專題訓(xùn)練螞蟻爬行的最短路徑(含答案).

1、螞蟻爬行的最短路徑1. 一只螞蟻從原點(diǎn) 0出發(fā)來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5,-3, +10, -8, -9, +12,-10.-5,5米為最短路徑.13.如圖，直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為 4cm,底面是長(zhǎng)為5cm寬為3cm的長(zhǎng)方形.一只螞蟻從頂點(diǎn) A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn)B.求：(1)螞蟻經(jīng)過的最短路程；(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一條棱)的最長(zhǎng)路程.解：(1) AB的長(zhǎng)就為最短路線.然后根據(jù) 若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過的路程為VC5+3)3-F42 = VB0 (cm)；若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過的路程為d(4+3尸+52=#再(cm),或 7(4+5)2+32 = V50 (cm

2、)所以螞蟻經(jīng)過的最短路程是VT5 cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最長(zhǎng)路程是30cm.14.如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為50cm,寬為40cm,高為30cm的長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn) A處有一只螞蟻,它要爬到頂點(diǎn)B處去覓食，最短的路程是多少？解：圖 1 中，= /= 40Vs a80.4 cm.圖 2 中，= l/94+30” = 3QVI5m94.7 cm.圖3中，AB=倔再萬招=20小胃7Z5cm.采用圖3的爬法路程最短，為 cOVTSem15 .如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 6cm, 8cm, 4cm. 一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn) 爬到點(diǎn)B.則螞蟻爬行的最短

3、路徑的長(zhǎng)是 。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面, 則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是12cm和6cm,則所走的最短線段是V123+62=6 VScm;第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形， 則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10cm和8cm,所以走的最短線段是= .也 cm;第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形,則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是14cm和4cm,所以走的最短線段是=2 - cm；三種情況比較而言，第二種情況最短.16 .如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm、3cm、2cm. A和B是這B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端

4、點(diǎn)，點(diǎn) A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)臺(tái)階面爬行到點(diǎn) B的最短路程為 cm解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為 20cm,寬為(2+3) X3cm, 則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到 B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xcm,由勾股定理得：x2=202+ (2+3) X32=252, 解得x=25.故答案為25.5cm, 3cm 和 1cm, A 和 B17 .如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到 B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想,這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到 B點(diǎn)，最短線路是 cm。因?yàn)?AC=3X3+1X

5、3=12, BC=5,所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 (cm),所以螞蟻爬行的最短線路為13cm.答：螞蟻爬行的最短線路為13cm.18 . （2011湃眇卜）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn),則螞奴爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm.解:. PA=2X (4+2)4cm P=12, QA=5AB,8D，PQ=13.故答案為：13.19 .如圖，一塊長(zhǎng)方體醇寬 AN=5cm,長(zhǎng)ND=10cm, CD上的點(diǎn)B距地面的高 BD=8cm,地面上A處的一只螞蟻到 B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少?解：如圖1,在磚的側(cè)

6、面展開圖 2上，連接則AB的長(zhǎng)即為A處到B處的最短路程.解：在RtAABD中,因?yàn)?AD=AN + ND=5+10=15 , BD=8, 所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289=172.所以 AB=17cm.故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.20 . （2009?佛山）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有 一只螞蟻從柜角 A處沿著木柜表面爬到柜角 Ci處.（1）請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑;（2）當(dāng)AB=4, BC=4, CCi=5時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng);（3）求點(diǎn)Bi到最短路徑的距離.備用圖解：（1）如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩形 A

7、BCQi和ACCiAi .故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AiCi和ACi. （2分）（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段 AiBi到Ci,爬過的路徑的長(zhǎng)是11 = d4?+（4+5），=也療.（3分）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BBi到Ci ,爬過的路徑的長(zhǎng)是上二也4+4尸+5?=/.（4分）1i12,故最短路徑的長(zhǎng)是 匕二磁.（5分）（3）作 BE，ACi 于巳則EE = ?用4 =冼？ 5 =患幗為所求.（8分）21.有一圓柱體如圖，高 4cm,底面半徑5cm, A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到 C處，求螞 蟻爬行的最短距離.解：AC的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的最短距離.第2題C, D分別是BE, AF的

8、中點(diǎn).AF=2 T?5=10 7t. AD=5 tt.AC= AD2+CD2 = 1cm.故答案為：16cm.22.有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m,高為6m, 一只老鼠從距底面 1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為解：AB=、52 122 =13 m23.如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AAi的端點(diǎn)A到達(dá)Ai ,若圓柱底面半徑為 -,n高為5,則螞蟻爬行的最短距離為 解：因?yàn)閳A柱底面圓的周長(zhǎng)為2 7tx =12,高為5,Ji所以將側(cè)面展開為一長(zhǎng)為12,寬為5的矩形,根據(jù)勾股定理，對(duì)角線長(zhǎng)為府正=13.故螞蟻爬行的最短距離為13.24.如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,高

9、AB為9cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,則螞蟻爬行的最短路程是由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,E5解：如圖所示:貝U AD=24X =12cm.2又因?yàn)?CD=AB=9cm,所以AC= 收步9；二15cm.故螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是15cm.故答案為：15.25. （2006湃眇卜|）有一圓柱體高為 10cm,底面圓的半徑為 4cm, AAi , BBi為相對(duì)的兩條母 線.在AAi上有一個(gè)蜘蛛 Q, QA=3cm；在BB上有一只蒼蠅 P, PB=2cm,蜘蛛沿圓柱體 側(cè)面爬到P點(diǎn)吃蒼蠅，最短的路徑是cm.（結(jié)果用帶兀和根號(hào)的

10、式子表示）解：QA=3, PBi=2,即可把PQ放到一個(gè)直角邊是根據(jù)勾股定理得：QP=二心I三4兀和5的直角三角形中,26.同學(xué)的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從A處爬行到對(duì)面的中點(diǎn)B處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短路線圖.問題：某正方體盒子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從 A處爬行到側(cè)棱 GF上的中點(diǎn)M點(diǎn)處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫出這條最短路線圖.解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖示，則 A、B分別位于如圖所示的位置,連接AB,即是這條最短路線圖.如圖，將正方體中面 ABCD和面CBFG展開成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖示，則A、M分別位于如圖所示的位置，連

11、接 AM,即是這條最短路線圖.27.如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形,圓錐的底面半徑為2cm,假若點(diǎn)B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點(diǎn) P處的食物，那么它爬行的最短路程第5題解：圓錐的底面周長(zhǎng)是 4國(guó)則4聲n 二 4180n=180。即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180,，在圓錐側(cè)面展開圖中 AP=2, AB=4,/ BAP=90 ,，在圓錐側(cè)面展開圖中 BP二，這只螞蟻爬行的最短距離是 故答案是：2無cm.28.如圖，圓錐的底面半徑R=3dm,母線l=5dm, AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn),/COB=150 , D為VB上一點(diǎn)，VD= V7dm .現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表

12、面從點(diǎn) C爬到D.則螞蟻爬行的最短路程是（）第22頁共19頁匕上r 15 口 “m3 5解：黃? =180 =即,設(shè)弧BC所對(duì)的圓心角的度數(shù)為 n,5tt：.=一二一解得n=90,CVD=90,. CD=曠52+7=4 V5 ,29.已知圓錐的母線長(zhǎng)為 5cm,圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，且/ AOAi=120, 一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點(diǎn) A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A.則螞蟻爬行的最短路程長(zhǎng)為。30.如圖，底面半徑為 1,母線長(zhǎng)為4的圓錐，一只小螞蟻若從 A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又 回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長(zhǎng)是 .解：由題意知，底面圓的直徑為2,故底面周長(zhǎng)等于2兀.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇

13、形圓心角為n,根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得，2n=44,180解得n=90 ,所以展開圖中圓心角為 90。，根據(jù)勾股定理求得到點(diǎn) A的最短的路線長(zhǎng)是：J16+16 = 辰 =4 J2 .31. （2006?南充）如圖，底面半徑為 1,母線長(zhǎng)為4的圓錐，一只小螞蟻若從 A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到 A點(diǎn)，它爬行的最短路線長(zhǎng)是 。解：由題意知底面圓的直徑 =2,故底面周長(zhǎng)等于2兀.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n,根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得2=4處180解得n=90 ,所以展開圖中的圓心角為90。，根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長(zhǎng)為4J2 .32. （2009?樂山）如圖，一圓車B

14、的底面半徑為2,母線PB的長(zhǎng)為6, D為PB的中點(diǎn).一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D,則螞蟻爬行的最短路程為 解：由題意知，底面圓的直徑AB=4,故底面周長(zhǎng)等于4兀.-設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n,/根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得4聲2黑;6 ,D解得 n=120 ,所以展開圖中/ APD=120妥=60 ,根據(jù)勾股定理求得 AD= 33 ,所以螞蟻爬行的最短距離為 3；3 .沿圓錐面爬彳L周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出-解：把圓錐沿過點(diǎn) A的母線展成如圖所示扇形，則螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程為 AA（線段）.01條爬行最短的路徑， 并求出最矩路徑.%33. 如圖，圓錐底面半徑

15、為 r,母線長(zhǎng)為3r,底面圓周上有一螞蟻位于 A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)由此知：OA=OA =3ADA1的長(zhǎng)為2兀rn 二 3r180n=120 ,即/ AOA =12Q / OAC=30 .“ 13 OC= _ OA= r22.AC= OA2 _OC2 =3、3r2.AA =AC=3V3r,即螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程是3,3 r.34.如圖，一只螞蟻從圓錐底面的 A點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周后到達(dá)母線 SA的中點(diǎn)M.螞 蟻沿怎樣的路徑行走最合算？為了解決這一問題，愛動(dòng)腦筋的銀銀、慧慧與樂樂展開了研究.(1)善于表現(xiàn)的銀銀首先列出了一組數(shù)據(jù)：圓錐底面半徑r=10cm,母線SA長(zhǎng)為40cm,就這組數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出螞蟻所走的最短路程；(2) 一向穩(wěn)重的慧慧只給出一個(gè)數(shù)據(jù)：圓錐的錐角等于60。(如圖)，請(qǐng)問：螞蟻如何行走最合算？(3)通過(1)、(2)的計(jì)算與歸