概率論與隨機過程：第3章 第四節(jié) 條件分布

1、) () () | (BPABPBAP第四節(jié) 條件分布 在第一章中，我們介紹了條件概率的概念在第一章中，我們介紹了條件概率的概念 .在事件在事件B發(fā)生發(fā)生的條件下事件的條件下事件A發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率)()()|(BPABPBAP推廣到隨機變量推廣到隨機變量 設(shè)有兩個設(shè)有兩個r.v X,Y ， 在給定在給定Y取某個或某些值的取某個或某些值的條件下，求條件下，求X的概率分布的概率分布.這個分布就是條件分布這個分布就是條件分布.) () () | (BPABPBAP 例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機抽取一例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機抽取一個學(xué)生，分別以個學(xué)生，分別以X和和Y

2、 表示其體重和身高表示其體重和身高 . 則則X和和Y都是都是隨機變量，它們都有一定的概率分布隨機變量，它們都有一定的概率分布.體重體重X身高身高Y體重體重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布) () () | (BPABPBAP 現(xiàn)在若限制現(xiàn)在若限制1.7Y0,pj0，考慮在事件Y=yj已發(fā)生的條件下事件X=xi發(fā)生的概率,即 X=xi|Y=yj, i=1,2,.的概率,由條件概率公式, ., 2 , 1,| ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji) () () | (BPABPBAP 顯然，上述條件概率具有分布律的特性(1).P PX=xi|Y=yj0； 1|).2(11 jjij

3、ijijippppyYxXP1定義 設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量,對于固定 的j，若PY=yj0，則稱 .2 , 1,| ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律。 ) () () | (BPABPBAP 同理，對于固定的i，若PX=xi0，則稱 ., 2 , 1,| jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij為在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律。 2. 條件分布函數(shù) xxjijjYXiyYxXPyYxXPyxF|)|(|jxxijxxjijppppii ) () () | (BPABPBAP同理： iyyijiXYppxyFj)|

4、(|例1 二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律如表 XYX1= -1 X2=1 X3=2 Y=0 1/12 0 3/12 Y=3/2 2/12 1/12 1/12 Y=2 3/12 1/12 0求條件分布律PX=xi|Y=2. ) () () | (BPABPBAP解：X與Y的邊緣分布如表： XYx1=-1 x2 =1 x3 =2 p.j y1=0 1/12 0 3/12 4/12 y2 =3/2 2/12 1/12 1/12 4/12 y3=2 3/12 1/12 0 4/12 pi . 6/12 2/12 2/12 4/12 PX=-1|Y=2=p13/p. .3=3/4；PX=1|Y=2

5、=p23/p. .3=1/4；PX=2|Y=2=p33/p. .3=0；又如：PX=1|Y=0=p21/p. .1=0等；) () () | (BPABPBAP PX=-1|Y=2=p13/p. .3=3/4；PX=1|Y=2=p23/p. .3=1/4；PX=2|Y=2=p33/p. .3=0；進(jìn)一步可求)2|(| YxFYX 11114310)2|(|xxxYxFYX) () () | (BPABPBAP例2: 一射手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0p1) ,射擊到擊中的目標(biāo)兩次為止.設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù),試求X和Y的聯(lián)合分布律及條件分布律.

6、解:按題意Y=n 就表示在第n次射擊時擊中目標(biāo),且在第1次,第2次,第n-1次射擊中恰有一次擊中目標(biāo). 已知各次射擊是相互獨立的,于是不管m(m0 ,于是對于任意x有,| yYyPyYyxXPyYyxXP 上式給出了在任意y-Yy+下X的條件分布函數(shù),現(xiàn)在我們引入以下的定義. ) () () | (BPABPBAP1.條件分布函數(shù)的定義：給定y,設(shè)對于任意實數(shù)x,若極限 ,lim|lim00 yYyPyYyxXPyYyxXP 存在,則稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù), 記為PXx|Y=y或記為FX|Y(x|y). 2公式： 設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，概率密度為f(x,y).

7、若在點(x,y)處f(x,y), fY(y)連續(xù),且fY(y)0,則有 ) () () | (BPABPBAP,lim)|(0| yYyPyYyxXPyxFYX xYYXYxYXduyfyufyxFyfduyufyxF)(),()|()(),()|(|或?qū)懗苫驅(qū)懗?，亦即亦?()(),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY 2/)()(2/),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY)(),(yFdydyyxFY ) () () | (BPABPBAP3.條件概率密度 定義)(),()|(|yfyxfyxfYYX 同理，)(),()|(|xfyxfxyfXXY 稱為在Y=y條件下X的條件

8、概率密度，且滿足概率密度的兩個性質(zhì)。 稱為在X=x條件下X的條件概率密度，且滿足概率密度的兩個性質(zhì)。 yXXYYXdvxfvxfxyFxyF)(),()|()|(|和和類類似似地地可可以以定定義義) () () | (BPABPBAP例1: 設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布 N(1,2,12,22,),求在X=x的條件下,Y的條件密度函數(shù)fY|X(y|x).解: (X,Y)的密度函數(shù)為 )()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 yyxxyxf yx，由上一節(jié)的例知道 21212)(121)( xXexf所以X=x條件下Y的條件概率密度為 ) () () | (BP

9、ABPBAP 12)(exp121)(),()|(2222112222| xyxfyxfxyfXXY這正是正態(tài)分布 )1,(2221122 xN) () () | (BPABPBAP例2: 設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)上隨機地取值,當(dāng)觀察到X=x(0 x1)時,數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機取值.求Y的概率密度fY(y). 解: 按題意X具有概率密度 其它其它0101)(xxfX 對于任意給定的值x(0 x1),在X=x的條件下,Y的條件概率密度 其它其它0111)|(|yxxxyfXY于是得聯(lián)合概率密度為 其它01011),(yxxyxf) () () | (BPABPBAP于是得關(guān)于Y的邊緣概率密度

10、為 其它其它010)1ln(11),()(0yydxxdxyxfyfyY) () () | (BPABPBAP例3:設(shè)(X,Y)的概率密度為 其它其它042 , 0, 0)24(163),(yxyxyxyxf求:(1) fY|X(y|x)；(2)PY2|X=1/2。 解：(1)先求X的邊緣概率密度。 其它020)2(83)24(163),()(2402xxdyyxdyyxfxfxX當(dāng)0 x2時， 其它其它0240)2(224)(),()|(2|xyxyxxfyxfxyfXXY) () () | (BPABPBAP 其它其它因為因為0309)3(2| )|()21|()2(21|yyxyfxyfxXYXY 。所所以以91392)21|(21|2322| dyydyxyfXYPXY) () () | (BPABPBAP小結(jié)小結(jié) （以連續(xù)型（以連續(xù)型r.v為例）為例）概念概念 聯(lián)合聯(lián)合p.d 邊緣邊緣p.d 條件