講-貝齊爾曲線課件

1、1車車 身身 制制 圖圖山東交通學院山東交通學院汽車工程系汽車工程系主講：主講： 邱緒云邱緒云10-11第第2學期第學期第8周周2011-4-212 主要講授內(nèi)容主要講授內(nèi)容nCAGD發(fā)展；發(fā)展；n幾何造型技術(shù)；幾何造型技術(shù)；n參數(shù)曲線和曲面；參數(shù)曲線和曲面；nB樣條曲線與曲面；樣條曲線與曲面；nNURBS曲線與曲面；曲線與曲面； 第第3章章 車身曲線曲面的數(shù)學模型基礎車身曲線曲面的數(shù)學模型基礎33. 0P1P2P3P圖3.1.8 三次Bezier曲線0P1P2P3P43. 1 1定義定義 給定空間給定空間n+1個點的位置矢量個點的位置矢量Pi i（i=0，1，2，n n），則），則Bezie

2、r曲線可定義為：曲線可定義為： 1 , 0),()(,0ttBPtPniini)(),(),()(tztytxtP注意：注意：(,)iiiiPxyz53. n 其中，其中，Pi 構(gòu)成該構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊曲線的特征多邊形，形，Bi,n(t)是是n次次Bernstein基函數(shù)：基函數(shù)：n0 =1, 0!=1), 1 , 0( )1 ()!( !)1 ()(,nittininttCtBiniiniinni 63.三次三次Bernstein基函數(shù)及曲線基函數(shù)及曲線三次三次Bernstein基函數(shù)基函數(shù) (1 )f (t )t(1 )B1 ,3B1 ,3B0 ,3B2 ,3B3 ,3當當n

3、=3時，時，B0,3(t)=(1-t)3，B1,3(t)=3t(1-t)2，B2,3(t)=3t2(1-t)，B3,3(t)=t3。注意：注意：三次三次Bernstein基基函數(shù)函數(shù) 性質(zhì)影響曲線性質(zhì)。性質(zhì)影響曲線性質(zhì)。73. 3 3BezierBezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)（1）端點性質(zhì)）端點性質(zhì) a）曲線端點位置矢量曲線端點位置矢量 由由Bernstein基函數(shù)的端點性質(zhì)可以推得，基函數(shù)的端點性質(zhì)可以推得，當當t=0t=0時，時，P(0)=PP(0)=P0 0 ；當；當t=1t=1時，時，P(1)=PnP(1)=Pn。由此。由此可見，可見，BezierBezier曲線的起點、終點與相應的

4、特征曲線的起點、終點與相應的特征多邊形的起點、終點重合。多邊形的起點、終點重合。83. （2）對稱性。由控制頂點對稱性。由控制頂點 構(gòu)造出的新構(gòu)造出的新Bezier曲線，與原曲線，與原Bezier曲線形狀相同，走向相反。曲線形狀相同，走向相反。因為：因為：這個性質(zhì)說明這個性質(zhì)說明Bezier曲線在起點處有什么幾何性質(zhì)，曲線在起點處有什么幾何性質(zhì)，在終點處也有相同的性質(zhì)。在終點處也有相同的性質(zhì)。),.,1 , 0( ,*niPPinininininiininininniinniittBPtBPtBPtBPtC000,0,* 1 , 0),1 ()1 ()()()(*93. （6）交互能力）交互能

5、力 改變曲線的形式，只需改變控制點改變曲線的形式，只需改變控制點Pi i 。（7）可分割性）可分割性) 3/1 (30PP 011/3圖3.1.12 幾何作圖法求Bezier曲線 上一點（n=3，t=1/4）0P1P2P3P10P11P12P20P21P103. 計算計算Bezier曲線上的點，可用曲線上的點，可用Bezier曲線方程，但使曲線方程，但使用用de Casteljau提出的遞推算法則要簡單的多。提出的遞推算法則要簡單的多。 如下圖所示，設如下圖所示，設 、 、 是一條拋物線上順序三個是一條拋物線上順序三個不同的點。過不同的點。過 和和 點的兩切線交于點的兩切線交于 點點,在在 點

6、的切線點的切線交交 和和 于于 和和 ，則如下比例成立：，則如下比例成立：這是所謂這是所謂。0P20P2P0P2P1P20P0P1P2P1P10P11P11202010211111110100PPPPPPPPPPPP113. 0P1P2P11P10P20PBezier曲線上的點圖3.1.10 拋物線三切線定理123. 當當P0 0，P2 2固定，引入?yún)?shù)固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為，令上述比值為t:(1-t)，即有：，即有： t從從0變到變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、二

7、式代入第三式得：曲線。將一、二式代入第三式得： 當當t從從0變到變到1時，它表示了由三頂點時，它表示了由三頂點P0 0、P1 1、P2 2三點定義的三點定義的一條二次一條二次BezierBezier曲線。并且表明：這二次曲線。并且表明：這二次BezierBezier曲線曲線P2 20 0可以可以定義為分別由前兩個頂點（定義為分別由前兩個頂點（P0 0，P1 1）和后兩個頂點（）和后兩個頂點（P1 1，P2 2）決定的一次決定的一次BezierBezier曲線的線性組合。依次類推，由四個控制點曲線的線性組合。依次類推，由四個控制點11102021111010)1 ()1 ()1 (tPPtPtP

8、PtPtPPtP2210220)1 (2)1 (PtPttPtP11202010211111110100PPPPPPPPPPPP133. 定定義的三次義的三次BezierBezier曲線曲線P3 30 0可被定義為分別由可被定義為分別由( (P0 0，P1 1，P2 2) )和和( (P1 1，P2 2，P3 3) )確定的二條二次確定的二條二次BezierBezier曲線的線性組合，由曲線的線性組合，由(n+1)(n+1)個控制點個控制點Pi i(i=0, 1, ., n)(i=0, 1, ., n)定義的定義的n n次次BezierBezier曲線曲線Pn n0 0可被定可被定義為分別由前

9、、后義為分別由前、后n n個控制點定義的兩條個控制點定義的兩條(n-1)(n-1)次次BezierBezier曲線曲線 P0 0n-1n-1與與P1 1n-1n-1的線性組合：的線性組合：由此得到由此得到Bezier曲線的遞推計算公式：曲線的遞推計算公式：這便是著名的這便是著名的de Casteljau算法。用這一遞推公式，在給定參算法。用這一遞推公式，在給定參數(shù)下，求數(shù)下，求Bezier曲線上一點曲線上一點P(t)非常有效。上式中：是定義非常有效。上式中：是定義Bezier 1 , 0)1 (11100ttPPtPnnnkninktPPtkPPkikiiki,.,1 , 0,.,2 , 1)

10、1 (0111143. 曲線的控制點，曲線的控制點， 即為曲線即為曲線 上具有參數(shù)上具有參數(shù)t的點。的點。de Casteljau算法穩(wěn)定可靠，直觀簡便，可以編出十分簡捷的程序，是計算算法穩(wěn)定可靠，直觀簡便，可以編出十分簡捷的程序，是計算Bezier曲線的基本算法和標準算法。曲線的基本算法和標準算法。當當n=3時，時，de casteljau算法遞推出的算法遞推出的Pk ki i呈直角三角形，對應結(jié)呈直角三角形，對應結(jié)果如圖果如圖3. .1. .11所示。從左向右遞推，最右邊點所示。從左向右遞推，最右邊點P3 30 0即為曲線上的即為曲線上的點。點。nP0)(tP153. 0P1P2P3P10

11、P11P12P20P21P30P圖3.1.11 n=3時niP的遞推關系163. void CMyView:bezier_DeC ( DCPoint a, DCPoint b, DCPoint c, DCPoint d )DCPoint t1, t2, t3, t4, t5;t1.x = (a.x + b.x )/2;t1.y = (a.y + b.y )/2;t2.x = (c.x + b.x )/2;t2.y = (c.y + b.y )/2;t3.x = (c.x + d.x )/2;t3.y = (c.y + d.y )/2;t4.x = (a.x + b.x + c.x + b.x

12、)/4;t4.y = (a.y + b.y + c.y + b.y )/4;t5.x = (c.x + d.x + c.x + b.x )/4;t5.y = (c.y + d.y + c.y + b.y )/4;t2.x = (a.x + b.x + c.x + b.x + c.x + d.x + c.x + b.x)/8;t2.y = (a.y + b.y + c.y + b.y + c.y + d.y + c.y + b.y)/8;if (pow (a.x - t2.x),2) + pow (a.y-t2.y),2)25) bezier_DeC (a, t1, t4, t2 );173.

13、else :Sleep(5);ddaline (a.x, a.y, t1.x, t1.y, COLOR);ddaline (t1.x, t1.y, t4.x, t4.y, COLOR);ddaline (t4.x, t4.y, t2.x, t2.y, COLOR);if (pow (d.x - t2.x),2) + pow (d.y-t2.y),2)25) bezier_DeC (t2, t5, t3, d);else :Sleep(5);ddaline (t2.x, t2.y, t5.x, t5.y, COLOR);ddaline (t5.x, t5.y, t3.x, t3.y, COLOR

14、);ddaline (d.x, d.y, t3.x, t3.y, COLOR);183. 這一算法可用簡單的幾何作圖來實現(xiàn)。給定參數(shù)這一算法可用簡單的幾何作圖來實現(xiàn)。給定參數(shù) ，就把定義域分成長度為，就把定義域分成長度為 的兩段。依次對的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點就是由第一級遞推生成的中間頂點點就是由第一級遞推生成的中間頂點 , 對這些中間頂點構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比對這些中間頂點構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點分割，得第二級中間頂點 。重復進行下。重復進行下去，直到去，直到n級遞推得

15、到一個中間頂點級遞推得到一個中間頂點 即為所求曲線上即為所求曲線上的點的點 ，如圖，如圖3.1.12.1.12所示所示。 1 , 0t)1 ( :tt) 1, 1 , 0(1niPi)2, 1 , 0(2niPinP0)(tP193. 3203. 0P1P2P3P10P11P12P20P21P30P圖3.1.11 n=3時niP 的遞推關系3. 22練習練習寫出三次寫出三次Bezier曲線的遞推計算公式：給出曲線的遞推計算公式：給出P0(1,1), P1(4,4), P2(8,4), P3(10,2),用遞推算法和用遞推算法和Bezier曲線定義公曲線定義公式，分別計算式，分別計算t=0.2,

16、t=0.8 Bezier曲線的點。曲線的點。)t(30PP 01t0P1P2P3P10P11P12P20P21P233. 幾何設計中，一條幾何設計中，一條Bezier曲線往往難以描述復雜的曲線往往難以描述復雜的曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點數(shù)，曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點數(shù)，會引起會引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項式又會帶曲線次數(shù)的提高，而高次多項式又會帶來計算上的困難，實際使用中，一般不超過來計算上的困難，實際使用中，一般不超過10次。所次。所以有時采用分段設計，然后將各段曲線相互連接起來，以有時采用分段設計，然后將各段曲線相互連接起來，并在接合處保持一定

17、的連續(xù)條件。下面討論兩段并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達到不同階幾何連續(xù)的條件。曲線達到不同階幾何連續(xù)的條件。243. 253. 給定兩條給定兩條Bezier曲線曲線P(t)和和Q(t)，相應控制點為，相應控制點為Pi i(i=0, 1, ., n)和和Qj j(j=0,1,., m)，且令，且令 ，如圖，如圖3. .1. .13所示，所示，我們現(xiàn)在把兩條曲線連接起來。我們現(xiàn)在把兩條曲線連接起來。 圖圖3. .1.13.13 Bezier曲線的拼接曲線的拼接11,jjjiiiQQbPPab1Pn-2Pn-2Pn-1P(t)an-1anPnQ0Q1b2Q2Q(t)26

18、3. （1）要使它們達到）要使它們達到G0 0連續(xù)的充要條件是：連續(xù)的充要條件是：Pn n= Q0 0；（2）要使它們達到）要使它們達到G1連續(xù)的充要條件是：連續(xù)的充要條件是：Pn-1n-1，Pn n=Q，Q1 1三三點共線，即：點共線，即：（3）要使它們達到）要使它們達到G2連續(xù)的充要條件是：在連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，連續(xù)的條件下，并滿足方程并滿足方程 我們將我們將 、 和和 ， 、 代入，并整理，代入，并整理，可以得到：可以得到： 選擇選擇 和和 的值，可以利用該式確定曲線段的值，可以利用該式確定曲線段 的特征多邊的特征多邊形頂點形頂點 ，而頂點，而頂點 、 已被已被 連續(xù)條

19、件所確定。要達到連續(xù)條件所確定。要達到 連連續(xù)的話，只剩下頂點續(xù)的話，只剩下頂點 可以自由選取。可以自由選取。)0(1nab) 1 () 1 ()0(2PPQ)0(Q) 1 (P) 1 (PnPQ 0)(121nnPPQQ221222122112nnnPPnPnQ)(tQ2Q0Q1Q1G2G2Q273. 如果從上式的兩邊都減去如果從上式的兩邊都減去 ，則等式右邊可以表示為，則等式右邊可以表示為 和和 的的 線性組合：線性組合：這表明這表明 、 、 、 和和 五點共面，事實上，在接五點共面，事實上，在接合點兩條曲線段的曲率相等，主法線方向一致，我們合點兩條曲線段的曲率相等，主法線方向一致，我們還

20、可以斷定：還可以斷定： 位于直線位于直線 的同一側(cè)。的同一側(cè)。nP)(1nnPP)(21nnPP)()(12212122nnnnnPPPPnPQ2nP1nP0QPn1Q2Q2nP2Q11QPn283. 1Bezier曲線的升階曲線的升階 所謂所謂是指保持是指保持Bezier曲線的形狀與定向不變，曲線的形狀與定向不變，增加定義它的控制頂點數(shù)，也即是提高該增加定義它的控制頂點數(shù)，也即是提高該Bezier曲曲線的次數(shù)。線的次數(shù)。增加了控制頂點數(shù)，不僅能增加了對曲增加了控制頂點數(shù)，不僅能增加了對曲線進行形狀控制的靈活性，還在構(gòu)造曲面方面有著線進行形狀控制的靈活性，還在構(gòu)造曲面方面有著重要的應用。對于一

21、些由曲線生成曲面的算法，要重要的應用。對于一些由曲線生成曲面的算法，要求那些曲線必須是同次的。應用升階的方法，我們求那些曲線必須是同次的。應用升階的方法，我們可以把低于最高次數(shù)的的曲線提升到最高次數(shù)，而可以把低于最高次數(shù)的的曲線提升到最高次數(shù)，而獲得同一的次數(shù)。獲得同一的次數(shù)。293. 1Bezier曲線的升階曲線的升階 曲線升階后，原控制頂點會發(fā)生變化。下面，我曲線升階后，原控制頂點會發(fā)生變化。下面，我們來計算曲線提升一階后的新的控制頂點。們來計算曲線提升一階后的新的控制頂點。設給定原始控制頂點設給定原始控制頂點 ，定義了一條，定義了一條n次次Bezier曲線：曲線：nPPP,10 1 , 0)()(0,ttBPtPniniiiniinnittCtB)1 ()(,303. 增加一個頂點后，仍定義同一條曲線的新控制頂點