平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角教學(xué)案

1、2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角一、教材分析本課的地位及作用：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，就是運(yùn)用坐標(biāo)這一量化工具表達(dá)向量的數(shù)量積運(yùn)算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問題提供了全新的手段。它把向量的數(shù)量積與坐標(biāo)運(yùn)算兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)緊密聯(lián)系起來，是全章重點(diǎn)之一。二教學(xué)目標(biāo)1學(xué)會(huì)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算。理解掌握向量的模、夾角等公式。能根據(jù)公式解決兩個(gè)向量的夾角、垂直等問題。2（1）通出問題，把問題的求解與探究貫穿整堂課，學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)了結(jié)論（2）通過對(duì)向量平行與垂直的充要條件的坐標(biāo)表示的類比，教給了學(xué)生類比聯(lián)想的記憶方法。3經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐

2、標(biāo)表示的過程，體驗(yàn)在此基礎(chǔ)上探究發(fā)現(xiàn)向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新精神、三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.難點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.四、學(xué)情分析此之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積概念及運(yùn)算，但數(shù)量積是用長(zhǎng)度和夾角這兩個(gè)概念來表示的，應(yīng)用起來不太方便，如何用坐標(biāo)這一最基本、最常用的工具來表示數(shù)量積，使之應(yīng)用更方便，就是擺在學(xué)生面前的一個(gè)亟待解決的問題。因此，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和知識(shí)構(gòu)建的一個(gè)合情、合理的“生長(zhǎng)點(diǎn)”。所以，本節(jié)課采取以學(xué)生自主完成為主，教師查漏補(bǔ)缺的教學(xué)方法。因此結(jié)合中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和學(xué)生實(shí)際

3、。我將本節(jié)教學(xué)目標(biāo)確定為：1、理解掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算。理解掌握向量的模、夾角等公式。能根據(jù)公式解決兩個(gè)向量的夾角、垂直等問題2、經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐標(biāo)表示的過程，體驗(yàn)在此基礎(chǔ)上探究發(fā)現(xiàn)向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新精神。五、教學(xué)方法1實(shí)驗(yàn)法：多媒體、實(shí)物投影儀。2學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。3新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)合作探究、精講點(diǎn)撥反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。六、課前準(zhǔn)備1學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)學(xué)案。2教師的教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件制作，課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展

4、學(xué)案。七、課時(shí)安排：1課時(shí)八、教學(xué)過程(一)預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。（二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)。創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課a與b的數(shù)量積 的定義？向量的運(yùn)算有幾種?應(yīng)怎樣計(jì)算？出示學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量的 夾角、模的 公式.2、兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示3、運(yùn)用兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示初步解決處理有關(guān)長(zhǎng)度垂直的幾個(gè)問題.（三）合作探究，精講點(diǎn)撥探究一：已知兩個(gè)非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b呢？a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(

5、x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2即：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和師生：學(xué)生回答提出的問題，教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生：合作探索提出的問題。教師：巡視輔導(dǎo)學(xué)生，解決遇到的困難，估計(jì)學(xué)生對(duì)正交單位基向量i,j的運(yùn)算可能有困難，點(diǎn)撥學(xué)：i2=1,j2=1,i·j=0師生：學(xué)生展示探究結(jié)果，教師給予點(diǎn)評(píng)設(shè)計(jì)意圖：回顧平面向量數(shù)量積的意義，為探究數(shù)量積的坐標(biāo)表示做好準(zhǔn)備。創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，出示學(xué)習(xí)目標(biāo)使學(xué)生了解本課的任務(wù)問題引領(lǐng)，培養(yǎng)學(xué)生的探索研究能力探究二：探索發(fā)現(xiàn)向量

6、的模的坐標(biāo)表達(dá)式若a=(x,y)，如何計(jì)算向量的模|a|呢？ 若A(x1,x2),B(x2,y2)，如何計(jì)算向量AB的模兩點(diǎn)A、B間的距離呢？教師提出問題學(xué)生：獨(dú)立思考探究合作交流讓學(xué)生展示探究的結(jié)論，教師總結(jié)設(shè)計(jì)意圖：在向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)上，探索發(fā)現(xiàn)向量的模例1、如圖，以原點(diǎn)和A(5， 2)為頂點(diǎn)作等腰直角OAB，使ÐB = 90°，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo).解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x， y)，則= (x， y)，= (x-5， y-2)x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2-5x- 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即

7、：10x + 4y = 29由B點(diǎn)坐標(biāo)或；=或評(píng)述：用向量的垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示作為此題的突破點(diǎn)。變式：已知探究三：向量夾角、垂直、坐標(biāo)表示設(shè)a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定ab或計(jì)算a與b的夾角<a,b>呢？1、向量夾角的坐標(biāo)表示2、ab<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=03、ab <=>X1y2-x2y1=0學(xué)生：獨(dú)立思考、探究，合作交流，師生：讓學(xué)生展示探究的結(jié)論，教師總結(jié)提醒學(xué)生ab與ab坐標(biāo)表達(dá)式的不同設(shè)計(jì)意圖：在向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)上兩向量垂直，兩向量夾角的坐標(biāo)表達(dá)式例2在ABC中

8、，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k值.解：當(dāng)A = 90°時(shí)，×= 0，2×1 +3×k = 0 k =當(dāng)B = 90°時(shí)，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3)2×(-1) +3×(k-3) = 0 k =當(dāng)C = 90°時(shí)，×= 0，-1 + k(k-3) = 0 k =評(píng)述：熟練應(yīng)用向量的夾角公式。變式：已知，當(dāng)k為何值時(shí)，（1）垂直？（2）平行嗎？平行時(shí)它們是同向還是反向？（四）反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)。教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容

9、，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的反饋糾正。（課堂實(shí)錄）（五）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。模。夾角。下節(jié)學(xué)習(xí)平面向量應(yīng)用舉例這節(jié)課后大家可以先預(yù)習(xí)這一部分，著重體會(huì)向量是一種處理幾何問題。物理問題的工具增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)提高解題能力九、板書設(shè)計(jì)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（一）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 二、平面向量的模 例1：1、 概念強(qiáng)調(diào) （1）記法 例2：（2）“規(guī)定” 三、平面向量數(shù)量積的夾角 十、教學(xué)反思1教學(xué)方法：結(jié)合本節(jié)教材淺顯易懂，又有前面平面向量的數(shù)量積和向量的坐標(biāo)表示等知識(shí)作鋪墊的內(nèi)容特點(diǎn)，兼顧高一學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)

10、思維能力和處理向量問題的方法的現(xiàn)狀，我主要采用“誘思探究教學(xué)法”，其核心是“誘導(dǎo)思維，探索研究”，其教學(xué)思想是“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的原則，為此，我通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，積極的鼓勵(lì)學(xué)生的參與，給學(xué)生獨(dú)立思考的空間，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，最終在教師的指導(dǎo)下去探索發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。在教學(xué)中，我適時(shí)的對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程給予評(píng)價(jià)，適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)，可以培養(yǎng)學(xué)生的自信心，合作交流的意識(shí)，更進(jìn)一步地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們體驗(yàn)成功的喜悅。2教學(xué)手段：利用多媒體輔助教學(xué)，可以加大一堂課的信息容量，極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。十一、學(xué)案設(shè)計(jì)(見下頁(yè))2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、

11、模、夾角課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：預(yù)習(xí)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算。了解向量的模、夾角等公式。二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：1.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的坐標(biāo)表示2.引入向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，我們得到下面一些重要結(jié)論：(1)向量模的坐標(biāo)表示：能表示單位向量的模嗎？(2)平面上兩點(diǎn)間的距離公式：向量a的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)AB=(3)兩向量的夾角公式cosq = 3. 向量垂直的判定（坐標(biāo)表示）4.向量平行的判定（坐標(biāo)表示） 三、提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)會(huì)用平面向量數(shù)量積的

12、坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算。掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問題. 學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用二、學(xué)習(xí)過程（一）創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課a與b的數(shù)量積 的定義？向量的運(yùn)算有幾種?應(yīng)怎樣計(jì)算？（二）合作探究，精講點(diǎn)撥探究一：已知兩個(gè)非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b呢？a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y

13、1y2教師：巡視輔導(dǎo)學(xué)生，解決遇到的困難，估計(jì)學(xué)生對(duì)正交單位基向量i,j的運(yùn)算可能有困難，點(diǎn)撥學(xué)生：i2=1,j2=1,i·j=0探究二：探索發(fā)現(xiàn)向量的模的坐標(biāo)表達(dá)式若a=(x,y)，如何計(jì)算向量的模|a|呢？ 若A(x1,x2),B(x2,y2)，如何計(jì)算向量AB的模兩點(diǎn)A、B間的距離呢？例1、如圖，以原點(diǎn)和A(5， 2)為頂點(diǎn)作等腰直角OAB，使ÐB = 90°，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo).變式：已知探究三：向量夾角、垂直、坐標(biāo)表示設(shè)a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定ab或計(jì)算a與b的夾角<a,b>呢？1、向量夾角的坐標(biāo)表示

14、2、ab<=> <=>x1x2+y1y2=03、ab <=>X1y2-x2y1=0例2在ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k值.變式：已知，當(dāng)k為何值時(shí)，（1）垂直？（2）平行嗎？平行時(shí)它們是同向還是反向？（三）反思總結(jié)(四)當(dāng)堂檢測(cè)1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A.60° B.30° C.135° D.°2.已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A.2 B.2 C.6 D.123、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a與b的 數(shù)量積4、設(shè)a=(2,1),b=(1,3),求a·b及a與b的夾角5、已知向量a=(-2,-1),b=(,1)若a與b的夾角為鈍角,則取值范圍是多少?課后練習(xí)與提高1.已知?jiǎng)t（）A.23 B.57 C.63 D.832.已知?jiǎng)t夾角的余弦為（）A. B. C. D.3