點(diǎn),)(zf000(.)()ResP zf zQ z= 且有且有例例4 求求6sin)()()(zzzzQzPzf = = =在在0= =z的留數(shù)的留數(shù).分析分析(fnx),0)0()0()0(= = = = = =PPP.0)0( P0= =z是是zzsin 的三級(jí)零點(diǎn)的三級(jí)零點(diǎn)由規(guī)則由規(guī)則(guz)3(guz)3得得的三級(jí)極點(diǎn)的三級(jí)極點(diǎn)，是是所以所以)(0zfz = =第10頁(yè)/共65頁(yè)第十一頁(yè)，共65頁(yè)。23260103

9、1dsinRes( )lim.()!dzzzfzzz=計(jì)算計(jì)算(j sun)(j sun)較麻煩較麻煩. .如果利用洛朗展開式求如果利用洛朗展開式求1l較方便較方便: + + = = L! 5! 31sin5366zzzzzzzz 115Res0.!fa= ,!5!353L+ + = =zz解解第11頁(yè)/共65頁(yè)第十二頁(yè)，共65頁(yè)。說明說明(shumng)1( )2 ilf zz = d記作記作1( )( )2Resdilff zz =1.1.定義定義(dngy)(dngy)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(zf在圓環(huán)域在圓環(huán)域+ + zR內(nèi)解析內(nèi)解析，l為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)

10、的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，1)(Res = =af1 = =a11( )2lf zzl di那那末末積分分的的值與 無與 無關(guān)關(guān)， ，則稱此定值則稱此定值點(diǎn)的留數(shù)點(diǎn)的留數(shù)，在在為為 )(zf第12頁(yè)/共65頁(yè)第十三頁(yè)，共65頁(yè)。.1z.2z.kz .證證1( )( )ResResnkkff z= +111( )( )22llf zzf zz=+ddii. 0= =由留數(shù)定義由留數(shù)定義(dngy)有有:(繞原點(diǎn)的并將繞原點(diǎn)的并將kz內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線)l包含在包含在 2. 2.留數(shù)和定理留數(shù)和定理如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇

11、點(diǎn)孤立奇點(diǎn), ,那末那末在所有各奇點(diǎn)在所有各奇點(diǎn)( (包括包括 點(diǎn)點(diǎn)) ) 的留數(shù)的總和必等于零的留數(shù)的總和必等于零.)(zf第13頁(yè)/共65頁(yè)第十四頁(yè)，共65頁(yè)。說明說明(shumng): 由定理得由定理得1()(),ResResnjjf zf= 1( )2()diResnjjlf zzf z =( (留數(shù)定理留數(shù)定理(dngl)(dngl)2().iRes f = 計(jì)算計(jì)算(j sun)積分積分計(jì)算無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).( )lf zzd優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): : 使計(jì)算積分進(jìn)一步得到使計(jì)算積分進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化. . ( (避免了計(jì)算諸有限點(diǎn)處的留數(shù)避免了計(jì)算諸有限點(diǎn)處的留數(shù)) )第14

12、頁(yè)/共65頁(yè)第十五頁(yè)，共65頁(yè)。說明說明(shumng): 0z如如 為為 m 級(jí)極點(diǎn)，當(dāng)級(jí)極點(diǎn)，當(dāng) m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí)較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí), 可直接展開洛朗級(jí)數(shù)求可直接展開洛朗級(jí)數(shù)求1l來計(jì)算留數(shù)來計(jì)算留數(shù) .56560106 1dsinRes( )lim()!dzzzfzzz=.! 51 = =2. 在應(yīng)用在應(yīng)用(yngyng)規(guī)則規(guī)則2時(shí)時(shí), 取得比實(shí)際取得比實(shí)際(shj)(shj)的級(jí)數(shù)高的級(jí)數(shù)高. .級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便. . :6= =m 1. 在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則. 為了計(jì)算方便一般不要將為了計(jì)算方便一般不要將

13、m但有時(shí)把但有時(shí)把m取得比實(shí)際的取得比實(shí)際的如上例取如上例取第15頁(yè)/共65頁(yè)第十六頁(yè)，共65頁(yè)。iz = 420 1 2 3, , ,kzk=z4=z 2 iRezIs f z =例5 計(jì)算(j sun) 152342412dzzIzzz=+而而 故故 。從而。從而(cng r)(cng r) 1523241624112121 31211zf zzzzzzz= + + + LL 11Rezs f za= = 2 iI =第16頁(yè)/共65頁(yè)第十七頁(yè)，共65頁(yè)。第17頁(yè)/共65頁(yè)第十八頁(yè)，共65頁(yè)。第18頁(yè)/共65頁(yè)第十九頁(yè)，共65頁(yè)。 留數(shù)定理計(jì)算留數(shù)定理計(jì)算(j sun)實(shí)變函數(shù)定積分原理：

14、實(shí)變函數(shù)定積分原理： 設(shè)法把實(shí)變函數(shù)定積分跟復(fù)變函數(shù)回路積分聯(lián)系起來。設(shè)法把實(shí)變函數(shù)定積分跟復(fù)變函數(shù)回路積分聯(lián)系起來。 留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)定積留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)定積分分(jfn)(jfn)中應(yīng)用，必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)閺?fù)變函數(shù)。中應(yīng)用，必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)閺?fù)變函數(shù)。這就要利用解析延拓的概念。這就要利用解析延拓的概念。第19頁(yè)/共65頁(yè)第二十頁(yè)，共65頁(yè)。0ab()bafx dx 如圖，對(duì)于實(shí)積分如圖，對(duì)于實(shí)積分 ，變量，變量 x 定義在閉區(qū)間定義在閉區(qū)間 a,b (線段線段l1 )，此區(qū)間應(yīng)是回路，此區(qū)間應(yīng)是回路l=l1+l2的一部分。的一部分。實(shí)積分要變

15、為回路積分，則實(shí)函數(shù)必須解析延拓到實(shí)積分要變?yōu)榛芈贩e分，則實(shí)函數(shù)必須解析延拓到復(fù)平面復(fù)平面(pngmin)上包含回路的一個(gè)區(qū)域中，而實(shí)上包含回路的一個(gè)區(qū)域中，而實(shí)積分成為回路積分的一部分：積分成為回路積分的一部分：1l2l2( )()( )bllaf z dzf x dxf z dz= =+ + 左邊左邊(zu bian)(zu bian)可以利用留數(shù)定理，右邊對(duì)可以利用留數(shù)定理，右邊對(duì)l2 l2 的積分在解析延拓允許的情況下，可以自由選擇，通的積分在解析延拓允許的情況下，可以自由選擇，通常選擇常選擇l2 l2 使積分最易完成。使積分最易完成。第20頁(yè)/共65頁(yè)第二十一頁(yè)，共65頁(yè)。 20d)

16、sin,(cos R思想思想(sxing)方法方法 :封閉封閉(fngb)(fngb)路線的積分路線的積分 . .兩個(gè)重要工作兩個(gè)重要工作: :1) 1) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2) 2) 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條 iez = =令令 ddiiez = =,ddizz= = )(21sin iieei = =,212izz = =)(21cos iiee + += =,212zz + += =當(dāng)當(dāng) 歷經(jīng)變程歷經(jīng)變程2,0時(shí)時(shí),1= =z的的正方向繞行一周正方向繞行一周. .z 沿單位圓周沿單位圓周第21頁(yè)/共65頁(yè)第二十二頁(yè)

17、，共65頁(yè)。 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 = = + += =zzfzd )(1 = = =z的有理函數(shù)的有理函數(shù) , 且在且在單位單位(dnwi)圓周上分母不圓周上分母不為零為零 , 滿足留數(shù)定滿足留數(shù)定理的條件。理的條件。包圍在單位圓周包圍在單位圓周(yunzhu)(yunzhu)內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn)。內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn)。12iRes().nkkf z=第22頁(yè)/共65頁(yè)第二十三頁(yè)，共65頁(yè)。例例1 計(jì)算積分計(jì)算積分)0(dcossin202 + + baba 解解, iez = =令令則則,21sin2ziz = = ,21cos2zz + += = ,d

18、d iiez = =izzzzbazzbazd2114)1(dcossin21222202 + + + = =+ + = = = =+ + + = =12222d)2(2)1(zzbazbzizz第23頁(yè)/共65頁(yè)第二十四頁(yè)，共65頁(yè)。222222bbaba = =).(2222baab = = = = + + = =122222222d) 1(zbbaazbbaazbizzz22()2(0)()ResResaabiffb +=+第24頁(yè)/共65頁(yè)第二十五頁(yè)，共65頁(yè)。例例2 解解 , 10 p由于由于)cos1(2)1(cos2122 + + = =+ + pppp內(nèi)不為零，內(nèi)不為零，在在2

19、0 故積分故積分(jfn)有有意義意義.)(212cos22 iiee + += =由于由于),(2122 + += =zzizzpzzpzzIzd2211221122 + + + + += = = = .)10(dcos21cos2202的值的值計(jì)算計(jì)算 + + = = pppI 第25頁(yè)/共65頁(yè)第二十六頁(yè)，共65頁(yè)。izzpzzpzzIzd2211221122 + + + + += = = = zpzpzizzzd)(1(21124 = = + += =,1, 0ppz = =被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)內(nèi)，內(nèi)，在圓周在圓周1, 0= = =zpz為一級(jí)極點(diǎn)，為一級(jí)極點(diǎn)，為二級(jí)極

20、點(diǎn)，為二級(jí)極點(diǎn)，且且pzz= = = 0.d )(1zzfz = = =上被積函數(shù)無奇點(diǎn)，上被積函數(shù)無奇點(diǎn)，所以在圓周所以在圓周1= =z第26頁(yè)/共65頁(yè)第二十七頁(yè)，共65頁(yè)。42201(0)lim2(1)()dResdizzfzzzpz zp+=223422220()4(1)(12)lim2 ()izzpzpp zzzpzpzpzpp z+=+221,2ipp+= 4221,2(1)ippp+=421( )lim ()2(1)()Resizpzf pzpzpz zp+=2222211222(1)iiippIppp+=+.1222pp = =因此因此(ync)第27頁(yè)/共65頁(yè)第二十八頁(yè)，共

21、65頁(yè)。例例3證證 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xz = =222cossinixexx=+如圖路徑如圖路徑(ljng)，oxyRRADB20,idzl OA AB BAez=+=0222240200,iiiii4ididdiR er exRReR eeerex +=2220,iiidddxzzOAABBOezezez+=.221dcosdsin0202= = = xxxx證明證明2ize設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)第28頁(yè)/共65頁(yè)第二十九頁(yè)，共65頁(yè)。時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) R24042iidreere=1.2222i=+22222240400iicossiniiddidRxRRrRexeReeer =42sin y=sin2/4y=

22、4/注意注意(zh y)：由圖可：由圖可得出得出第29頁(yè)/共65頁(yè)第三十頁(yè)，共65頁(yè)。220 xxx+(cosisin)d.221= =1222=+i.2令兩端實(shí)部與虛部分令兩端實(shí)部與虛部分(b fen)別相等，得別相等，得 02dcosxx = =02dsinxx菲涅耳菲涅耳(fresnel)(fresnel)積分積分(jfn)(jfn) 404d2 ReR).1(42ReR = =0 R22cos2sin2sin24400iiiddRRReR eeR第30頁(yè)/共65頁(yè)第三十一頁(yè)，共65頁(yè)。( )( )0f zzzf z 復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)在在實(shí)實(shí)軸軸上上無無奇奇點(diǎn)點(diǎn)，在在上上半半平平面面除除

23、有有限限個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)外外是是解解析析的的；且且當(dāng)當(dāng)在在上上半半平平面面和和在在實(shí)實(shí)軸軸上上時(shí)時(shí)，一一致致地地。11112( )( ),( )( )( )(,)nnnmmmxa xaxf xxxb xbxxxmn +=+LL該該條條件件意意味味著著：即即沒沒有有實(shí)實(shí)的的零零點(diǎn)點(diǎn)，的的次次數(shù)數(shù)至至少少高高于于兩兩次次。()()( )ddxxf xxx +=分析分析(fnx)可先討論可先討論(toln)( )d ,RRf xx最后令最后令R 即可即可 . .第31頁(yè)/共65頁(yè)第三十二頁(yè)，共65頁(yè)。lim( )( )( )lim( )RRRRRRIf x dxRf x dxf x dxf x dx=

24、=即即把把積積分分表表為為：若若時(shí)時(shí)，上上述述極極限限存存在在，則則該該極極限限稱稱為為的的主主值值，記記作作：下面分析中采用下面分析中采用“圍道積分法圍道積分法”和留數(shù)定理和留數(shù)定理(dngl)(dngl)計(jì)計(jì)算！算！ 首先把積分轉(zhuǎn)化為圍道積分，即首先把積分轉(zhuǎn)化為圍道積分，即d( )RRxf x( )dlf zz第32頁(yè)/共65頁(yè)第三十三頁(yè)，共65頁(yè)。xy0R .R.這里這里(zhl)可補(bǔ)線可補(bǔ)線RC( (以原點(diǎn)為中心以原點(diǎn)為中心(zhngxn) , R(zhngxn) , R為半徑為半徑的在上半平面的在上半平面(pngmin)(pngmin)的半圓周的半圓周) )RC與與 RR, 一起構(gòu)成

25、封閉曲線一起構(gòu)成封閉曲線l , f(z)在在l及其及其內(nèi)部?jī)?nèi)部( (除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.取取R適當(dāng)大適當(dāng)大, , 使使f(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)kz都包在這積分路線內(nèi)都包在這積分路線內(nèi). .RC第33頁(yè)/共65頁(yè)第三十四頁(yè)，共65頁(yè)。根據(jù)根據(jù)(gnj)(gnj)留數(shù)定理得留數(shù)定理得 : :( )( )2(),ddiResRkRCRf xxf zzf z+=111111( )1nnm nmma za zf zbzb zz+=+LL1111111nnm nmma za zbzb zz+LL當(dāng)當(dāng) 充分大時(shí)充分大時(shí), , 總可使總可使z1

26、11,nna za z+L,10111 + + + mmzbzbL第34頁(yè)/共65頁(yè)第三十五頁(yè)，共65頁(yè)。，因因?yàn)闉? nm111111( )1nnm nmma za zf zbzb zz+LL所所以以22z ( )( )ddCCRRf zzf zzRR 22,2R= =( )2()diReskf zzf z=所所以以:( )0;dCRRf zz +( ),df zz( )dRRf zz第35頁(yè)/共65頁(yè)第三十六頁(yè)，共65頁(yè)。例例4 計(jì)算計(jì)算(j sun)積積分分), 0, 0()()(d22222bababxaxx + + + + + 222221( )() ()f zzazb=+2221(

27、) ()iiz azazb=+解解 在上半平面有二級(jí)極點(diǎn)在上半平面有二級(jí)極點(diǎn), iza=. izb=一級(jí)極點(diǎn)一級(jí)極點(diǎn)2221,2()i b ab=()Resif a第36頁(yè)/共65頁(yè)第三十七頁(yè)，共65頁(yè)。2221() ()iiz bzazb=+2232223,4()ibaaba= 2 Re( )isiResif bf a=+.)(2 )2(23bababa+ + += =2232222223124()2 ()iiibaabab ba =+Re()sif b + + + + +)()(d22222bxaxx所以所以第37頁(yè)/共65頁(yè)第三十八頁(yè)，共65頁(yè)。xy0R .R.( )( )( )(0)i

28、iddxa xa xxF x exexa +=積分積分(jfn)存在要求存在要求: F(x)是是x的有理函數(shù)而分母的次的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少數(shù)至少(zhsho)(zhsho)比分子的次數(shù)高一次比分子的次數(shù)高一次, , 并且并且F(z)F(z)在實(shí)軸上在實(shí)軸上無孤立無孤立(gl)奇點(diǎn)奇點(diǎn).RC與與 RR, 曲線曲線l ,使使F(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)kz包在這積分路線內(nèi)包在這積分路線內(nèi) . .同前一型同前一型: : 補(bǔ)線補(bǔ)線RC一起構(gòu)成封閉一起構(gòu)成封閉都都RC第38頁(yè)/共65頁(yè)第三十九頁(yè)，共65頁(yè)。( )( )iidda za zCCRRF z ezF z ez

29、()2iidaxyCResR+對(duì)于充分大的對(duì)于充分大的 , 且且 時(shí)時(shí), , 有有z1 nm2( )F zz sin,cosRyRx= = =令令zsdd = =id(R e) =.d R= =(cosisin)zR =+0 2i(i )daxyCResR+2idaxayCReesR= d20sin = =aRe第39頁(yè)/共65頁(yè)第四十頁(yè)，共65頁(yè)。).1 (2aReaR = =,d420)2( aRe d420sin = =aRe d420sin = =aRe oy2 = =y sin= =y2 + + R0從而從而(cng r)210i( )d().a zaRCRF z ezeaR0i(

30、)d.a zCRF z ez第40頁(yè)/共65頁(yè)第四十一頁(yè)，共65頁(yè)。ii( )d( )dRa xa zRCRF x exF z ez+2iRes()a zkkiF z e=由留數(shù)定理由留數(shù)定理(dngl):(dngl):+ + R2ii( )diRes()a za xkkF x exF z e+=icosisinaxeaxax=+( )cosdi( )sindF xax xF xax x+2iiRes().a zkkF z e=第41頁(yè)/共65頁(yè)第四十二頁(yè)，共65頁(yè)。例例5 計(jì)算計(jì)算(j sun)積分積分 .0, 0,d)(sin0222 + + + +amxaxmxx解解 + + + + +

31、= =+ +xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin22202222 212iImd()mxxexxa+=+在上半平面只有在上半平面只有(zhyu)二級(jí)二級(jí)極點(diǎn)極點(diǎn)222i( ),()mxzf zeza=+i,za=又又第42頁(yè)/共65頁(yè)第四十三頁(yè)，共65頁(yè)。xeaxximxd)(222 + + + +則則2iidRes( i)d()mzz azf aezzai=+,4maeam = =122ImiRes( i)f a =.4maeam = =2 iResif a =xaxmxxd)(sin0222 + + +所以所以注意注意 以上兩型積分中被積函數(shù)中的以上兩型積分中被積函數(shù)中的R

32、(x)在實(shí)軸在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn)上無孤立奇點(diǎn).第43頁(yè)/共65頁(yè)第四十四頁(yè)，共65頁(yè)。CRa-RRCa+a-( )d( )d( )d( )d(dz=)RaRlRaCCf zaazf xxf xxf zzf zz +=+為為圓圓數(shù)數(shù) 為為徑徑圓圓繞繞過過點(diǎn)點(diǎn) ，圖圖。以以心心，以以充充分分小小的的正正半半作作弧弧奇奇構(gòu)構(gòu)成成如如所所示示回回路路0004,Re( );( )d( )d( )dlim( )d,lim( )diRe( )RaaCRCRisf zf x xf x xf x xf z zf z zs f a +=上上半半平平面面取取極極限限則則：左左邊邊2 2：待待求求積積分分右右邊邊第第3

33、 3項(xiàng)項(xiàng)：（由由約約當(dāng)當(dāng)引引理理) )右右邊邊第第 項(xiàng)項(xiàng)：右邊1、2項(xiàng)dii( )Re( )Re( )f xxsf zs f a =+上上半半平平面面2 2（四）實(shí)軸上有單極點(diǎn)（四）實(shí)軸上有單極點(diǎn)(jdin)的情況的情況( )d ,( )( )2f xx f xzf x =在在實(shí)實(shí)軸軸上上有有某某個(gè)個(gè)單單極極點(diǎn)點(diǎn)；滿滿足足類類型型 的的條條件件第44頁(yè)/共65頁(yè)第四十五頁(yè)，共65頁(yè)。0100000lim( )diRe( )( )( )(),()()()dmax()|d |max(),()()lim()lim()CCCCf zzsf af zzaaf zP zazazaP zaCP zazP z

34、azP zaza P zaaP za dzP za = =+=項(xiàng)項(xiàng)：將將鄰鄰開開為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)單單點(diǎn)點(diǎn)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)。在在的的域域展展洛洛朗朗是是極極表表示示的的解解析析部部分分，在在上上且且有有界界有有界界即即第4001111100iiddd()ididilim( )diRe( )( )diRe( )iRe(z)CCCCzaaazzaeaazazaef zzsf af xxsf zsf = = =+上上半半平平面面實(shí)實(shí)軸軸2 2而而第45頁(yè)/共65頁(yè)第四十六頁(yè)，共65頁(yè)。( )( )Re ( )Re ( )( )Re ( )Re (z).f zf x dxisf zisf af x dxi

35、sf zisfC =+=+上上半半平平面面上上半半平平面面實(shí)實(shí)軸軸實(shí)實(shí)軸軸個(gè)個(gè)單單 點(diǎn)點(diǎn), ,滿滿 類類條條2 2實(shí)實(shí)軸軸個(gè)個(gè)單單 點(diǎn)點(diǎn)則則2 2閉閉線線實(shí)實(shí)軸軸點(diǎn)點(diǎn)單單 點(diǎn)點(diǎn)階階點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)若上 有 1極足 型 2 件若上 有 有 限極注 意 ： 1不 是 合 曲2.上 的 奇 只 能 是 極 ， 不 能 是 2 或 以 上 的 極 ， 更 不 能 是 本 性 奇第46頁(yè)/共65頁(yè)第四十七頁(yè)，共65頁(yè)。.dsin21dsin0 xxxxxx + + + += =例例5 計(jì)算計(jì)算(j sun)狄利克雷積分狄利克雷積分.dsin0 xxx + +分析分析(fnx) 所所以以是是偶偶函函數(shù)數(shù) ,sin

36、xxzzsin 某封閉曲線某封閉曲線+ ,因因zzsin在實(shí)軸上有一級(jí)極點(diǎn)在實(shí)軸上有一級(jí)極點(diǎn)(jdin), 0= =z應(yīng)使封閉路應(yīng)使封閉路線不經(jīng)過奇點(diǎn)線不經(jīng)過奇點(diǎn), , 所以可取圖示路線所以可取圖示路線: :第47頁(yè)/共65頁(yè)第四十八頁(yè)，共65頁(yè)。xyoRCrCrRr R 解解 0iiiidddd,zxzxrRCRCrRreeeezxzxzxzx+=封閉封閉(fngb)曲曲線線l: RrCrRCrR,+ + + + +由柯西由柯西- -古薩定理古薩定理(dngl)(dngl)得得: :iiddxtrrRReextxt=id ,xRrexx= ，令令tx = =2iisin,ixxeex=由由第

37、48頁(yè)/共65頁(yè)第四十九頁(yè)，共65頁(yè)。20iisiniddd,zzRrCCRrxeexzzxzz+=知知iiddzzCCRReezszzseRRCyd1 = = = =0sin deR d220sin = =Re d220)2( Re),1(ReR = =+ + R于于是是0idzCRezz充分小時(shí)，充分小時(shí)，當(dāng)當(dāng)r第49頁(yè)/共65頁(yè)第五十頁(yè)，共65頁(yè)。2123ii( )i!nnzzzg zn= +LL當(dāng)當(dāng) 充分小時(shí)充分小時(shí), 總有總有 z, 2)( zg0iididCrzrezre =, = = i1idd( )d ,rrrzCCCezzg zzzz=+112iii!znnezzzzn=+

38、+LL),(1zgz+ += =ld第50頁(yè)/共65頁(yè)第五十一頁(yè)，共65頁(yè)。,2d2 = = rCrs 0r即即0idizCrezz=+20iisiniddd,zzRrCCRrxeexzzxzz+=02sinidi,xxx+=, 0d)( rCzzgi,=szgzzgrrCCd)(d)( 因?yàn)橐驗(yàn)?2dsin0 + += =xxx所以所以第51頁(yè)/共65頁(yè)第五十二頁(yè)，共65頁(yè)。第52頁(yè)/共65頁(yè)第五十三頁(yè)，共65頁(yè)。第53頁(yè)/共65頁(yè)第五十四頁(yè)，共65頁(yè)。221412bazlaedzaIea=第54頁(yè)/共65頁(yè)第五十五頁(yè)，共65頁(yè)。第55頁(yè)/共65頁(yè)第五十六頁(yè)，共65頁(yè)。如果如果 為為 的的

39、級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn), 0z)(zfm100101()lim()( )(1)!.dResdmmmzzf zzzf zmz=附錄附錄(fl)1(fl)1：規(guī)則規(guī)則2 2證證那末那末(n m)+ + + + + = = 2020)()()(zzazzazfmmLL+ + + + + + + )()(010101zzaazza101010)()()()( + + + + + + += = mmmmzzazzaazfzzLL+ + + + + + +10100)()(mmzzazza(3) 如果如果0z為為的極點(diǎn)的極點(diǎn), , 則有則有)(zf第56頁(yè)/共65頁(yè)第五十七頁(yè)，共65頁(yè)。+(含有含有 正冪的項(xiàng)正冪的項(xiàng))0zz ).()(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz = = )()(dd011zfzzzmmm 兩邊求兩邊求1 m階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 得得1)!1( = =am,)!1()()(ddlim10110 = = amzfzzzmmmzz1)(Res = = az0f所以所以第57頁(yè)/共65頁(yè)第五十八頁(yè)，共65頁(yè)。規(guī)則規(guī)則(guz)3(guz)3 如果如果,0)(,0)(,0)(000 = = zQzQzP設(shè)設(shè),)()()(zQzPzf= =)(zP及及)(zQ在在0z都解析都解析，證證0z所以所以的一級(jí)零點(diǎn)的一級(jí)零點(diǎn),為為)(zQ)(1zQ0z的一級(jí)極點(diǎn)的一級(jí)極點(diǎn)