專題對數(shù)函數(shù)知識點總結及類型題歸納

1、1.對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù) y loga x ()叫做對數(shù)函數(shù) .定義域是2.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)為a>10<a<1圖象定義域：( 0， + )值域： R過點( 1， 0)，即當 x 1時， y 性0質(zhì)質(zhì) x (0,1) 時 y 0x (0,1) 時 y 0x (1, ) 時 y 0x (1, ) 時 y 0在( 0， +)上是增函數(shù)在( 0， +)上是減函數(shù)思考：函數(shù) y loga x與函數(shù) y ax (a 0且a 1)的定義域、值域之間有什么關系？對數(shù)函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象關于 對稱。一般的 ,函數(shù) y=ax 與 y=log ax(a>0 且 a 1)互稱相對應

2、的反函數(shù) ,它們的圖象關于直線 y=x 對稱y=xy=f(x) 存在反函數(shù) ,一般將反函數(shù)記作 y=f -1(x)如:f(x)=2 x,則 f -1(x)=log 2x,二者的定義域與值域對調(diào) ,且圖象關于直線 對稱函數(shù)與其反函數(shù)的定義域與值域對調(diào),且它們的圖象關于直線 y=x 對稱專題應用練習、求下列函數(shù)的定義域1) y log0.2(4 x);；( 2) y loga x 1 (a 0,a 1).；3)y log(2 x 1)( x2 2x 3)(4) ylog2(4x 3)(5)y=lg x 1 (6)y= log3 x1. y=log(5x-1)(7x-2) 的定義域是 2.y= lg

3、(8 x2) 的定義域是 3.求函數(shù) y log2(2x 1)的定義域 4.函數(shù) y= log 1 (2x 1) 的定義域是5.函數(shù) ylog2(32 4x)的定義域是，值域是 .6.函數(shù) y log 5 x(2x 3)的定義域 27.求函數(shù) y loga(x x2)(a 0,a 1) 的定義域和值域。8. 求下列函數(shù)的定義域、值域：22(1)y log2(x 3)；(2) y log 2 (3 x )；(3) y loga(x 4x 7)9.函數(shù) f(x)= 1 ln( x 3x 2 x 3x 4 )定義域x2 xx210.設 f(x)=lg,則 f ( ) f ( ) 的定義域為2 x2x

4、11.函數(shù) f(x)= |x 2| 1 的定義域為log 2(x 1)212.函數(shù) f(x)= 1g(x 2x) 的定義域為；9 x213.函數(shù) f(x)= 1 ln ( x2 3x 2 x2 3x 4 )的定義域為x14 y log2log2log2x的定義域是1.設 f(x)lg(ax22xa),(1)如果 f(x)的定義域是 ( , )，求 a的取值范圍；(2)如果 f(x)的值域是 ( ,)，求 a的取值范圍15.已知函數(shù) f (x) log 1 (x2 2ax 3)2(1)若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù) a 的取值范圍( 2 )若函數(shù)的值域為R，求實數(shù) a 的取值范圍(3)若函數(shù)的定義域

5、為( ,1) (3, ) ，求實數(shù) a 的值；( 4 )若函數(shù)的值域為 ( , 1 ，求實數(shù) a 的值.log2 x 的定義域為x16. 若函數(shù) y f 2x 的定義域為 1,0 ，則函數(shù) y17.已知函數(shù) f(2 x)的定義域是 -1，1，求 f(log 2x)的定義域18 若函數(shù) y=lg(4-a ·2x)的定義域為 R，則實數(shù) a 的取值范圍為219已知 x滿足不等式 (log2 x)2 7log2 x 6 0，函數(shù) f(x) (log 2 4x) ? (log 4 2 x)的值域是 220 求函數(shù) y (log1 x) log1 x 1(1 x 4) 的值域。2221 已知函

6、數(shù) f(x)=log 2 x 1 +log 2(x-1)+log 2(p-x). (1)求 f(x) 的定義域； (2)求 f(x)的值域 . x1解： f(x) 有意義時，有x10x1x 1 0px0,由、得 x>1,由得 x< p,因為函數(shù)的定義域為非空數(shù)集，故p> 1,f(x) 的定義域是 (1,p).p12) f(x)=log 2 (x+1)(p-x) =log2-( x-)22+ (p 1) (1<x<p),4當1< p 1 <p，即 p> 3 時， 0<-(x- p 1)22(p 1)24(p 1)24log2(x p 1)2

7、(p 1) 2log 2(p+1)-2.24當p 1 1，即 1<p3 時， 0<-(x- p 1) 22(p 1)4p 1 2 (p 1)22(p 1), log2 (x 2 ) 4< 1+log 2(p-1).綜合可知： 當 p>3時， f(x)的值域是( -,2log 2(p+1)-2 當 1<p3 時，函數(shù) f(x) 的值域是 (- ,1+log 2(p-1).二、利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較大小 例 1 、比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。? 1) log 2 3.4 ， log23.8； ( 2) log 0.5 1.8 ， log 0.5 2.1 ；3(3)

8、log75， log67；(4) log23， log45，20.91.1.10.9 ， log 1.1 0.9 ， log 0.7 0.8的大小關系是 2.已知 a2>b>a>1，則 m=logab，n=logba，p=logbb 的大小關系是 a3.已知 logm5>log n5,試確定 m 和 n 的大小關系4.已知 0<a<1,b>1,ab>1，則 log a 1 ,log a b,logb 1的大小關系是 bb5. 已知 log 1 b<log 1 a<log 1 c,比較 2b,2a,2c 的大小關系 .2226.設 a

9、log3 ,b log2 3,c log3 2 ，則27. 已知x 1,d ,試比較 a logd x，blogd x2c logd logd x 的大小。已知x 1,d 1試比較a logd x 8.2，blog d x 2的大小。9.設 0<x<1 ， a>0，且 a 1，試比較 |loga1-x)|與|loga ( 1+x) |的大小。10.已知函數(shù) f(x) lg x ，則 f1，4， f(2) 的大小關系是三、解指、對數(shù)方程：1)33x 527(2) 22x123)log5(3x) log 5 (2 x 1)(4) lg x 1 lg(x 1)1. 已知 3a=5b

10、=A,且1 1 =2，則 A 的值是ab12. 已知 log7log3(log2x)=0，那么 x 2 等于3.已知 log 7 log 3(log 2x) =0 ，那么 x12等于4. 若 x (e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,則5.若 f 10x x ，那么 f 3等于227.已知 loga(x2 4) log a(y2 1)6. 已知 f (x5) lg x ，則 f(2)loga5 log a (2 xy 1)(a 0，且a 1)，求 log8 y的值 x四、解不等式：1. log 5 (3 x) log 5(2 x 1)2. lg( x 1) 13.設 a,b

11、滿足 0 a b 1，給出下列四個不等式： aa ab， ba bb， aa ba， bb ab ，其中正確 的不等式有4.已知： (1) f(x) log a x在3,)上恒有 | f(x)| 1，求實數(shù) a的取值范圍。25.已知函數(shù) f (x) x2 3,g(x) a(1 x)，當 2 x 2時， f (x) g(x)恒成立，求實數(shù) a的取值范圍216.求 m 的取值范圍，使關于 x 的方程 (lg x)2 2mlg x (m ) 0 有兩個大于 1的根4( 2008 ·全國)若 x (e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,則117. 已知 0<a<

12、1,b>1,ab>1，則 loga ,loga b,logb 的大小關系是bb8. 已知函數(shù) f(x)=log ax(a > 0,a 1)，如果對于任意 x 3， +)都有 |f(x)| 1 成立，試求 a的取值范圍9. 已知函數(shù) f( x ) =log 2(x 2-ax-a)在區(qū)間( -, 1- 3 上是單調(diào)遞減函數(shù) .求實數(shù) a 的取值范圍10. 若函數(shù) y12. 若函數(shù) f(x)=log2(x2 ax a)在區(qū)間 ( ,1 3)上是增函數(shù)， a 的取值范圍211.已知函數(shù) f(x) log2 (x2ax 3a) 在區(qū)間 1, 2 上是增函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是lo

13、g2 x,x 0,13.設 函數(shù) f(x)2x 11，lgx，x 1， 若 f (x0 ) x 1，1，則 x0 的取值范圍是(log ( x),x 0,若 f(a)>f(-a),則實數(shù) a的取值范圍是 22loga (x 5x 7) >02 lg( x2 2x 3)14.設 a>0 且 a 1，若函數(shù)f(x) alg( x 2x 3) 有最大值，試解不等式五、定點問題1.若函數(shù) y=loga(x+b)(a>0,且 a1)的圖象過兩點( -1，0)和( 0，1)，則2. 若函數(shù) y=log a(x+b)(a >0,且 a 1)的圖象過兩點( -1， 0 )和( 0

14、， 1)，則3.函數(shù) f (x) log a (x 1) 1(a 0且a 1) 恒過定點 .六、求對數(shù)的底數(shù)范圍問題41.(1)若loga1(a 0且 a 1)，求 a的取值范圍52.(2)若 log (2 a 3)(1 4a) 2，求 a 的取值范圍23.若 loga1 (a 0且 a 1)，則 a 的取值范圍 34.函數(shù) f (x) loga(x 1)的定義域和值域都是 0,1 ，則 a的值為 .5.若函數(shù) f (x) loga(a x)在2,3 上單調(diào)遞減，則 a 的取值范圍是6.函數(shù) y=log0.5(ax+a-1) 在 x2 上單調(diào)減，求實數(shù) a的范圍x7. 已知 y= log a

15、(2- a x )在 0，1上是 x 的減函數(shù)，求 a的取值范圍8.已知函數(shù) y=log a2 (x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函數(shù)，求 a的取值范圍 .9. 已知函數(shù) f(x)=log ax(a > 0,a 1)，如果對于任意 x 3， +)都有 |f(x)| 1 成立， 試求 a 的取值范圍 .10.若函數(shù) y log a (1 x)在0,1) 上是增函數(shù)， a的取值范圍是111. 使 log a1成立的 a 的取值范圍是212.若定義在 ( 1， 0)內(nèi)的函數(shù) f(x) log 2a(x 1)滿足 f(x)>0，則 a 的取值范圍是七、最值問題1.函數(shù) ylogax

16、在2,10上的最大值與最小值的差為 1，則常數(shù) a.22.求函數(shù) y log 1 x log1 x 5 x 2,4 的最小值,最大值.。443. 設a>1,函數(shù) f(x)=log ax在區(qū)間 a,2a上的最大值與最小值之差為 12，則 a=4. 函數(shù) f(x)=ax+loga(x+1)在 0，1上的最大值和最小值之和為 a，則 a=xx5.已知 0 x 2,則函數(shù) y 4x 3 2x 4 的最大值是，最小值是 .226.已知 f(x) 1 log 2 x,(1 x 4) ，求函數(shù) g(x) f 2(x) f (x2)的最大值與最小值2 x x7.已知 x滿足 2(log 0.5 x)2

17、7 log0.5 x 3 0，求函數(shù) f(x) (log2 )(log 2 )的最值。24設x 0,y 0,且x 2y 1,求函數(shù)u log 1 (8xy 4y 2 1)的值域.8. 29.函數(shù) f(x)axloga(x+1)在0,1上的最大值與最小值之和為 a，則 a110.求函數(shù) y log1 (1 3x) log2(3x) 的最小值2311. 函數(shù)在區(qū)間 上的最大值比最小值大 2，則實數(shù) =_ 八、單調(diào)性1.討論函數(shù) y lg(1 x) lg(1 x) 的奇偶性與單調(diào)性22.函數(shù) y lg(2 x x2 )的定義域是 ,值域是，單調(diào)增區(qū)間是23.函數(shù) f (x) ln( x2 4x 3)

18、的遞減區(qū)間是4.函數(shù) y=log 1/3(x 2-3x) 的增區(qū)間是 5.證明函數(shù) f(x) log2(x2 1)在 (0, )上是增函數(shù)26.函數(shù) f (x) log 2(x2 1) 在( ,0) 上是減函數(shù)還是增函數(shù)？7.求函數(shù) y log1 (x2 2x 3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明22.8.求 y=log0.3( x 2 -2x)的單調(diào)遞減區(qū)間29. 求函數(shù) y= log 2 ( x2 -4x)的單調(diào)遞增區(qū)間10. 函數(shù) y=log 1 (x2-3x+2) 的遞增區(qū)間是211.函數(shù) y lg(2x x2 )的值域是，單調(diào)增區(qū)間是12.若函數(shù) y log2(x2 ax a)在區(qū)間

19、 ( ,1 3) 上是減函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍21.證明函數(shù) y= log1 ( x +1)在( 0，+)上是減函數(shù)；2.已知函數(shù) f( x ) =log 2(x 2-ax-a)在區(qū)間( -, 1- 3 上是單調(diào)遞減函數(shù) .，求實數(shù) a 的取值范圍 .x,2 上有意義，試求實數(shù) k 的取值范圍3.已知函數(shù) f (x) lg(4 k 2x) ，(其中 k實數(shù))求函數(shù) f (x) 的定義域；()若 f (x) 在小結： 復合函數(shù)的單調(diào)性f (x),g(x) 的單調(diào)相同，f(g(x) 為增函數(shù)，否則為減函數(shù)82九、奇偶性1.函數(shù) f x ln 1 x2的奇偶性是2.若函數(shù) f x 是奇函數(shù)，且0

20、 時， f xlgx 1 ，則當 x 0 時， f x3.偶函數(shù) f x 在 0,2 內(nèi)單調(diào)遞減， a1,b f log 0.5 ,c f lg 0.5 ，則 a,b,c 之間的大小關系4) 上為增函數(shù)，4.已知 f(x) 是定義在 R上的偶函數(shù)，且在 0,f (1) 0 ，則不等式 f (log 1 x) 0 的解集為31,則 f (a)5.已知函數(shù) f (x) lg1 x,若 f (a)1x6. 已知奇函數(shù)滿足 ，當時， 函數(shù)，則7.已知f (x) lg(x x2 1)(1)判斷f(x) 奇偶性(2)判斷f (x)的單調(diào)性8. 知函數(shù) f(x)=log a x b(a>0,且a1，b

21、>0)(1)求f(x)定義域；(2)討論 f(x)奇偶性；(3)討論 f(x) xb單調(diào)性9. a,bR，且 a2,定義在區(qū)間( -b,b)內(nèi)的函數(shù) f(x)= lg 1 ax 是奇函數(shù)1 2x1)求 b 取值范圍 2)討論函數(shù) f(x)單調(diào)性 .10. 設 a,bR，且 a2,定義在區(qū)間( -b,b)內(nèi)的函數(shù) f(x)= lg1 ax 是奇函數(shù) .1 2x(1) 求 b 的取值范圍； (2)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性 .11. 已知函數(shù) f(x) loga(1 x), g(x) log a (1 x)其中(a 0且a 1)，設 h(x) f (x) g(x).(1)求函數(shù) h(x) 的

22、定義域，判斷 h(x) 的奇偶性，并說明理由；(2)若 f(3) 2 ，求使h(x) 0成立的 x的集合.十、對稱問題與解析式1.已知函數(shù) f x 的定義域是 0, ，且對任意的 x1,x2 0 滿足 f x1 f x1 f x2 ，當 x 1時有x2f x 0 ，請你寫出一個滿足上述條件的函數(shù) f x 。2 2x2.已知函數(shù) f x 滿足 f x2 3 log a2 a 0,a 16 x2( 1)求 f x 的解析式；( 2)判斷 f x 的奇偶性；( 3)討論 f x 的單調(diào)性；( 4)解不等式 f x loga 2x3.已知定義域為 ( ,0) (0, ) 的函數(shù) y f (x )滿足條

23、件：對于定義域內(nèi)任意 x1,x2都有 f(x1x2) f (x1) f (x2).(1)求證： f(1)f(x)，且 f(x)是偶函數(shù)； (2)請寫出一個滿足上述條件的函數(shù) .x5. 已知函數(shù) f(x)=log a(x+1)(a>1),若函數(shù) y=g(x)圖象上任意一點 P關于原點對稱點 Q的軌跡恰好是函數(shù) f(x)的圖象.(1)寫出函數(shù) g(x)的解析式； (2)當 x0，1)時總有 f(x)+g(x) m成立，求 m的取值范圍 .解( 1)設 P(x，y)為 g(x)圖象上任意一點，則 Q(-x，-y)是點 P 關于原點的對稱點， Q（-x，-y）在 f（x） 的圖象上，設 F(x)

24、=loga1 x ,x 0，1)，1x由題意知，只要 F （ x） min m 即可 . -y=log a( -x+1 )，即 y=g(x)=-log a(1-x). ( 2) f(x)+g(x) m,即 loga x 1 m. 1xF（ x）在 0，1）上是增函數(shù)，由于 log2x1= log8 x1 =3log8x1,log2x2=3log8x2, OC的斜率為 k1= log 2 x1 3log8x1 log8 2x1x1OD 的斜率為 k2log2 x2x23log8x2 ,由此可知 k1=k2 x2F（x）min=F （0）=0.故 m0 即為所求1）證明設點 A、B 的橫坐標分別為

25、 x1、 x2,由題設知 x1>1,x2>1,則點 A、B 的縱坐標分別為 log8x1、log8x2.因為 A、B在過點 O的直線上，所以 log8 x1 log8 x2 點 C、 D的坐標分別為 （x1,log2x1）、（x2,log2x2）, x1x2即 O、 C、 D 在同一直線上2）解由于BC 平行于 x 軸，知 log 2x1=log 8x2，即得log2x1= 1log2x2,x2=x31,代入 x2log8x1=x1log8x2，得 x31log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1,知 log 8x1 0,故 x31=3x 1, 又因 x1>1,解

26、得 x1= 3 ,于是點 A 的坐標為3 ， log8 3 ).6. 已知過原點 O的一條直線與函數(shù) y=log8x 的圖象交于 A、B 兩點，分別過 A、B 作 y軸的平行線與函數(shù) y=log2x 的圖象交于 C、D 兩點 .（1）證明:點C、D和原點 O在同一直線上； （2）當 BC平行于 x軸時，求點 A 的坐標.7. 設函數(shù)且求 的解析式，定義域；討論 的單調(diào)性，并求 的值域十一、對數(shù)函數(shù)圖象1函數(shù) y log3（x 2）的圖象是由函數(shù) y log3 x的圖象得到。2.函數(shù) y log3（x 2） 3的圖象是由函數(shù) y log3 x的圖象得到。3.函數(shù) y loga（x b） c（a

27、0,a 1 ）的圖象是由函數(shù) y loga x的圖象 當b 0,c 0時向_單位得到 ;當 b 0,c 0 時向_單位得到 ;當 b 0,c 0 時向_單位得到 ;當 b 0,c 0 時向_單位得到嘗試總結： 平移變換 y f(x) y f (x a) b的法則 1.將函數(shù) y=2x的圖象向左平移 1個單位得到 C1，將 C1向上平移 1個單位得到 C2，而 C3與 C2關于直線 y=x對稱，則 C3 對應的函數(shù)解析式是2.函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù) y log3 x 的圖像的關系，并畫出它們的示意圖，由圖像寫出它的單調(diào)區(qū)間：(1) y log3|x|；(2) y |log3x|；(3) y log

28、3( x)；(4)ylog3 x1.已知 x1是方程 xlgx3的根， x2是方程 x10x3的根求函數(shù) f(x) log 2| x2 x 12 |的單調(diào)區(qū)間2.如圖，曲線是對數(shù)函數(shù)的圖象，已知 的取值 ，則相應于曲線的 值依次為(?)x3.方程 loga x ax(a 1)的解的個數(shù)為4.已知關于 x 的方程 lg 2 x 2alg x 2a 0的兩根均大于 1，則實數(shù) a 的取值范圍是2個 .則 x1 x25.方程 log2 |x| x2 的實根個數(shù)是6.已知 f(x)1 logx3， g(x)2logx2，比較 f(x)與 g(x)的大小xx7. 設 a>0 且 a 1,求證：方程

29、 a a -x=2a 的根不在區(qū)間 -1,1 內(nèi)8.若，且，則 滿足的關系式是?()的圖象是 ?(?)D)關于直線對稱9.若是偶函數(shù)，則A)關于 軸對稱( B)關于 軸對稱( C)關于原點對稱10 方程 實數(shù)解所在的區(qū)間是(?)( A)?(B)(C)D)11.已知 x、 y 為實數(shù)，滿足(log 4y )2= log1 x ，試求 的最大值及相應的2yx、 y 的值十二、附加內(nèi)容(補充)本節(jié)主要介紹以下幾個問題一、反函數(shù)的定義從y f ( x)中解出 x二、反函數(shù)的求法求原函數(shù)值域(反函數(shù) 定義域) x與y互換，加注定義域三、反函數(shù)存在的條件四、反函數(shù)的性質(zhì)y=ax及 y=log ax 互為反函數(shù),反函數(shù)的定義一般的,如果 y是x的一個函數(shù) (y=f(x), 另一方面 ,x也是 y的函數(shù)(x=g(y), 將此函數(shù)稱作函數(shù) y=f(x)的反函數(shù)。一般仍用 x 表示自變量 ,y 表示函數(shù)值 ,這樣 y=f(x) 的反函數(shù)記作 y=f -1(x),y=f -1(x) 與 y=f(x) 互為反函數(shù)y=ax與 y=log ax 互為反函數(shù)注意：