第2章誤差分析與數(shù)據(jù)處理ppt課件

1、 在工程技術(shù)及科學研究中，對被測量進行測量時，在工程技術(shù)及科學研究中，對被測量進行測量時，測量的可靠性至關(guān)重要，不同場合對測量結(jié)果可靠性測量的可靠性至關(guān)重要，不同場合對測量結(jié)果可靠性的要求也不同。的要求也不同。 例如，在量值傳遞、經(jīng)濟核算、例如，在量值傳遞、經(jīng)濟核算、 產(chǎn)品產(chǎn)品檢驗場合應(yīng)保證測量結(jié)果有足夠的準確度。當測量值檢驗場合應(yīng)保證測量結(jié)果有足夠的準確度。當測量值用作控制信號時，則要注意測量的穩(wěn)定性和可靠性。用作控制信號時，則要注意測量的穩(wěn)定性和可靠性。因而，測量結(jié)果的準確程度，應(yīng)與測量的目的與要求因而，測量結(jié)果的準確程度，應(yīng)與測量的目的與要求相聯(lián)系，相適應(yīng)，那種不惜工本，不顧場合，一味追

2、相聯(lián)系，相適應(yīng)，那種不惜工本，不顧場合，一味追求越準越好的作法是不可取的，要有技術(shù)與經(jīng)濟兼顧求越準越好的作法是不可取的，要有技術(shù)與經(jīng)濟兼顧的意識。的意識。 真值的定義：被測量在一定條件下，有一個真正反真值的定義：被測量在一定條件下，有一個真正反映它的大小的量值，這個量值是客觀存在的，它就映它的大小的量值，這個量值是客觀存在的，它就是被測量的真實值，簡稱是被測量的真實值，簡稱“真值真值”。（1理論真值理論真值 所謂理論真值即絕對真值，是所謂理論真值即絕對真值，是指在嚴格的條件下，根據(jù)一定的理論、按照定義指在嚴格的條件下，根據(jù)一定的理論、按照定義確定的數(shù)值。一般情況下，理論真值是未知的。確定的數(shù)值

3、。一般情況下，理論真值是未知的。（2約定真值約定真值 所謂約定真值是指對于給定的具有所謂約定真值是指對于給定的具有適當不確定度的、賦予特定量的值，有時該值是約定適當不確定度的、賦予特定量的值，有時該值是約定采用的。約定真值有時稱為指定值、最佳估計值、約采用的。約定真值有時稱為指定值、最佳估計值、約定值或參考值。定值或參考值。（3相對真值相對真值 即實際值，所謂相對真值是指將測即實際值，所謂相對真值是指將測量儀表按精度分為不同等級時，用高等級的測量儀表量儀表按精度分為不同等級時，用高等級的測量儀表所測量得到的數(shù)值。所測量得到的數(shù)值。 測量誤差是測得值減去被測量的真值。測量誤差是測得值減去被測量的

4、真值。 由于真值往往不知道，因此測量的目的是希望通由于真值往往不知道，因此測量的目的是希望通過測量獲取被測量的真實值。但由于種種原因，例如，過測量獲取被測量的真實值。但由于種種原因，例如，傳感器本身性能不十分優(yōu)良，測量方法不十分完善，傳感器本身性能不十分優(yōu)良，測量方法不十分完善，外界干擾的影響等，造成被測量的測得值與真實值不外界干擾的影響等，造成被測量的測得值與真實值不一致，因而測量中總是存在誤差。由于真值未知，所一致，因而測量中總是存在誤差。由于真值未知，所以在實際中，有時用約定真值代替真值，常用某量的以在實際中，有時用約定真值代替真值，常用某量的多次測量結(jié)果來確定約定真值；或用精度高的儀器

5、示多次測量結(jié)果來確定約定真值；或用精度高的儀器示值代替約定真值。值代替約定真值。 測量誤差的表示方法有多種，含義各異。測量誤差的表示方法有多種，含義各異。 （1） 絕對誤差絕對誤差 絕對誤差可用下式定義：絕對誤差可用下式定義：= x x0式中式中: 絕對誤差；絕對誤差； x 測量值；測量值； x0 真值。真值。 絕對誤差是有正、絕對誤差是有正、 負并有量綱的。負并有量綱的。 在實際測量中，有時要用到修正值，修正值是在實際測量中，有時要用到修正值，修正值是與絕對誤差大小相等、與絕對誤差大小相等、 符號相反的值，符號相反的值， 即即 c = - 式中，式中，c為修正值，通常用高一等級的測量標準或標

6、為修正值，通常用高一等級的測量標準或標準儀器獲得修正值。準儀器獲得修正值。 利用修正值可對測量值進行修正，從而得到準確利用修正值可對測量值進行修正，從而得到準確的實際值的實際值, 修正后的實際測量值修正后的實際測量值x為為 x= x + c 修正值給出的方式，可以是具體的數(shù)值，也可以是一條修正值給出的方式，可以是具體的數(shù)值，也可以是一條曲線或公式。曲線或公式。 絕對誤差的特點絕對誤差的特點 1單位單位 并與測量值和實際值的單位相同；并與測量值和實際值的單位相同； 2符號符號 表示測量值與實際值的大小關(guān)系；表示測量值與實際值的大小關(guān)系； 3限制限制 僅能表示測量值與實際值之間的偏僅能表示測量值與

7、實際值之間的偏離程度和方向，但不能說明測量質(zhì)量的好壞。離程度和方向，但不能說明測量質(zhì)量的好壞。 （2） 實際相對誤差實際相對誤差%1000 x式中：式中：實際相對誤差，實際相對誤差， 一般用百分數(shù)給出；一般用百分數(shù)給出； 絕對誤差；絕對誤差； x0真值。真值。 由于被測量的真值由于被測量的真值x0無法知道，實際測量時用測無法知道，實際測量時用測量值量值x代替真值代替真值L進行計算，這個相對誤差稱為標稱相進行計算，這個相對誤差稱為標稱相對誤差，對誤差， 即即 %100=x （3） 引用誤差引用誤差 引用誤差是儀表中通用的一種誤差引用誤差是儀表中通用的一種誤差表示方法。表示方法。 它是相對于儀表滿

8、量程的一種誤差，又稱它是相對于儀表滿量程的一種誤差，又稱滿量程相對誤差，一般也用百分數(shù)表示。滿量程相對誤差，一般也用百分數(shù)表示。 即即 %100-測量范圍下限測量范圍上限r(nóng)式中：式中： r 引用誤差；引用誤差； 絕對誤差。絕對誤差。 例：某指針式電壓表的精度為2.5級，用它來測量電壓時可能產(chǎn)生的滿度相對誤差為2.5% 。 儀表精度等級是根據(jù)最大引用誤差來確定的。儀表精度等級是根據(jù)最大引用誤差來確定的。例如，例如，0.5級表的引用誤差的最大值不超過級表的引用誤差的最大值不超過0.5%；1.0級表的引用誤差的最大值不超過級表的引用誤差的最大值不超過1% 。 在儀表和傳感器使用時，經(jīng)常會遇到基本誤在

9、儀表和傳感器使用時，經(jīng)常會遇到基本誤差和附加誤差兩個概念。差和附加誤差兩個概念。 （4） 基本誤差基本誤差 基本誤差是指傳感器或儀表在規(guī)定基本誤差是指傳感器或儀表在規(guī)定的標準條件下所具有的誤差。例如，某傳感器是在電源的標準條件下所具有的誤差。例如，某傳感器是在電源電壓電壓2205V、電網(wǎng)頻率、電網(wǎng)頻率502Hz、環(huán)境溫度、環(huán)境溫度205）、濕度、濕度65%5%的條件下標定的。如果傳的條件下標定的。如果傳感器在這個條件下工作，則傳感器所具有的誤差為基本感器在這個條件下工作，則傳感器所具有的誤差為基本誤差。儀表的精度等級就是由基本誤差決定的。誤差。儀表的精度等級就是由基本誤差決定的。 （5附加誤差

10、附加誤差 附加誤差是指傳感器或儀表的使用附加誤差是指傳感器或儀表的使用條件偏離額定條件下出現(xiàn)的誤差。例如，溫度附加誤差、條件偏離額定條件下出現(xiàn)的誤差。例如，溫度附加誤差、頻率附加誤差、頻率附加誤差、 電源電壓波動附加誤差等。電源電壓波動附加誤差等。 例例1 某電壓表的等級為某電壓表的等級為1.5，試標出此表在，試標出此表在0100V量程中的最大絕對誤差。量程中的最大絕對誤差。例例2 某某1.0級電流表，滿度值為級電流表，滿度值為100 A，求測量，求測量值分別為值分別為100A、80 A、20 A時的絕對誤差和相時的絕對誤差和相對誤差。對誤差。例例3 要測量要測量100度的溫度，現(xiàn)有度的溫度，

11、現(xiàn)有0.5級、測量范圍級、測量范圍為為0300和和1.0級、測量范圍為級、測量范圍為0100的兩種溫度的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。計，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。練習練習1 用電壓表測量電壓，測得值為用電壓表測量電壓，測得值為5.42V，改用標，改用標準電壓表測量，其示值為準電壓表測量，其示值為5.60V。求前一只電壓表測量。求前一只電壓表測量的絕對誤差、相對誤差。的絕對誤差、相對誤差。練習練習2 用用0.1級、滿刻度值為級、滿刻度值為100A的電流表測量電的電流表測量電流，求測量示值分別為流，求測量示值分別為80A、40A時的絕對誤差和相時的絕對誤差和相對誤差。對誤差。練習練習3

12、一只測量范圍為一只測量范圍為0250V的電壓表，當測量的電壓表，當測量200V電壓時，絕對誤差為電壓時，絕對誤差為+1V；當測量；當測量10V電壓時，電壓時，絕對誤差為絕對誤差為+0.9V；試分析各自相對誤差，并說明哪只；試分析各自相對誤差，并說明哪只儀表好。儀表好。方法誤差方法誤差理論誤差理論誤差裝置誤差裝置誤差環(huán)境誤差環(huán)境誤差人身誤差人身誤差 由心電圖儀放大器帶寬不夠引起的誤差 當被測量隨時間迅當被測量隨時間迅速變化時，系統(tǒng)的輸出速變化時，系統(tǒng)的輸出量在時間上不能與被測量在時間上不能與被測量的變化精確吻合，這量的變化精確吻合，這種誤差稱為動態(tài)誤差。種誤差稱為動態(tài)誤差。 2.2.1 系統(tǒng)誤差

13、系統(tǒng)誤差2.2.2 隨機誤差隨機誤差2.2.3 粗大誤差粗大誤差2.2.4 測量精度測量精度 在同一測量條件下，多次測量被測量時，絕對在同一測量條件下，多次測量被測量時，絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規(guī)律值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規(guī)律如線性、如線性、 多項式、周期性等函數(shù)規(guī)律變化的誤多項式、周期性等函數(shù)規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。前者為恒值系統(tǒng)誤差，后者為變差稱為系統(tǒng)誤差。前者為恒值系統(tǒng)誤差，后者為變值系統(tǒng)誤差。值系統(tǒng)誤差。 根據(jù)測量數(shù)據(jù)中的誤差所呈現(xiàn)的規(guī)律及產(chǎn)生的原根據(jù)測量數(shù)據(jù)中的誤差所呈現(xiàn)的規(guī)律及產(chǎn)生的原因可將其分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。因可將其分為系統(tǒng)

14、誤差、隨機誤差和粗大誤差。 在我國新制訂的國家計量技術(shù)規(guī)范在我國新制訂的國家計量技術(shù)規(guī)范JJF1001-2019中，對系統(tǒng)誤差的定義中，對系統(tǒng)誤差的定義是，在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量是，在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。它可用下式所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。它可用下式表示：表示： 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差= x - x0 式中，式中， x0為被測量的真值。為被測量的真值。 因為真值不能通過測量獲知，所以通過有限次測因為真值不能通過測量獲知，所以通過有限次測量的平均值量的平均值x與與x0的約定真值近似地得出系統(tǒng)誤差，稱的約定真值近似地得

15、出系統(tǒng)誤差，稱之為系統(tǒng)誤差的估計，得出的系統(tǒng)誤差可對測量結(jié)果之為系統(tǒng)誤差的估計，得出的系統(tǒng)誤差可對測量結(jié)果進行修正，但由于系統(tǒng)誤差不能完全獲知，因此通過進行修正，但由于系統(tǒng)誤差不能完全獲知，因此通過修正值對系統(tǒng)誤差只能有限程度地補償。修正值對系統(tǒng)誤差只能有限程度地補償。 引起系統(tǒng)誤差的原因復雜，如測量方法不完善，引起系統(tǒng)誤差的原因復雜，如測量方法不完善，零點未調(diào)整，采用近似的計算公式，測量者的經(jīng)驗零點未調(diào)整，采用近似的計算公式，測量者的經(jīng)驗不足等等。對于系統(tǒng)誤差，首先要查找誤差根源，不足等等。對于系統(tǒng)誤差，首先要查找誤差根源，并設(shè)法減小和消除，而對于無法消除的恒值系統(tǒng)誤并設(shè)法減小和消除，而對于

16、無法消除的恒值系統(tǒng)誤差，可以在測量結(jié)果中加以修正。差，可以在測量結(jié)果中加以修正。 夏天擺鐘變慢的原因是什么？ 系統(tǒng)誤差也稱裝置誤差，它反映系統(tǒng)誤差也稱裝置誤差，它反映了測量值偏離真值的程度。凡誤差的了測量值偏離真值的程度。凡誤差的數(shù)值固定或按一定規(guī)律變化者，均屬數(shù)值固定或按一定規(guī)律變化者，均屬于系統(tǒng)誤差。于系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差是有規(guī)律性的，因此可系統(tǒng)誤差是有規(guī)律性的，因此可以通過實驗的方法或引入修正值的方以通過實驗的方法或引入修正值的方法計算修正，也可以重新調(diào)整測量儀法計算修正，也可以重新調(diào)整測量儀表的有關(guān)部件予以消除。表的有關(guān)部件予以消除。 0.6 3A153VAV 在同一測量條件下，多次測

17、量被測量時，在同一測量條件下，多次測量被測量時，其絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化著的誤差其絕對值和符號以不可預(yù)定方式變化著的誤差稱為隨機誤差。稱為隨機誤差。 在我國新制訂的國家計量技術(shù)規(guī)范在我國新制訂的國家計量技術(shù)規(guī)范JJF1001-2019中，對隨機誤差的定義是根據(jù)國中，對隨機誤差的定義是根據(jù)國際標準化組織際標準化組織ISO等七個國際組織制訂的等七個國際組織制訂的定義的，即隨機誤差是將測量結(jié)果與定義的，即隨機誤差是將測量結(jié)果與在重復性條件下，在重復性條件下， 對同一被測量進行無限多次測量所對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。重復性條件包括相同的測量程序，得結(jié)果的平均值之差。重復

18、性條件包括相同的測量程序，相同的觀測者，相同的觀測者， 在相同的條件下使用相同的測量儀器，在相同的條件下使用相同的測量儀器，相同的地點，在短時間內(nèi)重復測量。相同的地點，在短時間內(nèi)重復測量。-=xxi式中：式中：xi被測量的某一個測量值；被測量的某一個測量值； x重復性條件下無限多次的測量值的平重復性條件下無限多次的測量值的平均值，均值， 即即 nxxxxn+.+=21(n) 隨機誤差隨機誤差 由于重復測量實際上只能測量有限次，因此實用由于重復測量實際上只能測量有限次，因此實用中的隨機誤差只是一個近似估計值。中的隨機誤差只是一個近似估計值。 對于隨機誤差不能用簡單的修正值來修正，當對于隨機誤差不

19、能用簡單的修正值來修正，當測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差就整體而言，服從一定測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差就整體而言，服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，通過對測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理可以計算隨的統(tǒng)計規(guī)律，通過對測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理可以計算隨機誤差出現(xiàn)的可能性的大小。機誤差出現(xiàn)的可能性的大小。 長度相對測量值長度相對測量值次次數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)計計 超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差，超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差， 粗大誤差又稱疏忽誤差。粗大誤差又稱疏忽誤差。 這類誤差的發(fā)生是由于測量者疏忽大意，測錯、這類誤差的發(fā)生是由于測量者疏忽大意，測錯、讀錯或環(huán)境條件的突然變化等引起的。含有粗大誤讀錯或環(huán)境條件的突然變化等引起的。

20、含有粗大誤差的測量值明顯地歪曲了客觀現(xiàn)象，故含有粗大誤差的測量值明顯地歪曲了客觀現(xiàn)象，故含有粗大誤差的測量值稱為壞值或異常值。差的測量值稱為壞值或異常值。 在數(shù)據(jù)處理時，要采用的測量值不應(yīng)該包含有在數(shù)據(jù)處理時，要采用的測量值不應(yīng)該包含有粗大誤差，粗大誤差， 即所有的壞值都應(yīng)當剔除。所以進行誤即所有的壞值都應(yīng)當剔除。所以進行誤差分析時，要估計的誤差只有系統(tǒng)誤差和隨機誤差差分析時，要估計的誤差只有系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類。兩類。 不精密隨機誤差大）不精密隨機誤差大） 準確系統(tǒng)誤差小）準確系統(tǒng)誤差小） 精細隨機誤差?。┚氹S機誤差?。┎粶蚀_系統(tǒng)誤差大）不準確系統(tǒng)誤差大）準確度；精密度；精確度。準確度；

21、精密度；精確度。不精密隨機誤差大）不精密隨機誤差大）不準確系統(tǒng)誤差大）不準確系統(tǒng)誤差大）精細隨機誤差?。┚氹S機誤差小）準確系統(tǒng)誤差?。蚀_系統(tǒng)誤差?。蚀_度；精密度；精確度。準確度；精密度；精確度。2.3.1 測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計參數(shù)測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計參數(shù)2.3.2 隨機誤差及其處理隨機誤差及其處理2.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)2.3.4 粗大誤差的判別和剔除方法粗大誤差的判別和剔除方法 隨機誤差的大小及符號通常事先無法知道，但隨隨機誤差的大小及符號通常事先無法知道，但隨著觀測次數(shù)的增多，即測得值增多時，則將遵循一定著觀測次數(shù)的增多，即測得值增多時，則將遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律。的統(tǒng)計規(guī)律。 隨機

22、誤差的分布規(guī)律，可以在大量測量數(shù)據(jù)的隨機誤差的分布規(guī)律，可以在大量測量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上總結(jié)出來，就誤差的總體來說是服從統(tǒng)計規(guī)律基礎(chǔ)上總結(jié)出來，就誤差的總體來說是服從統(tǒng)計規(guī)律的。由于大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布，因而正態(tài)分的。由于大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布，因而正態(tài)分布理論就成為研究隨機誤差的基礎(chǔ)。布理論就成為研究隨機誤差的基礎(chǔ)。 隨機誤差一般具有以下幾個性質(zhì)：隨機誤差一般具有以下幾個性質(zhì)： 對稱性對稱性 絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。次數(shù)大致相等。 有界性有界性 在一定測量條件下的有限測量值中，在一定測量條件下的有限測量值中，其隨機誤差的絕對值不會超過

23、一定的界限。其隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限。 單峰性單峰性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對值絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。 抵償性抵償性 對同一量值進行多次測量，其誤差的對同一量值進行多次測量，其誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)n的增加趨向于零。的增加趨向于零。 抵償性是由第一個特性推導出來的抵償性是由第一個特性推導出來的, 因為絕因為絕對值相等的正誤差與負誤差之和可以互相抵消。對值相等的正誤差與負誤差之和可以互相抵消。對于有限次測量，隨機誤差的平均值是一個有對于有限次測量，隨機誤差的平均值是一個有限小的量，限小的量， 而當

24、測量次數(shù)無限增多時，它趨向而當測量次數(shù)無限增多時，它趨向于零。抵償性是隨機誤差的一個重要特征，凡于零。抵償性是隨機誤差的一個重要特征，凡是具有抵償性的，是具有抵償性的， 原則上都可以按隨機誤差來原則上都可以按隨機誤差來處理。處理。x0 xxxi 設(shè)對某一被測量進行多次重復測量，得到一系列設(shè)對某一被測量進行多次重復測量，得到一系列的測量值為的測量值為xi，設(shè)被測量的真值為，設(shè)被測量的真值為x0，則測量列中的，則測量列中的隨機誤差隨機誤差 為為 i=1,2, ,n1） 隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律正態(tài)分布的概率分布密度正態(tài)分布的概率分布密度f（ ）為）為 222-21)(xexfx

25、 正態(tài)分布的分布密度曲線如圖所示，即為一條鐘正態(tài)分布的分布密度曲線如圖所示，即為一條鐘形的曲線，稱為正態(tài)分布曲線，其中形的曲線，稱為正態(tài)分布曲線，其中x0、0是是正態(tài)分布的兩個參數(shù)。正態(tài)分布的兩個參數(shù)。 從圖中還可以看到，曲線在從圖中還可以看到，曲線在x0或或處有兩個拐點。處有兩個拐點。 正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線 f (x)xL L Lf ()(a)(b)o0 xf 000 xxx0 2隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征 (1) 算術(shù)平均值算術(shù)平均值x 正態(tài)分布是以正態(tài)分布是以x=L為對稱軸，它是正態(tài)總體的平均為對稱軸，它是正態(tài)總體的平均值。由于在測量過程中，不可避免地存在隨機誤差，值。由于

26、在測量過程中，不可避免地存在隨機誤差，因此我們無法求得測量的真值。但如隨機誤差服從正因此我們無法求得測量的真值。但如隨機誤差服從正態(tài)分布，算術(shù)平均值處隨機誤差的概率密度最大，即態(tài)分布，算術(shù)平均值處隨機誤差的概率密度最大，即算術(shù)平均值與被測量的真值最為接近，隨著測量次數(shù)算術(shù)平均值與被測量的真值最為接近，隨著測量次數(shù)增加，算術(shù)平均值越趨近于真值。增加，算術(shù)平均值越趨近于真值。 如果對某一量進行無限多次測量，就可以得到如果對某一量進行無限多次測量，就可以得到不受隨機誤差影響的值，或其影響甚微，可以忽略。不受隨機誤差影響的值，或其影響甚微，可以忽略。由于實際上是有限次測量，因而有限次直接測量中由于實際

27、上是有限次測量，因而有限次直接測量中算術(shù)平均值是諸測量值中最可信賴的，把它作為等算術(shù)平均值是諸測量值中最可信賴的，把它作為等精度多次測量的結(jié)果，即被測量的最佳估計值。精度多次測量的結(jié)果，即被測量的最佳估計值。 2隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征 （1） 算術(shù)平均值算術(shù)平均值x 對被測量進行等精度的對被測量進行等精度的n次測量，得次測量，得n個測量值個測量值x1, x2, xn，它們的算術(shù)平均值為，它們的算術(shù)平均值為 1=211=)+(1=niinxnxxxnx 2隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征 （1） 算術(shù)平均值算術(shù)平均值x 由于被測量的真值為未知，這時可用算術(shù)平均值代由于被測量的真

28、值為未知，這時可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進行計算，替被測量的真值進行計算， 則有則有 xxvii-式中式中, vi為為xi的剩余誤差殘余誤差，殘差）。的剩余誤差殘余誤差，殘差）。 2隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征 （1） 算術(shù)平均值算術(shù)平均值x 標準偏差簡稱為標準差，又稱均方根誤差。標準標準偏差簡稱為標準差，又稱均方根誤差。標準差差刻劃總體的分散程度，對于刻劃總體的分散程度，對于L相同，相同，不同不同=0.5，=1，=1.5的正態(tài)分布曲線，的正態(tài)分布曲線，值愈大，曲線愈平坦，值愈大，曲線愈平坦，即隨機變量的分散性愈大；反之，愈小，曲線愈尖銳即隨機變量的分散性愈大；反之，愈小，曲線愈尖

29、銳集中），隨機變量的分散性愈小。集中），隨機變量的分散性愈小。 2隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征 （2） 標準偏差標準偏差 標準差標準差由下式算得由下式算得 2隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征 （2） 標準偏差標準偏差 nxnxxniinniin12120lim-lim）（不同不同的正態(tài)分布曲線的正態(tài)分布曲線 yox 0.5 1 1.5 2隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征 （2） 標準偏差標準偏差 是在當測量次數(shù)趨于無窮時得到的，它是正態(tài)總是在當測量次數(shù)趨于無窮時得到的，它是正態(tài)總體的平均值，稱為理論標準差或總體標準差。但在實際體的平均值，稱為理論標準差或總體標準差。但在實際測量

30、中不可能得到，測量中不可能得到， 因為被測量是在重復性條件下進因為被測量是在重復性條件下進行有限次測量，用算術(shù)平均值代替真值，此時表征測量行有限次測量，用算術(shù)平均值代替真值，此時表征測量值隨機誤差分散性的量用標準差的估計值值隨機誤差分散性的量用標準差的估計值 表示，表示，它是評定單次測量值不可靠性的指標，它是評定單次測量值不可靠性的指標， 由貝塞爾公式由貝塞爾公式計算得到。計算得到。 1-1-1lim1212nvxxnniiniin）（ 2隨機誤差的數(shù)字特征隨機誤差的數(shù)字特征 （2） 標準偏差標準偏差 式中，式中，xi 第第i次測量值；次測量值； x n次測量值的算術(shù)平均值；次測量值的算術(shù)平均

31、值； vi 剩余誤差，即剩余誤差，即vi=xi-x。單次測量的標準差單次測量的標準差例例 對某一對某一溫度進行溫度進行10次精密測量，次精密測量，測量數(shù)據(jù)如測量數(shù)據(jù)如表所示，設(shè)表所示，設(shè)這些測得值這些測得值已消除系統(tǒng)已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差和粗大誤差，求測誤差，求測量結(jié)果。量結(jié)果。 0.00090.00250.00090.00090.00010.00010.000400.00040解解 算術(shù)平均值算術(shù)平均值 68.85=101=101=iixx標準差的估計值標準差的估計值 Cxxii026. 01-100062. 0)-(1-1011012算術(shù)平均值的標準差算術(shù)平均值的標準差 Cnx01. 0

32、008. 010026. 0測量結(jié)果可表示為測量結(jié)果可表示為 %27.68=, )01. 068.85(=axPCxx或或 %73.99=, )03. 068.85(=3=axPCxx 按照上面分析，測量結(jié)果可用算術(shù)平均值表示，按照上面分析，測量結(jié)果可用算術(shù)平均值表示，因為算術(shù)平均值是被測量的最佳估計值，在測量結(jié)果因為算術(shù)平均值是被測量的最佳估計值，在測量結(jié)果中還應(yīng)包括測量不確定度。中還應(yīng)包括測量不確定度。 2.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 由于系統(tǒng)誤差的特殊性，在處理方法上與隨機誤由于系統(tǒng)誤差的特殊性，在處理方法上與隨機誤差完全不同。主要是如何有效地找出系統(tǒng)誤差的根源，差完全不同。主

33、要是如何有效地找出系統(tǒng)誤差的根源，并減小或消除。并減小或消除。 查找誤差根源的關(guān)鍵，查找誤差根源的關(guān)鍵， 就是要對測量就是要對測量設(shè)備、測量對象和測量系統(tǒng)作全面分析，明確其中有設(shè)備、測量對象和測量系統(tǒng)作全面分析，明確其中有無產(chǎn)生明顯系統(tǒng)誤差的因素，并采取相應(yīng)措施予以修無產(chǎn)生明顯系統(tǒng)誤差的因素，并采取相應(yīng)措施予以修正或消除。由于具體條件不同，在分析查找誤差根源正或消除。由于具體條件不同，在分析查找誤差根源時，并沒有一成不變的方法，這與測量者的經(jīng)驗、水時，并沒有一成不變的方法，這與測量者的經(jīng)驗、水平以及測量技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。平以及測量技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。 所用傳感器，所用傳感器， 測量儀表或組成

34、元件是否準確測量儀表或組成元件是否準確可靠。比如傳感器或儀表靈敏度不足，儀表刻度不準可靠。比如傳感器或儀表靈敏度不足，儀表刻度不準確，變換器、放大器等性能不太優(yōu)良等都會引起誤差，確，變換器、放大器等性能不太優(yōu)良等都會引起誤差， 而且是常見的誤差。而且是常見的誤差。 測量方法是否完善，如用電壓表測量電壓，電測量方法是否完善，如用電壓表測量電壓，電壓表的內(nèi)阻對測量結(jié)果有影響。壓表的內(nèi)阻對測量結(jié)果有影響。 2.3.3 2.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)1 1） 系統(tǒng)誤差的主要來源系統(tǒng)誤差的主要來源 傳感器儀表安裝、調(diào)整或放置是否正確合理。傳感器儀表安裝、調(diào)整或放置是否正確合理。例如，未調(diào)好儀表

35、水平位置，安裝時儀表指針偏心等都例如，未調(diào)好儀表水平位置，安裝時儀表指針偏心等都會引起誤差。會引起誤差。 傳感器或儀表工作場所的環(huán)境條件是否符合規(guī)傳感器或儀表工作場所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件。定條件。 例如，例如， 環(huán)境、環(huán)境、 溫度、溫度、 濕度、濕度、 氣壓等的變化氣壓等的變化也會引起誤差。也會引起誤差。 測量者操作是否正確。測量者操作是否正確。 例如，例如， 讀數(shù)時視差、讀數(shù)時視差、 視視力疲勞等都會引起系統(tǒng)誤差。力疲勞等都會引起系統(tǒng)誤差。 2.3.3 2.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)1 1） 系統(tǒng)誤差的主要來源系統(tǒng)誤差的主要來源 （1） 實驗對比法實驗對比法 這種方法是通過改

36、變產(chǎn)生系統(tǒng)這種方法是通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進行不同條件的測量，來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤誤差的條件從而進行不同條件的測量，來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。例如，差的。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。例如，一臺測量儀表本身存在固定的系統(tǒng)誤差，即使進行多一臺測量儀表本身存在固定的系統(tǒng)誤差，即使進行多次測量也不能發(fā)現(xiàn)，只有用更高一級精度的測量儀表次測量也不能發(fā)現(xiàn)，只有用更高一級精度的測量儀表測量時，才能發(fā)現(xiàn)這臺測量儀表的系統(tǒng)誤差。測量時，才能發(fā)現(xiàn)這臺測量儀表的系統(tǒng)誤差。 2.3.3 2.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 2 2） 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別 （2）

37、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法 這種方法是根據(jù)測量值這種方法是根據(jù)測量值的殘余誤差的大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差的殘余誤差的大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無變化的系統(tǒng)誤差。數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無變化的系統(tǒng)誤差。把殘余誤差按照測量值先后順序作圖，如下圖。把殘余誤差按照測量值先后順序作圖，如下圖。2.3.3 2.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 2 2） 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別 殘余誤差變化規(guī)律 oonnno(a)(b)(c)圖圖(a)殘余誤差有規(guī)律地遞增或遞減），表明存在殘余誤差有規(guī)律地遞增或遞減），表明存在線性變化的系統(tǒng)誤差。線性變化的

38、系統(tǒng)誤差。殘余誤差變化規(guī)律 oonnno(a)(b)(c)圖圖(b)中殘余誤差大小和符號大體呈周期性，可以認為中殘余誤差大小和符號大體呈周期性，可以認為有周期性系統(tǒng)誤差。有周期性系統(tǒng)誤差。殘余誤差變化規(guī)律 oonnno(a)(b)(c)圖圖(c)殘余誤差變化規(guī)律較復雜，懷疑同時存在線性殘余誤差變化規(guī)律較復雜，懷疑同時存在線性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。 （3） 準則檢查法準則檢查法 目前已有多種準則供人們檢驗?zāi)壳耙延卸喾N準則供人們檢驗測量數(shù)據(jù)中是否含有系統(tǒng)誤差。測量數(shù)據(jù)中是否含有系統(tǒng)誤差。 不過這些準則都有一不過這些準則都有一定適用范圍。定適用范圍。 如馬利科夫判據(jù)將殘

39、余誤差前后各半分為兩組，如馬利科夫判據(jù)將殘余誤差前后各半分為兩組，假設(shè)假設(shè)“vi前與前與“vi后之差明顯不為零，則可能后之差明顯不為零，則可能含有線性系統(tǒng)誤差。含有線性系統(tǒng)誤差。2.3.3 2.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 2 2） 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別 阿貝檢驗法是檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布，阿貝檢驗法是檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布，若偏離，則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。將測量值的殘若偏離，則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。將測量值的殘余誤差按測量順序排列，且設(shè)余誤差按測量順序排列，且設(shè)假設(shè)假設(shè) 12nA則可能含有變化的系統(tǒng)誤差，則可能含有變化的系統(tǒng)誤差， 但類型不能判定。

40、但類型不能判定。 2.3.3 2.3.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) 2 2） 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別 111niiivvA（1） 在測量結(jié)果中進行修正在測量結(jié)果中進行修正 對于已知的恒值系統(tǒng)對于已知的恒值系統(tǒng)誤差，可以用修正值對測量結(jié)果進行修正；對于變誤差，可以用修正值對測量結(jié)果進行修正；對于變值系統(tǒng)誤差，設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律，用修正公值系統(tǒng)誤差，設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律，用修正公式或修正曲線對測量結(jié)果進行修正；對未知系統(tǒng)誤式或修正曲線對測量結(jié)果進行修正；對未知系統(tǒng)誤差，則按隨機誤差進行處理。差，則按隨機誤差進行處理。 2.3.4 減小系統(tǒng)誤差的方法減小系統(tǒng)誤差的方法（2

41、） 消除系統(tǒng)誤差的根源消除系統(tǒng)誤差的根源 在測量之前，仔細檢查在測量之前，仔細檢查儀表，正確調(diào)整和安裝；防止外界干擾影響；選好觀儀表，正確調(diào)整和安裝；防止外界干擾影響；選好觀測位置消除視差；測位置消除視差； 選擇環(huán)境條件比較穩(wěn)定時進行讀數(shù)選擇環(huán)境條件比較穩(wěn)定時進行讀數(shù)等。等。（3） 在測量系統(tǒng)中采用補償措施在測量系統(tǒng)中采用補償措施 找出系統(tǒng)誤差規(guī)找出系統(tǒng)誤差規(guī)律，在測量過程中自動消除系統(tǒng)誤差。律，在測量過程中自動消除系統(tǒng)誤差。 如用熱電偶測如用熱電偶測量溫度時，熱電偶參考端溫度變化會引起系統(tǒng)誤差，量溫度時，熱電偶參考端溫度變化會引起系統(tǒng)誤差，消除此誤差的辦法之一是在熱電偶回路中加一個冷端消除此

42、誤差的辦法之一是在熱電偶回路中加一個冷端補償器，從而實現(xiàn)自動補償。補償器，從而實現(xiàn)自動補償。2.3.4 減小系統(tǒng)誤差的方法減小系統(tǒng)誤差的方法 （4） 實時反饋修正實時反饋修正 由于自動化測量技術(shù)及微機由于自動化測量技術(shù)及微機的應(yīng)用，的應(yīng)用， 可用實時反饋修正的辦法來消除復雜的變化可用實時反饋修正的辦法來消除復雜的變化系統(tǒng)誤差。當查明某種誤差因素的變化對測量結(jié)果有系統(tǒng)誤差。當查明某種誤差因素的變化對測量結(jié)果有明顯的復雜影響時，應(yīng)盡可能找出其影響測量結(jié)果的明顯的復雜影響時，應(yīng)盡可能找出其影響測量結(jié)果的函數(shù)關(guān)系或近似的函數(shù)關(guān)系。在測量過程中，用傳感函數(shù)關(guān)系或近似的函數(shù)關(guān)系。在測量過程中，用傳感器將這

43、些誤差因素的變化，轉(zhuǎn)換成某種物理量形式器將這些誤差因素的變化，轉(zhuǎn)換成某種物理量形式一般為電量），及時按照其函數(shù)關(guān)系，通過計算機一般為電量），及時按照其函數(shù)關(guān)系，通過計算機算出影響測量結(jié)果的誤差值，算出影響測量結(jié)果的誤差值， 并對測量結(jié)果作實時的并對測量結(jié)果作實時的自動修正。自動修正。 2.3.4 減小系統(tǒng)誤差的方法減小系統(tǒng)誤差的方法2.3.5 2.3.5 粗大誤差的判別和剔除方法粗大誤差的判別和剔除方法1） 3準則準則 通常把等于通常把等于3的誤差稱為極限誤差，對于正態(tài)的誤差稱為極限誤差，對于正態(tài)分布的隨機誤差，落在分布的隨機誤差，落在3 以外的概率只有以外的概率只有0.27%，它在有限次測量

44、中發(fā)生的可能性很小。它在有限次測量中發(fā)生的可能性很小。3準則就是如準則就是如果一組測量數(shù)據(jù)中某個測量值的殘余誤差的絕對值果一組測量數(shù)據(jù)中某個測量值的殘余誤差的絕對值|vi|3時，則該測量值為可疑值壞值），應(yīng)剔除。時，則該測量值為可疑值壞值），應(yīng)剔除。應(yīng)用于測量次數(shù)充分多的情況。應(yīng)用于測量次數(shù)充分多的情況。 2.3.5 2.3.5 粗大誤差的判別和剔除方法粗大誤差的判別和剔除方法2格羅布斯準則格羅布斯準則 格羅布斯準則也是以正態(tài)分布為前提的，理論格羅布斯準則也是以正態(tài)分布為前提的，理論上較嚴謹，上較嚴謹， 使用也較方便。使用也較方便。 某個測量值的殘余誤差某個測量值的殘余誤差的絕對值的絕對值|v

45、i|g，則判斷此值中含有粗大誤差，應(yīng)，則判斷此值中含有粗大誤差，應(yīng)予剔除，此即格羅布斯準則。予剔除，此即格羅布斯準則。g值與重復測量次數(shù)值與重復測量次數(shù)n和置信概率和置信概率a有關(guān)。有關(guān)。 以上準則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的，當偏離以上準則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的，當偏離正態(tài)分布，正態(tài)分布， 特別是測量次數(shù)很少時，判斷的可靠性特別是測量次數(shù)很少時，判斷的可靠性就差。因而，對待粗大誤差，除用剔除準則外，更重就差。因而，對待粗大誤差，除用剔除準則外，更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責任心。另要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責任心。另外，要保證測量條件的穩(wěn)定，以防止因環(huán)境條件劇烈外，要

46、保證測量條件的穩(wěn)定，以防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。變化而產(chǎn)生的突變影響。 2.3.5 2.3.5 粗大誤差的判別和剔除方法粗大誤差的判別和剔除方法例例 對某一電壓進行對某一電壓進行12次等精度測量，測量值如表所示，次等精度測量，測量值如表所示，若這些測量值已消除系統(tǒng)誤差，試判斷有無粗大誤差，若這些測量值已消除系統(tǒng)誤差，試判斷有無粗大誤差， 并寫出測量結(jié)果。并寫出測量結(jié)果。 解解 求算術(shù)平均值及標準差求算術(shù)平均值及標準差 mVvmVUUiisii032. 01-12372011. 01-121401.20121121212112.3.5 2.3.5 粗大誤差的判別和剔除方法粗大誤差的

47、判別和剔除方法測測 量量 值值 判斷有無粗大誤差。判斷有無粗大誤差。 由于本例中測量次數(shù)比較少，不采用由于本例中測量次數(shù)比較少，不采用3準則判斷粗準則判斷粗大誤差。大誤差。 這里采用格羅布斯準則這里采用格羅布斯準則, 已知測量次數(shù)已知測量次數(shù)n=12，取置信概率取置信概率a=0.95, 查表得格羅布斯系數(shù)查表得格羅布斯系數(shù)g=2.28。 gs=2.280.032=0.073|v6| 故故U6應(yīng)剔除應(yīng)剔除, 剔除后重新計算算術(shù)平均值和標準差。剔除后重新計算算術(shù)平均值和標準差。 2.3.5 2.3.5 粗大誤差的判別和剔除方法粗大誤差的判別和剔除方法mVvmVUUiisii0145. 0=1111

48、=409.20=111=111=22111=2再次判斷粗大誤差，查表得格拉布斯系數(shù)再次判斷粗大誤差，查表得格拉布斯系數(shù)g=2.23。 gs2=2.230.0145=0.032所有所有vi2均小于均小于gs2, 故其它故其它11個測量值中無壞值。個測量值中無壞值。 2.3.5 2.3.5 粗大誤差的判別和剔除方法粗大誤差的判別和剔除方法 計算算術(shù)平均值的標準差計算算術(shù)平均值的標準差 mVnsx005. 0100145. 0=2 最后測量結(jié)果可表示為最后測量結(jié)果可表示為 mVxxx02. 041.20=3= Pa=99.73% 2.3.5 2.3.5 粗大誤差的判別和剔除方法粗大誤差的判別和剔除方

49、法2.4.1 測量數(shù)據(jù)的表示方法測量數(shù)據(jù)的表示方法2.4.2 線性回歸初步線性回歸初步2.4.1 2.4.1 測量數(shù)據(jù)的表示方法測量數(shù)據(jù)的表示方法 表格法表格法 圖示法圖示法 經(jīng)驗公式法經(jīng)驗公式法 在工程實踐和科學實驗中，經(jīng)常遇到對于一批在工程實踐和科學實驗中，經(jīng)常遇到對于一批實驗數(shù)據(jù)，需要把它們進一步整理成曲線圖或經(jīng)驗實驗數(shù)據(jù)，需要把它們進一步整理成曲線圖或經(jīng)驗公式。用經(jīng)驗公式擬合實驗數(shù)據(jù)，工程上把這種方公式。用經(jīng)驗公式擬合實驗數(shù)據(jù)，工程上把這種方法稱為回歸分析。回歸分析就是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的方法稱為回歸分析?；貧w分析就是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的方法，對實驗數(shù)據(jù)進行分析和處理，從而得出反映變法，對實驗數(shù)據(jù)

50、進行分析和處理，從而得出反映變量間相互關(guān)系的經(jīng)驗公式，也稱回歸方程。量間相互關(guān)系的經(jīng)驗公式，也稱回歸方程。當經(jīng)驗公式為線性函數(shù)時，例如當經(jīng)驗公式為線性函數(shù)時，例如 y=b0+b1x1+b2x2+bnxn 稱這種回歸分析為線性回歸分析，稱這種回歸分析為線性回歸分析， 它在工程中應(yīng)它在工程中應(yīng)用價值較高。用價值較高。 在線性回歸分析中，當獨立變量只有一個時，即函在線性回歸分析中，當獨立變量只有一個時，即函數(shù)關(guān)系為數(shù)關(guān)系為 y=b0+bx 這種回歸稱為一元線性回歸，這就是工程上和科研這種回歸稱為一元線性回歸，這就是工程上和科研中常遇到的直線擬合問題。中常遇到的直線擬合問題。 bxby0 設(shè)有設(shè)有n對

51、測量數(shù)據(jù)對測量數(shù)據(jù)xi, yi），用一元線性回歸方），用一元線性回歸方程程 擬合，則根據(jù)測量數(shù)據(jù)值，實際上只要擬合，則根據(jù)測量數(shù)據(jù)值，實際上只要求出方程中系數(shù)求出方程中系數(shù)b0、b的最佳估計值，一元線性回歸的最佳估計值，一元線性回歸方程也就確定了。方程也就確定了。 求取一元線性回歸方程中系數(shù)求取一元線性回歸方程中系數(shù)b0、b的值，最常的值，最常用的方法有端點擬合、平均法擬合、以及利用最小二用的方法有端點擬合、平均法擬合、以及利用最小二乘法原理即應(yīng)使各測量數(shù)據(jù)點與回歸直線的偏差平乘法原理即應(yīng)使各測量數(shù)據(jù)點與回歸直線的偏差平方和為最小擬合。方和為最小擬合。 bxby0用最小二乘法求回歸直線用最小二

52、乘法求回歸直線 v1v3y4v5yxnxx5x4x3x2x1ynbxby024noy2y1y3y5誤差方程組為誤差方程組為 nnnnnvbxbyyyvbxbyyyvbxbyyy)()()(0220222110111式中： 分別為在x1, x2, , xn點上y的估計值。 nyyy,21 用最小二乘法求系數(shù)用最小二乘法求系數(shù)b0、b。 在求經(jīng)驗公式時，有時用圖解法分析顯得更方便、在求經(jīng)驗公式時，有時用圖解法分析顯得更方便、直觀，直觀， 將測量數(shù)據(jù)值將測量數(shù)據(jù)值xi, yi繪制在坐標紙上繪制在坐標紙上(稱之為稱之為散點圖散點圖)，把這些測量點直接連接起來，根據(jù)曲線包，把這些測量點直接連接起來，根據(jù)

53、曲線包括直線的形狀、特征以及變化趨勢，可以設(shè)法給出括直線的形狀、特征以及變化趨勢，可以設(shè)法給出它們的數(shù)學模型即經(jīng)驗公式）。它們的數(shù)學模型即經(jīng)驗公式）。 這不僅可把一條形這不僅可把一條形象化的曲線與各種分析方法聯(lián)系起來，而且還在相當象化的曲線與各種分析方法聯(lián)系起來，而且還在相當程度上擴展了原有曲線的應(yīng)用范圍。程度上擴展了原有曲線的應(yīng)用范圍。 最小二乘法原理是一數(shù)學原理，要獲得最可信賴最小二乘法原理是一數(shù)學原理，要獲得最可信賴的測量結(jié)果，應(yīng)使各測量值的殘余誤差平方和為最小，的測量結(jié)果，應(yīng)使各測量值的殘余誤差平方和為最小，這就是最小二乘法原理。可用算術(shù)平均值作為多次測這就是最小二乘法原理?？捎盟阈g(shù)平

54、均值作為多次測量的結(jié)果，因為它們符合最小二乘法原理。最小二乘量的結(jié)果，因為它們符合最小二乘法原理。最小二乘法作為一種數(shù)據(jù)處理手段，在組合測量的數(shù)據(jù)處理、法作為一種數(shù)據(jù)處理手段，在組合測量的數(shù)據(jù)處理、實驗曲線的擬合及在其它多種學科方面，均獲得了廣實驗曲線的擬合及在其它多種學科方面，均獲得了廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。 例如有一組數(shù)據(jù)，其趨向是線性的，我們就在這些數(shù)例如有一組數(shù)據(jù)，其趨向是線性的，我們就在這些數(shù)據(jù)點之間作一條直線，認為這條直線就是實驗數(shù)據(jù)所據(jù)點之間作一條直線，認為這條直線就是實驗數(shù)據(jù)所代表的曲線，這條直線必須滿足兩個條件：代表的曲線，這條直線必須滿足兩個條件： (1) (1) 自變量自變

55、量x x的各給定值無誤差，因變量的各給定值無誤差，因變量y y的各值帶的各值帶有測量誤差，但測量精度是相同的。有測量誤差，但測量精度是相同的。 (2) (2) 各實驗數(shù)據(jù)各實驗數(shù)據(jù)y y值同直線的偏差的平方和最小。值同直線的偏差的平方和最小。 這條直線的表達式為一次多項式這條直線的表達式為一次多項式y(tǒng)=a0+a1xy=a0+a1x，式，式中，中，a0a0就是直線在就是直線在y y軸上的截距，軸上的截距，a1a1就是直線的斜率。就是直線的斜率。 第第i個實驗值個實驗值yi和直線的偏差為和直線的偏差為di，di=yi-a0-a1xi，各，各實驗點實驗點y值的偏差的平方和為值的偏差的平方和為miii

56、miixaaydS121012 選擇選擇a0和和a1的大小使得的大小使得S最小，這就是最小二乘最小，這就是最小二乘法。一條曲線是否最能反映實驗點所代表的曲線，也法。一條曲線是否最能反映實驗點所代表的曲線，也就是判斷這條曲線是否最佳有不同的準則，最小二乘就是判斷這條曲線是否最佳有不同的準則，最小二乘法是從概率論中的高斯誤差定律導出的，在常用的幾法是從概率論中的高斯誤差定律導出的，在常用的幾種方法中，這是最好的方法。種方法中，這是最好的方法。 .22220211010 xaayxaayaS.2222022110111xaayxxaayxaS00aS01aS為了確定為了確定a0和和a1，求，求S式的偏導數(shù)式的偏導數(shù)令令及，得聯(lián)立方程，得聯(lián)立方程miiimiimiimiiimiiyxaxaxyaxma111201110解出解出miimiimiimiimiimiimiimiimiimiimiiixmxxmyxaxmxxyxyxa1221121111221121110 xy例例 已知一組實驗值為已知一組實驗值為用最小二乘法求實驗曲線的表達式。用最小二乘法求實驗曲線的表達式。 解解 y和和x的關(guān)系接近于線性，故用一次多項式的關(guān)系接近于線性，故用一次多項式 y=a0+a1x作為實驗曲線的表達式。列出下表，由作為實驗曲線的表達式。列出下表，由m=8，可得，可得