二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別

1、專題：超幾何分布與二項(xiàng)分布知識(shí)點(diǎn)關(guān)鍵是判斷超幾何分布與二項(xiàng)分布判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，關(guān)鍵是要看隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布的特征：一個(gè)總體（共有N個(gè)）內(nèi)含有兩種不同的事物A（M個(gè)）、B（NM個(gè)），任取n個(gè)，其中恰有X個(gè)A.符合該條件的即可斷定是超幾何分布，按照超幾何分布kn_k的分布列P（X=k）=CMCN-（k=0,1,2,|H,m）進(jìn)行處理就可以了.CN二項(xiàng)分布必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：在一次試驗(yàn)中試驗(yàn)結(jié)果只有A與入這兩個(gè)，且事件A發(fā)生的概率為p,事件A發(fā)生的概率為1-p；試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行，即每次重復(fù)做一次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)p,事件又發(fā)生的概率為1-p.典

2、型例題1、某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測(cè)，每一件一等品都能通過(guò)檢測(cè)，每一件二等品通過(guò)檢測(cè)的概率為2.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等3品.(I)(n)(田)隨機(jī)選取隨機(jī)選取隨機(jī)選取1件產(chǎn)品,3件產(chǎn)品,3件產(chǎn)品,求能夠通過(guò)檢測(cè)的概率；其中一等品的件數(shù)記為X,求X的分布列;求這三件產(chǎn)品都不能通過(guò)檢測(cè)的概率.【解析】（IA）設(shè)隨機(jī)選取一件產(chǎn)品，能夠通過(guò)檢測(cè)的事件為事件A等于事件1分“選取一等品都通過(guò)檢測(cè)或者是選取二等品通過(guò)檢測(cè)”642p(A)二一一101031315.4分(II)由題可知X可能取值為0,1,2,3.PZX_m_C：C0_1PC4C6_3P(X0)3，P(X1)3，C

3、1030C1010P(X=2)=C30C：C；1,P(X=3)=言=1C106故X的分布列為01238分（田）設(shè)隨機(jī)選取不能通過(guò)檢測(cè)9分3件產(chǎn)品都的事件為B10分事件B等于事件“隨機(jī)選取3件產(chǎn)品都是二等品且都不能通過(guò)檢測(cè)”P(pán)(B2、第26屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于)0201113分(3了搞好接待工作，組委會(huì)在某學(xué)院招募了年8月12日到23日在深圳舉行，為12名男志愿者和18名女志愿者。將這30名志愿者的身高編成如右所示的莖葉圖（單位上（包括175cm）定義為:cm）：若身度“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cn）定義為“非高個(gè)手電且只有“女高個(gè)子”才擔(dān)任“禮儀小姐”.1（I）如果用

4、分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中中提取1151617%5cm以再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？（n）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用巴表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫(xiě)出之的分布列，并求之的數(shù)學(xué)期望.【解析】（I）根據(jù)莖葉圖，有“高個(gè)子”12人，“非高個(gè)子”18人，分用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽中的概率是2=1,306所以選中的“高個(gè)子”有12=2人，“非高個(gè)子”有18=3人.一分用事件A表示“至少有一名“高個(gè)子”被選中”，則它的對(duì)立事件A表示“沒(méi)有一名“高個(gè)子”被選中”C2貝(JP(A)=1-C3C5=1.旦10105分因此，至少有一人是

5、“高個(gè)子”的概率是2.6分10（II）依題意，2的取值為551428121，二e£=0m+1m+2m+3m=1.12分C；14P伐=0)=W=,P(=1)=等C1255C12P(=2)=皆c3P(=3)=r=C1255C12因此，。的分布列如下：0,1,2,3.55110分555555553、某地區(qū)對(duì)12歲兒童瞬時(shí)記憶能力進(jìn)行調(diào)查，瞬時(shí)記憶能力包括聽(tīng)覺(jué)記憶能力與視覺(jué)記憶能力.某班學(xué)生共有40人，下表為該班學(xué)生瞬時(shí)記憶能力的調(diào)查結(jié)果例如表中聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等，且視覺(jué)記憶能力偏高的學(xué)生為3人.>視覺(jué)X視覺(jué)記憶能力1偏低中等偏局超常聽(tīng)偏低0751覺(jué)記中等183憶能偏局201力超常02

6、11由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)，視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上的概率為2.5(I)試確定a、b的值；(n)從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為J求隨機(jī)變量亡的分布列.【解析】(I)由表格數(shù)據(jù)可知，視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有(10+a)人.記“視覺(jué)記憶能力恰為中等，且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上”為事件A,10a2貝(Jp(A)=二,解得a=6,從而b=40(32+a)=4038=2.405(n)由于從40位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為C；0,其中具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記

7、憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為以從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能k3*力偏高或超常的概率為P(£=k)=C4CJ(k=0,123).U的可能取值為0、1、2、3.C；°'C4C；為C；4C06253C：。12350123P（=0）=c4o,所以2的分布列為4、在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場(chǎng)投6個(gè)球，至少投進(jìn)14位C24C2672產(chǎn)片以552聲=詬,P（川二高=說(shuō),P（=2）=誨,P（=3）=4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲

8、獎(jiǎng).已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是2.3(I)記教師甲在每場(chǎng)的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(n)求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率；(田)已知教師乙在某場(chǎng)比賽中，6個(gè)球中恰好投進(jìn)了4個(gè)球，求教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率；教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率相等嗎?【解析】（I）X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6,依條件可知XB（6,-）.36人1為事件(k=0,1,2,3,4,5,6)1(3Y)kP(X=k)=C：26333在一場(chǎng)比3（n）設(shè)教師甲p（a）C（1）2（3C413335_32賽中獲獎(jiǎng)6答：教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為81328

9、1（田）設(shè)教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件24B,則P(B)=jAlAa4=-.（此處為5*會(huì)更好！因?yàn)闃颖究臻g基于：已知6個(gè)球中恰好投進(jìn)了4個(gè)球）即教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為2.5顯然2=醫(yī),%，所以教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率與教師甲在一場(chǎng)比賽中58081獲獎(jiǎng)的概率不相等.5、為增強(qiáng)市民的節(jié)能環(huán)保意識(shí)，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者,從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽樣100名志愿者的年齡情況如下表所示.（I）頻率分布表中的、位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在30,35歲的人（n）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分

10、層抽樣法抽取20人參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.分組（單位：歲）頻數(shù)頻率所以X的分布列為:PEX=0211152=-3838382合計(jì)人.【解析】(I)處填20,處填0.35；門(mén)門(mén)目補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示500名志愿者中年齡在130,35)0.07606頻率組距LJL7分故X的可能取值為0,1,2;的人數(shù)為0.35x500=175人.6分":二:0.C1-口丫(n)用分層抽樣的方法，從中選取心0人6則其中“年齡低于30歲”的有5人，di60S“年齡不低于30歲”的?？从?9.

11、坐.Q.02aqio一20-25-3C2P(X=0)=/=C20P(X=1)=萼C2021港'381538，C2P(X=2)=-2-C20238'3811分202513分6、為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為1,第二輪檢測(cè)不合格的概率為工，兩輪610檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響.(I)求該產(chǎn)品不能銷售的概率；(n)如果產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利-80元).已知一箱中有產(chǎn)品4件，記一箱產(chǎn)品獲利X

12、元，求X的分布列，并求出均值E(X).【解析】(I)記“該產(chǎn)品不能銷售”為事件A,則p(a)=1-(1/產(chǎn)(1-1).6104所以，該產(chǎn)品不能銷售的概率為1.4分4(II)由已知，可知X的取值為-320,-200,-80,40,160.5分P(X=-320)=(1)41284464=,P(X=-200)=C；(工)P(X=-80)。(二)(二)F，P(X=40)9(二),，3=,425644643481”P(pán)(X=160)=()4=.104256分所以X的分布列為X-320-200-8040160P11分11272781RX)=320父-200X-80x+40父+160父=40,故均值E(的為2

13、56641286425640.12分7、張先生家住H小區(qū)，他在C科技園區(qū)工作，從家開(kāi)車到公司上班有L1,L2兩條路線(如圖)，L1路線上有A,A,A三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為-;2L2路線上有B,B2兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為3,J/44(I)若走L1路線，求最多,遇到1次紅燈的概率；口/L(n)若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；、+L(田)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生BB2從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說(shuō)明理由.【解析】(I)設(shè)走L1路線最多遇到1次紅燈為A事件，P(A)=C；乂(1)3+C；父mJ)2J.4分2222所以走L1路線

14、，最多遇到1次紅燈的概率為1.2(n)依題意，X的可能取值為0,1,2.5分33133339P(X=0)=(1-)(1二)，P(X=1)=-(1-)(1-)-4510454520012P20_1EX二一0102020992712=-339P(X=2)=父一=.8分4520故隨機(jī)變量X的分布列為:10分皿設(shè)選擇L路線遇到紅燈次數(shù)為丫，隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，丫小3%所以EY=3/=3.12分因?yàn)镋X<EY,所以選擇L2路線上班最22好.14分8、某商場(chǎng)一號(hào)電梯從1層出發(fā)后可以在2、3、4層?？?已知該電梯在1層載有4位乘客，假設(shè)每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的.（I）求這4位乘客中至

15、少有一名乘客在第2層下電梯的概率；（n）用X表示4名乘客在第4層下電梯的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（I）設(shè)4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的事件為A,1分由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是1,分P(A)=1-P(A)=1-（n）X的可能取值為0,1,2,3,4,7分由題意可得每個(gè)人在第4層下電梯的概率均為1,且每個(gè)人下電梯互不影響,31所以XB（4,）.9分30123411分14八E（X）=4-=13分339、“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國(guó)民間的古老游戲，其規(guī)則是：用三種不同的手勢(shì)分別表示石頭、剪刀、布；兩個(gè)玩家同時(shí)出示各自手勢(shì)1次記為1次游戲，“石頭”勝“剪

16、刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢(shì)相同時(shí)，不分勝負(fù).現(xiàn)假設(shè)玩家甲、乙雙方在游戲時(shí)出示三種手勢(shì)是等可能的.（I）求出在1次游戲中玩家甲勝玩家乙的概率；（n）若玩家甲、乙雙方共進(jìn)行了3次游戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數(shù)記作隨機(jī)變量X,求X的分布列及其期望.【解析】（I）玩家甲、乙雙方在1次游戲中出示手勢(shì)的所有可能結(jié)果是：（石頭，石頭）；（石頭，剪刀）；（石頭，布）；（剪刀，石頭）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石頭）；（布，剪刀）；（布，布）.共有9個(gè)基本事件，3分玩家甲勝玩家乙的基本事件分別是：（石頭，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石頭），共有3個(gè).所以，在1次游戲中玩家

17、甲勝玩家乙的概率p=3(n)X的可能取值分別為0,1,2,3.=0=C03-27,p(x=1)=c313221232716PX27X-B=2=C；272727271EX=np=3父=1).-13分310、某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為2P1=-，乙的命中率為P2,在3射擊比武活動(dòng)中每人射擊發(fā)兩發(fā)子彈則完成一次檢測(cè)，在一次檢測(cè)中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā)，則稱該射擊小組為“先進(jìn)和諧組”；(I)若P2=1,求該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率；2(n)計(jì)劃在2011年每月進(jìn)行1次檢測(cè)，設(shè)這12次檢測(cè)中該小組獲得“先進(jìn)和諧組”的次數(shù)4如果E：之5,求P2的取值范圍.【解析】

18、(I)p=(cH)(c2H)+eg(2$=36(n)該小組在一次檢測(cè)中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率而ZL|B(12,P),所以E之=12P,由E5知12(8P2-品22)之5,解得993,3 <P21.12分411、一射擊測(cè)試每人射擊三次，每擊中目標(biāo)一次記10分。沒(méi)有擊中記0分，某人每次擊中目標(biāo)的概率為2.3(I)求此人得20分的概率；(n)求此人得分的數(shù)學(xué)期望與方差?！窘馕觥?I)此人得20分的概率為p=C；(2)24分3392(n)記此人三次射擊擊中目標(biāo)辦次得分為0分，則。B(3,<),七=10列63 一_2一 .E()=10E()=103=20320012分2 1D()二100D

19、()=1003二3 312、設(shè)不等式x2+y2E4確定的平面區(qū)域?yàn)閁,|x+|yW1確定的平面區(qū)域?yàn)閂.(I)定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域U內(nèi)任取3個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V的概率；(II)在區(qū)域U內(nèi)任取3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)在區(qū)域V的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】(I)依題可知平面區(qū)域U的整點(diǎn)為(0,0),(0,±1),(0，工2),(±1,0),(±2,0)(土1,土1)共有13個(gè),平面區(qū)域V的整點(diǎn)為(0,0),(0,±1>(±1,0洪有5個(gè),(n)依題可得：平面區(qū)域U的面積為n.22=4n,1,M

20、2M2=22，p*C；1433平面區(qū)域V的面積為：在區(qū)域U內(nèi)任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)的概率為易知：X的可能取值為0,1,2,3,且01P(X=0)=C32-2二P(X122土C3.圉1一才干X的分布列為:012332X的數(shù)學(xué)期望：EX=0X(27r一。+仆3(27T1)2321)+3=38二38二38二38二3212分1 ,13(或者：XB(3,),故EX=np=3M=一)2 二'2二2二13、A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，

21、就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為2,服用B有效的概率為-.3 2(I)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；(n)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用且表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求2的分布列和數(shù)學(xué)期望?！窘馕觥?I)設(shè)A表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠有i只"，i=0,1,2;Bi表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用B有效的小白鼠有i只"，i=0,1,2依題意有.1、224411_111P(A|=-=-)P(A2)T=T?P(B0),P(B1)=2T7=7,33399242221414144所求的概率為P=P(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)二4949299，,由勺分

22、布列為4,4,5c,(n)?的可能取值為0,1,2,3,且%B(3,-),P(t=k)=C：(t)k(?)k=0,1,2,39999'0123所以數(shù)學(xué)期望E=33=4.9314、盒子中裝有大小相同的10只小球，其中2只紅球，4只黑球，4只白球.規(guī)定:一次摸出3只球，如果這3只球是同色的，就獎(jiǎng)勵(lì)10元，否則罰款2元.(I)若某人摸一次球，求他獲獎(jiǎng)勵(lì)的概率；(n)若有10人參加摸球游戲，每人摸一次，摸后放回.，記隨機(jī)變量匕為獲獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù)，(i)求P代>1)(ii)求這10人所得錢數(shù)的期望.10(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示，參考數(shù)據(jù):152【解析】(D2C：1G2。15(n)(i)由題意知Lb(10,),則1514101114g1P(-,1)=1-P(=0)-P(=1)=1()C10()=一1515157(ii)設(shè)刈為在一局中的輸贏，則E1=X10_14X2=-,15155所以E(10")=10E"=10父(-6)=-12，即這10人所得錢數(shù)的期望為-12.515、學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出