大學(xué)數(shù)學(xué)(同濟(jì)6版)1-2

1、1.數(shù)列的概念數(shù)列的概念： nxxxx,321,.,數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列中的每一個數(shù)叫做簡記為數(shù)列簡記為數(shù)列就叫做數(shù)列就叫做數(shù)列nx列數(shù)列數(shù)從小到大排列得到的一從小到大排列得到的一按照下標(biāo)按照下標(biāo)這些實(shí)數(shù)這些實(shí)數(shù)一個確定的實(shí)數(shù)一個確定的實(shí)數(shù)對應(yīng)著對應(yīng)著對每個對每個如果按照某一法則如果按照某一法則nxxNnnn, .叫做數(shù)列的一般項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)nxn項(xiàng)項(xiàng)第第一、數(shù)列定義一、數(shù)列定義;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ;,21,81,41,21n;,2 , 8 , 4 , 2n2n例如例如21n;1,43,

2、32,21 nn1 nn注意：注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.可看作一可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx:. 2的函數(shù)的函數(shù)可看作自變量為正整數(shù)可看作自變量為正整數(shù)數(shù)列數(shù)列nxn.),( Nnnfxn., 3 , 2 , 1nxn數(shù)列數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)值就排列成對應(yīng)的函數(shù)值就排列成時時等一切正整數(shù)等一切正整數(shù)依次取依次取當(dāng)自變量當(dāng)自變量 .)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義： 播放播放.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn2.數(shù)列極限的定義

3、數(shù)列極限的定義： 停止停止.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn2.數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義： )(,)1(11時時即即無限增大時無限增大時考察當(dāng)考察當(dāng)分析數(shù)列分析數(shù)列 nnnn對應(yīng)的對應(yīng)的 是否能無限接近于某個確定的常數(shù)？是否能無限接近于某個確定的常數(shù)？如果能夠的話，這如果能夠的話，這 個常數(shù)的值等于多少？個常數(shù)的值等于多少？nx因?yàn)橐驗(yàn)閚nxnn1|1)1( |1|1 n1因?yàn)橹灰驗(yàn)橹灰猲 n 足夠大，足夠大， 即即 可以小于可以小于任意給定的正數(shù)任意給定的正數(shù)|1| nx所以說，當(dāng)所以說，當(dāng)n n無限增大時，無限增大時， 無限接近于是無限接近于是1.1.n

4、xn1可見，當(dāng)可見，當(dāng)n n 越來越大時，越來越大時， 越來越小，從而越來越小，從而 就就越來越接近于越來越接近于1. . nx,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,100011 nx有有.1成立成立就有就有 nx時時只要只要取取任意給定正數(shù)任意給定正數(shù)一般地一般地NnN , 11,例如例如定義定義對于任意給定對于任意給定如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)為一數(shù)列為一數(shù)列設(shè)設(shè),axn |axn記為記為收斂于收斂于列列或者稱數(shù)或者稱數(shù)的極

5、限的極限是數(shù)列是數(shù)列那么就稱常數(shù)那么就稱常數(shù)都成立都成立,axxann不等式不等式時時使得當(dāng)使得當(dāng)總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)不論它多么小不論它多么小的正數(shù)的正數(shù),),(NnN ,limaxnn 或或).( naxn注意注意： .,. 1的無限接近的無限接近與與才能刻劃才能刻劃等式等式不不只有這樣只有這樣可以任意給定可以任意給定定義中的正數(shù)定義中的正數(shù)axaxnn .lim,不存在不存在習(xí)慣上也說習(xí)慣上也說是發(fā)散的是發(fā)散的說數(shù)列說數(shù)列或者或者沒有極限沒有極限就說數(shù)列就說數(shù)列如果不存在這樣的常數(shù)如果不存在這樣的常數(shù)nnnnxxxa . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)定定義義中中的的正正整

6、整數(shù)數(shù) N幾何解釋幾何解釋:.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)時時當(dāng)當(dāng)NaaxNnn 以下不等式成立以下不等式成立時時得當(dāng)?shù)卯?dāng)使使存在正整數(shù)存在正整數(shù)則對任給的則對任給的設(shè)設(shè), 0,limNnNaxnn x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa |axn axan即即數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以, 11 N取取,時時則當(dāng)則當(dāng)Nn 1)1(1

7、nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2 2. 0,)1()1(2的極限是的極限是證明數(shù)列證明數(shù)列已知已知nnnxnx 證證11)1(1|0)1()1(|22 nnnaxnn只只要要設(shè)設(shè)),1(0 ,1111 nn或或時時就就有有則則當(dāng)當(dāng)取取所所以以必必定定成成立立不不等等式式NnNaxn ,11,|,|0)1()1(|2 nn即即. 0)1()1(lim2 nnn例例3 3證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列設(shè)設(shè), 1|0 q 12, 1nqqq的極限是的極限是0.證證,|0011 nnnqqx要使要使, 0ln q,時時則則當(dāng)當(dāng)Nn ,01 nq就有就有. 0lim1 nnq

8、即即,lnln1qn 故故,1lnln qN取取),1(0 任任給給, 1|0.ln|ln)1( qqn因因只要只要定理定理1(1(極限的唯一性極限的唯一性) ) 證證二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)用反證法用反證法. .,那么它的極限唯一那么它的極限唯一收斂收斂如果數(shù)列如果數(shù)列nx.,2abnnbabxax 取取且且及及假設(shè)同時有假設(shè)同時有不等式不等式時時當(dāng)當(dāng)正整數(shù)正整數(shù)故故因?yàn)橐驗(yàn)?lim11NnNaxnn 2|abnax 不不等等式式時時當(dāng)當(dāng)正正整整數(shù)數(shù)故故因因?yàn)闉橥砝矶级汲沙闪⒘?lim,.22NnNbxnn 2|abnbx ) 1 ()2(式式時時則則當(dāng)當(dāng)取取都都成成立立)

9、1 ( ,max.21NnNNN 這這式式有有,2banx .是不可能的是不可能的.定理的斷言定理的斷言這矛盾證明了本這矛盾證明了本.)2(式會同時成立式會同時成立及及式式但由但由 )1()2(,2由由有有banx 例例4 4.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數(shù)列證明數(shù)列 nnx證證 (用反證法用反證法),21,成立成立有有時時使得當(dāng)使得當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即當(dāng)即當(dāng)區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.1.,1, 1兩兩個個數(shù)數(shù)無無休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取而而 nx因此這數(shù)列發(fā)散因此這數(shù)列發(fā)散. 而這兩個不可能同時屬于長度為而這兩個不可能同時屬于長度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi),li

10、maxnn 設(shè)設(shè),21 對于對于由由定義定義,定理定理2 （收斂數(shù)列的有界性）（收斂數(shù)列的有界性）.,一定有界一定有界那么數(shù)列那么數(shù)列收斂收斂如果數(shù)列如果數(shù)列nnxx證證根據(jù)數(shù)列極根據(jù)數(shù)列極設(shè)設(shè)收斂收斂因?yàn)閿?shù)列因?yàn)閿?shù)列.lim,axxnnn 不等式不等式時時當(dāng)當(dāng)正整數(shù)正整數(shù)對于對于限的定義限的定義, 1,NnN 1| axn,.時時當(dāng)當(dāng)于于是是都都成成立立Nn |,|1|)( |aaaxaaxxnnn |,|1|,| ,|,| |,max|21axxxMN 取取都都滿滿足足不不等等式式中中的的一一切切那那么么數(shù)數(shù)列列nnxx .|Mxn .是是有有界界的的這這就就證證明明了了數(shù)數(shù)列列nx有界性

11、是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件.注意：注意：.,一定發(fā)散一定發(fā)散那么數(shù)列那么數(shù)列無界無界如果數(shù)列如果數(shù)列nnxx.,4斂斂不能推出該數(shù)列一定收不能推出該數(shù)列一定收說明一個數(shù)列有界說明一個數(shù)列有界例例可見可見,2|aaxn 從而從而. 022 aaaxn定理定理3（收斂數(shù)列的保號性）（收斂數(shù)列的保號性）, 0),0(0,lim時時當(dāng)當(dāng)整數(shù)整數(shù)那么存在正那么存在正或或且且如果如果NnNaaaxnn ).0(0 nnxx或或都有都有證證就就a0的情形證明的情形證明.由數(shù)列極限的定義，由數(shù)列極限的定義，有有時時當(dāng)當(dāng)正整數(shù)正整數(shù), 0, 02NnNa 對對推論

12、推論且且或或從從某某項(xiàng)項(xiàng)起起有有如如果果數(shù)數(shù)列列),0(0 nnnxxx).0(0,lim aaaxnn或或那么那么證證現(xiàn)在用反現(xiàn)在用反時有時有項(xiàng)起即當(dāng)項(xiàng)起即當(dāng)從第從第設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列. 011 nnxNnNx正正整整數(shù)數(shù)知知則則由由定定理理若若證證法法證證明明 ,3, 0lim.axnn當(dāng)當(dāng)取取有有時時當(dāng)當(dāng),max. 0, 02122NNNxNnNn .0. 0., 03, 0,可以類似地證明可以類似地證明的情形，的情形，從某項(xiàng)起有從某項(xiàng)起有數(shù)列數(shù)列所以必有所以必有這就引起矛盾這就引起矛盾有有按定理按定理按假定有按假定有時時 nnnnxxaxxNn子數(shù)列的收斂性子數(shù)列的收斂性 的子數(shù)列（或子列）的子數(shù)列（或子列）的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的一個數(shù)列稱為原數(shù)列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項(xiàng)在原數(shù)列這些項(xiàng)在原數(shù)列保持保持中任意抽取無限多項(xiàng)并中任意抽取無限多項(xiàng)并定義：在數(shù)列定義：在數(shù)列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knnxxkxxkknnnnkkk 項(xiàng)，顯然，項(xiàng)，顯然，中卻是第中卻是第在原數(shù)列在原數(shù)列而而項(xiàng)，項(xiàng)，是第是第中，一般項(xiàng)中，一般項(xiàng)在子數(shù)列在子數(shù)列注意：注意：例如，例如， 定理定理4 4 （收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）證證的任一子數(shù)列的任一子數(shù)列是數(shù)列是數(shù)列設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列nnxxk,