第2講求導(dǎo)法則ppt課件

1、第二講第二講求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則河北理工大學(xué)輕工學(xué)院河北理工大學(xué)輕工學(xué)院 -基礎(chǔ)教學(xué)部基礎(chǔ)教學(xué)部微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則知知識(shí)識(shí)要要點(diǎn)點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由參數(shù)方程表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法四則運(yùn)算求導(dǎo)法則四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 定理定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、的和、 差、差、 積、積、 商商 (除分母除分母為為 0的點(diǎn)外的點(diǎn)外) 都在點(diǎn)都在點(diǎn) x 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxux

2、vxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf推論推論 )(wvu如如wvuwvuwvu 例例1.,sin xxeyx 求求 .y解解 )(sinsin)(sin)(xxexexxexyxxxxxexxexexxxcossinsin解解:xsin41(21)1sin例例2., )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos

3、4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin證證: 例例3. 求證求證,sec)(tan2xx.cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx定理定理3.4 如果函數(shù)如果函數(shù) )(yfx 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且 I0)(

4、 yf，則它的反函數(shù)，則它的反函數(shù) )(xy在區(qū)間在區(qū)間 ),(|IyyfxxIx內(nèi)也可導(dǎo)，且內(nèi)也可導(dǎo)，且 )( 1)(yfx 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則 1例例1. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 1) 設(shè)設(shè),arcsinxy 那么那么,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用利用0cosy, 那

5、么那么2) 設(shè)設(shè), )1,0(aaayx那那么么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當(dāng)特別當(dāng)ea時(shí)時(shí),小結(jié)小結(jié): )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x21

6、1x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) x 可導(dǎo),定理定理3.5)(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo))()(ddxgufxy復(fù)合函數(shù) fy )(xg且在點(diǎn) x 可導(dǎo),即，因變量對(duì)自變量求導(dǎo)即，因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因變量對(duì)中間變量等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)求導(dǎo), ,乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵

7、關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形. .例例1.1.sinln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .sinln.2的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)例例xey :解解xevvuuy sinlndxdvdvdududydxdy xevu cos1xxxeee cossin1xxee cot 例例3.)1(102的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092

8、 .)1(2092 xx例例4.arcsin22222的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例5. 求下列導(dǎo)數(shù)求下列導(dǎo)數(shù):. )()2(;)() 1 (xxx解解: )()(1lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)例例6. 設(shè)設(shè), )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee考慮考慮: 假設(shè)假設(shè))(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的導(dǎo)數(shù)?xfdd)

9、cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí)練習(xí): 設(shè)設(shè),)(xfffy .,)(yxf求可導(dǎo)其中例例7.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例8.1sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例9.xxy2tan10 .y 求求解解)2tan(10ln10)10(2tan2tan xxyxxxx)2sec22(tan10ln1022ta

10、nxxxxx 例例10.)arcsin(lnyxxy 求求)arcsin(ln xxyxxxx1)(ln11)arcsin(ln2 2)(ln11)arcsin(lnxx 解解解解: :例例11.求,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例12.),0( aaaxyxaaaxa求.y設(shè)解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxalnaaxln解解:例例13. 求,1arctan2sin2 xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x

11、2sin xe112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)31 xy若由方程若由方程0),(yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,由由)(xfy 表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)稱為顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)含導(dǎo)數(shù) 的方程的方程)y隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xyy

12、在在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo))32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 時(shí)時(shí) y = 0 , 故故210ddxxy0例例1. 求由方程求由方程03275xxyy確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)例例2. 求橢圓求橢圓191622yx在點(diǎn)在點(diǎn))3,2(23處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對(duì)橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為故切線方程為323y43)2( x即即03843 yx例例3. 求求)0(sinxxy

13、x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱式化為隱式xxylnsinln兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 1) 對(duì)冪指函數(shù)對(duì)冪指函數(shù)vuy 可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說(shuō)明說(shuō)明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:2) 有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例例4.)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對(duì)數(shù)yl

14、n兩邊對(duì) x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb)4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對(duì) x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對(duì)數(shù))2ln()1ln( xx )4ln()3ln( xx11x21x31x41x)4( x假定假定例例5.小結(jié)小結(jié): :適合對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的函數(shù)常見(jiàn)的有下面幾種適合對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的函數(shù)常見(jiàn)的有下面幾種: : (1)冪指函數(shù)：冪指函數(shù)： ,)()(xvxuy (2) 連乘積形式的函數(shù)：連乘積形式的函數(shù)： ),().()(21xfxfxfyn(3

15、) 分式形式函數(shù)：分式形式函數(shù)： )().()()().()(2121xgxgxgxfxfxfynn(4) 無(wú)理函數(shù)：無(wú)理函數(shù)： mnxfxfxfy)().(21.,)()(定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)? ?t問(wèn)題問(wèn)題由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)),()(1xttx 具具有有單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)的的反反函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(1xy , 0)(

16、,)(),( ttytx 且且都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在在參參數(shù)數(shù)方方程程 tytx 例例1.解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .2)cos1()sin(處處的的切切線線方方程程在在求求擺擺線線 ttayttax.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即例例2. 設(shè)由方程設(shè)由方程) 10(

17、1sin 222yytttx確定函數(shù)確定函數(shù), )(xyy 求求.ddxy解解: 方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 （1） )(vuvu（2） )(CuCu (C是常數(shù)）是常數(shù)） （3） )(uvvuuv（4） )0(2vuvvuvu 微分法則微分法則 (1) dvduvud )( (2) CduCud)( (3) udvvduuvd)(（4） )0(2vvudvvduvud例例1. 設(shè)設(shè) xyar

18、ctan，求，求 dy。 解解 因因 xxy2111， 故故 dxxxdy)1 (21例例2. 求函數(shù)求函數(shù) xxxxysin323的微分。 解解 )sin3(23xxxxddy)sin()()(323xxdxdxddxxxxxxxdxxxdxxdxdxx)cossin29(cossin2922【練習(xí)】求下列函數(shù)的微分【練習(xí)】求下列函數(shù)的微分 )2sin(2xy, xxyln2微分形式不變性微分形式不變性分別可微分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變性微分形式不變性復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)例例1., )1(ln2xey求求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe例例2. 設(shè)設(shè),0)cos(sinyxxy求求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性利用一階微分形式不變性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxy