信號與系統(tǒng)課設(shè):基于matlab的信號合成與分解_第1頁
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文檔簡介

1、摘要為了便于進(jìn)行周期信號的分析與處理,常要把復(fù)雜的周期信號進(jìn)行分解,即將周期信號分解為正余弦等此類基本信號的線性組合,通過對這些基本信號單元在時域和頻域特性的分析來達(dá)到了解信號特性的目的。本文主要闡述了傅立葉級數(shù)的推演過程,從而得出周期信號的分解與合成的基本原理。并利用Matlab仿真軟件強(qiáng)大的數(shù)值分析和圖形功能來對周期方波信號與周期三角波信號的分解與合成進(jìn)行演示,直觀明了的觀察周期信號分解與合成過程、周期信號的對稱性與諧波成分的關(guān)系,以及對其中的誤差程度和吉布斯現(xiàn)象做定量的分析,從而可以進(jìn)行仿真結(jié)果與理論分析結(jié)論的對比,加深了對周期連續(xù)信號分解與合成的理解,描述了傅立葉級數(shù)分解合成信號的實現(xiàn)

2、性,同時也展示了用MATLAB編寫周期連續(xù)信號分解與合成的演示程序的優(yōu)點關(guān)鍵詞:周期信號;分解;合成;吉布斯現(xiàn)象AbstractInordertofacilitatetheperiodicsignalanalysisandprocessing,oftenmakecomplicatedcycleofsignaldecomposition,periodicsignalwillbedecomposedintosineandcosinesignalsandothersuchbasiclinearcombinationofthesebasicsignalsthroughtheunitinthetimed

3、omainandfrequencydomaincharacteristicsanalysisofsignalcharacteristicstoachievethepurposeofunderstanding.ThisarticlefocusesontheFourierseriestotheinferenceprocesstoarriveatperiodicsignaldecompositionandcompositionofthebasicprinciples.Matlabsimulationsoftwareusingthepowerfulnumericalanalysisandgraphic

4、alcapabilitiesoftheperiodicsquarewavesignalandtheperiodictriangularwavesignaldecompositionandsynthesisofpresentationsandintuitivetounderstandtheobservationperiodsignaldecompositionandsynthesisprocess,periodicsignalandharmoniccomponentsofthesymmetryrelations,andtheerrorofwhichtheextentandquantitative

5、analysisoftheGibbsphenomenon,whichcanmakethesimulationresultsandtheoreticalanalysiscomparingthecycleofcontinuousdeepeningoftheunderstandingofsignaldecompositionandcomposition,Fourierseriesdescribesthesynthesisofsignaldecompositionimplementation,whilealsodemonstratedthepreparationofperiodiccontinuous

6、signalusingMATLABdecompositionandsynthesisoftheadvantagesofthedemonstrationprogram-III-Keywords:Periodicsignal;Decomposition;Synthesis;Gibbsphenomenon目錄1緒論1.2信號的分解與合成2.2.1 信號分解為正交函數(shù)2.2.1.1 正交函數(shù)集2.2.1.2 信號分解為正交函數(shù)3.2.2 周期信號的信號分解與合成5.2.2.1 周期連續(xù)信號的特點6.2.2.2 周期為T的信號f的三角形式傅里葉級數(shù)表示的一般形式63MATLAB勺仿真實現(xiàn)8.3.1 基于

7、MATLA曲波信號的分解與合成.8.3.1.1 方波信號的傅立葉級數(shù)8.3.1.2 方波信號的分解仿真9.3.1.3 方波信號的合成仿真1.03.1.4 方波信號的頻譜1.13.1.5 方波信號的誤差分析1.23.1.6 吉布斯現(xiàn)象133.2 基于MATLABE角波信號的分解與合成1.33.2.1 三角波的傅立葉級數(shù)1.33.2.2 三角波的分解仿真1.53.2.3 三角波的合成仿真1.53.2.4 三角波的頻譜173.2.5 三角波的誤差分析1.83.3 結(jié)論18參考文獻(xiàn)20.附錄21.-IV-謝辭25.1緒論信號是攜帶信息的、隨時間或空間變化的物理量或物理現(xiàn)象,是信息的載體與表現(xiàn)形式,如聲

8、信號、光信號、電信號等。在數(shù)學(xué)上,信號總是一個或者多個獨(dú)立變量的函數(shù),它包含了某個或某些物理現(xiàn)象性質(zhì)的信息。信息不同的物理形態(tài)并不影響他們所包含的信息內(nèi)容,不同物理形態(tài)的信號之間相互轉(zhuǎn)換。在各種信號中,電信號是一種最便于傳輸、控制與處理的信號;同時,實際運(yùn)用中的許多非電信號,如壓力、流量、速度、轉(zhuǎn)矩、位移等,都可以通過適當(dāng)?shù)膫鞲衅髯儞Q成電信號,因此對電信號的研究具有重要的意義。研究信號是為了對信號進(jìn)行處理和分析,信號處理是對信號進(jìn)行某些加工或變換,目的是提取有用的部分,去掉多余的部分,濾除各種干擾和噪聲,或?qū)⑿盘栠M(jìn)行轉(zhuǎn)化,便于分析和識別。信號的特性可以從時間特性和頻率特性兩方面進(jìn)行描述,并且信

9、號可以用函數(shù)解析式表示(有時域的,頻域的及變化域的),也可用波形或頻譜表示。信號分析通過研究信號的描述、運(yùn)算、特性以及信號發(fā)生某些變化時其特性相應(yīng)的變化,來揭示信號自身的時域特性、頻域特性等。信號分析的主要途徑是研究信號的分解,即將信號分解為某些基本信號的線性組合,通過對這些基本信號單元在時域和頻域特性的分析來達(dá)到了解信號特性的目的。信號的分解可以在時域、頻域或變換域中進(jìn)行,分別用到信號分析的時域方法(timedomainanalysis)、頻域方法(frequencydomainanalysis)和變換域方法(transformdomainanalysis)。系統(tǒng)是若干相互依賴、相互作用的事

10、物組合而成的、具有特定功能的整體。系統(tǒng)可以是物理系統(tǒng),例如通信系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、導(dǎo)航系統(tǒng)等;也可以是非物理系統(tǒng),例如生產(chǎn)管理、司法等社會經(jīng)濟(jì)與管理方面的系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是分析系統(tǒng)對指定激勵所產(chǎn)生的影響。其分析過程主要包括建立系統(tǒng)模型,根據(jù)模型建立系統(tǒng)的方程,求解出系統(tǒng)的響應(yīng),必要時對解得的結(jié)果給出物理解釋。系統(tǒng)分析是系統(tǒng)綜合與系統(tǒng)診斷的基礎(chǔ)。時不變系統(tǒng)對LTI系統(tǒng)各種分析方法的理論基礎(chǔ)是信號的分解特性與系統(tǒng)的線性、特性,其出發(fā)點是:激勵信號可以分解為若干基礎(chǔ)信號單元的線性組合;激勵所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)對各基本信號單元分別激勵下響應(yīng)的疊加信號的分解與合成是信號與線性系統(tǒng)課程中最重要

11、的內(nèi)容之一。任何滿足狄里赫利條件的周期信號都是由各種不同頻率、幅度和初相的正弦波疊加而成的。對周期信號由它的傅立葉級數(shù)展開式可知,各次諧波為基波頻率的整數(shù)倍。而非周期信號包括了從零到無窮大的所有頻率成分,每一個頻率成分的幅度均趨向無窮小,但其相對大小式不同的。MATLA隊有以下五個特點:1 .運(yùn)算功能強(qiáng)大。MATLA%以矩陣為基本編程編程元素的程序設(shè)計語言,它的數(shù)值運(yùn)算要素不是單個數(shù)據(jù),而是矩陣,每個變量代表一個矩陣,矩陣由m乘n個元素,每個元素都可看做復(fù)數(shù),所有的運(yùn)算包括加、減、乘、除、函數(shù)運(yùn)算等都對矩陣和復(fù)數(shù)有效;另外,通過MATLAB勺符號工具箱,可以解決在數(shù)學(xué)、應(yīng)用科學(xué)和工程計算領(lǐng)域中

12、常常遇到的符號計算問題,強(qiáng)大的運(yùn)算功能使其成為世界頂尖的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件之一。2 .編程效率高。MATLAB勺語言規(guī)則與筆算式相似,矩陣的行數(shù)無需定義,MATLAB勺命令表達(dá)方式與標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式非常相近,因此,易寫易讀并易于在科技人員之間交流。MATLA%以解釋方式工作的,即它對每條語句解釋后立即執(zhí)行,鍵入算式無需編譯立即得出結(jié)果,若有錯誤也立即做出反應(yīng),便于編程者立即更正。這些都大大減少了編程和調(diào)試的工作量,提高了編程的效率111o3 .強(qiáng)大而智能化的作圖功能。MATLAB以方便地用圖形顯示二維或三維數(shù)組,將工程計算的結(jié)果可視化,使數(shù)據(jù)間的內(nèi)在聯(lián)系明晰了。MATLAE智能化地根據(jù)輸入的數(shù)據(jù)自動

13、確定最佳坐標(biāo),可規(guī)定多種坐標(biāo)系(如極坐標(biāo)系、對數(shù)坐標(biāo)系),可設(shè)置不同顏色、線型、視角等。4 .可擴(kuò)展性強(qiáng)。MATLA時一套程序擴(kuò)展系統(tǒng)和工具箱,具有良好的可擴(kuò)展性。工具箱是MATLAE®數(shù)的子程序庫,每個工具箱都有為某個學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用而制定的,MATLAB年都會增加一些新的工具箱。5 .Simulink動態(tài)仿真功能。Simulink是一個交互式動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析圖形環(huán)境,用戶通過框圖的繪制來模擬一個系統(tǒng),Simulink能夠針對控制系統(tǒng)、信號處理和通信系統(tǒng)等進(jìn)行系統(tǒng)建模、仿真和分析。正因為如此,利用仿真軟件MATLA咪對信號的分解與合成十分方便有效。2信號的分解與合成2.1 信

14、號分解為正交函數(shù)2.1.1 正交函數(shù)集141如有定義在(ti,t2)區(qū)間兩個函數(shù)甲l(t)和%(t),若滿足t2Ji(t)(t)dt=0t1則稱Q(t)和%(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交。如有n個函數(shù)%(t),%(t),%(t)j*(t)構(gòu)成一個函數(shù)集,當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(tl,t2)內(nèi)滿足0i*(t)%(t)dt=0i衛(wèi)當(dāng)窗(2.1-1)t1式中K為常數(shù),則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1,t2)的正交函數(shù)集。在區(qū)間(上上)內(nèi)相互正交的n個函數(shù)構(gòu)成正交信號空間。如果在正交函數(shù)集4(t)W2(t),Q(t),*(t)之外,不存在函數(shù)t2*(t)(0<f*2(t)dt<臉H兩足等式t1

15、9;'t2.(1(t)*(t)dt=0(i=1,2,,n)(2.1-2)t1則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。也就是說,如能找到一個函數(shù)1(t),使得式(2.1-2)成立,即4(t)與函數(shù)集P的每一個函數(shù)都正交,那么它本身就應(yīng)屬于此函數(shù)集。顯然,不包含Wt)的集式不完備的。例如,三角函數(shù)集1,cos(Qt),cos(2Ct),cos(mQt),sin(Gt),sin(2Ct),sin(nCt),在區(qū)間(t0,t0+T).小中T今j組成正交函數(shù)集,而且是完備的正交函數(shù)集。這是因為0,當(dāng)mrn5T、,,一一一、cos(mQt)cos(nQt)dt=jm=n=0(2.1-3a)T當(dāng)m=n=0t0

16、Tsin(m'.1t)sin(ni.1t)dt二-00,T2,(2.1-3b)t0Tsim(Qt)cnost(dt=)0于所有的m?0nb(2.1-3c)即三角函數(shù)集滿足正交特性式(2.1-1),因而是正交函數(shù)集。2.1.2信號分解為正交函數(shù)設(shè)有n個函數(shù)-%。),我。;'¥t(在區(qū)間(tj)構(gòu)成一個正交函數(shù)空問。將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似,可表示為nf(t)定G%(t)+C2%(t)+CnQ(t)=£Cj%(t)(2.1-4)j1這里的問題是:如何選擇Cj才能得到最佳近似。顯然,應(yīng)選取個系數(shù)Cj使實際函數(shù)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間內(nèi)為最

17、小。這里“誤差最小”不是平均誤差最小,因為在平均誤差最小甚至等于零的情況下,也可能有較大的正誤差和負(fù)誤差在平均過程中相互抵消,以致不能正確反映兩函數(shù)的近似程度。通常選擇誤差均方值(或稱為方均值)最小,這時,可以認(rèn)為已經(jīng)得到了最好的近似。誤差的均方值也稱為均方誤差,用符號正表示下1小一二個T一、名=-f(t)-SCj邛j(t)dt(2.1-5)t2-t1t1_jd.在j=1,2,,i,,n中,為球的使均方誤差最小的第i個系數(shù)G,必須使Ci-2CZ二0/'t2|f(t)-zjj(t)dt,=0I1Jj,-jCi展開上式的被積函數(shù),注意到有序號不同的正交函數(shù)相乘的各項,其積分均為零,而且所有

18、不包含Ci的各項對G求導(dǎo)也等于零。這樣,式(2.1-6)中只有兩項不為零,它可以寫為-Cit2oot|-2Cif(t)-i(t)Ci2V(t)dt.,=0交換微分與積分次序,得t2t22-2tf(t)1(t)dt2C-i(t)dt=0t1t1于是可求得f(t)i(t)dtt22.:(t)dt1t2一-tf(t)i(t)dtKi(2.1-7)d2中2I1(2.1-8)這就是滿足最小均萬誤差的條件下,式(2.1-4)中各系數(shù)G的表達(dá)式。止匕時,f(t)能獲得最佳近似。當(dāng)按式(2.1-7)選取系數(shù)Ci時,將G代入到式(2.1-5),可以得到最佳近似條件下的均方誤差為t2|f(t)-ZCj*(t)dt

19、=t1JjT一t2-t1t2t2t1f2dt;2:2nt2(t)dt-2"Cjf(t)(t)dtjTt1t考慮到t1-2o1t2t)dt=Kj,Cjf(t)E(t)dt,得Kjt11J22,一2小、f(t)dt;CjKjt2J/21-2CjKj=j+t2-t1n2、一2(t)dt-xCjKjj(2.1-9)利用上式可直接求得在給定項數(shù)n的條件下的最小均方誤差。有均方誤差的定義式(2.1-7)可見,由于函數(shù)平方后再積分,因而/不可能為負(fù),即恒有©2>00由式(2.1-8)可見,在用正交函數(shù)去近似(或逼近)f(t)時,所取的項數(shù)越多,即n愈大,則均方誤差愈小。當(dāng)nis時,

20、7=0o由式(2.1-9)可得,如1=0,則有tnf2dt=£CjKj(2.1-10)ij4式(2.1-10)稱為帕斯瓦爾(Parseva|方程巴如果信號f(t)是電壓或電流,那么,式(2.1-10)等號左端就是在(L,t2)區(qū)問信號的能量,等號右邊是在(t1,t2)區(qū)間信號各正交分量的能量之和。式(2.1-10)表明:在區(qū)間心上)信號所含能量恒等于此信號在完備函數(shù)集中各正交分量能量的總和。與此相反,如果信號在正交函數(shù)中的各正交分量能量的總和小于信號本身的能量,這時式(2.1-10)不成立,該正交函數(shù)集不完備。這樣,當(dāng)nTR時,均方誤差7=0,式(2.1-4)可寫成00f(t)=、C

21、jj(t)(2.1-11)j1即函數(shù)f(t)在區(qū)間。1上)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和。2.2周期信號的信號分解與合成2.2.1 周期連續(xù)信號的特點周期連續(xù)信號f(t)有如下特點:(1)滿足f(t+mT.)=f(t),m是整數(shù),Ti是周期。從波形上看,有一個時間跨度為Ti的基本波形,其余的是該基本波形經(jīng)平移工的整數(shù)倍后的重新拷貝。(2)f(t)在一個周期工內(nèi)的積分,其值與積分的起點和終點無關(guān),即有Ti.:T1f(t)dt=.221f(t)dt=.Tf(t)dt12(3)將周期信號展開成傅里葉級數(shù)具有的以下顯著優(yōu)點是8三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是自然界中最常見、最基本的函數(shù)。三角函數(shù)和復(fù)指數(shù)函數(shù)是間諧函

22、數(shù),用它們表示時間信號,就自然地建立了時間和頻率這兩個基本物理量之間的關(guān)系。問諧信號較其他信號更容易產(chǎn)生和處理。三角函數(shù)(或指數(shù)函數(shù))信號通過線性時不變系統(tǒng)后,仍為三角函數(shù)(或指數(shù)函數(shù)),其重復(fù)頻率不變,只是幅度和相位有變化。線性時不變系統(tǒng)對三角函數(shù)(或指數(shù)函數(shù))信號的響應(yīng)可以很方便地求的。很多系統(tǒng)(例如濾波器、信息傳輸?shù)?的特性主要是由其頻域特性來描述的,因此常常更需要知道的并不是這些系統(tǒng)的沖激響應(yīng),而是其沖激響應(yīng)所對應(yīng)的頻率特性。時域中的卷積運(yùn)算在頻域會轉(zhuǎn)化為乘積運(yùn)算,從而找到了計算卷積的一種新方法,這可使時域中難以實現(xiàn)的卷積運(yùn)算求解便于實現(xiàn)。周期信號f(t)當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichl

23、et)條件時可以展開成傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)分三角形式和指數(shù)形式兩種。狄里赫利條件如下:(1)在一個周期內(nèi),f(t)是絕對可積,即f(t)dt<g。(2)在一個周期內(nèi),f(t)的最大值和最小值的數(shù)目是有限個。(3)在一個周期內(nèi),f(t)只有有限個間斷點,而且在這些間斷點上,函數(shù)值必須是有限個。2.2.2周期為T的信號f(t)的三角形式的傅里葉級數(shù)表示的一般形式設(shè)有周期信號f(t),它的周期為T,角頻率6=2nf=%,則f(t)的三角傅里葉級數(shù)表示的一般形式為f(t)=%a1coswta2coswtbicoswtb2cos2wt,一二:二t;二(2.2-1)2二其中二T可以寫成更緊湊的和式

24、為:oOoOoOf(t)=a0八ancosnwt%bnsinnwt=a0八(ancosnwtbnsinnwt)npn=1式(2.2-1)中的系數(shù)an、bn稱為傅里葉系數(shù),斗為f(t)在函數(shù)cosnwt中的分量(相對大小);bn為f(t)在函數(shù)sinnwt中的分量,它可由式(2.1-7)求得。為簡便,式(2.1-7)的積分區(qū)間(t0,t0+T)取為(-;,;)或(0,T)。考慮到正、余弦函數(shù)的正交條件(2.1-3),由式(2.1-7),可得傅立葉系數(shù)2t0T2t0Tan=(f(t)coiwtdtbnf(t)sinnvtdt(2.2-2)周期信號也可分解為一系列余弦信號,即:f(t)=c0Gcos

25、(t1)Qcos(2t2)二,八gcosnCt:n)nJ(2.2-3)其中cn=a;bn式(2.2-3)表明,任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以分解為直流和許多余弦(或正弦)分量。其中第一項c。是常數(shù)項,它是周期信號中所包含的直流分量;式中第二項gcos®t+51)稱為基波或一次諧波,它的角頻率和原周期信號相同,G是基波振幅,91是基波初相角;式中第三項62cos(at+Q)稱為二次諧波,它的頻率是基波頻率的二倍,c2是二次諧波的振幅,是其初相角。以此qQ類推,還有四三次、四次、諧波。一般而言,/十£cncos(nt+Q)稱為n次n7諧波,cn是n次諧波的振幅,Q是其初相

26、角。式(2.2-3)表明,周期信號可以分解為各次諧波分量。式(2.2-2)表示周期信號可以分解成直流分量a0和各次諧波分量ancosnptbnsn3t(的疊加,用直流分量和各次諧波分量代替原來的周期信號,原則上應(yīng)該是無窮多項的疊加,實際應(yīng)用中只取其中的前n項,產(chǎn)生的誤差函數(shù)用en(t)來表示Nen(t);f(t)-(a0、(ancosnwtbnsinnwt)n1另外一個衡量誤差大小的函數(shù)為方均誤差110121T2En=en2(t)=-0en2(t)dt(2.2-4)(2.2-5)3MATLAB勺仿真實現(xiàn)MATLA%目前世界上最流行的、應(yīng)用最廣泛的工程計算和仿真軟件,它將計算、可視化和編程等功能

27、同時集于一個易于開發(fā)的環(huán)境。MATLA%MatrixLaboratory的縮寫,是一個包含眾多工程計算和仿真的龐大系統(tǒng)。MATLA%一個交互式開發(fā)系統(tǒng),其基本數(shù)據(jù)要素是矩陣。語法規(guī)則簡單,適應(yīng)于專業(yè)科技人員的思維方式和書寫習(xí)慣;它用解釋方式工作,編寫程序和運(yùn)行同步,鍵入程序立即得出結(jié)果,因此人機(jī)交互更加簡潔和智能化;而且MATLAB可適用于多種平臺,隨著計算機(jī)軟、硬件的更新而及時升級,shide編程和調(diào)試效率大大提高11113.1基于MATLA時波信號的分解與合成現(xiàn)以周期為T、幅值為1的方波信號為例3.1.1方波信號的分解與合成由式(2)可得an=-2Tf(t)cos(n14)dt圖1周期為T

28、的方波圖20一一一2一一=一T(-1)cos(nit)dt2(1)cos(n',4)dtT-2T0考慮到qW,可得1n.1sinn(it.0t221.T6sinn&T)an=0bn=T°T02sin(nQt)dt21一,cos(n't)Tn1.1Tn11,TI-cos(nJt)10TKBoc-2一n.-0,4n=2,4,6,n=1,3,5,將它們代入(1)式,可得圖1所示的方波信號的傅立葉級數(shù)展開式為.4f(t)=sint(111,3,5,sitn(3)i】tsrn(5)ntsin(n=)5n它只含一、三、五、奇次諧波分量周期為T=1的f(t)可分解為.4-1

29、11_f(t)=sin(2二t)sin(6二t)sin(10二t)sin(2n二t),n=1,3,5,二一35n3.1.2 方波信號的分解仿真由周期T=1為例:圖2為周期為T=1的方波信號,經(jīng)傅立葉級數(shù)分解以后而得到的基波到七次諧波的仿真圖,左上角為基波圖,它是一個非常正規(guī)的正弦波,幅值在1到1.5之間,要高于原方波的幅值。而且它的角頻率與原方波信號相同。右上角為三次諧波圖,其也是正弦波,明顯,其幅值降到了0.5以下,但是三次諧波的頻率是基波的1.5倍。其它圖形依次為五次諧波,七次諧波。圖2周期為T=1方波信號的分解圖r3.1.3 方波信號的合成仿真圖3為方波信號分解以后取有限次諧波的合成波形

30、。左上方圖是單獨(dú)的基波,是正弦波,波身較為平滑,波峰和波谷尖銳。右上方是基波和三次諧波疊加而成的波,大體仍是正弦的形式,但是波身已經(jīng)比單獨(dú)的基波較為陡峭,波峰和波谷出現(xiàn)波動,已經(jīng)趨向方波,有了方波的雛形。以下依次疊加起五次諧波,七次諧波的波形。-1AAr;Hn.II.111111ALLiJVVvJvV:*前三次諧波合成-0.50uo2圖3周期為T=1方波信號的合成圖1iJL1i1J-j.t-f1'/VmpyyTTLJTr11Jir1.J.L2I11FLf1L.J1kIJ.jI/7wiiVVit產(chǎn)七KTVii圖4偶次諧波與奇次諧波的對比由圖4可以看出,由于原方波信號經(jīng)傅立葉級數(shù)分解后,偶

31、次諧波不存在,所以在圖中只能觀察到奇次諧波。3.1.4 方波信號的頻譜圖圖5方波信號的頻譜圖圖5為周期信號的頻譜圖,在頻譜圖中,0=1時,信號的幅值在1.2到1.4之間,切=2時,信號的幅值為0,切=3時,幅值在0.2到0.4之間,切=4、5、6、7、時,幅值有起伏,但總體趨勢是呈下降趨勢。3.1.5 方波信號的誤差分析方波信號的誤差分析表3-1方波信號前七項合成的誤差分析前N之和基波基波十三次諧波基波十三次諧波十五次諧波基波十三次諧波十五次諧波+七次諧波en(t)0.99800.99600.99400.9920圖6方波的誤差分析圖由圖6和表3-1知道,在信號合成時,其疊加的諧波次數(shù)越多,將產(chǎn)

32、生的誤差值將越小,說明,合成波形越加的向原三角波形靠近。3.1.6 吉布斯現(xiàn)象從合成信號的波形中,可以看到,波形平坦部分中起伏的次數(shù)是由部分和所包圍的諧波次數(shù)決定的,另外注意到在方波階躍變點附近,某些點的函數(shù)值大于1或小于-1,形成過沖現(xiàn)象,這種在間斷點處的過沖現(xiàn)象,稱為吉布斯現(xiàn)象。過沖值為合成波形的最高點超過原方波信號值之比。應(yīng)用MATLAB軟件編寫程序計算上沖或下沖的過沖值1131o通過周期為T=1的方波信號來研究吉布斯現(xiàn)象:圖3中可以看出過沖現(xiàn)象,由程序計算出N不同時各自的過沖值,見表3-2表3-2周期為T=1的方波信號的過沖值10.1366110.089820.1002130.0897

33、30.0942170.089640.0921270.089550.09122580.089560.09072590.089470.09032980.089480.09012990.089490.09003000.0894100.08994000.0895根據(jù)表3-2可以看出,隨著N的增加,過沖值逐漸減小并穩(wěn)定在一個值0.894附近。3.2基于MATLA氏角波信號的分解與合成現(xiàn)以周期為T、幅值為1的三角波信號如圖7進(jìn)行信號分解與合成仿真為例3.2.1 三角波的分解與合成1141三角信號f(t)求一次導(dǎo)數(shù)f'(t)是方波信號,如圖8,求二次導(dǎo)數(shù)f"(t)是沖擊信號,如圖9,f&q

34、uot;(t)的基本波形由兩個沖激組成。圖8求一次導(dǎo)之后的波形圖9求二次導(dǎo)數(shù)后的波形先計算f的傅立葉系數(shù)an和bn。“2an=TT44T0-,。-萬)cos(nt)dt168,=.1cos(n.)1=TT0(n=奇數(shù))(n=偶數(shù))bn2t4=T。4,T、.,、,(t)sin(nt)dt=0T2則求得f(t)的傅立葉系數(shù)為an=bnan2(n)“bn4-72(n)(n為奇數(shù))(n)2a。由f(t)求得a。=11Ttf(t)出=2f(t)的三角形式傅立葉級數(shù)為.14j1f(t)22cos(nt)2二2n+n2奇數(shù)14一-cos(t)1cos(3t)9(3.2.2 三角波的分解仿真以周期T=2ji的

35、三角波為例:三次諧波七就諧波圖10三角信號與分解的前次諧波分解的對比圖圖10為三角信號的分解圖,左上角是分解后基波的圖形,它的幅值接近0.5,而周期和原三角波的周期一樣,是1。右上角是分解后的三次諧波的圖形,其幅值接近于0.05,周期也減小,在0.3到0.4之間。后兩幅分別為五次諧波和七次諧波分解出來的圖形,明顯它們的幅值依次減小,周期也依次減小。3.2.3 三角信號的合成仿真圖11為三角波形分解合成的圖形,左上角是單獨(dú)基波的圖形,明顯,它是一個余弦波,周期是2n,波峰和波谷比較平滑,右上角是基波與三次諧波疊加以后的波形,這時已經(jīng)有了三角波的雛形,波峰和波谷已經(jīng)明顯的尖銳了。圖12分別為基波到

36、五次諧波的疊加和基波到七次諧波的疊加,它們已經(jīng)逐漸形成了三角波形,波峰和波谷更加尖銳圖13分別為三角波奇次諧波與偶次諧波合成波形??梢钥闯?,由于三角波信號經(jīng)傅立葉級數(shù)分解后,偶次諧波不存在,所以在圖中只能觀察到奇次諧波。直流分量點波直流分目包袱+三次諧波+五次諧波九次諧波圖11周期三角信號的合成圖圖12周期三角信號與前七次諧波疊加的對比圖3.2.4三角信號的頻譜圖14三角信號的頻譜圖圖14為周期三角信號的頻譜圖,在頻譜圖中,6=1時,信號的幅值在0.4到0.45之間,二2時,信號的幅值為0,=3時,幅值在0.05到0.1之間,©=4、5、6、7、時,幅值有起伏,但總體趨勢是呈下降趨勢

37、3.2.5周期三角信號的誤差分析圖15周期三角信號與前七次諧波疊加的誤差圖表3-3三角波信號前七項合成的誤差分析前n項之和直流分量直流分量+基波直流分量+基波十三次諧波直流分量+基波十三次諧波十五次諧波直流分量+基波十三次諧波十五次諧波十七次諧波&(t)0.50000.09470.04970.03350.0252由圖15和表3-3知道,在信號合成時,其疊加的諧波次數(shù)越多,將產(chǎn)生的誤差值將越小,說明,合成波形越加的向原三角波形靠近。3.3結(jié)論一、由圖5和圖14可見,周期信號的頻譜圖有以下特點1151:(1)離散性。頻譜圖中的變量為叫,由于n只能是整數(shù)(單邊頻譜中是正整數(shù)),因而譜線是離散

38、的而非連續(xù)的,譜線的間隔是初,所以周期信號的頻譜是離散頻譜。(2)諧波性。由于n只取整數(shù),因而譜線在頻譜軸上的位置是基頻物的整數(shù)倍。(3)收斂性。幅度譜中各譜線的高度盡管不一定歲隨諧波次數(shù)的增高作單調(diào)的減小,中間有可能有起伏,但總的趨勢是隨n的增高而減小的,當(dāng)n為尢時,高度趨于零。二、由圖2和圖10可以得出,任何周期信號都可以由一系列的正弦(或余弦)波組成,隨著諧波次數(shù)的增大,諧波的幅值越來越小,頻率越來越大。三、由圖3和圖11可以得到,合成波形所包含的諧波分量越多時,除間斷點附近外,它越接近與原波形信號。在間斷點附近,隨著所含有的諧波次數(shù)的增加,合成波形的波身越陡峭,波峰越靠近間斷點,但尖峰

39、幅度并未明顯減小。在傅立葉級數(shù)的項數(shù)取得很大時,間斷點出尖峰下的面積非常小以趨近于零,因而在均方的意義上合成波形同原波形的真值之間沒有區(qū)別。參考文獻(xiàn)1曹弋.MATLA嗷程及實訓(xùn)M.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2008:264.2劉保柱,蘇彥華,張宏林.MATLAB7.0從入門到精通(修訂版)M.北京:人民郵電出版社,2010:2432463胡曉冬,董辰輝.MATLAB從入門到精通M.北京:人民郵電出版社,2010:782424吳大正.信號與線性系統(tǒng)分析(第四版)M.北京:高等教育出版社,2005:4214785(美)齊默(RodgerE.Ziemei)著;肖志濤等譯.信號與系統(tǒng)一一連續(xù)與離散(第四版

40、)M.北京:電子工業(yè)出版社,2005:95966潘雙來,邢麗冬.信號與線性系統(tǒng)M.北京:清華大學(xué)出版社,2006:55647管致中,夏恭恪,孟橋.信號與線性系統(tǒng)(第4版)M.北京:高等教育出版社,2004:95-978陳后金,胡健,薛健.信號與系統(tǒng)(第2版)M.北京:北京交通大學(xué)出版社,2003:1241269呂幼新,張明友.信號與系統(tǒng)(第2版)M.北京:電子工業(yè)出版社,2007:23323510張賢達(dá).現(xiàn)代信號處理(第2®)M.北京:清華大學(xué)出版社,2002:15816011穆爾(HollyMoore),高會生,劉童娜,李聰聰.MATLAB實用教程(第2版)M.北京:電子工業(yè)出版社

41、,2010:17918312馬金龍,胡健萍,王宛蘋.信號與系統(tǒng)M.北京:科學(xué)出版社,2006:788113游春霞.徐州師范大學(xué)學(xué)報J.學(xué)術(shù)期刊,2006年第24卷(第01期):21321714馬金龍,胡健萍,王宛蘋.信號與系統(tǒng)學(xué)習(xí)與考研輔導(dǎo)M.北京:科學(xué)出版社,2006:10710815于慧敏.信號與系統(tǒng)(第2版)M.北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2009:175178附錄:方波的分解:>>t=-3*pi:pi/100000:3*pi;>>f=square(2*pi*t,50);>>f1=4*sin(2*t*pi)/pi;>>f2=4*sin(6*t*p

42、i)/(pi*3);>>f3=4*sin(10*t*pi)/(pi*5);>>f4=4*sin(14*t*pi)/(pi*7);>>subplot(221),plot(t,f1);> >holdon> >plot(t,f,'r-');> >gridon;> >axis(-22-1.51.5);> >subplot(222),plot(t,f2);> >holdon> >plot(t,f,'r-');> >gridon;> &g

43、t;axis(-22-1.51.5);> >subplot(223),plot(t,f3);> >holdon> >plot(t,f,'r-');> >gridon;> >axis(-22-1.51.5);> >subplot(224),plot(t,f4);> >holdon> >plot(t,f,'r-');> >gridon;> >axis(-22-1.51.5);方波信號的合成:> >t=-3*pi:pi/100000:3*

44、pi;> >f1=4*sin(2*t*pi)/pi;> >f2=4*sin(2*t*pi)/pi+4*sin(6*t*pi)/(pi*3);> >f3=4*sin(2*t*pi)/pi+4*sin(6*t*pi)/(pi*3)+4*sin(10*t*pi)/(pi*5);>>f4=4*sin(2*t*pi)/pi+4*sin(6*t*pi)/(pi*3)+4*sin(10*t*pi)/(pi*5)+4*sin(14*t*pi)/(pi*7);> >subplot(221),plot(t,f1);> >holdon>

45、>plot(t,f,'r-');> >axis(-22-1.51.5);> >gridon;> >subplot(222),plot(t,f2);> >holdon> >plot(t,f,'r-');> >axis(-22-1.51.5);> >gridon;> >subplot(223),plot(t,f3);> >holdon> >plot(t,f,'r-');> >axis(-22-1.51.5);>

46、; >gridon;> >subplot(224),plot(t,f4);> >holdon> >plot(t,f,'r-');> >axis(-22-1.51.5);>>gridon;方波信號的奇偶次諧波的對比:>>t=-3*pi:pi/100000:3*pi;»f1=4*sin(2*t*pi)/pi+4*sin(6*t*pi)/(pi*3)+4*sin(10*t*pi)/(pi*5)+4*sin(14*t*pi)/(pi*7);»subplot(211),plot(t,f1);

47、»axis(-22-1.51.5);»gridon;»t=-3*pi:pi/100:3*pi;»f2=0;»subplot(212),plot(t,f2);誤差分析:»e1=f-f1;»e2=f-f2;»e3=f-f3;»e4=f-f4;»subplot(221),plot(t,e1);»axis(-22-1.51.5);»gridon;»subplot(222),plot(t,e2);»axis(-22-1.51.5);»gridon;

48、7;subplot(223),plot(t,e3);»axis(-22-1.51.5);»gridon;»subplot(224),plot(t,e4);»axis(-22-1.51.5);»gridon;方波信號的頻譜圖:»N=input('N=');N=7»n=1:N;»fori=1:2:NC(i)=4/(pi*(2*i-1);end;»stem(n,C);三角波信號分解圖:»t=-3*pi:pi/100000:3*pi;»f1=4*cos(t)/(pi*pi);&

49、#187;f2=4*cos(3*t)/(pi*pi*9);»f3=4*cos(5*t)/(pi*pi*25);»f4=4*cos(7*t)/(pi*pi*49);»f=0.5*(-sawtooth(t,0.5)+1);»subplot(221),plot(t,f1);»holdon»plot(t,f,'r-');»gridon;»subplot(222),plot(t,f2);»holdon»plot(t,f,'r-');»gridon;»su

50、bplot(223),plot(t,f3);»holdon»plot(t,f,'r-');»gridon;»subplot(224),plot(t,f4);»holdon»plot(t,f,'r-');»gridon;三角信號的合成:»t=-3*pi:pi/100000:3*pi;»f=0.5*(-sawtooth(t,0.5)+1);»f1=0.5+4*cos(t)/(pi*pi);»f2=0.5+4*cos(t)/(pi*pi)+4*cos(3*t)/(pi*pi*9);»f3=0.5+4*cos(t)/(pi*pi)+4*cos(3*t)/(pi*pi*9)+4*cos(5*t)/(pi*pi*25);»f4=0.5+4*cos(t)/(pi*pi)+4*cos(3*t)/(pi*pi*9)+4*cos(5*t)/(pi*pi*25)+4*cos

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