二元一次方程組知識點歸納、解習(xí)題技巧匯總、練習(xí)題及答案

1、二元一次方程組知識點歸納、解題技巧匯總、練習(xí)題及答案把兩個一次方程聯(lián)立在一起，那么這兩個方程就組成了一個二元一次方程組。 有幾個方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。 二元一次方程定義：一個含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的都指數(shù)是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程組定義：兩個結(jié)合在一起的共含有兩個未知數(shù)的一次方程，叫二元一次方程組。 二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個公共解，叫做二元一次方程組的解。 一般解法，消

2、元：將方程組中的未知數(shù)個數(shù)由多化少，逐一解決。 消元的方法有兩種： 代入消元法 例：解方程組x+y=5 6x+13y=89 解：由得 x=5-y 把帶入，得 6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7帶入， x=5-59/7 即x=-24/7 x=-24/7 y=59/7 為方程組的解 我們把這種通過“代入”消去一個未知數(shù)，從而求出方程組的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，簡稱代入法。 加減消元法 例：解方程組x+y=9 x-y=5 解：+ 2x=14 即 x=7 把x=7帶入 得7+y=9 解得y=-2 x=7 y=-2 為方程組

3、的解 像這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法（elimination by addition-subtraction)，簡稱加減法。 二元一次方程組的解有三種情況： 1.有一組解 如方程組x+y=5 6x+13y=89 x=-24/7 y=59/7 為方程組的解 2.有無數(shù)組解 如方程組x+y=6 2x+2y=12 因為這兩個方程實際上是一個方程(亦稱作“方程有兩個相等的實數(shù)根”)，所以此類方程組有無數(shù)組解。 3.無解 如方程組x+y=4 2x+2y=10， 因為方程化簡后為 x+y=5 這與方程相矛盾，所以此類方程組無解。 注意：用加減法或者用代入消元法解決問題時,應(yīng)注意用哪種方法簡單,

4、避免計算麻煩或?qū)е掠嬎沐e誤。 教科書中沒有的幾種解法 (一)加減-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1, y=2 特點:兩方程相加減,單個x或單個y,這樣就適用接下來的代入消元. (二)換元法 例2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可寫為 m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所

5、以x+5=6,y-4=2 所以x=1, y=6 特點：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡化方程也是主要原因。 （三）另類換元 例3， x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可寫為：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 二元一次方程組的解 一般地，使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。 求方程組的解的過程，叫做解方程組。 一般來說，二元一次方程組只有唯一的一個解。 注意 ：二元一次方程組不一定都是由兩個二元一次方程合在一起組成的！ 也可以由一個或多個二元一次方程單獨

6、組成。 重點一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法;方程的有關(guān)應(yīng)用題（特別是行程、工程問題） 內(nèi)容提要 一、 基本概念 1方程、方程的解（根）、方程組的解、解方程（組） 2 分類： 二、 解方程的依據(jù)等式性質(zhì) 1a=ba+c=b+c 2a=bac=bc (c0) 三、 解法 1一元一次方程的解法：去分母去括號移項合并同類項 系數(shù)化成1解。 2 元一次方程組的解法：基本思想：“消元”方法：代入法 加減法 四、 一元二次方程 1定義及一般形式： 2解法：直接開平方法（注意特征） 配方法（注意步驟推倒求根公式） 公式法： 因式分解法（特征：左邊=0） 3根的判別式： 4根與系數(shù)頂?shù)年P(guān)系： 逆定

7、理：若 ，則以 為根的一元二次方程是： 。 5常用等式： 五、 可化為一元二次方程的方程 1分式方程定義基本思想：基本解法：去分母法換元法（如， ）驗根及方法 2無理方程定義基本思想：基本解法：乘方法（注意技巧?。Q元法驗根及方法 3簡單的二元二次方程組由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代六、 列方程（組）解應(yīng)用題 一概述 列方程（組）解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的一個重要方面。其具體步驟是： 審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。 設(shè)元（未知數(shù)）。直接未知數(shù)間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，

8、但越難解。 用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。 尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。 解方程及檢驗。 答案。 綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實質(zhì)是先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問題的解決而導(dǎo)致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。 二常用的相等關(guān)系 1 行程問題（勻速運動） 基本關(guān)系：s=vt 相遇問題(同時出發(fā))： + = ; 追及問題（同時出發(fā)）：若甲出發(fā)t小時后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則 水中航行： ; 2 配料問題：溶

9、質(zhì)=溶液×濃度 溶液=溶質(zhì)+溶劑 3增長率問題： 4工程問題：基本關(guān)系：工作量=工作效率×工作時間（常把工作量看著單位“1”）。 5幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。 三注意語言與解析式的互化 二元一次方程組練習(xí)題 一、選擇題：1下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A3x2y=4z B6xy+9=0 C+4y=6 D4x=2下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ） A3二元一次方程5a11b=21 （ ） A有且只有一解 B有無數(shù)解 C無解 D有且只有兩解4方程y=1x與3x+2y=5的公共解是（ ） A5若x2+（3y+2）2=0，

10、則的值是（ ） A1 B2 C3 D6方程組的解與x與y的值相等，則k等于（ ）7下列各式，屬于二元一次方程的個數(shù)有（ ） xy+2xy=7； 4x+1=xy； +y=5； x=y； x2y2=2 6x2y x+y+z=1 y（y1）=2y2y2+x A1 B2 C3 D48某年級學(xué)生共有246人，其中男生人數(shù)y比女生人數(shù)x的2倍少2人，則下面所列的方程組中符合題意的有（ ） A二、填空題9已知方程2x+3y4=0，用含x的代數(shù)式表示y為：y=_；用含y的代數(shù)式表示x為：x=_10在二元一次方程x+3y=2中，當(dāng)x=4時，y=_；當(dāng)y=1時，x=_11若x3m32yn1=5是二元一次方程，則m

11、=_，n=_12已知是方程xky=1的解，那么k=_13已知x1+（2y+1）2=0，且2xky=4，則k=_14二元一次方程x+y=5的正整數(shù)解有_15以為解的一個二元一次方程是_16已知的解，則m=_，n=_三、解答題17當(dāng)y=3時，二元一次方程3x+5y=3和3y2ax=a+2（關(guān)于x，y的方程）有相同的解，求a的值18如果（a2）x+（b+1）y=13是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a，b滿足什么條件19二元一次方程組的解x，y的值相等，求k20已知x，y是有理數(shù)，且（x1）2+（2y+1）2=0，則xy的值是多少21已知方程x+3y=5，請你寫出一個二元一次方程，使它與已知方程所組成的

12、方程組的解為22根據(jù)題意列出方程組：（1）明明到郵局買元與2元的郵票共13枚，共花去20元錢，問明明兩種郵票各買了多少枚（2）將若干只雞放入若干籠中，若每個籠中放4只，則有一雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放，問有多少只雞，多少個籠23方程組的解是否滿足2xy=8滿足2xy=8的一對x，y的值是否是方程組的解24（開放題）是否存在整數(shù)m，使關(guān)于x的方程2x+9=2（m2）x在整數(shù)范圍內(nèi)有解，你能找到幾個m的值你能求出相應(yīng)的x的解嗎答案：一、選擇題1D 解析：掌握判斷二元一次方程的三個必需條件：含有兩個未知數(shù)；含有未知數(shù)的項的次數(shù)是1；等式兩邊都是整式2A 解析：二元一次方程組的三個

13、必需條件：含有兩個未知數(shù)，每個含未知數(shù)的項次數(shù)為1；每個方程都是整式方程3B 解析：不加限制條件時，一個二元一次方程有無數(shù)個解4C 解析：用排除法，逐個代入驗證5C 解析：利用非負數(shù)的性質(zhì) 6B7C 解析：根據(jù)二元一次方程的定義來判定，含有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)不超過1次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程 8B二、填空題9 10 1011，2 解析：令3m3=1，n1=1，m=，n=2121 解析：把代入方程xky=1中，得23k=1，k=1134 解析：由已知得x1=0，2y+1=0，x=1，y=，把代入方程2xky=4中，2+k=4，k=114解：解析：x+y=5，y=5

14、x，又x，y均為正整數(shù)，x為小于5的正整數(shù)當(dāng)x=1時，y=4；當(dāng)x=2時，y=3；當(dāng)x=3，y=2；當(dāng)x=4時，y=1x+y=5的正整數(shù)解為15x+y=12 解析：以x與y的數(shù)量關(guān)系組建方程，如2x+y=17，2xy=3等，此題答案不唯一161 4 解析：將中進行求解三、解答題17解：y=3時，3x+5y=3，3x+5×（3）=3，x=4，方程3x+5y=3和3x2ax=a+2有相同的解，3×（3）2a×4=a+2，a=18解：（a2）x+（b+1）y=13是關(guān)于x，y的二元一次方程，a20，b+10，a2，b1 解析：此題中，若要滿足含有兩個未知數(shù)，需使未知數(shù)的系數(shù)不為0（若系數(shù)為0，則該項就是0）19解：由題意可知x=y，4x+3y=7可化為4x+3x=7，x=1，y=1將x=1，y=1代入kx+（k1）y=3中得k+k1=3，k=2 解析：由兩個未知數(shù)的特殊關(guān)系，可將一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式代替，化“二元”為“一元”，從而求得兩未知數(shù)的值20解：由（x1）2+（2y+1）2=0，可得x1=0且2y+1=0，x=±1，y=當(dāng)x=1，y=時，xy=1+=；當(dāng)x=1，y=時，xy=1+=解析：任何有理數(shù)的平方都是非負數(shù)，且題中兩非負數(shù)之和為0，則這兩非負數(shù)（x1）2與（2y+1）2都等于0，從而得到x1=0，2