平面力系的簡化與平衡方程

1、工程力學（上）網上輔導（4）第四章 平面力系的簡化與平衡方程一、本章知識點：1平面任意力系簡化2平面任意力系的平衡3物體系的平衡問題4考慮摩擦的平衡二、重點內容介紹：（一）平面任意力系的簡化1 平面任意力系 力系中各力的作用線都在同一平面內，且任意地分布，這樣的力系稱為平面任意力系。如教材圖41，荷載（力、力偶）、反力既不全部平行，也不交于一點；有兩種特殊情況：平面平行力系：各力全部平行；平面匯交力系：各力全部匯交一點。2平面任意力系向一點的簡化主矢 主矩 這一點稱為簡化中心。主矢等于力系中各力的矢量和；力偶的矩等于力系中各力對簡化中心的矩的代數和。平面任意力系向平面內任選的簡化中心簡化。簡化

2、結果： （1）等效于一個力和一個力偶的共同作用，既非一個合力也非一個力偶； （2）主矢與簡化中心位置無關，即對于任一點主矢都等于原力系各力的矢量和，確定其大小和方向； （3）主矩一般與簡化中心的位置有關3力系簡化的方法： （1）將復雜的平面力系用力向一點平移的方法分解為平面匯交力系和平面力偶系； （2）分別按兩種力系的合成方法簡化得到主矢與主矩。4主矢的計算 主矢可以用代數方法，由X，Y軸的投影合成。將復雜的問題分解為簡單的幾個問題，分別進行分析，再合成，這是解決復雜問題的有效方法教材例題41： 在邊長為的正方形的四個頂點上，作用有、等四個力，如圖。已知、。試求該力系向A點簡化的結果。 分析：

3、原題直接向A點簡化，我們用不同的方法簡化，同學們可體會主矢與主矩的特性。力系先向B點簡化，得到主矢與，再向A點平移主矢，可以與書中結果比較。簡化所得主矢與書中相同，其分量只與各力分量的代數和有關，與矩心即簡化中心無關。但與不同，用正方向表示（逆時針），其值為負表示實際方向為順。 主矢再向A點平移：再向A點平移應附加R''對A點的矩，加原B點的力矩。分解為與，所以主矢向A點平移的結果與教材相同，的實際方向為順時針。 5平面力系簡化結果討論：（1）主矢不為零，主矩為零：匯交力系?？梢酝ㄟ^力的平移，確定力的作用點（即作用線）而簡化為一個合力； 主矢不為零，主矩不為零：任意力系。（2）

4、主矢為零，主矩不為零：力偶系的合力偶矩；主矢為零，主矩為零：平衡力系。 最后簡化結果只有三種可能：合力、合力偶、平衡 6合力矩定理： 平面任意力系的合力對作用面內任意一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數和。 （二）平面任意力系的平衡 1平面任意力系的平衡條件 平面任意力系的主矢和主矩同時為零，即 ，是平面任意力系的平衡的必要與充分條件。 2解析表達式平衡方程 上式為平面任意力系的平衡方程。 平面任意力系的平衡的必要與充分條件可解析地表達為：力系中所有各力在兩個任選的坐標軸中每一軸上的投影的代數和分別等于零，以及各力對任意一點的矩的代數和等于零。 三個方程可求解三個未知數。 二矩式 附加條件

5、說明：若任意力系有一合力R，在A、B連線上，雖然R0，但如果AB 垂直 OX，則仍滿足X0（當然另二個方程也滿足），此三個方程不是相互獨立的。 三矩式 其中A、B、C三點不能共線。若A、B、C三點共線，當合力R作用于此線上時，滿足三個方程，但仍可能不為零。教材例45： 十字交叉梁用三個鏈桿支座固定，如圖所示。求在水平力P的作用下各支座的約束反力。 分析： 若使用一矩式、二矩式平衡方程，都需解聯方程式； 若使用三矩式，選取三未知約束力的交點分別為矩心，則使一個方程只有一個未知力，求解方便（L，K，S）三點不共線。 這樣求解還有一個好處，每個力均用已知力直接求解，可以避免前面求解的未知力的錯誤的影

6、響。 解題步驟： 1取分離體，作受力圖 取十字交叉梁為分離體，其上受主動力P、約束反力、和的作用。 2列平衡方程，求解未知力 解： 結論： 1、一個 受平面力系作用的物體，若平衡就必須滿足平衡方程。 2、一個受平面平移力系作用的物體，獨立的平衡方程只有三個，只能解三個未知數。 3平面平行力系的平衡方程 平面平行力系為一般力系的特例。 X0自然滿足（X軸為垂直平行方向）。只余下二個獨立平衡方程。 或 （三）物體系的平衡 1物體系：是由多個物體（桿件）用結點（約束）聯結在一起的物體系統(tǒng)。實際結構一般都由多個桿件組成。 （1）當物體系處于平衡狀態(tài)時，該體系中的每一個物體也必定處于平衡狀態(tài)； （2）如

7、果每個物體都受平面力系的作用，可對每個物體寫出三個平衡方程； （3）若物體系由n個物體組成，則可以寫出3n個獨立的平衡方程。 2受力分析特點： （1）取整體或局部分離體，解除全部約束，畫出對應約束的約束力。 （2）已知力按實際方向畫，未知力需假設正方向。 兩個局部物體之間的約束未知力應按作用力與反作用力方向確定。教材例49 如圖所示結構由AB、CD、EF三個桿件組成，受均布荷載q及力P的作用，求鉸支座A的支座反力。 分析：取適當的分離體，靈活應用不同的平衡方程公式。 解題步驟： 1取整體結構為分離體，列平衡方程 考慮整體受力特點： 除X外，其余未知力均為豎直方向。 2取AEB桿為分離體，列平衡

8、方程 解：1考慮AEB桿的受力分析：、匯交于E點。所以對E點取力矩平衡方程，只有一個未知力。 2求得后才能求得的解?？梢钥吹絇的大小不影響，只影響。（四）考慮摩擦的平衡問題 1靜滑動摩擦定律 稱為靜滑動摩擦系數,不僅與材料表面性質，也與相對滑動的速度有關。 2P、Q為主動力，引起F、N，處于平衡狀態(tài)，則F、N的合力與P、Q的合力大小相等、方向相反； 最大靜摩擦力大小與正壓力成正比，f為比例系數方向與相對滑動方向相反。 主動力合力無論大小，只要作用在摩擦角內就能使物體處于靜止平衡狀態(tài)。即自鎖現象。在工程中有重要的用處，如千斤頂，有一種提升式的腳手架，也是應用自鎖裝置防止滑落。 3全約束反力 摩擦

9、角； 自鎖現象。 4考慮摩擦的平衡問題： （1）在受力分析中，除畫出法向應力外，應注意最大靜摩擦力，其方向與運動方向相反。 （2）補充方程： （3）摩擦力與作用力平衡隨作用力的大小、方向變化，其范圍為 教材例410 物塊重為P，放在傾斜角為斜面上，接觸面的靜滑動摩擦系數為。用水平力Q維持物塊的平衡，試求力Q的大小。 分析： Qmax使物體向上滑動趨勢，Fmax及P的分力向下，使其未動的臨界狀態(tài)。 由P引起物體的向下滑動,而由于Qmin和Fmax向上，使其未動的臨界狀態(tài)。 具體計算請見教材P51頁。三、 本章學習要點1平面任意力系向一點簡化的方法 一般等效為一力與一力偶。 只等效為力的能簡化為合

10、力，即匯交力系（平行力系交于無窮遠）；主矢與簡化中心無關。 只等效為一力偶的為力偶系，力矩與簡化中心有關。2物體系的平衡問題 （1）正確分析整體與局部的受力； （2）靈活運用三個獨立的平衡方程。 適當的選取整體或局部的分離體，正確地畫出受力情況。 根據各力之間的特點，選取適當的平衡方程。3理解滑動摩擦的概念 注意方向 自鎖現象 例（教材習題411） 斷鋼筋的設備如圖所示。欲使鋼筋E受到的壓力，問加于A點的應多大？圖中尺寸單位為cm。（圖411） OB尺寸為30CM，圖中130CM有誤，不成比例。 考慮整體5個未知約束分力，不能直接求解。 分析： （1）分離體AO ， （2）分離體CED 作業(yè)： 412、415、417 教材習題412 三拱鉸橋如圖所示。已知。求支座和的反力。 分析： （1）取分離體AC 求 （2）取分離體BC 求 教材習題