GW46_向量組的線性相關(guān)性

1、第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu) (1) n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組Ax = 0有非零解有非零解的充分必要條件為其系數(shù)矩陣的秩的充分必要條件為其系數(shù)矩陣的秩 R(A) n. (2) n個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組Ax = b 有解的有解的充分必要條件為系數(shù)矩陣充分必要條件為系數(shù)矩陣A與增廣矩陣與增廣矩陣B=(A | b)的秩的秩相等相等, 且當(dāng)且當(dāng)R(A)=R(B)=n時(shí)有唯一解時(shí)有唯一解; 當(dāng)當(dāng)R(A)=R(B)n時(shí)有無窮多解時(shí)有無窮多解; 前面我們已經(jīng)用初等變換的方法討論了線性方程前面我們已經(jīng)用初等變換的方法討論了線性方程組

2、的解法組的解法, 并建立了兩個(gè)重要定理并建立了兩個(gè)重要定理:設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若記若記,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxx則上述方程組可寫成向量方程則上述方程組可寫成向量方程Ax = 0.若若x1= 11, x2= 21, , xn= n1為方程組為方程組Ax = 0的解的解, 則則 121111nx 稱為方程組稱為方程組Ax = 0的的解向量解向量. (1) 若若x = 1, x = 2為為Ax = 0的解的解, 則則 x = 1 +

3、2也是也是Ax = 0的解的解.證明證明: 因?yàn)橐驗(yàn)?A 1 = 0, A 2 = 0,所以所以A( 1 + 2) = A 1 + A 2 = 0,故故 x = 1 + 2也是也是Ax = 0的解的解. (2) 若若x = 1為為Ax = 0的解的解, k為數(shù)為數(shù), 則則 x = k 1也是也是Ax = 0的解的解.證明證明: 因?yàn)橐驗(yàn)?A 1 = 0,所以所以A(k 1) = kA 1 = k 0 = 0,故故 x = k 1也是也是Ax = 0的解的解.這兩個(gè)性質(zhì)表明這兩個(gè)性質(zhì)表明, Ax = 0的全體解向量所組成的集的全體解向量所組成的集合對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的合對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是

4、封閉的, 因此構(gòu)成一個(gè)向量因此構(gòu)成一個(gè)向量空間空間, 稱此向量空間為齊次方程組稱此向量空間為齊次方程組 Ax = 0 的的解空間解空間. 稱向量組稱向量組 1, 2, , t為齊次線性方程組為齊次線性方程組Ax = 0的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系, 如果如果(1) 1, 2, , t 是是Ax = 0的解的一個(gè)最大無關(guān)組的解的一個(gè)最大無關(guān)組;(2) Ax = 0的任一解都可由的任一解都可由 1, 2, , t 線性表出線性表出. 如果向量組如果向量組 1, 2, , t 為齊次線性方程組為齊次線性方程組Ax = 0的一組基礎(chǔ)解系的一組基礎(chǔ)解系, 那么那么, Ax = 0的通解可表示為的通解可表示為:x

5、 = k1 1 + k2 2 + + kt t其中其中k1, k2, , kt為任意常數(shù)為任意常數(shù).設(shè)齊次線性方程組設(shè)齊次線性方程組Ax = 0的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A的前的前 r 個(gè)個(gè)列向量線性無關(guān)列向量線性無關(guān), 于是于是A可化為可化為: 000000001001,1, 111rnrrrnbbbbA即有方程組即有方程組.,11, 11111nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx(1).100,010,00121 nrrxxx現(xiàn)對(duì)現(xiàn)對(duì)( xr+1, , xn )T 取下列取下列 nr 組數(shù)組數(shù)(向量向量):分別代入方程組分別代入方程組(1)依次得依次得:.,2,1222121211121

6、rnrrnrnrrrbbbbbbbbbxxx從而求得原方程組的從而求得原方程組的 nr個(gè)解個(gè)解:,001121111 rbbb ,010222122 rbbb .100,2,1 rnrrnrnrnbbb , 定理定理1: 當(dāng)當(dāng) n元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Am nx = 0的系數(shù)矩的系數(shù)矩陣的秩陣的秩R(A)=r時(shí)時(shí), 解集解集S的秩為的秩為 nr .依據(jù)以上的討論，還可推得依據(jù)以上的討論，還可推得 當(dāng)當(dāng)R(A)=n時(shí)時(shí), 方程組方程組Ax = 0只有零解只有零解, 故沒有基礎(chǔ)故沒有基礎(chǔ)解系解系(此時(shí)解空間只含一個(gè)零向量此時(shí)解空間只含一個(gè)零向量, 為為0維向量空間維向量空間). 當(dāng)當(dāng)R

7、(A)=r n時(shí)時(shí), 方程組方程組Ax=0必有含必有含nr個(gè)向量的個(gè)向量的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系 1, 2, , n-r . 因此由最大無關(guān)組的性質(zhì)可知，因此由最大無關(guān)組的性質(zhì)可知，方程組方程組Ax=0的任何的任何nr個(gè)線性無關(guān)的解都可構(gòu)成它的個(gè)線性無關(guān)的解都可構(gòu)成它的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系. 并由此可知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系并并由此可知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系并不是唯一的不是唯一的,它的通解的形式也不是唯一的它的通解的形式也不是唯一的.例例1: 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解.,0000747510

8、737201137723521111 A有有解解: 對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換作初等行變換, 變?yōu)樾凶詈喚仃囎優(yōu)樾凶詈喚仃?.74757372432431 xxxxxx得得,100143 及及令令xx,7473757221 及及對(duì)應(yīng)有對(duì)應(yīng)有xx.107473,01757221 即得基礎(chǔ)解系即得基礎(chǔ)解系:).,(,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得通解并由此得通解:例例2: 設(shè)設(shè)Am nBn l = Om l , 證明證明R(A)+R(B) n.證明證明: 設(shè)設(shè)B =(b1, b2, , bl ), 則則AB = A(b1, b2, , bl ) = (

9、0, 0, , 0 ) = Om l ,即即Abi = 0 ( i =1, 2, , l), 也就是說也就是說, B的每個(gè)一列向量都是以的每個(gè)一列向量都是以A為系數(shù)矩陣的齊為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組次線性方程組Ax=0的解向量的解向量. R(B)=R(b1, b2, ,bl ) nR(A).R(A)+R(B) n.性質(zhì)知性質(zhì)知: 方程組方程組Ax=0的解向量組的秩為的解向量組的秩為nR(A),由齊次線性方程組解由齊次線性方程組解的的因此因此,故故證明證明: 因?yàn)橐驗(yàn)?A 1=b, A 2=b, (1) 設(shè)設(shè) x= 1 及及 x= 2 都是方程組都是方程組 Ax=b 的解的解, 則則 x= 1

10、2為對(duì)應(yīng)齊次方程組為對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的解的解.所以所以A( 1 2) = A 1A 2 = b b = 0.故故, x= 1 2為對(duì)應(yīng)齊次方程組為對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的解的解. (2) 設(shè)設(shè) x= 是方程組是方程組 Ax=b 的解的解, x= 是方程組是方程組 Ax=0 的解的解, 則則 x= + 仍仍為方程組為方程組 Ax=b 的解的解.證明證明: 因?yàn)橐驗(yàn)?A =b, A =0,所以所以A( + ) = A +A = 0 + b = b.故故, x= + 為方程組為方程組 Ax=b 的解的解.其中其中 k1 1+k2 2+kn-r n-r 為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組A

11、x=0的通解的通解, *為非齊次線性方程組為非齊次線性方程組Ax=b的任意一個(gè)的任意一個(gè)特解特解.非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為:x = k1 1 + k2 2 + + kn-r n-r + *. 例例4: 求解方程組求解方程組.2/132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解: 對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣B施行初等行變換施行初等行變換: 2132111311101111B,00000212100211011 .2/122/143421 xxxxx,21可見可見R(A)=R(B)=2, 故方程組有解故方程組有解, 并有并有取取 x2 = x4 = 0,

12、 則則x1 = x3 =即得方程組的一個(gè)解即得方程組的一個(gè)解.021021 ,100142 及及xx,210131 及及則則xx,1201 ,0011 21 取取即得對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為即得對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為:).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx 于是所求通解為于是所求通解為:在對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組在對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組中中, 434212xxxxx一、向量空間的概念說明說明.,VRV 則則若若2 維向量的集合是一個(gè)向量空間維向量的集合是一個(gè)向量空間,記作記作 .nnR;,VVV 則則若若1集合集合 對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指對(duì)于

13、加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指V第五節(jié)第五節(jié) 向量空間向量空間定義定義1 1設(shè)設(shè) 為為 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合集合 為向量空間為向量空間nVVVV., 33是一個(gè)向量空間是一個(gè)向量空間維向量的全體維向量的全體R例例1 1.33,33 3R維維向向量量，它它們們都都屬屬于于維維向向量量仍仍然然是是乘乘數(shù)數(shù)維維向向量量維維向向量量之之和和仍仍然然是是因因?yàn)闉槿稳我庖鈨蓛蓚€(gè)個(gè) . 間間，也也是是一一個(gè)個(gè)向向量量空空維維向向量量的的全全體體類類似似地地，nRn例例2 2 判別下列集合

14、是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間. RxxxxxVnTn , 0221解解.V 是向量空間是向量空間1的任意兩個(gè)元素的任意兩個(gè)元素因?yàn)閷?duì)于因?yàn)閷?duì)于1V TnTnbbaa, 0, 022 ,V1 122, 0VbabaTnn 有有 ., 012VaaTn 例例3 3 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間. RxxxxxVnTn , 1222解解 .2 ,2 , 2222VaaTn 則則.V 不是向量空間不是向量空間2 , 122VaaTn 因?yàn)槿粢驗(yàn)槿艟S向量，集合維向量，集合為兩個(gè)已知的為兩個(gè)已知的設(shè)設(shè)nba, 例例4 4 RbaxV ,試判斷集合是否為向量空間試判斷集合

15、是否為向量空間.baxV111. 因?yàn)槿粢驗(yàn)槿羰且粋€(gè)向量空間是一個(gè)向量空間解解，bax222 則有則有,)()(212121Vbaxx .)()(111Vbkakkx ., 間間所所生生成成的的向向量量空空量量這這個(gè)個(gè)向向量量空空間間稱稱為為由由向向ba RaaaxVmmm ,212211間間所所生生成成的的向向量量空空由由向向量量組組maaa, 21一般地，一般地，為為 ., , , 212122112212211111VVRbbbxVRaaaxVbbaasssmmmsm 試證：試證：記記等價(jià)，等價(jià)，與向量組與向量組設(shè)向量組設(shè)向量組 例例5 5., 11線線性性表表示示可可由由，則則設(shè)設(shè)ma

16、axVx 證證,:12VxVx 則則若若類似地可證類似地可證.211221VVVVVV ，所以，所以，因?yàn)橐驗(yàn)榫€線性性表表示示，可可由由線線性性表表示示，故故可可由由因因ssmbbxbbaa,111.2Vx 所以所以，則，則這就是說，若這就是說，若21VxVx .21VV 因此因此.12VV 因此因此;,)1(21線線性性無無關(guān)關(guān)r .,2)(21線性表示線性表示中任一向量都可由中任一向量都可由rV 那末，向量組那末，向量組 就稱為向量的一個(gè)就稱為向量的一個(gè)r, 21V基基， 稱為向量空間稱為向量空間 的維數(shù)的維數(shù)，并稱并稱 為為 維向量維向量空間空間VrVr三、向量空間的基與維數(shù)定義定義2

17、2 設(shè)設(shè) 是向量空間，如果是向量空間，如果 個(gè)向量個(gè)向量 ，且滿足，且滿足r,21 VVr , R,xVrrr 12211 （1）只含有零向量的向量空間稱為）只含有零向量的向量空間稱為0維向量維向量空間，因此它沒有基空間，因此它沒有基說明說明 （3）若向量組）若向量組 是向量空間是向量空間 的一的一個(gè)基，則個(gè)基，則 可表示為可表示為r, 21VV （2）若把向量空間）若把向量空間 看作向量組，那末看作向量組，那末 的基的基就是向量組的最大無關(guān)組就是向量組的最大無關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的的維數(shù)就是向量組的秩秩.VVV,221212122),(321 aaaA,243041),(21 bbB.,

18、213321線線性性表表示示用用這這個(gè)個(gè)基基的的一一個(gè)個(gè)基基，并并把把是是驗(yàn)驗(yàn)證證bbRaaa設(shè)矩陣設(shè)矩陣?yán)? 6 ., 3213321EAaaaRaaa線線性性無無關(guān)關(guān)，即即只只要要證證的的一一個(gè)個(gè)基基，只只要要證證是是要要證證解解，設(shè)設(shè)33222211223312211111,axaxaxbaxaxaxb ,),(),(32312221121132121 xxxxxxaaabb即即.AXB 記作記作.,)( 13321BAXBEARaaaEABA 變?yōu)樽優(yōu)闀r(shí)，時(shí)，變?yōu)樽優(yōu)榈囊粋€(gè)基，且當(dāng)?shù)囊粋€(gè)基，且當(dāng)為為則則，能變?yōu)槟茏優(yōu)槭┬谐醯刃凶儞Q，若施行初等行變換，若對(duì)矩陣對(duì)矩陣 242213021241122)(BA