高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課件 文

1、第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)總綱目錄教材研讀1.直線與平面垂直考點突破2.直線與平面所成的角3.二面角的有關(guān)概念考點二面面垂直的判定與性質(zhì)考點二面面垂直的判定與性質(zhì)考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)4.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理考點三平行與垂直的綜合問題考點三平行與垂直的綜合問題1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義直線l與平面內(nèi)的任意一條任意一條直線都垂直,就說直線l與平面互相垂直.教材研讀教材研讀 文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直 l性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線

2、平行平行 abababOlalb 、ab(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理與與“直線與平面垂直直線與平面垂直”有關(guān)的結(jié)論有關(guān)的結(jié)論(1)直線與平面垂直的定義常常逆用,即a,bab.(2)若兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于該平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.(5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)定義定義:平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,就說它們所成的角是直角;一

3、條直線和平面平行,或在平面內(nèi),就說它們所成的角是0的角.如圖所示,PAO就是斜線AP與平面所成的角.(2)線面角線面角的范圍的范圍: .0,23.二面角的有關(guān)概念二面角的有關(guān)概念(1)二面角二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面 所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱 的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.4.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理 1.給出下列四個命題:垂直于同一直線的兩個平面互相平行;垂直于同一平面的兩個平面互相平行;若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面都平行

4、,那么這兩個平面相互平行;若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線,那么這條直線垂直于這個平面.其中真命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4答案答案B正確.B2.(2015北京延慶期末)已知直線m,n是異面直線,則過直線n且與直線m垂直的平面()A.有且只有一個 B.至多有一個C.有一個或無數(shù)個 D.不存在答案答案 B若mn,則過直線n存在一個平面與m垂直;若m不垂直于n,則不存在這樣的平面,故選B.B3.(2016北京朝陽期末)已知m,n表示兩條不同的直線,表示兩個不同的平面,且m,n,則下列說法正確的是()A.若,則mn B.若m,則C.若m,則 D.若,則mn答案答案B對于A,兩

5、個平行平面內(nèi)的直線可能平行,可能異面;B正確;對于C,當(dāng)m平行于平面、的交線時,也有m,但平面與平面相交;對于D,m與n也可能平行、斜交或異面.B4.(2015北京豐臺期末)設(shè)a,b,c是三條不同的直線,是兩個不同的平面,則ab的一個充分條件為()A.ac,bc B.,a,bC.a,b D.a,b答案答案 C對于選項A,若ac,bc,則直線a與b可能異面,可能平行,也可能相交;對于選項B,若,a,b,則直線a與b可能異面,可能平行,也可能相交;對于選項C,若a,b,則ab;對于選項D,若a,b,則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知ab.故選C.C考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)考點一直線與平面垂直的判

6、定與性質(zhì)考點突破考點突破典例典例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點.(1)證明:CDAE;(2)證明:PD平面ABE.證明證明(1)在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAAC=A,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中點,AEPC.由(1)知,AECD,又PCCD=C,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD,又ABAD,ABPD.又ABAE

7、=A,PD平面ABE.方法技巧方法技巧(1)證明直線和平面垂直的常用方法:利用判定定理;利用面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的核心是證明線線垂直,而證明線線垂直又可借助于線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.1-1 (2016北京豐臺一模)已知在ABC中,B=90,D,E分別為邊BC,AC的中點,將CDE沿DE翻折后,使之成為四棱錐C-ABDE(如圖).(1)求證:DE平面BCD;(2)設(shè)平面CDE平面ABC=l,求證:ABl;(3)若CDBD,AB=2,BD=3,F為棱BC上一點,設(shè)=,當(dāng)為何值時,三棱錐C-ADF的體積是1? BFFC解析解析(1)證

8、明:B=90,D,E分別為BC,AC的中點,DEAB.CDDE,BDDE,又CDBD=D,DE平面BCD.(2)證明:DEAB,DE平面CDE,AB 平面CDE,AB平面CDE,又AB平面ABC,平面ABC平面CDE=l,ABl.(3)CDBD,CDDE,EDBD=D,CD平面BDE.=,C DFBDFSSC FFB1SCDF=SBCD.又BD=3,AB=2,VC-ADF=1,VC-ADF=VA-CDF=VA-CDB=VC-ADB=CDSADB=1.解得=2.111111111331典例典例2如圖,四棱錐P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,

9、AB,BC,PD,PC的中點.(1)求證:CE平面PAD;(2)求證:平面EFG平面EMN.考點二面面垂直的判定與性質(zhì)考點二面面垂直的判定與性質(zhì)證明證明 (1)取PA的中點H,連接EH,DH.因為E為PB的中點,所以EHAB,EH=AB.12又ABCD,CD=AB,所以EHCD,EH=CD.因此四邊形DCEH是平行四邊形.所以CEDH.又DH平面PAD,CE 平面PAD,因此,CE平面PAD.12又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分別為PD,PC的中點,所以MNCD.又ABCD,所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EM

10、N.(2)因為E,F分別為PB,AB的中點,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可證ABFG.方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)證明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定義(不常用);(2)可以考慮證線面垂直,即設(shè)法先找到其中一個平面的一條垂線,再證這條垂線在另一個平面內(nèi)或與另一個平面內(nèi)的一條直線平行.一般方法:先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中存在這樣的直線,則可通過線面垂直來證明面面垂直;若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決(常用方法).2-1如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE平面ABCD.(1)證明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-

11、ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積. 63解析解析(1)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以ACBD.因為BE平面ABCD,所以ACBE.又BDBE=B,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD= .因為AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=x.由BE平面ABCD,知EBG為直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱錐E-ACD的體積VE-ACD=ACGDBE=x3=,解得x=2.322x3222131262463從而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面積為3,EAD的面積與ECD的面積

12、均為.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2.655典例典例3 (2017北京海淀一模)已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分別是PB,PD的中點.(1)求證:PB平面FAC;(2)求三棱錐P-EAD的體積;(3)求證:平面EAD平面FAC.考點三平行與垂直的綜合問題考點三平行與垂直的綜合問題命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明解析解析(1)證明:連接BD,與AC交于點O,連接OF,在PBD中,O,F分別是BD,PD的中點,所以O(shè)FPB,又因為OF平面FAC,PB 平面FAC,所以PB平面FAC.(2)因為PA平面ABCD

13、,AB、AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因為ABAD,PAAB=A,所以AD平面PAB,在直角PAB中,PA=AB=2,E為PB的中點,所以SPAE=1,所以VP-EAD=VD-PAE=SPAEAD=.(3)證明:因為AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,在等腰直角PAB中,AEPB,又AEAD=A,AE、AD平面EAD,所以PB平面EAD,又OFPB,所以O(shè)F平面EAD,又OF平面FAC,所以平面EAD平面FAC.命題角度二平行與垂直關(guān)系中的探索性問題1323典例典例4 (2018北京東城期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PAD是等邊三角形,E為AD中點,四邊形ABCD

14、為直角梯形,ABCD,ABAD,ABAP,CD=AD=2AB=2.(1)求證:平面PAB平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積;(3)在棱PB上是否存在點M,使得EM平面PCD?說明理由. 解析解析(1)證明:因為ABAD,ABAP,ADAP=A,所以AB平面PAD.因為AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)連接PE.因為PAD為等邊三角形,E為AD中點,所以PEAD.因為AB平面PAD,所以ABPE.因為ABAD=A,所以PE平面ABCD.在等邊PAD中,PE=PAsin 60=,S梯形ABCD=3,所以VP-ABCD=S梯形ABCDPE=3=.3(12)22131333(3

15、)棱PB上存在點M,使得EM平面PCD,此時點M為PB中點.取BC中點F,連接MF,ME,EF.因為E為AD中點,所以EFCD.因為EF 平面PCD,所以EF平面PCD.因為M為PB中點,所以MFPC.因為MF 平面PCD,所以MF平面PCD.因為MFEF=F,所以平面MEF平面PCD.因為ME平面MEF,所以ME平面PCD.命題角度三平行與垂直關(guān)系中的折疊問題命題角度三平行與垂直關(guān)系中的折疊問題典例典例5 (2016北京海淀二模)已知長方形ABCD中,AD=,AB=2,E為AB的中點,將ADE沿DE折起到PDE,所得四棱錐P-BCDE如圖所示.(1)若點M為PC的中點,求證:BM平面PDE;

16、(2)當(dāng)平面PDE平面BCDE時,求四棱錐P-BCDE的體積;(3)求證:DEPC. 2解析解析(1)證明:取DP的中點F,連接EF,FM.因為在PDC中,點F,M分別是DP,PC的中點,所以FMDC,且FM=DC.又EBDC,所以FMEB,所以四邊形FEBM是平行四邊形,所以BMEF,又EF平面PDE,BM 平面PDE,1212所以BM平面PDE.(2)在PDE中,作PODE于O,因為平面PDE平面EBCD,平面PDE平面EBCD=DE,所以PO平面EBCD.在PDE中,DPPE,PD=,PE=1,則DE=,所以PO=.所以VP-BCDE=(1+2)=.(3)證明:在矩形ABCD中,連接AC

17、交DE于I,因為tanDEA=,tanCAB=,所以DEA+CAB=,23631312263332222所以DEAC,所以在四棱錐P-EBCD中,PIDE,CIDE,又PICI=I,所以DE平面PIC.因為PC平面PIC,所以DEPC.方法技巧方法技巧平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的處理策略(1)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明,探索點存在問題,點多為中點或三等分點中的某一個,也可以根據(jù)相似知識建點.(2)解決此類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形,弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系.3-1 (2017北京豐臺一模)如圖1,平行四邊形ABCD中,ACBC,BC=AC=1,現(xiàn)將DAC沿AC折起

18、,得到三棱錐D-ABC(如圖2),且DABC,點E為側(cè)棱DC的中點.(1)求證:平面ABE平面DBC;(2)求三棱錐E-ABC的體積;(3)在ACB的平分線上是否存在點F,使得DF平面ABE?若存在,求DF的長;若不存在,請說明理由.解析解析(1)證明:在平行四邊形ABCD中,AD=BC=AC,ADBC,因為ACBC,所以DAC=90.因為E為側(cè)棱DC的中點,所以AECD.又因為ACBC,ADBC,且ACAD=A,所以BC平面ACD.又因為AE平面ACD,所以AEBC.因為BCCD=C,所以AE平面BCD,又因為AE平面ABE,所以平面ABE平面BCD.(2)因為VE-ABC=VB-ACE,BC平面