《橢圓的標準方程》教案

PAGE《橢圓及其標準方程》教學(xué)設(shè)計教材：湖南教育出版社《普通高中教科書.數(shù)學(xué).選擇性必修第一冊§3.1.1節(jié)》一、內(nèi)容分析本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊《第3章圓錐曲線與方程》的第一課，是繼學(xué)習(xí)圓以后運用?"曲線和方程"理論解決具體的二次曲線的又一實例，也是圓錐曲線這一章的一節(jié)入門課。從知識上說，它是對前面所學(xué)的運用坐標法研究曲線的幾何性質(zhì)的又一次實際演練，鞏固用坐標化的方法求動點軌跡方程；重視知識的形成過程教學(xué)，讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過學(xué)習(xí)新知識體會到前人探索的艱辛過程與創(chuàng)新的樂趣；通過經(jīng)歷橢圓方程的化簡，增強學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美.同時它也是進一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上說，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)。因此，這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點。課程標準要求對橢圓定義與方程的研究，能將曲線與方程對應(yīng)起來，能將幾何問題坐標化，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合的重要思想。而這種思想，將貫穿于整個高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。二、教學(xué)目的學(xué)習(xí)橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程；能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程。三、重點難點重點：橢圓的定義及橢圓標準方程，用待定系數(shù)法和定義法求橢圓方程。難點：橢圓標準方程的建立和推導(dǎo)。四、核心素養(yǎng)●直觀想象、●數(shù)學(xué)運算、○數(shù)據(jù)分析、●數(shù)學(xué)抽象、●邏輯推理、●數(shù)學(xué)建模．五、教學(xué)準備希沃白板5課件.六、教學(xué)流程情景引入->新知探索-->典例剖析->練習(xí)鞏固->歸納小結(jié)七、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖時間分配（一）情景引入情景問題：1.提問：生活中看到的橢圓有哪些？2.天體運動軌道是形狀。3.圓柱形水杯傾斜時水平面的是什么形狀？.動畫演示:取一條定長的細繩，把它的兩端分別固定在紙上的兩點F1，F(xiàn)2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖．問題1：若繩長等于兩點F1，F(xiàn)2的距離，畫出的軌跡是什么曲線？問題2：若繩長大于兩點F1，F(xiàn)2的距離，畫出的軌跡是什么曲線？動手實驗：學(xué)生分組動手畫出橢圓。保持繩長不變，改變兩個圖釘之間的距離，畫出的橢圓有什么變化？2.思考：根據(jù)上面探究實踐回答橢圓是滿足什么條件的點的軌跡？1.情景激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.2.實驗發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提高學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的能力。5分鐘(二）新知探索在實驗過程我們發(fā)現(xiàn)：1．橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．思考：(1)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點的軌跡是什么？點的軌跡是線段F1F2.(2)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，動點的軌跡是什么？當距離之和小于|F1F2|時，動點的軌跡不存在．2.橢圓標準方程的推導(dǎo)．選取建系方案,讓學(xué)生動手，嘗試推導(dǎo).以過、的直線為軸，線段的垂直平分或線為軸，建立平面直角坐標系．設(shè)，點為橢圓上任意一點，則，得，（想一想：下面怎樣化簡？）（１）教師為突破難點，進行引導(dǎo)設(shè)問：我們怎么化簡帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？化簡，得．（2）的引入由橢圓的定義可知，,∴．讓點運動到軸正半軸上（如圖2），由學(xué)生觀察圖形直觀獲得，的幾何意義，進而自然引進，此時設(shè)，于是得，兩邊同時除以，得到方程：（稱為橢圓的標準方程）．（3）建立焦點在軸上的橢圓的標準方程．要建立焦點在軸上的橢圓的標準方程，又不想重復(fù)上述繁瑣的化簡過程，如何做？方法：按步驟列出方程，利用兩方程結(jié)構(gòu)的異同（結(jié)構(gòu)相同，只是字母，交換了位置），直接得到方程3.橢圓的標準方程：(1)焦點在X軸上的橢的標準方程：焦點(2)焦點在y軸上的橢圓的標準方程：焦點其中a，b，c幾何意義：a表示長軸長的一半，b表示短軸長的一半，c表示焦距長的一半，并且有引導(dǎo)學(xué)生交流討論：橢圓和圓之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而得到橢圓的定義。橢圓形物體開始逐漸引出橢圓定義，首先讓學(xué)生通過操作“實驗”,以動促思,將所研究的內(nèi)容“可視化”,調(diào)動多種感官參與學(xué)習(xí),在作圖的過程中,化抽象的知識為看得見、講得清的具象,學(xué)生通過經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高了歸納概括能力和數(shù)學(xué)語言的表達能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識。2.引導(dǎo)提問：同學(xué)們能否類比圓的標準方程的推導(dǎo)過程，正確建系,推導(dǎo)出橢圓的標準方程？請大家試一試。引導(dǎo)學(xué)生類比圓的標準方程的推導(dǎo)過程，先按定點在x軸正確建系,讓學(xué)生動手，嘗試推導(dǎo)。在推導(dǎo)標準方程的過程中，如何化簡更簡便更快捷，是這節(jié)課的難點所在，要引領(lǐng)學(xué)生突破難點所在，推出橢圓焦點在x軸的標準方程。3.引導(dǎo)提問：橢圓是否存在其它情形？是否能夠正確求出它對應(yīng)的標準方程？我們是否重復(fù)上面繁瑣的推導(dǎo)過程再推導(dǎo)一次？有沒有更簡潔的方法？4.橢圓的標準方程：(1)焦點在X軸上的橢的標準方程：焦點(2)焦點在y軸上的橢圓的標準方程：，焦點其中a，b，c幾何意義：a表示長軸長的一半，b表示短軸長的一半，c表示焦距長的一半，并且有．（1）動手實踐學(xué)生用細繩畫橢圓的方法將橢圓的定義具體化，加強對橢圓定義與圖形的理解，在這過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．（2）在橢圓方程的推導(dǎo)過程中，會根據(jù)橢圓的圖形特征，選擇合理建系方法，理解橢圓標準方程之“標準”所在；會根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的化簡方法，提高運算能力．（3）理解橢圓標準方程的特征及參數(shù)a,b,c的幾何意義，能根據(jù)條件利用橢圓定義推導(dǎo)出橢圓的標準方程．13分鐘㈢典例剖析例1.求下列橢圓的焦點坐標，以及橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和：(1)；(2)．方法：利用標準方程的特征確定a,b,c，根據(jù)定義從而確定答案例2．求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點坐標為（-3,0）和（3,0），橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為10；方法：找出a,b,c，代入標準方程焦點坐標為（0,-2）和（0,2）,且經(jīng)過點（3,2）.方法：利用待定系數(shù)法確定a,b1.給出例1，引導(dǎo)學(xué)生利用定義確定任意一點到兩個焦點的距離之和；根據(jù)方程找出a、b，然后利用a，b，c的等量關(guān)系算出c，從而確定焦點.2.給出例2，引導(dǎo)學(xué)生思考確定橢圓標準方程的需要確定哪些條件？從而利用已知求出a,b1．利用標準方程找出a,b,求出c，確定焦點以及2a.2．利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程(1)先確定焦點位置；(2)設(shè)出方程；(3)尋求a，b，c的等量關(guān)系；(4)求a，b的值，代入所設(shè)方程．10分鐘㈣練習(xí)鞏固變式訓(xùn)練1.已知橢圓經(jīng)過兩點和，求橢圓的標準方程。變式訓(xùn)練2.兩個焦點間的距離為8，橢圓上一點M到兩焦點的距離和等于10，求橢圓的標準方程。變式訓(xùn)練3.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，則三角形MNF2的周長為（）A.10B.20C.30D.40變式訓(xùn)練4.下列方程哪些表示的是橢圓，若是說出它的焦點在哪個坐標軸上？（1）9x2-25y2-225=0（2）（3）-3x2-2y2=-1依次給出練習(xí)1、練習(xí)2，學(xué)生在紙上寫出各題答案.利用希沃授課助手，依次展示兩個學(xué)生練習(xí)，請其余學(xué)生請糾正錯誤，指出所應(yīng)用的知識點.練習(xí)1強化標準方程的正確書寫形式，a，b的確定與c的數(shù)量關(guān)系的求法。練習(xí)2固化待定系數(shù)法求標準方程的步驟和方法10分鐘㈤歸納小結(jié)平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|＝2a，當2a>|F1F2|時，軌跡是橢圓；當2a＝|F1F2|時，軌跡是一條線段F1F2；當2a<|F1F2|時，軌跡不存在．2.橢圓的定義具有雙向作用若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，則點M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必