23_數(shù)學(xué)歸納法(第一課時(shí))

1、2.3 2.3 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法( (第一課時(shí)第一課時(shí)) )問(wèn)題情境一問(wèn)題情境一問(wèn)題問(wèn)題 1:大球中有大球中有5個(gè)小球，如何證明它們個(gè)小球，如何證明它們都是綠色的？都是綠色的？ 問(wèn)題問(wèn)題 2: 如果如果an是一個(gè)等差數(shù)列，怎樣得到是一個(gè)等差數(shù)列，怎樣得到 an=a1+(n-1)d 完全歸納法完全歸納法 不完全歸納不完全歸納法法 模模 擬擬 演演 示示從前，有個(gè)小孩叫萬(wàn)百千，他開(kāi)始上學(xué)識(shí)字。第從前，有個(gè)小孩叫萬(wàn)百千，他開(kāi)始上學(xué)識(shí)字。第一天先生教他個(gè)一天先生教他個(gè)“一一”字。第二天先生又教了個(gè)字。第二天先生又教了個(gè)“二二”字。第三天，他想先生一定是教字。第三天，他想先生一定是教“三三”字字了，

2、并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個(gè)了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個(gè)“三三”字。于是他得了一個(gè)結(jié)論：字。于是他得了一個(gè)結(jié)論：“四四”一定是一定是四橫，四橫，“五五”一定是五橫，以此類(lèi)推，一定是五橫，以此類(lèi)推，從此，從此，他不再去上學(xué)，家長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)他為何不去上學(xué)，他他不再去上學(xué)，家長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)他為何不去上學(xué)，他自豪地說(shuō)：自豪地說(shuō)：“我都會(huì)了我都會(huì)了”。家長(zhǎng)要他寫(xiě)出自己的。家長(zhǎng)要他寫(xiě)出自己的名字，名字，“萬(wàn)百千萬(wàn)百千”寫(xiě)名字結(jié)果可想而知。寫(xiě)名字結(jié)果可想而知?！?” 歸納法：歸納法：由一系列有限的特殊事例得出由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法一般結(jié)論的推理方法（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)

3、，實(shí)施較難）（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)，實(shí)施較難）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想）（1 1）完全歸納法完全歸納法：考察：考察全體全體對(duì)象，得到對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法一般結(jié)論的推理方法（2 2）不完全歸納法不完全歸納法，考察，考察部分部分對(duì)象，得對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法到一般結(jié)論的推理方法歸納法分為歸納法分為 完全歸納法完全歸納法 和和 不完全歸納不完全歸納法法問(wèn)題情境三問(wèn)題情境三 多多米米諾諾骨骨牌牌課課件件演演示示 問(wèn)題情境三問(wèn)題情境三 如何解決不完全歸納法存在的問(wèn)題呢？如何解決不完全歸納法存在的問(wèn)題呢？ 如何保證骨牌一

4、一倒下？需要幾個(gè)步如何保證骨牌一一倒下？需要幾個(gè)步驟才能做到？驟才能做到？（1 1）處理第一個(gè)問(wèn)題；（相當(dāng)于推倒）處理第一個(gè)問(wèn)題；（相當(dāng)于推倒第一塊骨牌）第一塊骨牌）（2）驗(yàn)證前一問(wèn)題與后一問(wèn)題有遞推）驗(yàn)證前一問(wèn)題與后一問(wèn)題有遞推關(guān)系；（相當(dāng)于前牌推倒后牌）關(guān)系；（相當(dāng)于前牌推倒后牌） 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)自然數(shù)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來(lái)證關(guān)自然數(shù)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：明它們的正確性： （1 1）證明當(dāng)）證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)

5、=1) 時(shí)命題成立，時(shí)命題成立， （2 2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )時(shí)命題成立證明當(dāng)時(shí)命題成立證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立，時(shí)命題也成立，這種證明方法叫做這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法3.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：（1）恒等式）恒等式例1例2例3（2）不等式）不等式（3）三角方面）三角方面（4）整除性）整除性例4（5）幾何方面）幾何方面例5（6）計(jì)算、猜想、證明）計(jì)算、猜想、證明1a1n1時(shí)，當(dāng)31211213n3a時(shí)，當(dāng)41311314n4a時(shí)，當(dāng)解：解：nan1猜想：猜想：211112n2a時(shí)，當(dāng) 如何通過(guò)如何通

6、過(guò)有 限 個(gè) 步 驟有 限 個(gè) 步 驟的 推 理 ， 證的 推 理 ， 證明明n取所有正取所有正整數(shù)都成立？整數(shù)都成立？證明證明4、對(duì)于數(shù)列，已知對(duì)于數(shù)列，已知，na11=annnaaa+=+11求出數(shù)列前求出數(shù)列前4項(xiàng)項(xiàng),你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？1(1)當(dāng)n=1時(shí)a =1成立1kkaak+1則n=k+1時(shí),a即n=k+1時(shí)猜想也成立根據(jù)根據(jù)(1)(2)可知對(duì)任意正整數(shù)可知對(duì)任意正整數(shù)n猜想都成立猜想都成立.*Nnn1n+1nna對(duì)于數(shù)列 a,已知a =1,a=(n),1+a1猜想其通項(xiàng)公式為a =,怎樣證明?n證明證明：(2)假設(shè)n=k時(shí)猜想成立即1ka k111kk11k多米諾

7、骨牌游戲的原理多米諾骨牌游戲的原理 這個(gè)猜想的證明方法這個(gè)猜想的證明方法1nan（1）第一塊骨牌倒下。）第一塊骨牌倒下。（2）若第）若第k塊倒下時(shí)，塊倒下時(shí)，則相鄰的第則相鄰的第k+1塊也倒下。塊也倒下。根據(jù)（根據(jù)（1）和）和 （2），），可知不論有多少塊骨牌，可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)猜想成立。時(shí)猜想成立。（2）若當(dāng)）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，時(shí)猜想成立，即即 ，則當(dāng)，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想時(shí)猜想也成立，即也成立，即 。1kak111kak根據(jù)（根據(jù)（1）和（）和（2），可），可知對(duì)任意的正整數(shù)知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜，猜想想 都成立。都成立。nn1n+1

8、naa,a =1,a=(n),1+a*N已知數(shù)列已知數(shù)列練習(xí)：練習(xí)：1 1、如果如果aan n 是一個(gè)等差數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列， 則則a an n= =a a1 1+(n-1)d+(n-1)d對(duì)于一切對(duì)于一切nNnN* *都成立。都成立。 證明證明:(1):(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí), ,左邊左邊=a=a1 1, ,右邊右邊=a=a1 1 + +（1-11-1）d=ad=a1 1, , 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，結(jié)論成立時(shí)，結(jié)論成立(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)結(jié)論成立時(shí)結(jié)論成立, ,即即a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立時(shí)，結(jié)論也

9、成立. .由由(1)(1)和和(2)(2)知知, ,等式對(duì)于任何等式對(duì)于任何nNnN* *都成立。都成立。利用假設(shè)利用假設(shè)1kkaad則1(1)akdd1akd湊結(jié)論湊結(jié)論1(1)1akd22222222221 2 31,62 3 512,63 4 7123,64 5 91234,6. 情境情境1.觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？歸納歸納問(wèn)題情境問(wèn)題情境22222(1) (21)1234.6nnnn思考思考：你由不完全歸納法：你由不完全歸納法所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？若所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？若不正確，請(qǐng)舉一個(gè)反例不正確，請(qǐng)舉一個(gè)反例;若正確，如何證明呢？若正確，如何證明呢？

10、數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu) 類(lèi)比多米諾骨牌游戲證明類(lèi)比多米諾骨牌游戲證明情境情境1中的猜想中的猜想 的步驟為：的步驟為：(1)證明當(dāng)證明當(dāng)n=1時(shí)猜想成立時(shí)猜想成立(2)證明若當(dāng)證明若當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)命時(shí)命題也成立題也成立.22222(1) (21)1234.6nnnn 完成了這兩個(gè)步驟以后就可以證明完成了這兩個(gè)步驟以后就可以證明上述猜上述猜想想對(duì)于所有的正整數(shù)對(duì)于所有的正整數(shù)n都是成立的。都是成立的。相當(dāng)于第一張牌能倒下相當(dāng)于第一張牌能倒下相當(dāng)于使所有骨牌倒下的第相當(dāng)于使所有骨牌倒下的第2個(gè)條件個(gè)條件222222(1)(1) 12(1) 11234(1)6kkkkk目標(biāo)

11、：證明證明 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊1 1 右邊右邊, ,等式顯然成立。等式顯然成立。例例 證明：證明：數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)遞推依據(jù)22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1) (21)12346kkkk22222221234(1)(1)(21)(1)6(1)(1)12(1)16kkkkkkkkk假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即那么那么, ,當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，有時(shí)，有這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), ,等式也成立。等式也成立。根據(jù)根據(jù)和和，可知對(duì)任何，可知對(duì)任何n n N N* *等式都成立。

12、等式都成立。數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為：數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為： 驗(yàn)證驗(yàn)證n= =n0 0時(shí)時(shí)命題成立。命題成立。若若n = k ( k n0 0 ) 時(shí)命題成立，時(shí)命題成立，證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。時(shí)命題也成立。 命題對(duì)從命題對(duì)從n0 0開(kāi)始的所有開(kāi)始的所有的正整數(shù)的正整數(shù)n都成立。都成立。歸納奠基歸納奠基歸納遞推歸納遞推 注：兩個(gè)步驟注：兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論一個(gè)結(jié)論,缺一不可缺一不可上如證明對(duì)嗎？為什么？上如證明對(duì)嗎？為什么？證明證明：當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊設(shè)設(shè)n=k時(shí)，有時(shí)，有135.(21)2(1)1kk即即n=k+1時(shí)，命題成立。時(shí)，命題成立。根據(jù)根據(jù)問(wèn)可知，對(duì)

13、問(wèn)可知，對(duì)nN，等式成立，等式成立。思考：用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明: :當(dāng)當(dāng) Nn2) 12(.531nn1右邊右邊12) 12(.531kk等式成立。等式成立。第二步證明第二步證明中沒(méi)有用到假中沒(méi)有用到假設(shè)，這不是數(shù)設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明學(xué)歸納法證明。則，當(dāng)則，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)212 (1 )1 (1 )2(1 )kkk135（2n1）正確解法：正確解法：用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明n2即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。時(shí)等式也成立。根據(jù)（根據(jù)（1 1）和（）和（2 2）可知，等式對(duì)任何都成立。）可知，等式對(duì)任何都成立。n N證明：證明：135（2k1）+2(k+1)1那么當(dāng)那么

14、當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí)（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即時(shí)，等式成立，即（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊1，右邊，右邊1，等式成立。，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2 （k+1）2（假設(shè)）（假設(shè)）（利用假設(shè)）（利用假設(shè)）注意：注意：遞推基礎(chǔ)不可少，遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到，歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉。證明傳遞性證明傳遞性（湊結(jié)論）湊結(jié)論）用數(shù)學(xué)歸納法證明與用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)正整數(shù)有關(guān)命題的步驟是：有關(guān)命題的步驟是：（1）證明當(dāng)證明當(dāng) 取第一個(gè)值取第一個(gè)值 （如（如 或或2等）時(shí)結(jié)論正確；等）時(shí)結(jié)論正確； 10 nn0n （2

15、）假設(shè)時(shí)假設(shè)時(shí) 結(jié)論正確，證明結(jié)論正確，證明 時(shí)結(jié)論也正確時(shí)結(jié)論也正確 )N(0nkkkn 且且1 kn遞推基遞推基礎(chǔ)礎(chǔ)遞推依據(jù)遞推依據(jù)“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”“用上假設(shè)，遞推才真用上假設(shè)，遞推才真”“綜合（綜合（1）、（）、（2），），”不可少！不可少！注意注意:數(shù)學(xué)歸納法使用要點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法使用要點(diǎn)： 兩步驟兩步驟,一結(jié)論。一結(jié)論。課堂練習(xí)課堂練習(xí)2 2、求證：求證：1+2+3+1+2+3+n=+n=12n(n+1 )用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：34n+252n+1能被能被14整除整除證明：證明：(i)當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，341+2521+17541416，當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，

16、時(shí)，34n+252n+1能被能被14整除整除(ii)設(shè)設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，時(shí)，34k+252k+1能被能被14整除整除那么當(dāng)那么當(dāng)nk1時(shí)時(shí)34(k+1)+252(k+1)+134k+23452k+152 8134k+22552k+1(2556)34k+22552k+1 25(34k+252k+1)5634k+2 (34k+252k+1)能被能被14整除，整除，56能被能被14整除整除 34n+252n+1能被能被14整除即整除即nk1時(shí)，命題成立時(shí)，命題成立 根據(jù)根據(jù)(i)、(ii)可知可知, 34n+252n+1能被能被14整除整除小結(jié)小結(jié)1、數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類(lèi)問(wèn)題？、數(shù)學(xué)歸納

17、法能夠解決哪一類(lèi)問(wèn)題？一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題2、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？?jī)蓚€(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可3、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確4、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？遞推思想，運(yùn)用運(yùn)用“有限有限”的手段，來(lái)解決的手段，來(lái)解決“無(wú)限無(wú)限”的問(wèn)題的問(wèn)題注意類(lèi)比思想的運(yùn)用 分析下列各題用分析下列各題用數(shù)學(xué)歸

18、納數(shù)學(xué)歸納法法證明過(guò)程中的錯(cuò)誤：證明過(guò)程中的錯(cuò)誤：練習(xí)3糾錯(cuò)!（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*)證明證明 ：假設(shè)當(dāng)：假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N* *) )那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，有時(shí)，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 ,因此，對(duì)于任何因此，對(duì)于任何n n N N* *等式都成立。等式都成

19、立。缺乏缺乏“遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ)”事實(shí)上，我們可事實(shí)上，我們可以用等差數(shù)列求以用等差數(shù)列求和公式驗(yàn)證原等和公式驗(yàn)證原等式是不成立的！式是不成立的！這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題也成立命題也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左邊右邊*111(2)()1 223(1)1nnNnnn沒(méi)有用上沒(méi)有用上“假假設(shè)設(shè)”，故此法，故此法不是數(shù)學(xué)歸納不是數(shù)學(xué)歸納法法請(qǐng)修改為數(shù)學(xué)請(qǐng)修改為數(shù)學(xué)歸納法歸納法證明證明 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊= , 212111) 1(1321211kkkk假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時(shí)原等式成立時(shí)原等式成立 ，即，即此時(shí)，原等式成立。此時(shí)，原

20、等式成立。 那么那么n=k+1時(shí)時(shí),由由 知知,對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. 11=1+12右邊證明證明 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊= , 21211*111(2)()1 223(1)1nnNnnn1) 1(1321211kkkk11111 22 3(1)(1) (2)111 (1) (2)(1) 1kkkkkkkkkk 這這才才是是數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時(shí)原等式成立時(shí)原等式成立 ，即，即21111右邊右邊= 此時(shí)，原等式成立。此時(shí)，原等式成立。 那么那么n=k+1時(shí)時(shí),這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題也成立命題也成立.由由 知知,對(duì)一

21、切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. 11111=(1) ()()223111=11nnnnn 證二：左邊右邊，所以原等式成立。*111(2)()122 3(1)1nnNn nn這不是這不是數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法（3）（糾錯(cuò)題糾錯(cuò)題）課本）課本P87P87 T3 2nn2(n N*)證明證明 ：當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，時(shí)，2 21 1112 2, ,不等式顯然成立。不等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即2 2k kkk2 2, ,那么當(dāng)那么當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，有時(shí)，有2 2k+1k+1=2=2 2 2k k=2=2k k+2+2k kkk2 2+k+

22、k2 2 k k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2. .這就是說(shuō)，當(dāng)這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)不等式也成立。時(shí)不等式也成立。根據(jù)（根據(jù)（1 1）和（）和（2 2），可知對(duì)任何），可知對(duì)任何n n N N* *不等式不等式都成立。都成立。雖然既有雖然既有“遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ)”，又用到假設(shè)，又用到假設(shè)（“遞推依據(jù)遞推依據(jù)”），但在證明過(guò)程中出現(xiàn)），但在證明過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，故上述證法錯(cuò)誤！錯(cuò)誤，故上述證法錯(cuò)誤！事實(shí)上，原不等式不成立，如事實(shí)上，原不等式不成立，如n=2時(shí)不等式就不成立。時(shí)不等式就不成立。練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 n+2n+22n+12n+1* *- -+=a +=

23、a 1,nN1,nN1 11-a1-a1+1+a aaaaaa a.1、 用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：“ ”在驗(yàn)證在驗(yàn)證 n=1n=1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是（成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是（ ） A A1 1 B. B. C C D.D. 1+a1+a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a a2 2. .已知已知: ,: ,則則 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: 131.2111)( nnnnf)1( kf1)1(31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf11431

24、)( KKkfCC3. . 用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明: 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 4、用數(shù)學(xué)歸納法證明：、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 2)1()1()1(4321121222 nnnnn5求證求證:當(dāng)當(dāng)nN*時(shí)，時(shí)，nnnnn212111211214131211 3. .用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化湊假設(shè)湊假設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論證明證明:2)假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命

25、題成立時(shí)命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)，時(shí)， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1時(shí)命題正確。時(shí)命題正確。 由由(1)和和(2)知，當(dāng)知，當(dāng) ，命題正確，命題正確。 nn = 2111)1(31 kkk1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 111223 33 33. .用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固

26、 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化湊假設(shè)湊假設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論證明證明:2)假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題成立時(shí)命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)，時(shí)， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1時(shí)命題正確。時(shí)命題正確。 由由(1)和和(2)知，當(dāng)知，當(dāng) ，命題正確，命題正確。 nn = 2111)1(31 kkk1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 111223 33 3練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 4、用

27、數(shù)學(xué)歸納法證明、用數(shù)學(xué)歸納法證明2222121(1)1234( 1)( 1)2nnn nn 證明證明: (1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=1,=1,右邊右邊= =1. = =1. 命題成立命題成立 )221()1(1 n(2)(2)假設(shè)假設(shè)n=kn=k時(shí)命題正確，即時(shí)命題正確，即 2 22 22 22 2k k- -1 12 2k k- -1 1k k( (k k+ +1 1) )1 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + + +( (- -1 1) )k k = =( (- -1 1) )2 2則當(dāng)則當(dāng) n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), , = + = + = = 2)1()1(1 kkk2)1()1( kk2 22 22 22 2k k- -1 12 21 1 - -2 2