第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)ppt課件

1、2二元函數(shù)的極限3二元函數(shù)的連續(xù)性1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù)1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù)以點(diǎn) X0 = (x0, y0)為中心, 以 為半徑的圓內(nèi)部點(diǎn)的全體稱為 X0 的 鄰域.即),(0X)()(| ),(2020yyxxyx| | ),(0XXyxX記 (X0, ) = U (X0, ) X0 , 稱為 X0 的去心 鄰域.如圖),(0X記作X0X0U (X0, ) (X0, ) 當(dāng)不關(guān)心鄰域半徑時(shí), 簡(jiǎn)記為U (X0 )和 (X0).設(shè) E 是一平面點(diǎn)集, X0 = (x0, y0)E, 若存在鄰域 U(X0 , ) E , 則稱 X0 為 E 的內(nèi)點(diǎn).E 的全體內(nèi)點(diǎn)所成集合稱為 E 的內(nèi)部, 記

2、為E0.,122為單位圓盤(pán)的定義域比如DyxzD = (x, y)| x2 + y2 1 如圖xyox2 + y2 = 111D易知易知, 圓內(nèi)部的每一點(diǎn)都是圓內(nèi)部的每一點(diǎn)都是 D 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn). 但但圓周上的點(diǎn)不是圓周上的點(diǎn)不是 D 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn).x + y = 0 xy0如圖D又如 z = ln (x+y)的定義域 D = (x, y)| x+y 0易見(jiàn), 直線上方每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn). 即 D=D,但直線上的點(diǎn)不是D的內(nèi)點(diǎn).設(shè) E 是一平面點(diǎn)集, X0 = (x0, y0)是平面上一個(gè)點(diǎn). 假設(shè) X0的任何鄰域 U(X0 , )內(nèi)既有屬于 E 的點(diǎn), 又有不屬于 E的點(diǎn), 則稱 X0 為

3、E 的邊界點(diǎn).E 的全體邊界點(diǎn)所成集合稱為 E 的邊界. 記作 E.如, 例1中定義域 D 的邊界是直線 x +y = 0 上點(diǎn)的全體. 例2中定義域 D 的邊界是單位圓周 x2 + y2 = 1上的點(diǎn)的全體. 如圖xyo11x2 + y2 = 1Dx + y = 0 xyoE 的邊界點(diǎn)可以是的邊界點(diǎn)可以是 E 中的點(diǎn)中的點(diǎn), 也可以不是也可以不是 E 中的點(diǎn)中的點(diǎn).D設(shè) E 是一平面點(diǎn)集, 假設(shè) E 中每一點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn).即 E E0, 則稱 E 是一個(gè)開(kāi)集. 由于總有 E0 E, 因此, E E0 E = E0故也可說(shuō), 比如, 例1中 D 是開(kāi)集, (D = D0 ), 而例2中 D

4、 不是開(kāi)集.若E = E0 , 則稱 E 是一個(gè)開(kāi)集.規(guī)定, , R2為開(kāi)集.xyoE又比如, E 如圖假設(shè)假設(shè) E 不包含邊界不包含邊界, 那么那么 E 為為開(kāi)集開(kāi)集. 假設(shè)假設(shè) E 包含邊界包含邊界, 那么那么 E 不是不是開(kāi)集開(kāi)集. 必要性必要性. . 設(shè)設(shè) E E 為開(kāi)集為開(kāi)集, , X X E,E,由開(kāi)集定義知 X 為 E 的內(nèi)點(diǎn). 故 X 不是 E 的邊界點(diǎn).充分性充分性. . 假設(shè)假設(shè) E E 中每一點(diǎn)都不是中每一點(diǎn)都不是 E E 的邊的邊界點(diǎn)界點(diǎn). . 要證 E 為開(kāi)集. X E,由于 X 不是 E 的邊界點(diǎn). 故必存在X的一個(gè)鄰域U(X, ),在這個(gè)鄰域 U(X, )內(nèi)或者全

5、是 E 中的點(diǎn). 或者全都不是 E 中的點(diǎn), 兩者必居其一. 由于X E, 故后一情形不會(huì)發(fā)生.因此, U(X, )內(nèi)必全是 E 中的點(diǎn). 故 X E0, 即, E E0 , 所以 E 是開(kāi)集.設(shè) E 是一非空平面點(diǎn)集, 假設(shè)X ,YE. 都可用完全含于 E 的折線將它們連接起來(lái), 則稱 E 為連通集. 如圖XYE 連通YXE 不連通從幾何上看, 所謂 E 是連通集, 是指 E 是連成一片的. E 中的點(diǎn)都可用折線連接.例1, 2中的 D 都是連通集. 如圖x + y = 0 xyoxyo11x2 + y2 = 1設(shè) E 是一平面點(diǎn)集. 比如, 例1中 D 是開(kāi)區(qū)域. 如圖. E 從幾何上看,

6、 開(kāi)區(qū)域是連成一片的, 不包括邊界的平面點(diǎn)集.假設(shè) E 是連通的非空開(kāi)集, 則稱 E 是開(kāi)區(qū)域.假設(shè) E 是開(kāi)域, 記EEEEE0稱為閉區(qū)域.如圖. E 易見(jiàn), 例2中的 D 是閉區(qū)域. 從幾何上看, 閉區(qū)域是連成一片的. 包括邊界的平面點(diǎn)集.(本書(shū)把)開(kāi)區(qū)域和閉區(qū)域都叫作區(qū)域.8. 設(shè) E R2, 若存在 r 0, 使 E U(O, r), 則稱 E 為有界集. 否則稱 E 為無(wú)界集.易見(jiàn), 例1中 D 是無(wú)界集, 它是無(wú)界開(kāi)區(qū)域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界閉區(qū)域.設(shè) E 是平面點(diǎn)集, X0 是平面上一個(gè)點(diǎn). 若X0的任一鄰域內(nèi)總有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于 E . 則稱 X0 是E 的一個(gè)聚

7、點(diǎn).從幾何上看, 所謂 X0 是 E 的聚點(diǎn)是指在 X0 的附近聚集了無(wú)限多個(gè) E 中的點(diǎn). 即, 在 X0 的任意近傍都有無(wú)限多個(gè) E 中的點(diǎn).X0如圖1. 聚點(diǎn)定義也可敘述為: 假設(shè) X0 的任一鄰域內(nèi)至少含有 E 中一個(gè)異于 X0 的點(diǎn). 則稱 X0 為 E 的 一個(gè)聚點(diǎn). (自證).2. E 的聚點(diǎn) X0可能屬于 E , 也可能不屬于E .3. E 的內(nèi)點(diǎn)一定是 E 的聚點(diǎn).4. 假設(shè) E 是開(kāi)區(qū)域. 那么 E 中每一點(diǎn)都是 E 的聚點(diǎn). .的聚點(diǎn)中每一點(diǎn)都是則為閉區(qū)域若EEEEE.的聚點(diǎn)從而是E即, 區(qū)域中的任一點(diǎn)都是該區(qū)域的聚點(diǎn).普通, 集合 E 的邊界點(diǎn)不一定是 E 的聚點(diǎn). 但

8、若 E 是開(kāi)集, 那么 E 的邊界點(diǎn)一定是 E 的聚點(diǎn), 自證.（3 3點(diǎn)集點(diǎn)集E E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E E，也可以不屬于，也可以不屬于E E10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0, 0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合（1 1內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；（2 2邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例如，例如，(0, 0) 既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)（4 4n n 維空間維空間實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)數(shù)軸點(diǎn)數(shù)軸點(diǎn). 數(shù)組數(shù)組

9、 (x, y)實(shí)數(shù)全體表示直線實(shí)數(shù)全體表示直線(一維空間一維空間)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)R平面點(diǎn)平面點(diǎn)(x, y) 全體表示平面全體表示平面(二維空間二維空間)2R數(shù)組數(shù)組 (x, y, z)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)空間點(diǎn)(x, y, z) 全體表示空間全體表示空間(三維空間三維空間)3R推行：推行：n 維數(shù)組維數(shù)組 (x1, x2, , xn)全體稱為全體稱為 n 維空間，記為維空間，記為.nRn 維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為特殊地，當(dāng)特殊地，當(dāng) n =1, 2, 3 n =

10、1, 2, 3時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩間兩 點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離n 維空間中鄰域概念：維空間中鄰域概念： .,| ),(00nRPPPPPU 區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義（5 5二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義回想回想y 按按照照一一定定法法則則總總有有確確定定的的數(shù)數(shù)值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱 y 是是 設(shè)設(shè)x和和y是兩個(gè)變量。是兩個(gè)變量。D是一個(gè)給定是一個(gè)給定 的的數(shù)集數(shù)集，若對(duì)于每個(gè)數(shù)，若對(duì)于每個(gè)數(shù)Dx ，變量，變量 ).(xfy x 的的函數(shù)函數(shù)，記作，記作 定定義義 1 1 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的

11、一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定 的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)， 記記為為 ),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. . ),(),( DyxyxfzzW 點(diǎn)集點(diǎn)集 D -定義域，定義域，- 值域值域.x、y -自變量，自變量，z -因變量因變量.當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). . 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)地地，函函數(shù)數(shù))(xfy 稱稱為為一一元元函函數(shù)數(shù). 類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)定定義義 1 1 設(shè)設(shè)D

12、是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定 的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)， 記記為為 ),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. . ),(),( DyxyxfzzW 點(diǎn)集點(diǎn)集 D -定義域，定義域，- 值域值域.x、y -自變量，自變量，z -因變量因變量.).,(),(yxzyxzzyxz 的的函函數(shù)數(shù)也也可可記記為為、是是函數(shù)的兩個(gè)要素函數(shù)的兩個(gè)要素: : 定義域、對(duì)應(yīng)法則定義域、對(duì)應(yīng)法則. .與一元函數(shù)相類似，對(duì)于定義域約定：與一元函數(shù)相類

13、似，對(duì)于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集. .例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD （6 6二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域?yàn)闉镈，對(duì)對(duì)于于任任意意 取取定定的的DyxP ),(，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz . . 以以x為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、y為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)、z為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空 間間就就確確定定

14、一一點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)),(yx取取遍遍D上上一一切切 點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，得得一一個(gè)個(gè)空空間間點(diǎn)點(diǎn)集集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ， 這這個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形. . （如下頁(yè)圖）（如下頁(yè)圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面. .xyzsin 例如例如, ,圖形如右圖圖形如右圖. .2222azyx 例如例如, ,左圖球面左圖球面. .),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: :xyzo2 二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限回憶一元函數(shù)的極限. 設(shè) y = f (x),)(lim0Axfxx所謂當(dāng)

15、 x 不論是從 x0的左邊還是從x0的右邊無(wú)限接近于x0時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于數(shù) A.表示如圖xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0 xxx x0. )(lim0語(yǔ)言表示用Axfxx就是 0, 0.當(dāng)0|x x0| 時(shí), 有|f (x) A | .設(shè)二元函數(shù) z = f (X) = f (x, y), 定義域?yàn)镈.如圖Dz = f (x, y)XX如果當(dāng)X在D內(nèi)變動(dòng)并無(wú)限接近于X0時(shí) (從任何方向, 以任何方式),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f (X)無(wú)限接近于數(shù) A, 則稱A為當(dāng)X趨近于X0時(shí)f (X)的極限.MX0Ayzxof (X)類似于一元函數(shù), f (X)無(wú)限接近于數(shù) A可用 |

16、 f (X) A | 0, 0, 當(dāng), )()(2020時(shí)yyxx對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足| f (X) A | 0， P0 的去心的去心 鄰域鄰域 U(P0, )。在在U(P0, )內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù)),(yxfz 的圖形總在平面的圖形總在平面 Az及及 Az之間。之間。例例2 2 求證求證 證證. 01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，22)0()0(0yx.01sin)(2222 yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立留意：留意： 是指是指 P P 以任何方式趨于以任何方式趨于P0 .P0 .0PP ,)(

17、lim00Axfxx ,)(lim00Axfxx .)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,)(lim0AxfPP . )() ( 0PPAxf以以某某種種方方式式趨趨于于Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px軸軸沿沿平平行行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py軸軸沿沿平平行行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky 確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：(1) (1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趨向于趨向于),(000yxP， 若極限值與若極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不

18、存在；有關(guān)，則可斷言極限不存在； (2) (2) 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 兩者不相等，此時(shí)也可斷言兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP 處極限不存在處極限不存在 例例3 3 設(shè)設(shè)解解 . 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,),(22yxyxyxxyyxf但取但取,kxy ),(lim00yxfkxyx 2200)(limkxxkxxkxyx 其值隨其值隨 k k 的不同而變化。的不同而變化。不存在不存在).,(lim 00yxfyx求求 ),(lim00yxfyx, 00lim 0 y ),(li

19、m00yxfyx, 00lim 0 x.12kk 故故),(lim00yxfyx例例4 4 求求解解).32(lim2210 xyyxyx )32(lim2210 xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim1010210210yxyxyxyxyxyx )3(lim)2(lim)(lim10210210 xyyxyxyxyx . 2103120 例例5 5 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 2

20、220yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim 22200 yxyxyx于是，于是，yxu2 若D是一區(qū)域. 則只須要求,0DDDX就可保證 X0 是D的一個(gè)聚點(diǎn).另外, 0 |X X0 | 0, 22|)0 , 0(|0yxX 時(shí), 有 | f (x, y) 0 | 0, 使得當(dāng)要使 | f (x, y) 0 | , 只須222yx222 yx即有時(shí)則當(dāng)取, |)0 , 0(|,2 22yxX| f (x, y) 0 | 01sinlim00yxxyyx故例例7. 設(shè)設(shè)f (x, y) = ,0 ,2222時(shí)當(dāng)yxyxxy,0 , 022時(shí)當(dāng) yx證明 f (x, y)在 (0,

21、 0)點(diǎn)的極限不存在.證證: 由注由注2知知, 只須證明當(dāng)只須證明當(dāng)X 沿不同的線路趨沿不同的線路趨于于(0, 0)時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù)f (x, y)對(duì)應(yīng)的極限也不同對(duì)應(yīng)的極限也不同即可即可.調(diào)查 X =(x, y)沿平面直線 y = kx 趨于(0, 0)的情形.如圖對(duì)應(yīng)函數(shù)值22),(yxxyyxf)0 , 0(),( , )1 (222yxkxkxxoy從而, 當(dāng) X = (x, y) 沿 y = kx 趨于(0,0)時(shí), 函數(shù)極限),(lim0yxfkxyx21kk當(dāng) k 不同時(shí), 極限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的極限不存在 .請(qǐng)考察當(dāng)X = (x, y)沿 x

22、 軸, 沿 y 軸趨于(0, 0)的情形.)1 (lim2220kxkxx),(lim00yxfyx沿 x 軸, y = 0. 函數(shù)極限= 000lim20 xx沿 y 軸, x = 0. 函數(shù)極限),(lim00yxfxy= 02000limyx但不能由此斷定該二重極限為0 (注2).3 二元函數(shù)的連續(xù)性)()(lim 00XfXfXX若設(shè) z = f (X) = f (x, y), 在區(qū)域D上有定義.則稱 f (X) 在 X0 延續(xù), X0 稱為 f (X) 的連續(xù)點(diǎn). 否則稱 f (X) 在 X0 延續(xù), X0 稱為 f (X) 的間斷點(diǎn). X = (x, y) D, X0 = (x0,

23、 y0) D, 假設(shè)假設(shè) f (X) 在在 D 上每一點(diǎn)都連續(xù)上每一點(diǎn)都連續(xù), 則稱則稱 f (X) 在在 D 上連續(xù)上連續(xù), 記為記為 f (X) C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)延續(xù)(極限不存在), 上在直線中例01sin),( ,1yxyxxyyxf每一點(diǎn)都間斷.注注1. 二元函數(shù)二元函數(shù) f (X)在在 X0 連續(xù)必須滿足三個(gè)條件連續(xù)必須滿足三個(gè)條件. 在在 X0 有定義有定義, 在在 X0 的極限存在的極限存在, 兩者相等兩者相等, 2. 多元連續(xù)函數(shù)的和多元連續(xù)函數(shù)的和, 差差, 積積, 商商(分母不為分母不為0)以以及多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍是多元連續(xù)函數(shù)

24、及多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍是多元連續(xù)函數(shù). 定義可推廣到三元以上函數(shù)中去.多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四 則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表 示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定義區(qū)域定義區(qū)域 PPfPfPP例例1 1 求極限求極限 .lim21xyyxyx xyyxyxf ),(解解是多元初等函數(shù)。是多元初等函數(shù)。定義域：定義域：.0 , 0 | ),( yxyxD0 , 0 | ),()2 , 1( 1 yxyxD點(diǎn)點(diǎn).D 于是，于是， xyyxyx21lim2121 .23 （不連通）（不連通）xoy例例2 2.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim003. 多元初等函數(shù)在它有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的多元初等函數(shù)在它有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.所謂多元初等函數(shù)是指以