第二章 LTI系統(tǒng)的時域分析

1、2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法經(jīng)典時域分析法2.2 LTI離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的經(jīng)典時域分析法經(jīng)典時域分析法2.3 LTI連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)2.4 LTI離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)2.5 卷積卷積2.6 卷和卷和S一、一、 微分方程的經(jīng)典解微分方程的經(jīng)典解如果如果單輸入一單輸出單輸入一單輸出系統(tǒng)的系統(tǒng)的LTI連續(xù)系統(tǒng)激勵為連續(xù)系統(tǒng)激勵為f(t)，響應(yīng)為，響應(yīng)為y(t)，則系統(tǒng)的數(shù)，則系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是學(xué)模型是n 階線性常系數(shù)微分方程。階線性常系數(shù)微分方程。nn(i )( j )iji 0j 0a y (t)b f(t) 該方程的該方程的

2、全解（系統(tǒng)的輸出全解（系統(tǒng)的輸出）由兩部分組成：）由兩部分組成：l 齊次解齊次解yh(t)l 非齊次特解非齊次特解yp(t)hpy(t )y (t )y (t )ai 和和bj 為常數(shù)，且為常數(shù)，且an=11、齊次解、齊次解yh(t)( n )( n 1 )n 110y(t )ay(t )a y (t )a y(t )0 的解的解nn 110aa0 齊次微分方程的特征根：特征方程的齊次微分方程的特征根：特征方程的 n 個根個根i (i=1，2，n) ； 齊次解齊次解yh(t)的函數(shù)形式由特征根確定；的函數(shù)形式由特征根確定；特征方程特征方程解：解：特征方程為特征方程為2560 特征根為特征根為1

3、22,3 求微分方程的齊次解，已知求微分方程的齊次解，已知: :( )5( )6( )( )ytyty tft(0)1,(0)1hhyy齊次解一般形式為齊次解一般形式為:12tt2t3th1212y (t )C eC eC eC e 代入初始條件得代入初始條件得:2t3th2y (t )4e3C eC1=4C2= -3得到齊次解得到齊次解:2、特解、特解yp(t)l 是是t0t0微分方程的一個解；微分方程的一個解；l 特解的函數(shù)形式特解的函數(shù)形式與與激勵函數(shù)（激勵函數(shù)（f(tf(t) )）的形式）的形式有關(guān)，有關(guān)，; ;l 選定特解后，將其代入到微分方程，求出各待定系數(shù)選定特解后，將其代入到微

4、分方程，求出各待定系數(shù)P Pi i3、完全解、完全解 微分方程的完全解是齊次解與特解之和。若微分方程的特征根微分方程的完全解是齊次解與特解之和。若微分方程的特征根均為單實(shí)根，則其全解為：均為單實(shí)根，則其全解為：inthpipi 1y(t )y (t )y (t )C ey (t ) 解解：（：（1 1）求齊次解）求齊次解齊次解一般形式：齊次解一般形式：12tt2t3th1212y (t )C eC eC eC e 求微分方程求微分方程 的全解的全解( )5( )6( )( )ytyty tft(0 )1,(0 )2,( )20tyyf tet 已知：已知：特征方程為：特征方程為：2560 12

5、2 ,3 (2) (2) 求特解求特解( )2( )ttpf teytPe代入原微分方程代入原微分方程562ttttPePePee1( )tpPyte(3) 求全解求全解12C3,C2 2t3tty(t )3e2ee 齊次解齊次解特解特解自由響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)inthpipi 12t3tt12y(t )y (t )y (t )C ey (t )C eC ee inthpipi 12t3tt12y(t )y (t )y (t )Cey (t )C eC ee l 齊次解的函數(shù)齊次解的函數(shù)形式僅依賴于系統(tǒng)本身的形式僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，與激勵特性，與激勵f(tf(t) )的函數(shù)形式無關(guān)

6、，稱為的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)自由響應(yīng)或固有響應(yīng)。但。但齊次解的齊次解的系數(shù)系數(shù)C Ci i的值是與激勵的值是與激勵f(tf(t) )有關(guān)。有關(guān)。l 特解特解的函數(shù)形式由激勵信號的函數(shù)形式由激勵信號f(t)f(t)確定，確定，稱為稱為強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)。 二、初始值的確定二、初始值的確定l 若輸入若輸入f(t) 是在是在t=0 時刻接入，怎么確定求時刻接入，怎么確定求待定系數(shù)待定系數(shù)所需的一組初始條件？所需的一組初始條件？l 初始條件初始條件：指：指 t=0+ 時刻的值，即時刻的值，即 y(j)(0+) (j = 0，1，n1)。l t =0 時，激勵尚未接入，時，激勵

7、尚未接入，t =0 時的值時的值y(j)( 0) 反映了系統(tǒng)過去的歷史狀況；反映了系統(tǒng)過去的歷史狀況；l t = 0+時，激勵已接入，因而時，激勵已接入，因而 y(j)(0+) 則已包含輸入信號的作用。則已包含輸入信號的作用。要求要求l 如何由已知的初始狀態(tài)如何由已知的初始狀態(tài) y(j) ( 0)，設(shè)法求得初始條件，設(shè)法求得初始條件y(j) (0+)。問題問題解決方法解決方法初始值確定的兩種情況：初始值確定的兩種情況：l 若給定的是具體電路若給定的是具體電路，根據(jù)電路分析中的換路定律來確定，根據(jù)電路分析中的換路定律來確定t=0+初始條件；初始條件；l 若給定的是微分方程和初始條件若給定的是微分

8、方程和初始條件，根據(jù)激勵信號的情況，利用微分方程兩端，根據(jù)激勵信號的情況，利用微分方程兩端各各奇異信號相平衡奇異信號相平衡的方法來判斷；的方法來判斷；已知：已知：)()(, 1)0(, 2)0(ttfyy已知系統(tǒng)的微分方程為：已知系統(tǒng)的微分方程為：)()( 2)()( 4)( tftftytyty求求)0(y)0(y和和已知：已知：)()(, 2)0(, 0)0(ttfyy已知系統(tǒng)的微分方程為：已知系統(tǒng)的微分方程為：)(6)( 2)(2)( 3)( tftftytyty求求)0(y)0(y和和三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)l LTI系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng) y(t)

9、：可分解為：可分解為零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)與與零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)之和。之和。l 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(t) ：激勵為零時，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)；激勵為零時，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)；l 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)：系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時，僅由輸入信號系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時，僅由輸入信號 f(t) 所引起的響應(yīng)；所引起的響應(yīng)；( )( )( )xfy ty tytl 微分方程式是齊次方程，微分方程式是齊次方程，y yx x(t(t) )與齊次解與齊次解y yh h(t(t) )形式相同形式相同, ,是是齊次解的一部分齊次解的一部分；l 求解的待定系數(shù)直接由給定的求解的待定系數(shù)直接

10、由給定的t=0t=0- -初始狀態(tài)初始狀態(tài)y y(j)(j)(0(0-) )確定；確定；l 零輸入響應(yīng)是齊次微分方程滿足初始狀態(tài)（或零輸入響應(yīng)初值）的解零輸入響應(yīng)是齊次微分方程滿足初始狀態(tài)（或零輸入響應(yīng)初值）的解( n )( n 1 )n 110y(t )ay(t )a y (t )a y(t )0 1、零輸入響應(yīng)、零輸入響應(yīng)yx(t) 右端為零右端為零已知：已知：1)0(, 2)0(yy已知系統(tǒng)的微分方程為：已知系統(tǒng)的微分方程為：0)(2)( 3)( tytyty求零輸入響應(yīng)求零輸入響應(yīng)激勵信號：激勵信號：)()(2tetft已知微分方程為：已知微分方程為：)(2)(3)(5)(3)( 4)

11、( tftftftytyty求求: :系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y yf f(t(t) )沖激平衡法沖激平衡法l 自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)都是齊次解的形式，但它們的自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)都是齊次解的形式，但它們的系數(shù)系數(shù)并不相同；并不相同；l Cxi僅由初始狀態(tài)所決定；僅由初始狀態(tài)所決定；l Cfi僅由輸入激勵僅由輸入激勵f(t)所決定，所決定，l Ci是由是由起始狀態(tài)和激勵共同起始狀態(tài)和激勵共同決定。決定。其中，其中，)()()()()()()(111tyeCeCtyeCtytytytytypnitfinitxipnitifxphiiinitfinitxinitiiiieCeCeC111差分

12、方程的經(jīng)典解分為差分方程的經(jīng)典解分為齊次解齊次解yh(k)和和特解特解yp(k)。( )( )( )hpy kykyk00()()(1,)nmijnija y kib f kjamn n階常系數(shù)線性差分方程階常系數(shù)線性差分方程110()(1)(1)( )0ny knay kna y ka y k n階前向齊次差分方程階前向齊次差分方程 特解特解與激勵與激勵 f(k) 的形式相關(guān)，常見激勵的幾種形式和相應(yīng)的響應(yīng)形式如下表：的形式相關(guān)，常見激勵的幾種形式和相應(yīng)的響應(yīng)形式如下表：激勵激勵f(k)f(k)特解特解y yp p(k(k) )km Pmkm + Pm-1km-1 + P1k + P0 所有

13、特征根不等于所有特征根不等于1 krPmkm+ Pm-1km-1+ P1k1+ P0 r重等于重等于1的特征根的特征根ak P0ak a不等于特征根不等于特征根 P1kak+P0ak a等于特征單根等于特征單根 Prkrak+ Pr-1kr-1ak-1+ P1kak+ P0ak a是是r重特征根重特征根Acos(k)或或 Asin(k) P1cos(k)+P2sin(k) 所有的特征根均不等于所有的特征根均不等于e ej j 或或Pcos(k) 其中，其中， Pej=P2+jP2 kP1cos(k)+P2sin(k) 當(dāng)特征根均等于當(dāng)特征根均等于e ej j2、差分方程的特解、差分方程的特解

14、LTI差分方程的完全解：差分方程的完全解：3、差分方程的完全解、差分方程的完全解( )( )( )hpy ky kyk激勵信號：激勵信號：)(2)(kkfk已知某離散時間系統(tǒng)的差分方程為：已知某離散時間系統(tǒng)的差分方程為：)() 2(2) 1(3)(kfkykyky，y(0)=0，y(1)=2，求，求:系統(tǒng)的完全解。系統(tǒng)的完全解。LTI離散系統(tǒng)的全響應(yīng)離散系統(tǒng)的全響應(yīng)y(k)分為：分為： 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(k) 和和零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yf (k) 。( )( )( )xfy ky kykl 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(k) ：當(dāng)激勵為零時完全由初始狀態(tài)所引起的系統(tǒng)響應(yīng)；當(dāng)激勵為零時完全由

15、初始狀態(tài)所引起的系統(tǒng)響應(yīng)；l 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yf (k) ：當(dāng)初始狀態(tài)為零時完全由激勵當(dāng)初始狀態(tài)為零時完全由激勵 f(t) 所引起的系統(tǒng)響應(yīng)。所引起的系統(tǒng)響應(yīng)。1、零輸入響應(yīng)、零輸入響應(yīng)yx(k) 用齊次解的經(jīng)典求解方法求零輸入響應(yīng)用齊次解的經(jīng)典求解方法求零輸入響應(yīng)10)(0nnixiaikya是齊次方程，是齊次方程，yx(k)與與 yh(k)具有相同的模式具有相同的模式描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：(2) 5 (1) 6 ( )0y ky ky k初始條件為初始條件為 yx(0) = 2，yx(1) = 3, 試求其零輸入響應(yīng)。試求其零輸入響應(yīng)。2、零狀態(tài)響應(yīng)

16、、零狀態(tài)響應(yīng)yf(k) 以下通過舉例來說明經(jīng)典法求解零狀態(tài)響應(yīng)的方法：以下通過舉例來說明經(jīng)典法求解零狀態(tài)響應(yīng)的方法：描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：已知：已知： , 試求其零狀態(tài)響應(yīng)。試求其零狀態(tài)響應(yīng)。)(2)(kkfk)()(1 . 0) 1(7 . 0) 2(kfkykykyl 自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)都是齊次解的形式，但它們的自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)都是齊次解的形式，但它們的系數(shù)系數(shù)并不相同；并不相同；l Cxi僅由初始狀態(tài)所決定；僅由初始狀態(tài)所決定；l Cfi僅由輸入激勵僅由輸入激勵f(t)所決定，所決定，l Ci是由是由起始狀態(tài)和激勵共同起始狀態(tài)和激勵共同決定。決定。

17、111nnnkkkiixiifiiiiiCCC其中，其中，)()()()()()()(111kyCCkyCkykykykykypnikifinikixipnikiifxph某離散系統(tǒng)的差分方程為：某離散系統(tǒng)的差分方程為：已知：已知： , 初始狀態(tài)初始狀態(tài)y(-1)=0， y(-2)=1/2，試求系統(tǒng)的全響應(yīng)。試求系統(tǒng)的全響應(yīng)。)(2)(kkfk)() 2(2) 1(3)(kfkykyky本節(jié)解決兩個問題：本節(jié)解決兩個問題：l 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的概念；單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的概念；l h(t)的求取方法的求取方法零狀態(tài)零狀態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)f(t )(t ) fy (t)h(t) 注意：注

18、意：為方便起見，對單一零狀態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行討論時常常僅用為方便起見，對單一零狀態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行討論時常常僅用y(t)代表代表yf(t)。00y (t )a y(t )b f (t ) 00f (t )(t )h (t )a h(t )b(t ) 當(dāng)當(dāng)時時此方法適用于此方法適用于簡單電路簡單電路，前提是階躍響應(yīng)，前提是階躍響應(yīng)g(t)簡單易求。簡單易求。（1） 利用階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系求解利用階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系求解某二階某二階LTI系統(tǒng)的微分方程為：系統(tǒng)的微分方程為：試求其單位沖激響應(yīng)試求其單位沖激響應(yīng)h(t) 。)()(6)(5)( tftytyty注意兩點(diǎn)：注意兩點(diǎn)：1、初始值的確定：、初始值

19、的確定：n階微分方程，右端只含有激勵階微分方程，右端只含有激勵f(t)()()()()(01) 1(1)(tftyatyatyatynnn )()()()()(01) 1(1)(tthathathathnnn t=0+的初始值為：的初始值為：2,.,2 , 1 , 00)0(1)0()(1njhhjn1)()(0)(0)(nmjjjniiiatfbtya2、微分方程的右端由激勵微分方程的右端由激勵f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合時：及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合時：)(.)()()(00)1(01)(0thbthbthbthmmmm設(shè)微分方程右端僅有設(shè)微分方程右端僅有f(t)時的沖激響應(yīng)為時的沖激響應(yīng)為

20、h0(t)本節(jié)解決兩個問題：本節(jié)解決兩個問題：l 單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的概念；和單位階躍響應(yīng)的概念；l h(k)的求取方法的求取方法l 單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)h(k)：離散系統(tǒng)的激勵信號為離散系統(tǒng)的激勵信號為 (k)(k)時的零狀態(tài)響應(yīng)；時的零狀態(tài)響應(yīng)；l 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)g(k)：離散系統(tǒng)的激勵信號為離散系統(tǒng)的激勵信號為(k)(k)時的零狀態(tài)響應(yīng)；時的零狀態(tài)響應(yīng)；零狀態(tài)零狀態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)( )f k( )k=( )fyk( )h k=(k)g(k)() 1()() 1(kcfkbfkayky)() 1()() 1(kckbkagkg)() 1()() 1(kckbka

21、hkh1、利用單位階躍響應(yīng)與單位序列響應(yīng)的關(guān)系求、利用單位階躍響應(yīng)與單位序列響應(yīng)的關(guān)系求h(t)(k)g(k)( )k( )h k=(k)=g(k)2、利用差分方程的經(jīng)典求解法求解、利用差分方程的經(jīng)典求解法求解(2) 5 (1)6 ( )(2) 3 ( )y ky ky kf kf k求下列差分方程的單位序列響應(yīng)求下列差分方程的單位序列響應(yīng)110( )(32) (1)kkorh kk1111(32) (1)3(32) (1)kkkkkk00( )(2)3( )h khkhk11( )6(3)2(1)kkkk注意兩點(diǎn)：注意兩點(diǎn)：1、初始值的確定：、初始值的確定：n階差分方程階差分方程)()()

22、1() 1()(011kfkyakyankyankyn )()() 1() 1()(011kkhakhankhankhn 初始條件為：初始條件為：0) 1(.) 1 () 0(1)(nhhhnh1)()(00nmjjniiajkfbikya2、差分方程的右端由序列差分方程的右端由序列f(k)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合時：及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合時：)(.) 1()()(00010khbmkhbmkhbkhmm設(shè)微分方程右端僅有設(shè)微分方程右端僅有f(k)時的單位序列響應(yīng)為時的單位序列響應(yīng)為h0(k)2.5 2.5 卷積積分卷積積分本節(jié)解決幾個問題：本節(jié)解決幾個問題： l LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示

23、為卷積積分連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷積積分l 卷積的求取方法卷積的求取方法l 卷積的存在性卷積的存在性l 卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)l 利用卷積求利用卷積求yf(t) 一、一、LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷積積分連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷積積分1 1、卷積積分的定義、卷積積分的定義（1）任意信號）任意信號 f(t) 表示為沖激函數(shù)的積分表示為沖激函數(shù)的積分)(*)()()()(ttfdtftff(t)是其自身與是其自身與(t)(t)的卷積積分的卷積積分LTI零狀零狀態(tài)系統(tǒng)態(tài)系統(tǒng)f (t )fy (t )激勵激勵 f(t) 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) yf(t) fffff(t )(t )y (t

24、)h(t )f(t )A (t)y (t )Ah(t)f(t )f( ) (t)y (t )f( )h(t)f(t )f( ) (t)dy (t )f( )h(t)d fffff(t)(t)y (t) h(t)f(t)A (t)y (t)Ah(t)f(t)f( ) (t)y (t)f( )h(t)f(t)f( ) (t)dy (t)f( )h(t)d 時不變性時不變性 齊次性齊次性 積分性積分性 fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) 結(jié)論：結(jié)論：零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) yf(t)為激勵信號與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積積分為激勵信號與系統(tǒng)單

25、位沖激響應(yīng)的卷積積分 (2) 關(guān)于關(guān)于h(t)l 是系統(tǒng)時域特性的一種描述；是系統(tǒng)時域特性的一種描述； l 可以用來計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)可以用來計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)；fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) LTI為因果系統(tǒng)為因果系統(tǒng)f(t)為因果信號為因果信號二、卷積的基本計(jì)算方法二、卷積的基本計(jì)算方法1、圖解法、圖解法兩個函數(shù)兩個函數(shù)x1(t)和和x2(t)的波形如下圖所示：的波形如下圖所示：t01x (t )t02x (t ) 11 01x ( ) 02x (t) 0y(t )111

26、tt 1212y(t )x (t ) x (t )x ( )x (t)d 1212y(t )x (t )x (t )x ()x (t)d y(t)是是x1()和和x2(t)波形相乘后組成的曲線與橫軸波形相乘后組成的曲線與橫軸之間構(gòu)成的圖形的面積。之間構(gòu)成的圖形的面積?？偨Y(jié)卷積的圖解法的步驟總結(jié)卷積的圖解法的步驟（1）變量替換）變量替換：將自變量由：將自變量由 t變成變成 （2）反轉(zhuǎn)：）反轉(zhuǎn)：將將h()折疊成折疊成h()。注意注意：可將兩函數(shù)的任意一個折疊。：可將兩函數(shù)的任意一個折疊。（3）移位：）移位：將將h()移位成移位成h(t), 由于由于t是變化的，這種移位是動態(tài)的，使兩是變化的，這種移

27、位是動態(tài)的，使兩個函數(shù)從不重疊到重疊甚至脫離重疊；個函數(shù)從不重疊到重疊甚至脫離重疊；（4）相乘：）相乘： f()與與h(t)相乘；相乘；（5）積分：）積分：重疊區(qū)域進(jìn)行積分；重疊區(qū)域的面積即為重疊區(qū)域進(jìn)行積分；重疊區(qū)域的面積即為t時刻的卷積值；時刻的卷積值；注意注意：圖解法是借助曲線圖求解卷積積分，而不是繪圖。此方法圖解法是借助曲線圖求解卷積積分，而不是繪圖。此方法可清晰地判定積分的上下限?？汕逦嘏卸ǚe分的上下限。t0f(t)11t0h(t)0.51（2）反轉(zhuǎn)：）反轉(zhuǎn)：h()為為h() 0h() 0.51 兩函數(shù)兩函數(shù)f(t)和和h(t)波形如圖所示，試求卷積波形如圖所示，試求卷積fy (t

28、)f(t) h(t) 解解： （1 1）變量替換變量替換 011 0h( ) 0.51（4）分段求卷積：）分段求卷積： t0f ()hy(t )(t0)0 當(dāng)當(dāng)時時tt00111y(1tft )dt2( )h(t)222 當(dāng)當(dāng)0 0時時（3）將）將h()移位成移位成h(t)tt00111y(1tft )dt2()h(t)222 當(dāng)當(dāng)0 0時時tf ()h( ty (0t )0) 當(dāng)當(dāng) 2 2時時11 t11 t1y( t )d211( 2t )21t2f ()h( t)22 當(dāng)當(dāng)1 1時時tf( )h(ty(0t )0) 當(dāng)當(dāng)2 2時時11 t11 t1y(t)d211(2 t)21t2f(

29、)h(t)22 當(dāng)當(dāng)1 1時時11t11t1y( t )d211( 2t )21t2f ()h( t)22 當(dāng)當(dāng)1 1時時 00.51t t 00.51t t11t 0f( )hy(t)(t0) 0 當(dāng)當(dāng)時時t 0f( )hy(t)(t0) 0 當(dāng)當(dāng)時時（5）寫出）寫出y(t)表達(dá)式表達(dá)式 t0tt2t01t2y(t )1(2t )20 0 01 12 2t21012y(t )兩函數(shù)兩函數(shù)f(t)和和h(t)波形如圖所示，試求卷積波形如圖所示，試求卷積fy (t)f(t) h(t) t0f(t)11t0h(t)1122、函數(shù)式計(jì)算法（卷積積分上下限的確定）、函數(shù)式計(jì)算法（卷積積分上下限的確定）

30、 對于兩個卷積信號有函數(shù)表達(dá)式，且不便于作出信號的圖形，則可以采用對于兩個卷積信號有函數(shù)表達(dá)式，且不便于作出信號的圖形，則可以采用該方法，但關(guān)鍵的問題是如何確定卷積積分該方法，但關(guān)鍵的問題是如何確定卷積積分上下限。上下限。兩函數(shù)兩函數(shù) f(t)=(t) 和和 h(t)=(t) ，試求其卷積。，試求其卷積。兩函數(shù)兩函數(shù) f(t)=e-2t(t) 和和 h(t)=e-t(t) ，試求其卷積。，試求其卷積。兩函數(shù)為：兩函數(shù)為：)()(),2/()(sin)(tethttttft試求其卷積。試求其卷積。三、卷積積分的存在性三、卷積積分的存在性y(t )f ()h(t)d 1、假定、假定f(t)與與h(

31、t)不包含沖激不包含沖激。在任何有限時刻。在任何有限時刻t，若，若 則兩函數(shù)的卷積則兩函數(shù)的卷積存在。據(jù)此，可推出如下判定準(zhǔn)則：存在。據(jù)此，可推出如下判定準(zhǔn)則： ( )y t ( )tet()tet, （1）設(shè)兩信號分別是設(shè)兩信號分別是因果（或有始）因果（或有始）指數(shù)信號指數(shù)信號 和反因果（或有終）指和反因果（或有終）指數(shù)信號數(shù)信號 ，其中，其中， 為任意實(shí)數(shù)，則若為任意實(shí)數(shù)，則若 ，兩信號的卷積不存在；，兩信號的卷積不存在；若若 ，兩信號的卷積存在。，兩信號的卷積存在。 解解：（：（1 1）在）在( )()ttetet中，中，1 ，故卷積不存在；，故卷積不存在；2( )()ttetet求求

32、和和 。（2） 在在2( )()ttetet中，中，1,2 ，故卷積存在。故卷積存在。將兩無時限信號分解為：將兩無時限信號分解為：( )f t( )h t2、兩個、兩個有始信號有始信號的卷積和兩個有終信號的卷積一定存在；若的卷積和兩個有終信號的卷積一定存在；若 和和 至少有至少有一個一個是時限信號，則兩者的卷積一定存在。是時限信號，則兩者的卷積一定存在。3、若、若 和和 都是無時限都是無時限信號，可將它們分解成有始信號與有終信號之和。信號，可將它們分解成有始信號與有終信號之和。( )f t( )h t( )h t( )f t4、若、若 和和 含有沖激及其導(dǎo)數(shù)，可將它們先分離出來，然后單獨(dú)處理。

33、含有沖激及其導(dǎo)數(shù)，可將它們先分離出來，然后單獨(dú)處理。( )( ) ( )( ) ()f tf ttf tt12122ttee判斷判斷 是否存在。是否存在。四、卷積的性質(zhì)四、卷積的性質(zhì)1、卷積的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、卷積的代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(1) 交換律交換律f(t) h(t)h(t) f(t) (2) 分配律分配律1212f(t )h (t )h (t )f(t ) h (t )f(t ) h (t ) h1(t)f ( t )y( t )h2(t) h1(t)+ h1(t)f ( t )y( t )h1(t)y(t )h2(t)f (t )h1(t)*h2(t)y(t )f (t )(3) 結(jié)合律結(jié)合律1

34、21212f(t) h(t) h (t)f(t)h(t) h (t)f(t) h(t)h (t) 121212f(t) h(t) h (t)f(t)h(t) h (t)f(t) h(t)h (t) 系統(tǒng)的系統(tǒng)的并聯(lián)并聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)的級聯(lián)級聯(lián)2、卷積的時移性、卷積的時移性)(*)()(thtfty)(*)()(*)()(000tthtfthttftty)(*)()(00tthttfty3、卷積的微積分運(yùn)算性質(zhì)、卷積的微積分運(yùn)算性質(zhì)(1) (1) 卷積的微分性質(zhì)卷積的微分性質(zhì)y (t)f (t) h(t)f(ty(t)f(t) h(t) h(t) 設(shè)設(shè)則則 a a. .y(t)f (t) h(t)f

35、(ty(t)f(t) h(t) h(t) 設(shè)設(shè)則則 a a. .y (t )f (t ) h(t )f (ty(t )f (t ) h(t ) h (t ) 設(shè)設(shè)則則a.a.t( 1)t( 1()01)( 1)( 1)y(t )y( )dy(ty(t )f(t )y(h(t )f(t ) h(t)d) 設(shè)設(shè)對對有有始始信信號號則則(2)(2)卷積的積分性質(zhì)卷積的積分性質(zhì)t( 1 )t( 1()01 )( 1 )( 1 )y(t )y()dy(ty(t )f(t )y(h(t )f (t ) h(t)d) 設(shè)設(shè)對對有有始始信信號號則則t( 1)t( 1()01)( 1)( 1)y(t )y( )

36、dy(ty(t )f(t )y(h(t )f(t ) h(t)d) 設(shè)設(shè)對對有有始始信信號號則則有始信號有始信號t( 1)t( 1()01)( 1)( 1)y(t)y( )dy(ty(t)f(t)y(h(t)f(t) h(t)d) 設(shè)設(shè)對對有有始始信信號號則則對兩函數(shù)的條件對兩函數(shù)的條件：連續(xù)、只有有：連續(xù)、只有有限的間斷點(diǎn)、必須絕對可積限的間斷點(diǎn)、必須絕對可積（3 3）卷積的微積分性質(zhì)）卷積的微積分性質(zhì)微積分性質(zhì)：微積分性質(zhì)：( 1)1)y(t )f(t ) h(t )f (t ) h(t )f (t ) g(g(t )h(tt )f ( )g(t)d) 杜哈密爾積分：杜哈密爾積分：( 1)

37、1)y(t)f(t) h(t)f (t) h(t)f (t) g(g(t) h(tt)f ( )g(t)d) 零狀態(tài)響應(yīng)也可由激勵的一次導(dǎo)零狀態(tài)響應(yīng)也可由激勵的一次導(dǎo)數(shù)數(shù)f (t)與單位階躍響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)g(t)的卷的卷積求得。積求得。( 1)( 1)y(t)f (t) h(ty(t)f(t) h(t)f(t) h(t) 設(shè)設(shè)則則( 1)( 1)y(t)f (t) h(ty(t)f(t) h(t)f(t) h(t) 設(shè)設(shè)則則( 1)( 1)y(t )f (t ) h(ty(t )f(t ) h(t)f(t ) h(t) 設(shè)設(shè)則則( 1 )1 )y(t )f (t ) h(t )f (t )

38、 h(t )f (t ) g(g(t )h(tt )f ()g(t)d) ( 1 )1 )y(t )f (t ) h(t )f (t ) h(t )f (t ) g(g(t )h(tt )f ()g(t)d) ( 1)1)y(t)f(t) h(t)f (t) h(t)f (t) g(g(t)h(tt)f ( )g(t)d) 推論：推論：( ij )( i )( j )y(t )fy(t )f (t(t ) h(t )h(t ) 設(shè)設(shè)則則(ij )(i )( j )y(t )fy(t )f(t(t ) h(t )h(t ) 設(shè)設(shè)則則i 和和 j 為為l 為正是求導(dǎo)；為正是求導(dǎo)；l為負(fù)是求積分為負(fù)

39、是求積分h(t)和和f(t)皆為有始信號皆為有始信號 t0f(t )11t0h(t)10.5（1）求：）求：4、含有沖激函數(shù)、含有沖激函數(shù)(t)的卷積的卷積(1)(1)f(t)(t)f(t) t0f(t)t0f(t)t0(t) (1) (2)(2)00f(t)(t t )f(t t ) t0f(t )t0t00(tt ) (1) 0t0t0f(tt ) 11(3)122112f(tt )(tt )f(tt )(tt )f(ttt ) 1122211212f (tt ) f (tt )f (tt ) f (tt )y(ttt ) 則則12y(t)f (t) f (t) 若若已已知知（4）（5）f

40、 (t )(t )f (t ) 11f (t )(t )f(t ) 推論：推論：)()(*)()()(tfttfii)()(*)(0)(0)(ttftttfiii 為為l 正表示求導(dǎo)次數(shù)；正表示求導(dǎo)次數(shù)；l 負(fù)表示積分次數(shù)；負(fù)表示積分次數(shù)；（2）系統(tǒng)如圖）系統(tǒng)如圖1所示，激勵所示，激勵f(t)為圖為圖2所示信號時求響應(yīng)所示信號時求響應(yīng)y(t)。延遲延遲Tf (t )y(t ) 圖圖1圖圖2t0f(t )T(1)T -（3 3）已知：）已知：)()(),()(),1()()(thtftethttttft求2.6 卷和卷和本節(jié)解決幾個問題：本節(jié)解決幾個問題： l LTI離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷

41、和離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷和l 卷和的求取方法卷和的求取方法l 卷和的性質(zhì)卷和的性質(zhì)l 利用卷和求利用卷和求yf(k) 一、一、LTI離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷和離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)表示為卷和任意離散信號任意離散信號 f(k) 可以表示為單位序列和的形式可以表示為單位序列和的形式:即：即：若若 f(k) 是是因果信號因果信號( )( ) ()nf kf nkn0( )( ) ()nf kf nkn( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)f kfkfkfkfkfk ( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)f k

42、fkfkfkfkfk( )( ) ()nf kf nknLTI離散系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)離散系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)( )( )kh k( ) ()( ) ()f nknf n h kn( )( ) ()( )( ) ()fnnf kf nknykf n h kn零狀態(tài)零狀態(tài)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)( )f k( )fykLTI離散系統(tǒng)離散系統(tǒng):( )( ) ()fnykf n h kn( )( )( )fy kf kh k二、卷和的求法二、卷和的求法( )( ) ()fny kf n h knl 自變量由自變量由k變成變成nl 將將h(n)反折為反折為h(-n);l 將將h(-n)平移為平移為h

43、(k-n);l h(k-n) 與與f(n) 相乘相乘;l 求各乘積之和求各乘積之和1、圖解法、圖解法求：求：011 223( )h kk011 2 323( )x kk44解：解：（1）改換）改換h(k)的自變量后反折迭得的自變量后反折迭得h(-n)01-1-223()hnn（2）平移得）平移得 h(k-n)01k+223()h knnk1k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn44（3）固定

44、）固定x(n), 移動移動 h(k-n) 后求和后求和k0時，兩信號不重合時，兩信號不重合k=0 時時k=1 時時k=2 時時k=3 時時1k+223k011 2 323( )x nn44k=4 時，時，k=5 時，時，011 2 323( )x nn441k+223kk=6 時，時，011 2 323( )x nn441k+223kk=7 時，時，011 2 323( )x nn441k+223k2、數(shù)值法、數(shù)值法( )( )( )fykf kh k求：求：解：解：固定固定f(k) ,折迭折迭h(k)為為h(k-n)，作如下運(yùn)算，作如下運(yùn)算0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2

45、00k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 20221k ( )0,1,2,3,4( )2,3,1f kh k0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 203472k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2166133k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2298194k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2312155k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2446k 0 , 1 , 2 , 3 , 40 , 1 , 3 , 207k ( )0,2,7,13,19,15,4fyk3 3、算式法（逢十不進(jìn)位乘法）、算式法（逢十不進(jìn)位乘法）2 , 3 , 1求：求：解：解： 用算式法求解用算式法求解0 , 1 , 2 , 3 , 40 , 1 , 2 , 3 , 40 , 3 , 6 , 9 , 1 20 , 2 , 4 , 6 , 8()()()fykfkh k( )0,1, 2,3, 4( )2,3,1fkh k()0, 2, 7,13,19,1