行列式按行列展開ppt課件

1、五五. 行列式按行列展開行列式按行列展開對于三階行列式，容易驗證：對于三階行列式，容易驗證：333231232221131211aaaaaaaaa333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 可見一個三階行列式可以轉化成三個二階行列式的計算。可見一個三階行列式可以轉化成三個二階行列式的計算。問題：一個問題：一個n 階行列式是否可以轉化為若干個階行列式是否可以轉化為若干個 n1 階行列式階行列式 來計算？來計算？定義定義1： 在在 n 階行列式中，把元素階行列式中，把元素ija所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列劃去后，余下的列劃去后，余下的

2、 n1 階行列式叫做元素階行列式叫做元素ija的的 余子式。余子式。記為記為ijM稱稱 ijjiijMA 1為元素為元素ija的代數(shù)余子式。的代數(shù)余子式。例如：例如：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA 12M 33323123222113121144aaaaaa

3、aaaM 444444441MMA 注：行列式的每個元素都分別對應著一個余子式和一個注：行列式的每個元素都分別對應著一個余子式和一個 代數(shù)余子式。代數(shù)余子式。行列式等于它的任一行列的各元素與其對應行列式等于它的任一行列的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 定理定理1：證明：證明： （先特殊，再一般）（先特殊，再一般）分三種情況討論，我們只對行來證明此定理。分三種情況討論，我們只對行來證明此定理。(1)假定行列式假定行列式D的第一行除的第一行除11a外都是外都是 0 。nnnnnaaaaaaaD2122221

4、1100 由行列式定義，由行列式定義，D 中僅含下面形式的項中僅含下面形式的項nnnjjjjjjaaaa32323211),1()1( nnnjjjjjjaaaa323232),1(11)1( 其中其中nnnjjjjjjaaa323232), 1()1( 恰是恰是11M的一般項。的一般項。所以，所以，1111MaD 111111)1(Ma 1111Aa (2)設設 D 的第的第 i 行除了行除了ija外都是外都是 0 。nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把D轉化為轉化為(1)的情形的情形把把 D 的第的第i行依次與第行依次與第1 i行，第行，第2 i行，行，第第2行，第行，第

5、1行交換；再將第行交換；再將第j列依次與第列依次與第1 j列，列，第第2 j列，列， 第第2列，第列，第1列交換，這樣共經(jīng)過列交換，這樣共經(jīng)過2)1()1( jiji次交換行與交換列的步驟。次交換行與交換列的步驟。由性質由性質2，行列式互換兩行列行列式變號，行列式互換兩行列行列式變號，得，得，nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1200)1( ijjiijijjiAMa )1()1(3)一般情形一般情形nnnniniinaaaaaaaaaD212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211000000 nnnninaaaaaaa21111

6、21100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 例如，行列式例如，行列式277010353 D27013 D按第一行展開，得按第一行展開，得27005 77103 證畢。證畢。行列式任一行列的元素與另一行列的對應行列式任一行列的元素與另一行列的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即., 02211ikAaAaAainknikik 定理定理2：證明：證明：由定理由定理1，行列式等于某一行的元素分別與它們，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子

7、式的乘積之和。代數(shù)余子式的乘積之和。在在nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211 中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素那么，那么， inknikikAaAaAa2211nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第第i行行右端的行列式含有兩個相同的行，值為右端的行列式含有兩個相同的行，值為 0 。綜上，得公式綜上，得公式 inknikikAaAaAa2211 ），（當當）（當當ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211 ），（當，（當）（當（當jlj

8、lD0 ,在計算數(shù)字行列式時，直接應用行列式展開公式并不一定在計算數(shù)字行列式時，直接應用行列式展開公式并不一定簡化計算，因為把一個簡化計算，因為把一個n階行列式換成階行列式換成n個個n1階行列階行列式的計算并不減少計算量，只是在行列式中某一行或某一式的計算并不減少計算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時，應用展開定理才有意義。但展開定理列含有較多的零時，應用展開定理才有意義。但展開定理在理論上是重要的。在理論上是重要的。利用行列式按行按列展開定理，并結合行列式性質，可簡利用行列式按行按列展開定理，并結合行列式性質，可簡化行列式計算：計算行列式時，可先用行列式的性質將某化行列式計算：計

9、算行列式時，可先用行列式的性質將某一行列化為僅含一行列化為僅含1個非零元素，再按此行列展開個非零元素，再按此行列展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式。二階行列式。例例1: 1: 計算行列式計算行列式3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 例例2:2:證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121)

10、.(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1( 證明：證明：用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx(1) 當當n=2時時,結論成立。結論成立。(2) 設設n1階范德蒙德行列式成立，往證階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立。階也成立。112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211 nnrxr112rxr )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn ,)(11提提出出因因子子列列展展開開，并并把把

11、每每列列的的公公按按第第xxi 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式)()()(211312jjininxxxxxxxx ).(1jjinixx 證畢。證畢。練習：用降階法練習：用降階法 （按行按列展開）（按行按列展開） 計算行列式的值。計算行列式的值。2421164214112111 =57五加）五加）. 利用性質及展開定理計算行列式的例題：利用性質及展開定理計算行列式的例題：例例1：29031132434124141 214rr 232rr 29035500341281707 按第二列展開按第二列展開29355

12、08177)1(122 32cc 21135008257 按第二行展開按第二行展開113257)1(532 10)7577(5 例例2：axaaaaaxaaaaaxaaaaaxD nccc 21)2(anx axaaaaxaaaaxaaa 111111312 rrrrrrn )2(anx axaxaxaaa2000020000201 1)2()2( naxanx例例3 3：nD001030100211111 箭形行列式箭形行列式目的：把第一列化為目的：把第一列化為0011a成三角形行列式成三角形行列式ncnccc13121321 nini00003000020111112 )11( !2 ni

13、in例例4：baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn 32132132132111312 rrrrrrn bbbbbbaaaban 000000321nccc 21箭形行列式箭形行列式bbbaaabaaann 000000000)(3221121)()( nnbbaaa例例5：4321xaaaaxaaaaxaaaaxD )4 , 3 , 2 , 1,( iaxi（可以化為箭形行列式）（可以化為箭形行列式）14131312rrrrrrrr axxaaaxxaaxxaaaax 413121100000)()(4321axaxaxax 10010101001143211 axaaxaaxa

14、axx4321cccc 41)(iiax1000010000104324211axaaxaaxaaxaaxxii 414211)(iiiiaxaxaaxx思考題思考題: :階行列式階行列式設設nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)求第一行各元素的代數(shù)余子式之和余子式之和.11211nAAA 解解:第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn六六. Cramer 法則法則引入行列式概念時，求解二、三元線性方程組，當系數(shù)引入行列式概念時，求解二、三元線性方程組，當系數(shù)行列

15、式行列式0 D時，方程組有唯一解，時，方程組有唯一解，)3 , 2 , 1( iDDxii含有含有n個未知數(shù)，個未知數(shù)，n個方程的線性方程組，與二、三元線性方個方程的線性方程組，與二、三元線性方程組類似，它的解也可以用程組類似，它的解也可以用n階行列式表示。階行列式表示。Cramer法則：法則：如果線性方程組如果線性方程組)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式不等于零，的系數(shù)行列式不等于零，nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 即即.,232211DDxDDxDDxDDxnn 其中其中

16、是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即階行列式，即jDDjnnnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111 則線性方程組則線性方程組(1)(1)有唯一解，有唯一解，證明：證明： njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221211111212111 得得個個方方程程的的依依次次乘乘方方程程組組列列元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj再把再把 方程依次相加，得

17、方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa由代數(shù)余子式的性質可知由代數(shù)余子式的性質可知, , njDDxjj, 2 , 1 DDxDDxDDxDDxnn ,232211于是于是 2當當 時時, ,方程組方程組(2)(2)有唯一的一個解有唯一的一個解0 D上式中除了上式中除了jx的系數(shù)等于的系數(shù)等于D,其他其他)(jixi 的系數(shù)均等于的系數(shù)均等于0，而等式右端為，而等式右端為jD由于方程組由于方程組(2)(2)與方程組與方程組(1)(1)等價等價, ,所以所以.,232211DDxDDxDDxDDxnn 也是方程組的也是方程組的(1

18、)(1)解。解。例例1： 用用Cramer法則解線性方程組。法則解線性方程組。 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 27 67402125603915181 D81 67012150609115822 D108 60412520693118123 D27 07415120903185124 D27 ,32781 11 DDx所所以以, 42 x, 13 x. 14 x注

19、注:1. Cramer法則僅適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的情形。法則僅適用于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的情形。理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關系。理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關系。 但用此法則求解線性方程組計算量大，不可取。但用此法則求解線性方程組計算量大，不可取。3. 撇開求解公式撇開求解公式,DDxjj Cramer法則可敘述為下面定理：法則可敘述為下面定理：定理定理1：如果線性方程組如果線性方程組(1)(1)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則則(1)(1)一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . .定理定理2：如果線性方程組如果線性方程組(1)(1)無解或有兩個不同的解，無解或有兩

20、個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零則它的系數(shù)行列式必為零. .0 D nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111線性方程組線性方程組不不全全為為零零, ,若若常常數(shù)數(shù)項項nbbb,21 則稱此方程組為非齊次線性方程組。則稱此方程組為非齊次線性方程組。,21全全為為零零若若常常數(shù)數(shù)項項nbbb此時稱方程組為齊次線性方程組。此時稱方程組為齊次線性方程組。非齊次與齊次線性方程組的概念非齊次與齊次線性方程組的概念: : 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齊次線性方程組齊次線性方

21、程組易知，易知，021 nxxx一定是一定是(2)的解，的解， 稱為零解。稱為零解。若有一組不全為零的數(shù)是若有一組不全為零的數(shù)是(2)的解，稱為非零解。的解，稱為非零解。 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .系數(shù)行列式系數(shù)行列式0 D定理定理3：定理定理4：如果齊次線性方程組有非零解，如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為則它的系數(shù)行列式必為0。如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式, 0 D則齊次線性方程組沒有非零解。則齊次線性方程組沒有非零解。例例2： 問問 取何值時，取何值時

22、， 齊次線性方程組齊次線性方程組 有非零解？有非零解？ 010320421321321321xxxxxxxxx 解：解： 111132421D 101112431 31214313 )3)(2(312123 齊次方程組有非零解，那么齊次方程組有非零解，那么0 D所以所以 或或 時齊次方程組有非零解。時齊次方程組有非零解。2, 0 3 對于對于n元齊次線性方程組的元齊次線性方程組的Cramer法則的推論，常被用來法則的推論，常被用來解決解析幾何的問題。解決解析幾何的問題。例例3:求空間的四個平面求空間的四個平面0 iiiidzcybxa相交于一點的條件。相交于一點的條件。解：解： 四個平面相交于一點，即線性方程組四個平面相交于一點，即線性方程組 00004444333322221111dzcybxadzcybxadzcybxadzcybxa有唯一解。有唯一解。從另一角度看，形式上可以把從另一角度看，形式上可以把)1 ,(zyx看作是四元看作是四元線性方程組線性方程組 000044342414433323134232221241312111xdxcxbxaxdxcxbxaxdxcxbxaxdxcxbxa的一組非零解。的一組非零解。因為齊次線性方