線(xiàn)性代數(shù)回顧

1、線(xiàn)性代數(shù)回憶線(xiàn)性代數(shù)回憶  1.行列式的實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)  行列式都是n*n的大小  行列式與矩陣的關(guān)系：n階矩陣可以取行列式  行列式與多項(xiàng)式的關(guān)系：行列式是不同行、不同列元素乘積的代數(shù)和      (每項(xiàng)是n個(gè)元素組成的乘積項(xiàng)，這n個(gè)元素來(lái)自由不同行、不同列；共n!項(xiàng)構(gòu)成；總結(jié)果是一個(gè)代數(shù)和，各項(xiàng)符號(hào)看逆序；) 2.行列式的6個(gè)性質(zhì)：    行與列的變換等價(jià)    n

2、階矩陣轉(zhuǎn)置以后取行列式，行列式值不變    一行乘以某個(gè)數(shù)加到另外一行，行列式值不變(該性質(zhì)通常用于化簡(jiǎn)出多個(gè)0，來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算行列式的值)    數(shù)乘行列式：一行的公因數(shù)可以提取(矩陣要所有元素要有公因數(shù)才能提取出來(lái))    兩行互換，行列式值正負(fù)變號(hào)    兩行相等或成比例行列式值為0    拆分性質(zhì)(某行或某列的所有元素為2數(shù)之和那么可拆分)    |AB

3、|A|*|B|，當(dāng)且僅當(dāng)A、B都是n階矩陣 3.行列式的展開(kāi)公式既可以對(duì)行展開(kāi)也可以對(duì)列展開(kāi)  行列式的展開(kāi)計(jì)算公式思想：將1個(gè)n階行列式轉(zhuǎn)換為n個(gè)n-1階行列式的計(jì)算     (實(shí)際操作過(guò)程中先用行列式性質(zhì)使得某行或者某列出現(xiàn)較多的0，再按展開(kāi)公式計(jì)算)  行列式的余子式和代數(shù)余子式(行列式降一階)的性質(zhì)：                

4、;        aij與Aij、Mij無(wú)關(guān)(注意Aij Mij是行列式或數(shù)，而不是矩陣)；                        行列式的展開(kāi)公式；          &

5、#160;             展開(kāi)公式的aij換成另外一行，行列式值為0的性質(zhì)(函數(shù)代換角度)；                        伴隨矩陣與原矩陣的公式(注意：原矩陣按行排列，伴隨矩陣按列排列)4.常見(jiàn)行列式的

6、計(jì)算：    上三角行列式、下三角行列式、主對(duì)角線(xiàn)行列式(特殊的上、下三角行列式)的值(主對(duì)角線(xiàn))    上三角行列式、下三角行列式、主對(duì)角線(xiàn)行列式(特殊的上、下三角行列式)的值(副對(duì)角線(xiàn))    范得蒙行列式：大指標(biāo)減去小指標(biāo)的連乘積(注：列指標(biāo)由小到大是左到右，行指標(biāo)是由上到下)    拉普拉斯展開(kāi)式(主、副對(duì)角線(xiàn)上有0塊)    爪型行列式：提取生成1然后變?yōu)樯舷氯切辛惺?#160;

7、60;  "特征值行列式"及2個(gè)重要性質(zhì): 特征值之和為原矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素之和；特征值之積為原矩陣取行列式；         (注意：秩為1的矩陣其特征值行列式非常簡(jiǎn)化)    正交矩陣的行列式為1或1    5.一個(gè)排列里如果大的數(shù)排在小的數(shù)前面，那么它們構(gòu)成一個(gè)逆序，逆序數(shù)為奇數(shù)或者偶數(shù)那么稱(chēng)這個(gè)排列為奇排列或偶排列  如果行列式中某項(xiàng)的逆序數(shù)為奇數(shù)那么該項(xiàng)符號(hào)為

8、負(fù)，如果逆序數(shù)為偶數(shù)那么該項(xiàng)符號(hào)為正  計(jì)算逆序數(shù)的方法有兩種：分別計(jì)算行排列的逆序數(shù)與列排列的逆序數(shù)之和；按行或列排列后計(jì)算列或行的逆序數(shù) 6.行列式局部的注意點(diǎn)：    一個(gè)行列式所有代數(shù)余子式之和 即伴隨矩陣內(nèi)所有元素之和    注意，n階矩陣可以取行列式，而向量不能取行列式    A B不等，但其行列式可能相等    非0矩陣的行列式可能為0   7.矩陣的實(shí)質(zhì)：是一個(gè)

9、表格，是一種便于計(jì)算的工具，其內(nèi)部元素的排列是有序的  矩陣的形狀：矩陣的長(zhǎng)寬可以不相同  矩陣的用途：用來(lái)描述"乘積的和"的式子  兩矩陣相等：矩陣內(nèi)所有相同位置的元素都相同  0矩陣：所有元素為0的矩陣  矩陣與向量：向量是特殊的矩陣(行數(shù)或列數(shù)為1的矩陣)  一階矩陣：一個(gè)數(shù)就是一個(gè)一階矩陣(由行向量乘以列向量得到) 8.矩陣的運(yùn)算法那么： 兩矩陣相加減：相同位置的元素對(duì)應(yīng)相加減，只對(duì)元素個(gè)數(shù)和行列數(shù)都相同的矩陣才有的運(yùn)算 

10、60;                 數(shù)乘矩陣：用數(shù)乘以矩陣中每個(gè)元素，與行列式數(shù)乘不同                   兩矩陣相乘(得到的矩陣行數(shù)與第一個(gè)同，列數(shù)與第二個(gè)同，第一個(gè)矩陣的列數(shù)應(yīng)該等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)) &#

11、160;矩陣乘法與數(shù)字乘法不同處：                  沒(méi)有交換律；即 AB不等于BA；                  AB=0不能推出A=0或B=0，兩者可能都是非零矩陣；    

12、              AB=AC不能推出B=C，矩陣兩端不能約                  常數(shù)(一階矩陣)和E都有矩陣乘法交換律，這是兩個(gè)特例  矩陣乘法可用的規(guī)律： A(BC)=(AB)CABC  結(jié)合律 

13、0;                     A(B+C)=AB+AC     (B+C)A=BA+CA 分配律                   

14、    矩陣乘法沒(méi)有交換律  矩陣加法的逆用與行列式拆開(kāi)的不同：矩陣拆開(kāi)是所有元素都拆，是加法的逆用，行列式拆開(kāi)是按某行或某列拆開(kāi)； 9.專(zhuān)題：  幾種特殊矩陣的方冪(只有n階矩陣才有方冪可言，否那么只能相乘一次)：    r(A)1，那么A可以分解成一個(gè)列向量與一個(gè)行向量的乘積；    主對(duì)角線(xiàn)(包括)以下為0的三階矩陣，三次方后為0矩陣    分塊矩陣的方冪  &

15、#160; 主對(duì)角線(xiàn)上元素不為0的矩陣的方冪    相似矩陣的方冪相乘結(jié)果可以轉(zhuǎn)化到對(duì)角陣的方冪上去10.專(zhuān)題：  矩陣方程：     未知數(shù)是一個(gè)矩陣，解這個(gè)方程求得的結(jié)果是一個(gè)矩陣而不是一個(gè)數(shù)     矩陣方程的三種形式與求解方法11.專(zhuān)題：  伴隨矩陣：   有伴隨矩陣的矩陣A必然是n階矩陣   伴隨矩陣的寫(xiě)法：是按列寫(xiě)  

16、; 伴隨矩陣的經(jīng)典公式：A*A=AA*=|A|E (可推導(dǎo)出A*的逆矩陣、A的矩陣的逆矩陣公式等結(jié)論)   伴隨矩陣與逆矩陣：可用A*來(lái)來(lái)求A的逆矩陣   二階矩陣的伴隨矩陣規(guī)律：主對(duì)角線(xiàn)對(duì)調(diào)，副對(duì)角線(xiàn)變號(hào)   伴隨矩陣的秩的規(guī)律：A*的秩只有n/1/0三種情況   伴隨矩陣的特征值與特征向量：相差|A|倍12.專(zhuān)題：  可逆矩陣      逆矩陣定義：AB=BA=E 

17、0;    并非所有矩陣都有逆矩陣      A如果有逆矩陣，其逆矩陣是唯一的      A可以是m*n矩陣，不一定要是n階矩陣   對(duì)n階陣A：      n階矩陣A可逆的充要條件是行列式不為0(注意證明題中常用此反證，通過(guò)伴隨矩陣公式得到此結(jié)論)      n階矩陣A的行向量組和列向量

18、組都線(xiàn)性無(wú)關(guān)      n階矩陣A的秩為n      假設(shè)A是n階矩陣，且AB=E,那么BA=E(證可逆時(shí)只需證一邊)   正交矩陣必然是可逆矩陣   求逆的方法：      定義法(以AB=E為出發(fā)點(diǎn)對(duì)抽象矩陣進(jìn)行變換得到)      加E通過(guò)初等行變換法(只能用行變換)  &

19、#160;   n階矩陣的逆矩陣公式：伴隨矩陣的求逆公式法(求逆公式)13.矩陣的初等行變換：     某行乘以非零數(shù)k加到另一行     某行乘以非零數(shù)k         (注意這個(gè)形式與行列式數(shù)乘一樣，但與矩陣數(shù)乘不同，它屬于矩陣的一種初等變換，對(duì)應(yīng)方程組中的一個(gè)方程兩邊同乘某數(shù))     某兩行互換  

20、       (注意：只有初等行變換對(duì)應(yīng)的操作是消元，只有初等行變換能用于方程組系數(shù)矩陣變換，才不會(huì)改變方程組的解)14.專(zhuān)題：  E的恒等變型的妙用   如果題目中有E，表達(dá)式又復(fù)雜那么考慮E的恒等變型，常見(jiàn)的恒等變形方式有：      A=EA   A=AE      增加或減去E的倍數(shù)(但要注意等式兩端補(bǔ)齊) &

21、#160;    用正交矩陣或者逆矩陣的定義變形 15.專(zhuān)題:    初等矩陣   單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣叫初等矩陣(包括初等行變換和初等列變換)   初等矩陣可以從行的角度由單位陣經(jīng)過(guò)初等變換得到，也可以從列的角度由單位陣經(jīng)過(guò)初等變換得到   初等矩陣及其逆矩陣都是n階矩陣   矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：     &#

22、160;初等矩陣左乘A相等于給A做了同樣的行變換；右乘A相當(dāng)于給A做了同樣的列變換      一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)屢次初等變換相當(dāng)于左乘或者右乘多個(gè)初等矩陣   初等矩陣都是可逆的(逆矩陣存在)，其逆矩陣也是同類(lèi)型的初等矩陣，并有規(guī)律   初等矩陣的行列式不為0   多個(gè)初等矩陣相乘得到的矩陣仍然是可逆的(用行列式不為0證明)   初等陣是只經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的，如果一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)了n次初等變換，那么可以看成n個(gè)初等陣相乘，

23、但不能再稱(chēng)為初等矩陣；   初等矩陣乘A不改變A的形狀(m*n)   矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換后秩不變，即r(A)不改變(初等矩陣乘A不改變A的秩、A中各向量的線(xiàn)性相關(guān)性)   只做列變換的等價(jià)矩陣的列向量組必然等價(jià)，只做行變換的等價(jià)矩陣行向量組必然等價(jià)? 16.專(zhuān)題： AB=0且B為非零矩陣   AB=0且B為非零矩陣: B中每個(gè)列向量都可以看成方程組的一個(gè)解，這些解(列向量)可以排成B矩陣      

24、0;   那么AX=0有非零解          如果A為n階矩陣，那么A取行列式不為0   AB=0且B為非零矩陣：          那么r(A)+r(B)<=n，又B為非零矩陣那么r(B)>=1,故得r(A)<=n-1；        

25、  如果找出n-1階行列式值不為0，那么r(A)>=n-1，可知r(A)=n-1 17. 向量是一個(gè)有序?qū)崝?shù)組          (程序?qū)崿F(xiàn)向量時(shí)看成數(shù)組)    向量中有n個(gè)元素那么稱(chēng)該向量為n維向量          (n維向量的幾何表示：二維向量是平面內(nèi)的箭頭表示，三維向量是空間內(nèi)的箭頭表示，以此類(lèi)推) &

26、#160;  矩陣中的向量有行向量和列向量?jī)煞N          (通常用列向量組表示方程的系數(shù)矩陣)    兩向量相等：對(duì)應(yīng)位置的元素全部相等，不同維數(shù)的向量不相等    0向量：所有元素為0的向量，不同維數(shù)的0向量不相等    向量與矩陣的關(guān)系：向量是特殊的矩陣(n*1 或 1*n)    向量的運(yùn)算： 

27、       兩向量加減：對(duì)應(yīng)位置的元素相加減          (幾何上對(duì)應(yīng)向量的矢量和差，矢量和用平行四邊形法那么，矢量差用三角形法那么)        k乘以向量：用k乘以向量的每個(gè)元素          (幾何上對(duì)應(yīng)向量長(zhǎng)度和方向的變化)&#

28、160;       兩向量乘積：行向量與列向量可以相乘，結(jié)果仍未一個(gè)向量          (向量的坐標(biāo)變換)        兩向量的內(nèi)積：用矩陣相乘表示,由內(nèi)積可以推出向量長(zhǎng)度的概念和向量正交的概念          (向量長(zhǎng)度為0的必然是0向量

29、，非0向量長(zhǎng)度都大于0)18.專(zhuān)題：    正交矩陣     正交矩陣的定義：AAT=ATA=E     正交矩陣必然是n階矩陣     矩陣的正交是對(duì)一個(gè)矩陣本身而言的     A是正交矩陣的充要條件：轉(zhuǎn)置矩陣與逆矩陣相等     正交矩陣取行列式: 行列式的平方為1   &#

30、160;     (正交矩陣的行列式的值為1或-1)     正交矩陣的可逆性：正交矩陣必然是可逆矩陣，且逆矩陣就是它的轉(zhuǎn)置矩陣     某個(gè)矩陣用正交矩陣相似化的結(jié)果和合同化的結(jié)果相同，因?yàn)锳T=A-1     A的行向量長(zhǎng)度均為1(行向量都是單位向量)，行向量之間兩兩正交     A的列向量長(zhǎng)度均為1(列向量都是單位向量)，列向量之間兩兩正交&

31、#160; (矩陣正交是從公式角度出發(fā)的，向量正交是從內(nèi)積角度出發(fā)的，可從幾何意義看矩陣和向量正交的含義)  (注意：矩陣正交時(shí)各向量有長(zhǎng)度要求，向量正交時(shí)沒(méi)有長(zhǎng)度要求)19.向量組的線(xiàn)性組合   一向量可以由向量組線(xiàn)性表示   一組向量線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)(注意相關(guān)的定義:系數(shù)不全為0)(改組向量里如果有0向量那么必然線(xiàn)性相關(guān))   齊次方程組的3種表示方法：方程表示法、矩陣表示法、向量組表示法   齊次方程組也有3種解的情況：無(wú)解有唯一解

32、60; 有無(wú)窮多個(gè)解   齊次方程組用向量表示時(shí)：向量組線(xiàn)性相關(guān)即表示有非零解，向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)即表示只有零解                           求解的過(guò)程就是求實(shí)系數(shù)的全部組合   (齊次方程組有非0解的充要條件是r(A)<n,如果是n

33、階系數(shù)矩陣，那么還有行列式為0的充要條件)   (齊次方程組只有零解的充要條件是r(A)=n，如果是n階系數(shù)矩陣，那么還有行列式不為0的充要條件)   (齊次方程組中向量的維數(shù)對(duì)應(yīng)方程的個(gè)數(shù)，向量的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)未知數(shù)的個(gè)數(shù))   通常四個(gè)方面聯(lián)系考慮和互推：向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、齊次方程組的解、齊次方程組系數(shù)矩陣的秩、n階系數(shù)矩陣的行列式20.一組向量線(xiàn)性相關(guān)的幾何意義：  如果是1個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)，那么必為0向量,共點(diǎn)；  如果是2個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)，那么這2個(gè)向量共線(xiàn)(各對(duì)

34、應(yīng)元素成比例，正負(fù)號(hào)表示向量指向方向相反)；無(wú)關(guān)那么不共線(xiàn)(各對(duì)應(yīng)元素不成比例)；  如果是3個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)，那么這3個(gè)向量共面；無(wú)關(guān)那么不共面；  (向量的正交屬于無(wú)關(guān)的一種特殊情況)21.向量線(xiàn)性相關(guān)和無(wú)關(guān)的系數(shù)比例直觀判斷：      相關(guān)： 至少有兩個(gè)向量的元素對(duì)應(yīng)成比例      無(wú)關(guān)： 任意兩個(gè)向量的元素都不能對(duì)應(yīng)成比例 22.向量組線(xiàn)性相關(guān)定理：     

35、0; 相關(guān)組添向量仍相關(guān)，減向量那么不確定；無(wú)關(guān)組減向量仍無(wú)關(guān)，添向量那么不確定       相關(guān)組減少維數(shù)后仍然相關(guān)，無(wú)關(guān)組增加維數(shù)仍然無(wú)關(guān)；       n+1個(gè)n維向量相關(guān)，無(wú)論各向量取值       n個(gè)n維向量相關(guān)用其行列式判斷，行列式為0那么相關(guān)，行列式非0那么無(wú)關(guān)       有0向量的向量組相

36、關(guān)       階梯矩陣中各向量無(wú)關(guān)23.專(zhuān)題：  證明向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的方法：     定義法：常用某個(gè)矩陣與式相乘得到結(jié)論     將向量組看成矩陣，用矩陣秩的理論     用齊次方程組解的思想     n個(gè)n維向量用行列式判斷是否無(wú)關(guān)：n階矩陣可逆那么其行列式不為0，其行向量組、列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) 

37、;    B=AC(C是一個(gè)n階矩陣，用C的行列式判斷，行列式為0那么相關(guān))     A經(jīng)過(guò)初等行變換得到B秩不變 且A的列向量和B的列向量有相同相關(guān)性     A經(jīng)過(guò)初等列變換得到B秩不變 且A的行向量和B的行向量有相同相關(guān)性?     階梯矩陣中的各向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)(無(wú)論行列向量) 24.某一個(gè)向量可由另外一組向量線(xiàn)性表出與線(xiàn)性相關(guān)的關(guān)系：     

38、; n個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)的充要條件：必有其中某一個(gè)向量可由其他n-1個(gè)向量線(xiàn)性表出      n個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件：沒(méi)有一個(gè)向量能用其他n-1個(gè)向量線(xiàn)性表出   某一個(gè)向量可由另外一組向量線(xiàn)性表示與向量對(duì)應(yīng)成比例的關(guān)系：      n個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)的充要條件：至少有2個(gè)向量對(duì)應(yīng)成比例，且其中之一的向量必為被表出向量；      n個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件：任意兩個(gè)向量都不對(duì)應(yīng)

39、成比例   某一個(gè)向量可由另外一組向量線(xiàn)性表出與齊次方程組的關(guān)系：      一個(gè)向量可由另外一組向量線(xiàn)性表出從方程角度來(lái)看就是一個(gè)非齊次方程組，且有非零解      一組向量線(xiàn)性相關(guān)從方程角度來(lái)看就是一個(gè)齊次方程組，必有非零解，不一定有非零解25.某一個(gè)向量可由另外一組向量線(xiàn)性表出的相關(guān)定理：      多數(shù)向量可以用少數(shù)向量線(xiàn)性表出，多數(shù)向量相關(guān)   &

40、#160;  n個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，添加一個(gè)向量后n+1個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)，那么添加的向量可用原來(lái)無(wú)關(guān)小組線(xiàn)性表示，且是唯一表示；          (常用來(lái)做可由線(xiàn)性表出的證明題) 26.技巧：   數(shù)學(xué)證明題中條件方法：      充分 A->B  必要B->A   充要 A->B  B->

41、;A      唯一性的證明的兩種方法：反證法逆推出條件不成立   可變參數(shù)相減為0說(shuō)明可變參數(shù)相同  27.行列式化簡(jiǎn)和方程組系數(shù)矩陣變換的比照：行列式化簡(jiǎn)使用的是行列式的性質(zhì)(行與列的變換等效)，而不是使用初等變換，化簡(jiǎn)目的是為了使用"計(jì)算行列式值的展開(kāi)式"；行列式化簡(jiǎn)使用的性質(zhì)：數(shù)乘加到另一行；一般不用交換，因?yàn)榻粨Q要變號(hào)；也不用數(shù)乘某行，因?yàn)橄喈?dāng)于數(shù)乘行列式；方程組的系數(shù)矩陣變換只能用初等行變換(數(shù)乘某行  行交換  

42、數(shù)乘加到另一行)方程組系數(shù)矩陣變換不是使用的矩陣的計(jì)算規(guī)律數(shù)乘矩陣等于數(shù)乘矩陣內(nèi)每個(gè)元素；系數(shù)矩陣或增廣矩陣的變換目的是為了得到只含一個(gè)未知數(shù)的方程，然后通過(guò)迭代迭代求出所有未知數(shù)； 逆矩陣的求法前半局部只能用初等行變換觀察矩陣的秩既可以用初等行變換，也可以用初等列變換，也可以混著用初等矩陣的得到既可以看成是經(jīng)過(guò)一次初等行變換得到的，也可以看成經(jīng)過(guò)一次初等列變換得到的28.向量組等價(jià)：     向量組1中的每個(gè)向量都可以由向量組2線(xiàn)性表示     向量組2中的每個(gè)向量都可以用向量組1線(xiàn)

43、性表示     向量組等價(jià)有傳遞性、可逆性  向量組等價(jià)與向量組的極大無(wú)關(guān)組：     一個(gè)向量組與其極大無(wú)關(guān)組等價(jià)     一個(gè)向量組的各極大無(wú)關(guān)組之間等價(jià)     兩個(gè)等價(jià)向量組分別構(gòu)成矩陣，它們的秩相等，各向量組內(nèi)部的線(xiàn)性相關(guān)性相同，反之不成立 29.兩矩陣等價(jià)：其中之一矩陣是由另一矩陣通過(guò)初等變換得到     

44、A與B等價(jià)必有B與A等價(jià)(初等變換的過(guò)程是可逆的，這叫矩陣等價(jià)的可逆性)     矩陣的等價(jià)有傳遞性     等價(jià)矩陣的秩相同：初等變換不改變矩陣的秩(無(wú)論行變換、列變換、行列變換混用)：r(A)=r(B)   矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的關(guān)系     A只經(jīng)過(guò)了初等行變換得到B，那么A、B的行向量組等價(jià)     A只經(jīng)過(guò)了初等列變換得到B，那么A、B的列向量組等價(jià)

45、0;    (向量組等價(jià)是從線(xiàn)性表出的意義而言，矩陣的等價(jià)是從初等變換角度而言) 30.極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組     極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組里的各向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)     極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的組成向量不唯一，但組成個(gè)數(shù)唯一   極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組與齊次方程組的根底解系的關(guān)系：根底解系有n-r(A)個(gè)無(wú)關(guān)的解向量     極大無(wú)關(guān)組內(nèi)肯定不含0向量   極大無(wú)關(guān)組與

46、向量組等價(jià)的關(guān)系：     一個(gè)向量組與其極大無(wú)關(guān)組等價(jià)     極大無(wú)關(guān)組之間是等價(jià)的   向量組的秩：     極大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)叫該向量組的秩31.關(guān)于向量組(矩陣)的秩的定理：     向量組的秩：極大無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)     矩陣的秩：最高階非0子式的階數(shù)    

47、   (矩陣秩為k那么：有k階子式不為0，任何大于k階子式的值都為0)       (向量組的秩是從線(xiàn)性相關(guān)性角度定義的，矩陣的秩是從行列式角度定義的)       (注意說(shuō)法：矩陣的子式，行列式的余子式、代數(shù)余子式)       (向量的秩和矩陣的秩雖然定義方式不同，但本質(zhì)一樣，向量是特殊的矩陣,而向量組就是矩陣)   

48、60;   矩陣的秩等于行向量組的秩 也等于列向量組的秩     矩陣的秩等于k,說(shuō)明矩陣的行向量組中有k個(gè)向量無(wú)關(guān)，列向量組中也有k個(gè)向量無(wú)關(guān)(聯(lián)系極大無(wú)關(guān)組)     0矩陣的秩為0，非0矩陣的秩大于等于1     一個(gè)m*n的矩陣(m<n)秩最大為m(要滿(mǎn)足子式構(gòu)成)     矩陣轉(zhuǎn)置后秩不變  r(A)=r(A') 

49、    初等矩陣乘A不改變A的秩、A中各向量的線(xiàn)性相關(guān)性不變(或稱(chēng)A經(jīng)過(guò)初等變換不改變秩)     乘積矩陣的秩不大于每個(gè)矩陣的秩：  r(AB)<=r(A)   r(AB)<=r(B)  (方程角度證得)     可逆矩陣與某個(gè)矩陣相乘不改變?cè)摼仃嚨闹龋?當(dāng)A可逆時(shí)，r(AB)=r(BA)=r(B)     A為m*n矩陣，

50、B為n*s矩陣，AB=0，那么r(A)+r(B)<=n  (方程角度證得)     伴隨矩陣的秩的3種可能性：n  1  0     A與B等價(jià)那么A的秩和B的秩相同：初等變換不改變秩     A與B相似那么A的秩和B的秩相同：逆矩陣乘以A得B，r(A)=r(B)     A與B合同那么A的秩和B的秩相同：  &

51、#160;  向量組1可以由向量組2線(xiàn)性表示，那么r(1)<=r(2)     階梯矩陣的秩可以直接看出來(lái)，其他矩陣的秩：可通過(guò)初等行變換后，觀察列向量的線(xiàn)性相關(guān)性來(lái)得到秩(因?yàn)槌醯茸儞Q不改變秩)                    (在求矩陣的秩的時(shí)候初等行變換和初等列變換可以混著用)  32. A

52、B=0的兩種思路(A為m*n,B為n*s)：  B的列向量為AX=0的解                                      r(A)+r(B)<=n  

53、;33.專(zhuān)題  0向量和0矩陣    證明一個(gè)向量為0向量的方法：       一個(gè)向量的長(zhǎng)度為0，那么這個(gè)向量為0向量；    證明一個(gè)矩陣A為0矩陣的方法：       矩陣的秩為0 34.施密特正交化的步驟： 先正交化再單位化    施密特正交化的幾何意義：如果是2個(gè)2維向量那么相當(dāng)于：先正交分解到xy

54、軸，再將各向量縮成單位長(zhǎng)度；                            如果是3個(gè)3維向量那么相當(dāng)于：先正交分解到xyz軸，再將各向量縮成單位長(zhǎng)度；?  35.矩陣和向量的比照：      正交： 向量組的正交用內(nèi)積定義，空間上

55、垂直，屬于線(xiàn)性無(wú)關(guān)；             矩陣的正交用公式定義             正交矩陣內(nèi)的行向量組和列向量組分別正交      等價(jià)： 向量組的等價(jià)用互相能線(xiàn)性表出定義，有可逆性和傳遞性      

56、0;      矩陣的等價(jià)用初等變換，有可逆性和傳遞性             矩陣等價(jià)后，其行、列向量組不一定等價(jià)，除非只做一種初等變換?      秩：   向量組的秩定義：是極大無(wú)關(guān)組內(nèi)向量的個(gè)數(shù)          

57、;   矩陣的秩是用行列子式來(lái)定義             矩陣的秩與行向量組、列向量組的秩相同36.線(xiàn)性方程組     分為齊次方程組和非齊次方程組     線(xiàn)性方程組的三種表現(xiàn)形式(包括齊次和非齊次)     齊次方程組的解的2種可能性：必然有0解，除去0解之外可能有無(wú)窮多個(gè)非0解：&

58、#160;    齊次方程組有非0解的充要條件：系數(shù)矩陣的秩r(A)<n                                  系數(shù)矩陣內(nèi)列向量線(xiàn)性相關(guān)    &

59、#160;                             如果系數(shù)矩陣A是n階矩陣，那么A取行列式的值不為0，即A可逆               &

60、#160;        充分條件：A是m*n矩陣，m<n(方程個(gè)數(shù)少 未知數(shù)個(gè)數(shù)多)那么必有非0解     齊次方程組如果有非0解，那么有無(wú)窮個(gè)非0解(解的線(xiàn)性組合仍是解)，可用根底解系表示所有解     根底解系的四個(gè)信息： 都是AX=0的解              

61、            線(xiàn)性無(wú)關(guān)                          其余任何解都可以由根底解系線(xiàn)性表出-齊次方程組通解的形式      

62、0;                   根底解系中解向量的個(gè)數(shù)： n-r(A)                          齊次方程組中自由變

63、量的個(gè)數(shù)： n-r(A)     求通解的方法：找出自由變量，每次讓一個(gè)自由變量得1，其余自由變量得0，通解為所有解的線(xiàn)性組合     非齊次方程組可能無(wú)解、唯一解、無(wú)窮多個(gè)解(0解可能有 也可能沒(méi)有)     非齊次方程組有解的4個(gè)充要條件： 系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等(證明、判斷題里最常用)            

64、60;                        A的列向量組的秩與“A加上右邊向量后的向量組的秩相等                     &

65、#160;               右邊向量可由A的列向量線(xiàn)性表出                               

66、0;     A的列向量組與“A加上右邊向量后的向量組等價(jià)     系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，且r(A)=n(列向量的個(gè)數(shù))，那么有唯一解;r(A)<n那么有無(wú)窮個(gè)解     非齊次方程組如果有無(wú)窮多個(gè)解，解的構(gòu)成：對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解特解     線(xiàn)性方程組有唯一解那么對(duì)應(yīng)的齊次方程組只有0解，反過(guò)來(lái)不成立     線(xiàn)性方程組有無(wú)窮解那

67、么對(duì)應(yīng)的齊次方程組有無(wú)窮個(gè)解37.有特征值和特征向量的矩陣一定是n階矩陣   n階矩陣A的特征值一共有n個(gè)，它們可以相等或不等(特征方程沒(méi)有重根)   求特征值的兩種方法：     抽象問(wèn)題用定義法     特征方程的行列式為0       (注意：經(jīng)過(guò)初等變換后特征值會(huì)改變，不能做了初等變換后再求特征值)     &

68、#160; (注意：經(jīng)過(guò)初等變換后秩不變，所以用初等變換將A化成三角形式看秩的大小)   求特征向量的兩種方法：     抽象問(wèn)題的定義法     特征方程的非零解         (結(jié)果用根底解系線(xiàn)性表示)         (特征向量有無(wú)窮個(gè))   

69、;通常先求矩陣A的特征值，再求對(duì)應(yīng)特征值的特征向量   矩陣A只有一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量那么必有n重根,可以直接由公式(主對(duì)角線(xiàn)元素和/n)得到特征值   特征向量就是齊次方程組的非零解，也有無(wú)窮個(gè)，一般用01法取典型向量     (根底解系中無(wú)關(guān)向量的個(gè)數(shù)等于此時(shí)特征向量的個(gè)數(shù)，n-r(A)     (屬于某個(gè)特征值的特征向量之間不一定成比例，因?yàn)樽杂勺兞康娜≈凳侨我獾模?quot;無(wú)窮個(gè)特征向量"既包括成比例的特征向量

70、也包括不成比例的特征向量?)38.特征值的行列式展開(kāi)式與三次方程標(biāo)準(zhǔn)式比照可知：     特征值之和為行列式對(duì)角元素之和     特征值之積為行列式的值   秩為1的n階矩陣有n-1個(gè)相同的0特征值，另外一個(gè)特征值為行列式對(duì)角元素之和   上三角矩陣、下三角矩陣、對(duì)角矩陣的特征值就是對(duì)角線(xiàn)上的元素   A的特征值，那么可知kA  kA+jE  如果A可逆，A逆陣的特征

71、值  A的伴隨矩陣的特征值  A的n次方的特征值 39.專(zhuān)題：   秩為1的矩陣的常見(jiàn)考點(diǎn)：     任何兩行或兩列成比例(極大無(wú)關(guān)組內(nèi)向量個(gè)數(shù)為1個(gè)，任何2階以上的子式值都為0)     特征向量有特殊公式：(主對(duì)角線(xiàn)元素和/n)     A的n次方有按列向量*行向量劃分方法    40.相似矩陣必然都是n階矩陣 &

72、#160; 相似矩陣A B的關(guān)系(都是充分條件)：       秩相同(A與可逆矩陣相乘秩不變)       特征值相同       行列式相同(特征值之積相同)       對(duì)角元素之和相同41.n階矩陣A可以相似對(duì)角化(A與一個(gè)對(duì)角矩陣相似)的充要條件    

73、60;  有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量       對(duì)k重特征值，必需要有k個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量(屬于這個(gè)k重特征值的k個(gè)特征向量無(wú)關(guān))       (屬于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)？如何證 )       n-r(k重特征值方程)=k  充分條件： 有n個(gè)不同的特征值(注意： 有重根也可能可以相似對(duì)角化)    

74、         A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣  判斷能否進(jìn)行相似對(duì)角化的步驟：先看A是否為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，如果不是那么求特征值，如有重根那么用公式n-r(k重特征值方程)=k  相似對(duì)角化的方法： 求特征值組成對(duì)角矩陣(每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成P) 42.專(zhuān)題：  實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣及其相似對(duì)角化      實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣：所有元素都是實(shí)數(shù)，且矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣   &#

75、160;  實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必然是n階矩陣      實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以相似對(duì)角化         (無(wú)論特征值里有沒(méi)有重根都能進(jìn)行相似對(duì)角化)         (實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不僅可以用可逆矩陣進(jìn)行相似化，還可以用一個(gè)正交矩陣進(jìn)行相似化，即相似對(duì)角化方式不唯一)      實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值的特征向量必然正交(正交是無(wú)關(guān)的一種特殊情況)，而不僅僅是線(xiàn)性無(wú)關(guān)      實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的k重特征值必有k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，但不一定正交         (一般矩陣的k重特征值至多有k個(gè)無(wú)關(guān)特征向量)      實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)