方向?qū)?shù)與梯度

1、第九講 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)（一）定義（二）計算一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)（一）定義（二）計算引言引言偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfxxyxfyxxfx ),(),(lim00000 xyOD0 x0yx 函數(shù)沿函數(shù)沿x軸方向的變化率軸方向的變化率),(00yxfyyyxfyyxfy ),(),(lim00000y 函數(shù)沿函數(shù)沿y軸方向的變化率軸方向的變化率函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率函數(shù)沿任一方向的變化率？函數(shù)沿任一方向的變化率？例如：例如：在氣象學(xué)中在氣象學(xué)中,

2、 需要確定需要確定大氣溫度大氣溫度氣壓氣壓沿某些方向的變化率沿某些方向的變化率方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)引言引言設(shè)設(shè)在在),(0000zyxP的某一鄰域內(nèi)有定義的某一鄰域內(nèi)有定義,),(zyxfu 是以是以),(0000zyxP為起點的一條射線為起點的一條射線ll),(zyxP是是 上任一點上任一點,PP0le)cos,cos,(cos leltePP 0),0(|0 ttPPtzzyyxx coscoscos000l射線射線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程: cos0txx cos0tyy cos0tzz 0 t)cos,cos,cos(000 tztytxP 0PPlyxzOt定義定義設(shè)設(shè)在在),(0000z

3、yxP的某一鄰域的某一鄰域),(zyxfu ),(0000zyxP為始點的一條射線為始點的一條射線,l是是 上另一點上另一點,)cos,cos,cos(000 tztytxP 是以是以l)(0PU內(nèi)有定義內(nèi)有定義,),(0PUP 且且如果函數(shù)增量如果函數(shù)增量),()cos,cos,cos(000000zyxftztytxf 與與P到到0P的距離的距離tPP |0的比值的比值tzyxftztytxf),()cos,cos,cos(000000 當(dāng)當(dāng)P沿著沿著l趨于趨于0P(即即 0t)時的極限存在，則稱此極限為時的極限存在，則稱此極限為函數(shù)函數(shù)),(zyxf在在0P沿方向沿方向l的方向?qū)?shù)的方向

4、導(dǎo)數(shù),記作記作.),(000zyxlf tzyxftztytxft),()cos,cos,cos(lim0000000 ),(000zyxlf l注注二元函數(shù)二元函數(shù)),(yxf在在),(000yxP沿方向沿方向l(方向角為方向角為), 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 ),(00yxlf (1)(2),(000zyxlf 刻畫了函數(shù)刻畫了函數(shù)),(zyxf在在),(0000zyxP沿方向沿方向l的變化率的變化率tzyxftztytxft),()cos,cos,cos(lim0000000 ),(000zyxlf l注注(3)(4),(),(

5、0000yxfyxlfx 單側(cè)極限單側(cè)極限例例定義式的特點定義式的特點比式比式分子分子: 射線射線l上兩點函數(shù)值之差上兩點函數(shù)值之差分母分母: 射線射線l上兩點的距離上兩點的距離偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)),(00yxfx存在存在,iel iel ),(),(0000yxfyxlfx 22),(yxyxf iel 1)0 , 0( lf) 0 , 0(xf但但不存在不存在一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)（一）定義（二）計算一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)（一）定義（二）計算定理定理函數(shù)在該點沿任意方向函數(shù)在該點沿任意方向l的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在, 且有且有如果函數(shù)如果函數(shù)),(zyxf在點在點),

6、(0000zyxP可微分可微分, 那么那么),(000zyxlf cos),(cos),(cos),(000000000zyxfzyxfzyxfzyx 其中其中 cos,cos,cos是方向是方向l的方向余弦的方向余弦.u例例1 求求zxyzxyzyxf ),(在點在點) 2 , 1 , 1 (沿方向沿方向l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù),其中其中l(wèi)的方向角分別為的方向角分別為.60,45,60ooou例例2 設(shè)設(shè)n是曲面是曲面632222 zyx在點在點) 1 , 1 , 1 (P處指向外側(cè)處指向外側(cè)的法向量的法向量,求函數(shù)求函數(shù)zyxu2286 在點在點P處沿方向處沿方向n的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).l注

7、注則有則有如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxf在點在點),(000yxP可微分可微分,),(00yxlf cos),(cos),(0000yxfyxfyx .sin),(cos),(0000 yxfyxfyx u例例3 求函數(shù)求函數(shù)yxze 在點在點) 0 , 1 (P沿從點沿從點) 0 , 1 (P到點到點) 1, 2( Q的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).u例例4 求函數(shù)求函數(shù)yxyz 23在拋物線在拋物線xy32 上點上點) 2 , 1 (處處,沿著這拋物線在該點處偏向沿著這拋物線在該點處偏向x軸正向的切線方向軸正向的切線方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度方向?qū)?shù)與梯

8、度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義二、梯度二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義定義定義即即:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf在平面區(qū)域在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),稱向量稱向量jyxfiyxfyx),(),(0000 為函數(shù)為函數(shù)),(yxf在點在點),(000yxP的梯度的梯度, 記作記作),(grad00yxf或或).,(00yxf ,),(),(),(),(grad00000000jyxfiyxfyxfyxfyx 其中其中jyix 稱為稱為(二維的二維的)向量微分算子或向量微分算子或Nabla算子算子 fjyix

9、定義定義其中其中:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxf在平面區(qū)域在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),稱向量稱向量kzyxfjzyxfizyxfyyx),(),(),(000000000 為函數(shù)為函數(shù)),(zyxf在點在點),(0000zyxP的梯度的梯度, 記作記作),(grad000zyxf或或).,(000zyxf kzjyix 稱為稱為(三維的三維的)向量微分算子或向量微分算子或Nabla算子算子 fkzjyix 與方向?qū)?shù)的關(guān)系與方向?qū)?shù)的關(guān)系),(00yxlf cos),(cos),(0000yxfyxfyx cos| ),(grad|00yxf0 | ),(grad|00y

10、xf最大值最大值 | ),(grad|00yxf 最小值最小值2 0),(grad00yxf),(00yxlf ),(grad00yxf 梯度是一個向量梯度是一個向量方向方向: 方向?qū)?shù)最大值的方向方向?qū)?shù)最大值的方向l注注大小大小: 方向?qū)?shù)的最大值方向?qū)?shù)的最大值函數(shù)增加最快函數(shù)增加最快函數(shù)減少最快函數(shù)減少最快函數(shù)變化率為零函數(shù)變化率為零)cos,(cose llyxfe),(grad00 )e),(grad(00lyxf 梯度的投影梯度的投影幾何意義幾何意義曲線曲線L),(yxfz cz 在在xOy面上的投影面上的投影是一條平面曲線是一條平面曲線*Lcyxf ),(0 z*LL平面曲線平

11、面曲線cyxf ),(稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 的等值線的等值線.等值線等值線cyxf ),(上任一點上任一點),(000yxP處的法向量處的法向量),(00yxf 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在一點在一點),(00yx處的梯度處的梯度就是等值線就是等值線cyxf ),(在這點的法向量在這點的法向量,由數(shù)量低的等值線指向數(shù)量高的等值線由數(shù)量低的等值線指向數(shù)量高的等值線.xOyxOyz1cf 2cf 3cf 321ccc n),(),(0000yxfyxfyx 類似地類似地, 曲面曲面czyxf ),(稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(zyxf的等值面的等值面.函數(shù)函數(shù)),(zyxf在一點在一點),(00

12、0zyx處的梯度就是等值面處的梯度就是等值面.czyxf ),(在這點的法向量在這點的法向量,由數(shù)量低的等值面指向由數(shù)量低的等值面指向數(shù)量高的等值面數(shù)量高的等值面.二、梯度二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義二、梯度二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義u例例5 求求.1grad22yx u例例6 設(shè)設(shè)),1 , 1 (),(21),(022Pyxyxf 求求(1),(yxf在在0P處增加最快的方向以及處增加最快的方向以及沿這個方向的方向?qū)?shù)沿這個方向的方向?qū)?shù).),(yxf(2),(yxf在在0P處減少最快的方向以及處減少最快的方向以及沿這個方向的方向?qū)?shù)沿這個方向的方向?qū)?shù).),

13、(yxf(3),(yxf在在0P處的變化率為零的方向處的變化率為零的方向.u例例7 設(shè)設(shè)),0 , 1 , 1 (,),(023Pzxyxzyxf 問問),(zyxf在在0P處的沿什么方向變化最快處的沿什么方向變化最快,變化率是多少變化率是多少.u例例8 求曲面求曲面922 zyx在點在點) 4 , 2 , 1 (0P的切平面和法線方程的切平面和法線方程.二、梯度二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義二、梯度二、梯度（一）概念（二）計算（三）物理意義物理量在空間的分布物理量在空間的分布數(shù)量場數(shù)量場場場:如如: 溫度場溫度場, 密度場等密度場等任意一個向量場不一定是梯度場任意一個向量場不一定是梯度場.用數(shù)量函數(shù)表示用數(shù)量函數(shù)表示向量場向量場如如: 力場力場, 速度場等速度場等用向量函數(shù)表示用向量函數(shù)表示例例: 由數(shù)量函數(shù)由數(shù)量函數(shù))