第32節(jié)向量組線性相關(guān)性ppt課件

1、線性表示。線性表示。可由可由ma aa aa a，或說或說21mmkkkna aa aa aa a使得使得，存在常數(shù)，存在常數(shù)，維向量組維向量組若對于若對于LLLLLL2121的一個(gè)線性組合，的一個(gè)線性組合，為為ma aa aa a，則稱則稱21a ammkkka aa aa aa a2211+ + + += =線性表示的定義回顧線性表示的定義回顧線性相關(guān)的定義線性相關(guān)的定義1定定義義 向向量量組組, ,其其中中有有一一向向量量可可由由其其余余向向量量12:,nLLa a a aa a線線性性表表出出則則稱稱該該向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān),1 12 23 3n n按按此此定定義義，判判斷斷一

2、一個(gè)個(gè)向向量量組組是是否否線線性性相相關(guān)關(guān)，需需要要逐逐個(gè)個(gè)判判斷斷能能否否用用其其余余向向量量線線性性表表示示,a a a a a aa aLL 定義1 設(shè)有m個(gè)n維向量1， 2 ， ， m，如果存在一組不全為零的數(shù) 使mkkk,21則稱向量組則稱向量組1 1 ， 2 2 ， ， mm線性相線性相關(guān)；關(guān)；否則，稱向量組線性無關(guān)否則，稱向量組線性無關(guān)11220mmkkka aa aa a+ + + += = 線性相關(guān)兩種定義的等價(jià)性線性相關(guān)兩種定義的等價(jià)性 向量組向量組a1a1，a2a2， ，amam線性相關(guān)線性相關(guān)的充要條件是：的充要條件是： 向量組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。向

3、量組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。必要性：因?yàn)楸匾裕阂驗(yàn)閍1，a2， ，am線性相關(guān)，故存在不全線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)為零的數(shù)l1，l2， ， lm，使，使 l1a1l2a2 lmamo 。不妨設(shè)不妨設(shè)l10，于是，于是 mm)()()(13132121+ +=， 即即a1為為a2，a3， ，am的線性組合。的線性組合。 充分性：不妨設(shè)a1可由其余向量線性表示： a1=l2a2l3a3 lmam，則存在不全為零的數(shù)1，l2，l3， ， lm，使 (1)a1+l2a2l3a3 lmam=o ，即a1，a2， ，am線性相關(guān)。 證明：證明：1. 1. 含有零向量的向量組一定線性相

4、關(guān)。含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。 2.由一個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)該向量為零向量。3.3.由兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量的分量由兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量的分量 對應(yīng)成比例。對應(yīng)成比例。4. n 4. n 維基本單位向量維基本單位向量e1e1，e2e2，enen是線性無關(guān)的。是線性無關(guān)的。5. 5. 幾何意義幾何意義 定義1 設(shè)有m個(gè)n維向量1， 2 ， ， m，如果存在一組不全為零的數(shù) 使mkkk,21則稱向量組則稱向量組1 1 ， 2 2 ， ， mm線性相線性相關(guān)；關(guān)；否則，稱向量組線性無關(guān)否則，稱向量組線性無關(guān)11220mmkkka

5、aa aa a+ + + += = 思考題：給出線性無關(guān)的直接定義思考題：給出線性無關(guān)的直接定義1122120 mm12mmkkk k = k = .k= 0aaaaaaaaaaaa+=+=如果則必有如果則必有則稱，線性無關(guān)則稱，線性無關(guān),nnRA ,nR a a, 0 a a, 0= =a akA01 a akA 證明向量組證明向量組 線性無關(guān)線性無關(guān).a aa aa aa a12, kAAAL證證利用條件設(shè)法推出利用條件設(shè)法推出0110= = = = = kkkkL即可即可.設(shè)設(shè)0112210= =+ + + + + a aa aa aa akkAkAkAkkL(1)010= = a ak

6、Ak (1)式左乘式左乘1 kA得得0001= = kAka a(1)式成為式成為011221= =+ + + + a aa aa akkAkAkAkL(2)(2)式左乘式左乘001112= = = kAkAkka a同理推出同理推出012= = = = kkkL例例3例例2設(shè)向量設(shè)向量 可由線性無關(guān)的向量組可由線性無關(guān)的向量組 na aa aa a,21L線性表示線性表示,證明表法是唯一的證明表法是唯一的.(p99定理定理3.2.2)nnnna a a a a a a a a a a a + + + += =+ + + += =LL221122110)()()(222111= = + + +

7、 + + nnna a a a a a L由由 線性無關(guān)線性無關(guān)na aa aa a,21Lnn = = = =,2211L 3113a a= = 所以方程組有非零解。所以方程組有非零解。21= =x12 = =x13 = =x得方程組得方程組 123123123030530 xxxxxxxxx+=+= +=+= +=+= 由于由于 1111310153A = = = = 解:設(shè)1122330 xxxaaaaaa+=+= 使使1122330 xxxaaaaaa+=+= 所以所以 線性相關(guān)。線性相關(guān)。 123,aa aaa a 1111a a = = 即存在一組不全為零即存在一組不全為零0的數(shù)的

8、數(shù) 2135a a = = 21= =x12 = =x13 = =x易見易見 向量組向量組a1a1，a2a2， ，amam線性相關(guān)的充分必要條件是：線性相關(guān)的充分必要條件是： 以以x1x1，x2x2，xmxm為未知量的齊次線性方程組為未知量的齊次線性方程組 x1a1x1a1 x2a2 x2a2 xm am xm am o o有非零解。有非零解。12()ma aa aa aLL即即， ， 12.mxxox = = 有有非非零零解解 而上述方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩小于未知量而上述方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩小于未知量的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)m m，即，即12(,)mAma a a aa

9、 a= = LL的的秩秩 由此即得：由此即得：02211= =+ + + +nnkkka aa aa aL存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù) 使使nkkk,21L即即 ,021nAAxa aa aa aL= = =有非零解有非零解.nAr )(nAa aa aa a,:21L向量組向量組線性相關(guān)線性相關(guān)(按定義按定義)(轉(zhuǎn)化為方程組轉(zhuǎn)化為方程組) 齊次方程組齊次方程組(用矩陣的秩用矩陣的秩)02211= =+ + + +nnxxxa aa aa aL把向量組排成矩陣，如果矩陣的秩等于向量的個(gè)數(shù)就線性把向量組排成矩陣，如果矩陣的秩等于向量的個(gè)數(shù)就線性無關(guān)，否則如果矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)就線性相關(guān)。

10、無關(guān)，否則如果矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)就線性相關(guān)。證明向量組線性相關(guān)性的基本方法證明向量組線性相關(guān)性的基本方法（向量方程）（向量方程）思考題：如向量個(gè)數(shù)思考題：如向量個(gè)數(shù)= =向量維數(shù)，向量組線性相關(guān)向量維數(shù)，向量組線性相關(guān)及線性無關(guān)的條件是什么？及線性無關(guān)的條件是什么？答案：線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其構(gòu)造的矩陣對應(yīng)行列式的值為答案：線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其構(gòu)造的矩陣對應(yīng)行列式的值為0 0； 線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其構(gòu)造的矩陣對應(yīng)行列式的值不為線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其構(gòu)造的矩陣對應(yīng)行列式的值不為0 0。1=（3，2，0），），2=（5，4，-13=（3，1，t）解解 由于由于 當(dāng)當(dāng) 2t-302t-30，即，即t3/2t

11、3/2時(shí)，時(shí)，11，22，3 3 線性無關(guān)線性無關(guān)35311211224124102323010101tttt= 當(dāng)當(dāng) 2 t-3 = 0，即，即t=3/2時(shí)，時(shí)，1，2，3 線性相關(guān)線性相關(guān)例例2、知、知討論向量組討論向量組a1a1，a2a2，a3a3及向量組及向量組a1a1，a2a2的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性1231021 ,2 ,4 ,157aaaaaa = 解：解：A=A=（a1a1，a2a2，a3a3）= =102124157 102022000r RA）=2n, 由表示不等式由表示不等式mnArBrnlml )()(從而從而 B 必相關(guān)必相關(guān).P.107 引理引理1 練習(xí)題 一填空題

12、在一向量組， ，n中，如果有 部分向量組線性相關(guān)，則向量組必（ ）二、多選題：下列命題中正確的有（二、多選題：下列命題中正確的有（ ） 非零向量組成的向量組一定線性無關(guān)非零向量組成的向量組一定線性無關(guān) 含零向量的向量組一定線性相關(guān)含零向量的向量組一定線性相關(guān) 由一個(gè)零向量組成的向量組一定線性無關(guān)由一個(gè)零向量組成的向量組一定線性無關(guān) 由零向量組成的向量組一定線性相關(guān)由零向量組成的向量組一定線性相關(guān) 線性相關(guān)的向量組一定含有零向量。線性相關(guān)的向量組一定含有零向量。三、分析判斷題三、分析判斷題 ：若：若不能被不能被，r線性表出，線性表出，則向量則向量，r線性無關(guān)。（線性無關(guān)。（ ）四、證明題：設(shè)四、

13、證明題：設(shè)可由可由， ，r線性表示，線性表示，但不能由但不能由， ，r線性表示，證明線性表示，證明r可可由由， ，r，線性表示線性表示1 12 23 32 23 34 41 12 23 34 41 12 23 3五五、設(shè)設(shè)向向量量組組，線線性性相相關(guān)關(guān)，向向量量組組，線線性性無無關(guān)關(guān)，問問：（1 1）能能否否由由，線線性性表表出出？證證明明你你的的結(jié)結(jié)論論（2 2）能能否否由由，線線性性表表出出？證證明明你你的的結(jié)結(jié)論論a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a1231110221 ,0035796810a aa aa a = = = = 例例題題判判斷斷向

14、向量量組組的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性123123 1,0,0 1,2,01,2,3,a aa aa aa a a a a a= = = = 解解 因因?yàn)闉榈牡木€線性性無無關(guān)關(guān) 故故也也線線性性無無關(guān)關(guān)1122123121232 2, ,3,aaaaaaaaaaaa =+= +=+= +例題設(shè)例題設(shè)判斷的線性相關(guān)性判斷的線性相關(guān)性1122233344141122233344413 , (2) =,=,=,= a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a= =+ += =+ += =+ += =+ + 例例題題判判斷斷( (1 1)

15、)的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性13241324 +-0 +0= = =解 容易觀察解 容易觀察 從從 這這兩兩向向量量組組均均線線性性相相關(guān)關(guān)12r4t ,t .t,rn, 例例題題設(shè)設(shè)是是互互不不相相同同的的數(shù)數(shù)證證明明下下列列向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)211, , (1,2,)niiiit ttira a = = =LLLL12 A=(,)nr = na aaa aaLL解 當(dāng)時(shí)解 當(dāng)時(shí) 記記1 ij n0jiA(t -t ) = = 故故所所給給向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)21121, , (1,2,) ,riiiint ttir a a a aa a = = =LLLLLL線線性性無無關(guān)

16、關(guān)故故向向量量組組也也線線性性無無關(guān)關(guān)12r A=(,)r na aaa aaLL解 當(dāng)時(shí)解 當(dāng)時(shí) 記記12s112223111126 ,ssssssa aaa aaaaaaaaaaaaaaaaaa =+=+=+=+=+=+=+=+LLLLLL例題 已知向量組(s2)線性無關(guān)例題 已知向量組(s2)線性無關(guān)設(shè)設(shè)討論向量組的線性相關(guān)性討論向量組的線性相關(guān)性12121210011100 (,)(,)(,)011000001sssKa aaa aaa aaa aa= LLLLLL 解解11( 1)SK+ += =+ + 1212,),ssSK0R(K)= S Rs = =LLLL當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)從從而而 ( (故故線線性性無無關(guān)關(guān)1212,),ssSK0R(K)S Rs = = LLLL當(dāng)當(dāng) 為為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)從從而而 ( (故故線線性性相相關(guān)關(guān)例題例題71231223311223123122331123123123,(A) ,( ) ,2( ) 2,23,3() +,2322,355 BCDa a a a a aa aa a a aa a a aa aa aa a a aa a a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa