常微分方程第五章線性微分方程組2

1、(5.33)的基解矩陣的計(jì)算：的基解矩陣的計(jì)算： (5.33)XAX 1. 如果矩陣如果矩陣 A的特征值皆為單根，即有的特征值皆為單根，即有n個(gè)不個(gè)不同的特征值同的特征值 對(duì)應(yīng)特征向量分別為對(duì)應(yīng)特征向量分別為 （它們必線性無(wú)關(guān)），則（它們必線性無(wú)關(guān)），則(5.33)的基的基解矩陣為解矩陣為12, , ,nv vv1212( )(,)ntttnte v e ve v12, n 2. 如果矩陣如果矩陣 A的特征值有的特征值有重根重根，即，即n個(gè)特征值個(gè)特征值 中有相同的，如果它們中有相同的，如果它們 仍仍可可對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)n個(gè)個(gè)線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)的特征向量的特征向量 則則(5.33)的的基基解解矩陣矩陣仍

2、為仍為12, , ，nv vv1212( )(,).ntttnte v e ve v12, n 3. 如果矩陣如果矩陣 A的特征值有的特征值有重根重根，即，即n個(gè)特征值個(gè)特征值 中有相同的，如果它們中有相同的，如果它們 對(duì)應(yīng)的線性無(wú)對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量關(guān)的特征向量 的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)小于小于 n , 則分為下面則分為下面兩種兩種情形情形計(jì)算：計(jì)算： 12, n(5.33)的基解矩陣為的基解矩陣為10exp(). (5.53)!intiitteEiAA 3.1 當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣 A只有一個(gè)特征值只有一個(gè)特征值 時(shí)，時(shí)， 3.2 當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣 A不只一個(gè)特征值時(shí)，設(shè)不只一個(gè)特征值時(shí)，設(shè) A 的不的不同特

3、征值為同特征值為 對(duì)應(yīng)的重?cái)?shù)分別為對(duì)應(yīng)的重?cái)?shù)分別為12, k1212,().kkn nnnnnn(5.33)的基解矩陣為的基解矩陣為12exp(exp) =(exp) ,(exp) ,(exp) ).ntt Et et et eAAAAA 先求初值問(wèn)題先求初值問(wèn)題(0)XAXX的解的解( ).t12, :()0,1, .令jnkjjjvvv vUuAEujk110( )(exp)() . (5.52)!則有：jjniktijjjittteAE viAXAX 例例1. 求方程組求方程組 的基解矩陣的基解矩陣 , 其中其中expAt010001 .13 3A 解解. A的特征方程為的特征方程為3d

4、et()(1) =0.EA 于是于是A只有一個(gè)三重特征值只有一個(gè)三重特征值 由公式由公式 (5.53), 可得可得1.13 100exp() =()!iintitiiittAteAEeA Eii22222222222()() 2!112211.2231 222 ttte EA E tA Ettt tttett tttttt ttXAX 例例2. 設(shè)設(shè)求方程組求方程組 滿足初始條件滿足初始條件的解，并求基解矩陣的解，并求基解矩陣 .expAt224232 .426A 解解. A的特征方程為的特征方程為2det()(3)(2) =0.EA123(0)( ,) TX 于是于是A有有兩兩個(gè)特征值個(gè)特征

5、值 12-3 -2 .（單根）, （二重根）112-3 1 .2對(duì)應(yīng)特征向量 v212112 20 .01對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量， vv32232232322112( )12020.20120于是，基解矩陣 tttttttttteeeteeeeeee112 1 1212(0)1 2 0101 .2 0 1423322132322212exp( )(0)20101 .20423故 ttttttteeeAtteeee323232323323232324522442222.442243 ttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeee滿足滿足 的解為的解為 123(0)( ,

6、) TX323232132332232323231233123123( )(exp)452244 2222442243424 22424 tttttttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeeeee1232131235242().423teXAX 例例3. 設(shè)設(shè)求方程組求方程組 滿足初始條件滿足初始條件的解，并求基解矩陣的解，并求基解矩陣 .expAt310410 .482 A 解解. A的特征方程為的特征方程為2det()(2)(1) =0.EA 于是于是A有有兩兩個(gè)特征值個(gè)特征值 122 1 .（單根）, （二重根）123(0)( ,) TX11102 (2 )00 ,(

7、 1AE uu 當(dāng)時(shí)，由,可得對(duì)應(yīng)特征向量 待定).231 -6 . 20 當(dāng)時(shí)， 只對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量因此要利用公式（5.52）來(lái)計(jì)算.222222000()()000 ,()028 44 9 由于所以的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)AEA EAE u221212123113113-7-6-7-6,( ,.020020. =,11 +3= -7 -6+20的解為，因此取待定）將 表為中向量形式 令即，可解出 uUUUuu12312122844=+9921=+, 15151=(7 +11).45，1122123120 0,.284428449999從而uu 利用公式（利用公式（5.52）得所求解為）得所

8、求解為 121021212212123112( )(exp)() ! =e() )0(1 2 ) 04(1 2 ).284428444020999933 jjnitijjjittttttteAE uiEue EA E t utteettttA222100exp,0 , 1 , 0 ,001(1 2 )0exp4(1 2 )0.282840444420()()993993為求分別令得到三個(gè)解，以它們?yōu)榱锌傻?tttttttttAtt eteAttet eet eet ee 由公式（由公式（5.52），可得），可得 定理定理11. 對(duì)方程組對(duì)方程組 (5.33)XAX 有如下結(jié)論成立有如下結(jié)論成立

9、 1. 若若A的特征值均為的特征值均為負(fù)實(shí)部負(fù)實(shí)部，則，則(5.33)的任的任一解當(dāng)一解當(dāng) 時(shí)都時(shí)都趨于零趨于零. t 2. 若若A的特征值均為的特征值均為非正實(shí)部非正實(shí)部，且實(shí)部為零，且實(shí)部為零的特征值都是簡(jiǎn)單特征值（即單根），則的特征值都是簡(jiǎn)單特征值（即單根），則(5.33)的任一解當(dāng)?shù)娜我唤猱?dāng) 時(shí)時(shí)有界有界. t 3. 若若A的特征值至少有一個(gè)具的特征值至少有一個(gè)具正實(shí)部正實(shí)部，則，則(5.33)至少有一至少有一個(gè)解當(dāng)個(gè)解當(dāng) 時(shí)趨于時(shí)趨于無(wú)窮無(wú)窮. t 對(duì)常系數(shù)非齊次線性微分方程組的初值問(wèn)題對(duì)常系數(shù)非齊次線性微分方程組的初值問(wèn)題 0+ ( ) ( ) XAXf tX t 的求解的求解. 由于對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程組有基解矩陣由于對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程組有基解矩陣 ( )exp, tAt 利用常數(shù)變易公式，可得初值問(wèn)題的解利用常數(shù)變易公式，可得初值問(wèn)題的解001100( )( )( )( )( ) ( ) (exp)(exp()expexp() ( )tttttttts f s dsAtAtAtAs f s ds00( )(exp ()exp () ( ) .tttA t tA ts f s ds ( (常常數(shù)數(shù)變變易易公公式式） 例例. 求方程組求方程組 1 1+0 10teXX 滿足滿足 的解的解. 1(0)1X 解解. 對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程組的基解矩陣