冪級數(shù)展開的多種方法

1、冪級數(shù)展開的多種方法摘要：本文通過舉例論證的說明方法，系統(tǒng)地對冪級數(shù)展開的多種解法進行了詳細地概括、分類及總結(jié)關(guān)鍵詞：冪級數(shù);泰勒展式;洛朗展式;展開在復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們涉及了對解析函數(shù)冪級數(shù)展開的學(xué)習(xí).由課本的知識知道，任意一個具有非零收斂半徑的冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)收斂于一個解析函數(shù).這個性質(zhì)是很重要的，但在解析函數(shù)的研究上，冪級數(shù)之所以重要，還在于這個性質(zhì)的逆命題也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理： 定理 1（泰勒定理）設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析，只要圓含于D，則在K內(nèi)能展成冪級數(shù)，其中系數(shù).（ n=0,1,2)且展式唯一. 定理2（洛朗定理）在圓環(huán) （）內(nèi)解析的函數(shù)必可展成雙邊冪級數(shù)，

2、其中系數(shù) ()且展式唯一. 這兩個定理的存在，使得在函數(shù)解析的范圍內(nèi)，我們可以通過冪級數(shù)展開的方法來更好的研究解析函數(shù)的性質(zhì).而這兩個定理，也是我們后面研究冪級數(shù)展開的基礎(chǔ)和前提. 接下來，我們將著重開始討論冪級數(shù)展開問題的多種解法：1、直接法.即按照泰勒定理和洛朗定理中所給的冪級數(shù)展開的公式，直接將函數(shù)展開.例1 求在點處的泰勒展開式.解：用公式 求：；得.例2 將按z-1的冪展開.解：由題意可解得.2、間接法.即利用已知公式，通過各種運算、變換來簡化求導(dǎo)的方法.下面給出一些主要函數(shù)的泰勒展開式：（1）. （2）=. （3）. （4）. （5）. （6） （；k=0時為主值支）. （7）.2

3、.1利用已知的展式. 例3 求的展開式.解：因為以和為支點，故其指定分支在內(nèi)單值解析.= = =.例4 求在z=0點處的泰勒展式.解：因為= =由于=代入上式有 =.2.2逐項求導(dǎo)、逐項求積法.例5 用逐項求導(dǎo)法求函數(shù)在內(nèi)的泰勒展式.解：因為= 所以用逐項求導(dǎo)法算得= =.例6 求在z=0點的泰勒展開式，其中是含條件的那個單值解析分支.解： =上式兩端在內(nèi)沿0到z積分，得：.2.3利用級數(shù)的乘除運算.例7 寫出的冪級數(shù)展式至含項為止，其中在點處的值為0.解：由題設(shè)條件可知 是主值支. 又由在公共收斂區(qū)域內(nèi)作柯西乘積，得=.例8 求在點的泰勒展式.分析：函數(shù)的奇點為的零點（）而距原點最近的奇點為.故函數(shù)在內(nèi)解析，且能展為z的冪級數(shù).解：可以像多項式按冪級數(shù)排列用直式做除法那樣分離常數(shù).將分子、分母的冪級數(shù)做直式相除，缺項用0 代替，得到 （）.2.4待定系數(shù)法.例9 設(shè)證明：.求出展式的前5項. 證明：利用待定系數(shù)法，有 =比較兩端同次冪的系數(shù)得.解：從而由依次得 ， 即.當然，對于冪級數(shù)的展開還有其它多種方法，在這里就不一一贅述了.最后值得一提的是用間接法解題時應(yīng)注意的問題.我們通常是用已知函數(shù)的泰勒展式進行代入簡化，這時應(yīng)注