鋪砌法生成有限元網(wǎng)格模型

1、.鋪砌法生成網(wǎng)格模型一、網(wǎng)格模型在有限元分析計(jì)算中的作用在工程設(shè)計(jì)中大量使用到有限元法進(jìn)行計(jì)算分析.隨著計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的發(fā)展,很多公司推出有限元軟件.這些有限元軟件分析計(jì)算幾何體的物理性質(zhì)，其計(jì)算的過程可以劃分為幾個(gè)大的模塊，輸入幾何體區(qū)域、對該區(qū)域生成網(wǎng)格、對生成的網(wǎng)格施加一個(gè)干擾、從受到干擾的網(wǎng)格開發(fā)分析數(shù)據(jù)、確定幾何體的物理行為。有限元軟件的分析計(jì)算流程圖如圖1所示。圖1 有限元軟件分析計(jì)算流程圖從有限元軟件的分析計(jì)算流程圖當(dāng)中，我們可以看出，在有限元分析的前處理模塊中，網(wǎng)格生成時(shí)很重要的一個(gè)步驟。生成網(wǎng)格的質(zhì)量會影響后處理計(jì)算結(jié)果的效率和精度。因此，市場上流行的有限元軟件都提供有強(qiáng)大的

2、模型建立和網(wǎng)格劃分功能。網(wǎng)格劃分功能的實(shí)現(xiàn)可以采用不同的算法，比如自由網(wǎng)格劃分、映射法網(wǎng)格劃分、鋪砌法網(wǎng)格劃分等等。其中鋪砌法具有良好的健壯性、高效率等特點(diǎn)，本文對鋪砌法網(wǎng)格劃分進(jìn)行詳細(xì)介紹。二、鋪砌法網(wǎng)格劃分的總體計(jì)算流程采用鋪砌法從模型建立到生成網(wǎng)格，其計(jì)算流程如圖2所示。該算法生成網(wǎng)格的算法流程圖，從輸入邊界數(shù)據(jù)到最后輸出劃分好的網(wǎng)格，其中主要有生成新行，平滑處理，縫合處理，邊界相交處理等幾個(gè)子模塊。圖2 鋪砌法生成網(wǎng)格模型的計(jì)算流程圖為了清晰闡述上述鋪砌法的計(jì)算流程，以圖3所示為例進(jìn)行詳細(xì)說明，圖a當(dāng)中為輸入的原始外邊界數(shù)據(jù)，圍成待劃分網(wǎng)格的區(qū)域。選擇邊界上的一行節(jié)點(diǎn)為基礎(chǔ)，添加生成一

3、行新的浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)，生成順序?yàn)檠刂膺吔绨茨鏁r(shí)針方向進(jìn)行。對新生成的浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行平滑處理，使節(jié)點(diǎn)圍成的單元的internal angle以及aspect ratio變得更為合理，單元更趨近于規(guī)則四邊形。對剩余的待劃分網(wǎng)格區(qū)域進(jìn)行縫合，檢查單元是否相交，對相交的單元進(jìn)行處理，對單元進(jìn)行調(diào)整，直到整個(gè)區(qū)域生成高質(zhì)量的網(wǎng)格為止。圖3 paving算法鋪筑單元示意圖依據(jù)圖2所示計(jì)算流程圖，生成相應(yīng)鋪砌法的偽代碼：DoRow choiseWhile add row is not pleteAdd row portionSmooth row portionSeam boundaryIf intersectio

4、n occurs thenConnect overlapsSeam boundaryEnd ifRow adjustmentIf intersection occursConnect overlapsSeam boundaryEnd ifWhile (closure check is negative)Clean-up mesh三、分部詳細(xì)說明鋪砌法1.輸入邊界數(shù)據(jù)根據(jù)算法的流程圖中，首先要輸入待劃分網(wǎng)格的邊界數(shù)據(jù)，確定區(qū)域的內(nèi)邊界和外邊界。明確得到邊界節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)之后，逐個(gè)對每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分析對對其進(jìn)行分類，計(jì)算流程如圖7所示。對節(jié)點(diǎn)分類的依據(jù)是該節(jié)點(diǎn)的內(nèi)角，如圖6所示。根據(jù)節(jié)點(diǎn)內(nèi)角的大小，將其劃

5、分為四類，分別為邊節(jié)點(diǎn)，角節(jié)點(diǎn)，回轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)和端節(jié)點(diǎn)。圖5平面區(qū)域的內(nèi)邊界和外邊界圖6節(jié)點(diǎn)相關(guān)的幾個(gè)概念圖7獲取邊界節(jié)點(diǎn)信息計(jì)算流程依據(jù)上圖所示流程圖，可以得到獲取邊界節(jié)點(diǎn)信息的偽代碼：fstreamfread(boundary.txt);do Get node inner angleInput angle tolerance a1 a2 a3 a4 a4 a6 Classify the node3 While(node classify is not pleted)Determine whether a simple or primitive shape existPropagate succe

6、ssively inward from the permanent boundaries2.閉合檢查每次確定待劃分的面域之后都要對該面域進(jìn)行一次閉合檢查。檢查區(qū)域邊界上的節(jié)點(diǎn)總數(shù)；邊界節(jié)點(diǎn)總數(shù)是否大于6，如果大于6，則選擇一行節(jié)點(diǎn)，分別對每一行邊界接點(diǎn)進(jìn)行生成新節(jié)點(diǎn)；如果等于6，則對面域進(jìn)行閉合，根據(jù)待閉合面域的形狀形成兩個(gè)、三個(gè)或者四個(gè)四邊形單元；如圖8所示；如果等于4，則插入一個(gè)四邊形單元對面域進(jìn)行閉合如果等于2，進(jìn)行一次縫合，即可將面域閉合如果等于0，鋪筑工作結(jié)束圖8 六個(gè)節(jié)點(diǎn)面域的閉合方法閉合檢查的計(jì)算流程圖如圖所示：圖9檢查閉合的計(jì)算流程根據(jù)圖9所示的計(jì)算流程圖，可以生成閉合檢查的偽

7、代碼：Get the number of nodes remaining in the paving boundarySwitch node numberCase 0Paving is pleteBreakCase 2Seam the boundaryBreakCase 4Insert a quadrilateral elementbreakCase 6Form 2,3,4 new quadrilateral elementsBreak3.新增行接口：上面一步進(jìn)行閉合檢查，如果待劃分的面域，邊界上的節(jié)點(diǎn)數(shù)大于6，則進(jìn)行生成新行節(jié)點(diǎn)。首先選定的一行固定邊界節(jié)點(diǎn)，根據(jù)該行節(jié)點(diǎn)分類，生成新的一行節(jié)點(diǎn)

8、。具體生成新行節(jié)點(diǎn)的計(jì)算流程圖如圖10所示.圖10生成新的浮動(dòng)邊界節(jié)點(diǎn)的計(jì)算流程根據(jù)生成新的浮動(dòng)邊界節(jié)點(diǎn)的計(jì)算流程圖，可以生成相應(yīng)的偽代碼為：選擇一行已知的內(nèi)邊界或者外邊界，該行以兩個(gè)端節(jié)點(diǎn)結(jié)束確定一個(gè)端節(jié)點(diǎn)作為起始點(diǎn)，Do選中下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，判斷節(jié)點(diǎn)類型Case 2調(diào)用矢量對象的生成矢量方法生成一個(gè)矢量；如圖11所示；矢量長度為|=；調(diào)用矢量對象的求解矢量端點(diǎn)方法，求解出該矢量的箭尾端點(diǎn)；調(diào)用節(jié)點(diǎn)對象的生成節(jié)點(diǎn)方法，將箭尾端點(diǎn)生成節(jié)點(diǎn)；將新生成的節(jié)點(diǎn)編號；將新生成的節(jié)點(diǎn)標(biāo)志為浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)；Break;圖11由邊節(jié)點(diǎn)生成一個(gè)新節(jié)點(diǎn)Case 3調(diào)用矢量對象的生成矢量方法生成三個(gè)矢量，；如圖12所示；矢量

9、長度分別為|=；調(diào)用矢量對象的求解矢量端點(diǎn)方法，求解出該矢量的箭尾端點(diǎn)；調(diào)用節(jié)點(diǎn)對象的生成節(jié)點(diǎn)方法，將箭尾端點(diǎn)生成節(jié)點(diǎn)；將新生成的節(jié)點(diǎn)編號；將新生成的節(jié)點(diǎn)標(biāo)志為浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)；Break;圖12由角節(jié)點(diǎn)生成三個(gè)浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)Case 4調(diào)用矢量對象的生成矢量方法生成五個(gè)矢量，；如圖13所示；矢量長度分別為|=；調(diào)用矢量對象的求解矢量端點(diǎn)方法，求解出該矢量的箭尾端點(diǎn)；調(diào)用節(jié)點(diǎn)對象的生成節(jié)點(diǎn)方法，將箭尾端點(diǎn)生成節(jié)點(diǎn)；將新生成的節(jié)點(diǎn)編號；將新生成的節(jié)點(diǎn)標(biāo)志為浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)；Break;圖13由轉(zhuǎn)角節(jié)點(diǎn)生成五個(gè)浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)Case 1不再生成新節(jié)點(diǎn)連接兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)即可，如圖14所示該行結(jié)束Break；圖14端節(jié)點(diǎn)不生成新的

10、浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)while(該行下一個(gè)節(jié)點(diǎn)不為空)新的一行邊界生成完畢，新生成的節(jié)點(diǎn)都是浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)，需要進(jìn)行平滑處理。4.平滑鋪砌法網(wǎng)格生成中要保證新生成的單元的質(zhì)量，單元的好壞從幾個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量，單元的內(nèi)角沒有過大或者過小的現(xiàn)象，單元邊長的長寬比不宜過大。如果單元有角度大小不合適或者單元尺寸相差懸殊等情況，則需要進(jìn)行平滑。平滑就是要恢復(fù)和維持單元的單元的尺寸、垂直度和總的鋪筑邊界和網(wǎng)格的平滑。平滑類型，可以分為三類，他們分別是：（1）boundary Node Smoothing （2）Interior Node Smoothing（3） Localization of smoothing ；三個(gè)平滑

11、類型分別對應(yīng)三個(gè)平滑器。Smoother的三個(gè)平滑器分別為: a modified isoparametric smoother; modified length-weight Laplatian smoother; 以及Localized smoother。首先 modified isoparametric smoother的具體計(jì)算步驟：進(jìn)行矢量的加減運(yùn)算，如下式：如果該節(jié)點(diǎn)不是連接兩個(gè)單元，則該修正到處結(jié)束；如圖15所示。圖15 新生成邊界上節(jié)點(diǎn)長度調(diào)整示意圖如果該節(jié)點(diǎn)僅連接兩個(gè)單元，則要繼續(xù)進(jìn)行角度的調(diào)整，如圖16所示，調(diào)用矢量對象的加減方法進(jìn)行如下各式的計(jì)算：ifotherwise圖

12、 16 行節(jié)點(diǎn)上角度調(diào)整示意圖其次對于Interior Node Smoothing 采用modified length-weight Laplatian smoother方法，如圖17所示，其具體步驟是：調(diào)用矢量對象的加減運(yùn)算，求模運(yùn)算方法，進(jìn)行如下各式的計(jì)算：圖17 內(nèi)部浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)的調(diào)整示意圖通過以上計(jì)算得到的修正矢量，對原來的定位矢量進(jìn)行修正，生成新的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，用新的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)替代原來的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)以上敘述，節(jié)點(diǎn)平滑的計(jì)算流程圖如圖18所示。圖18節(jié)點(diǎn)平滑的計(jì)算流程圖依據(jù)節(jié)點(diǎn)平滑的方法和計(jì)算流程圖，可以生成節(jié)點(diǎn)平滑的偽代碼：DoIdentify a nodeGet the interior

13、 angle of the nodeGet the number of attached elements to the nodeJudge whether the node is a fixed node While (the new row is !NULL)For every node on the new row Calculate its aIf the number of attached elements to the node is not 2Adjust the nodes position according toaElse if the number equals 2Ca

14、lculatebCalculatecCalculateiAdjust the nodes position according to iEnd ifFor every interior floating node CalculateiAdjust the nodes position according to i5.縫合在區(qū)域邊界上，如果某個(gè)頂點(diǎn)的兩條網(wǎng)格線的夾角過小，則對該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格進(jìn)行縫合。按照待縫合的節(jié)點(diǎn)類型不同(節(jié)點(diǎn)全部是浮動(dòng)節(jié)點(diǎn)、要縫合的節(jié)點(diǎn)中涉及到固定節(jié)點(diǎn))，縫合可分為InteriorNodeSeams和FixedNodeSeams以及TransitionSeams；首先介紹Int

15、eriorNodeSeams是否需要縫合的判斷條件：根據(jù)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)角的大小和節(jié)點(diǎn)連接的單元數(shù)量來判斷：當(dāng)連接到節(jié)點(diǎn)的單元邊界數(shù)量=5時(shí)，其內(nèi)角1 時(shí)需要縫合當(dāng)連接到節(jié)點(diǎn)的單元邊界數(shù)量=4時(shí)，其內(nèi)角ThresholdValue時(shí)，需要進(jìn)行過渡縫合Transition Seam方法：在長邊內(nèi)insert a wedge element ，插入長邊的三分之一處，采用定比分點(diǎn)的方法定位該點(diǎn)，插入一個(gè)楔形單元之后，對新插入的楔形單元進(jìn)行平滑。采用線段的定比分點(diǎn)方法確定位置且則，Double ratioNode（Node p1，Node p2，intra） Node p;p.x=(p1.x+ra*p2.x)

16、/(1+ra);p.y=(p1.y+ra*p2.y)/(1+ra);return(p); 6.調(diào)整行生成新行之后，如果一行單元有較大的凸起或者凹曲，如圖19所示，則需要對行進(jìn)行調(diào)整。進(jìn)行行調(diào)整的方法有兩種：InsertionOfWedges和FormationOfTucks形狀呈現(xiàn)很大凸起的行，調(diào)整方法是首先插入一個(gè)楔形體，然后進(jìn)行平滑，對于形狀有很大凹曲的行，調(diào)整方法是FormationOfTucks圖19需要進(jìn)行調(diào)整的行判斷單元是expansion還是contraction的方法：采用兩個(gè)評價(jià)指標(biāo)Expansion Ratio（）是否超過了給定的expansion ratio thresh

17、old（1.25）Interior angle of the node 是否超過了給定的interior angle threshold value183對于expansion的單元插入wedge，方法步驟是：首先，確定wedge的插入位置，其插入位置是在At the midpoint of every Pi/2 portion of the total angle，如圖20所示。圖20在凸起行內(nèi)插入wedge的步驟示意圖對于contraction的單元形成tucks，方法步驟是：是否需要形成折疊采用兩個(gè)評價(jià)指標(biāo)：Reduction ratio是否小于reduction ratio thres

18、hold（0.8）Interior angle of the node 是否小于interior angle threshold （177）Tucks的位置At the midpoint of every Pi/2 portion of the total angle找到剛剛確定的Tucks的位置的單元，刪去該單元的內(nèi)側(cè)網(wǎng)格線，superimposing兩對相對應(yīng)的邊，之后進(jìn)行平滑。如圖21所示。圖21形成TUCK的過程步驟示意圖以上詳細(xì)說明了行調(diào)整的方法步驟，其計(jì)算流程圖如圖22所示。圖22 調(diào)整行的計(jì)算流程圖7.邊界相交的處理在插入新行之后，需要判斷新插入的行形成的邊界是否相交。邊界相交可

19、以分為兩種情況，分別是：邊界自身相交和兩條邊界相交兩種情況。相交的示例圖如圖23所示圖23鋪筑邊界相交的兩種情況邊界相交的判斷方法：首先說明Single paving boundary intersection的情況判斷邊界相交的方法原理：點(diǎn)在坐標(biāo)系中對應(yīng)有自己的位置矢量，不同的點(diǎn)其位置矢量不一樣，如果兩條線有一個(gè)交點(diǎn)，則這兩條直線上的所有點(diǎn)，只有交點(diǎn)的位置矢量相等。即：位置矢量表達(dá)式，采用解析法表達(dá)為：x，y軸上兩個(gè)分量形式：即：如果該二元一次方程組無解，則沒有交點(diǎn)如果有一組解，則有一個(gè)交點(diǎn)如果有很多組解，則兩個(gè)重合。判斷結(jié)果有交點(diǎn)的話，則處理方法是：Connecting the overl

20、apping portions 即：連接相交的兩條線對相交的兩條線相毗鄰的線進(jìn)行合并之后進(jìn)行縫合。判斷結(jié)果如果無交點(diǎn)，則繼續(xù)下一步。根據(jù)以上介紹，邊界相交的判斷和處理計(jì)算流程圖如圖24所示。圖24處理邊界相交的計(jì)算流程圖其次說明Multiple boundary intersection判斷邊界相交的方法原理：點(diǎn)在坐標(biāo)系中對應(yīng)有自己的位置矢量，不同的點(diǎn)其位置矢量不一樣，如果兩條線有一個(gè)交點(diǎn)，則這兩條直線上的所有點(diǎn)，只有交點(diǎn)的位置矢量相等。即：位置矢量表達(dá)式，采用解析法表達(dá)為：x，y軸上兩個(gè)分量形式：即：如果該二元一次方程組無解，則沒有交點(diǎn)如果有一組解，則有一個(gè)交點(diǎn)如果有很多組解，則兩個(gè)重合。判斷結(jié)果有交點(diǎn)的話，則處理方法是：Connecting the overlapping portions 即：連接相交的兩條線對相交的兩條線相毗鄰的線進(jìn)行合并之后進(jìn)行縫合。8. 網(wǎng)格劃分完成之后的清理Cleanup of pleted mesh網(wǎng)格劃分完成之后，要對不規(guī)則的網(wǎng)格進(jìn)行清理，以保證整個(gè)網(wǎng)格劃分結(jié)果的