上海八年級(jí)上一元二次方程專題復(fù)習(xí)

1、精選八年級(jí)秋季班期末復(fù)習(xí)講義二課題：一元二次方程教學(xué)目標(biāo)一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)考點(diǎn)及考試要求教學(xué)內(nèi)容第一部分：一元二次方程解法:一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：,兀一次方程二,解與解法T根的判別韋達(dá)定理*、考點(diǎn)精析考點(diǎn)一、概念定義：0只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表達(dá)式：ax2+bx+c=0(a豐0)難點(diǎn)：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2:該項(xiàng)系數(shù)不為“0；未知數(shù)指數(shù)為“2；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）211A3x1=2x1B2一2二0xx_22/2,Caxb

2、xc=0dx2x=x1歡迎下載精選變式：當(dāng)k時(shí)，關(guān)于x的方程kx2+2x=x2+3是一元二次方程。例2、方程（m+2x+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為針對(duì)練習(xí):1、方程8x2=7的一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是2、若方程（m2klm-=0是關(guān)于x的一元一次方程,求m的值；寫出關(guān)于x的一元一次方程。3、若方程（m-1x2+而,x=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點(diǎn)二、方程的解概念：|使方程兩邊相等的未知數(shù)的值,就是方程的解。應(yīng)用：卜用根的概念

3、求代數(shù)式的值；典型例題：例1、已知2y2+y3的值為2,則4y2+2y+1的值為。例2、關(guān)于x的一元二次方程（a2x2+x+a24=0的一個(gè)根為0,則a的值為例3、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）的系數(shù)滿足a+c=b,則此方程必有一根為。22例4、已知a,b是萬程x4x+m=0的兩個(gè)根，b,c是方程y8y+5m=0的兩個(gè)根,則m的值為。針對(duì)練習(xí)：1、已知方程x2+kx10=0的一根是2,則k為,另一根是。2_x12、已知關(guān)于x的方程x+kx2=0的一個(gè)解與方程=3的解相同。x7求k的值；方程的另一個(gè)解。歡迎下載精選3、已知m是方程x2x-1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2m=。

4、2_2_ 4、已知a是x-3x+1=0的根，則2a-6a=。 5、方程(ab2+(bcx+ca=0的一個(gè)根為()A-1B1Cb-cD-a 6、若2x+5y3=0，貝U4x*32y=。考點(diǎn)三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點(diǎn)：降次類型一、直接開方法：x2=m(m之0)=x=±Vm對(duì)于(x+a2=m,(ax+m2=(bx+n2等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程：(12x28=0;(225-16x2=0;(3'(1xf9=0;例2、若9(x-12=16(x+22,則x的值為。針對(duì)練習(xí)：下列方程無解的是()A.x23=2x2-1B.x-22=0C.2x

5、3=1-xD.x29=0類型二、因式分解法(x-x1jx-x2)=0=x=x1，或x=x2卜程特點(diǎn)：左I邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積,右邊為“0；方程形式：如(ax+mf=(bx+nf,(x+ajtx+b)=(x+ajtx+c),歡迎下載精選22x2axa=0典型例題:例1、2x(x3)=5(x3)的根為()5c52AxBx3Cx1,x23Dx225.2_例2、右(4x+y)+3(4x+y)4=0,則4x+y的值為。變式1：(a2+b22-(a2+b2)6=0,貝1Ja2+b2=。變式2：若(x+yj2xy)+3=0,則x+y的值為。22變式3：右x+xy+y=14,y+xy+x=28,則x+

6、y的值為。例3、方程x2十岡6=0的解為()A.x1=3,x2=2B.x1=3,x2=2C.x1=3,x2=3D.x1=2,x2=2例4、解方程：x2+2(由十1k+2J3+4=022xy例5、已知2x-3xy-2y=0,則y的值為。x-yxy變式：已知2x3xy2y=0,且xa0,ya0,則的值為。x-y針對(duì)練習(xí)：1、下列說法中：22萬程x+px+q=0的二根為x1，x2,則x+px+q=(xx1)(xx2)-x26x-8=(x-2)(x-4).a2-5ab6b2=(a-2)(a-3)x2-y2;(xy)(xy)('xy)方程(3x+1)27=0可變形為(3x+1+J7)(3x+14

7、7)=0正確的有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)歡迎下載精選 2、以1+J7與1-J7為根的一元二次方程是（）.22Ax2x6=0B.x-2x+6=0_2C.y2y-6=0 3、寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1,且兩根互為倒數(shù):寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1,且兩根互為相反數(shù): 4、若實(shí)數(shù)x、y滿足（x+y-3（x+y）+2=0,則x+y的值為（A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：x2+2=2的解是。x 6、已知J6x2-xy76y2=0,且xa0,y>0,求'x-捉'的值。,3x-y 7、方程(1999xf1998M200

8、0x1=0的較大根為r,方程2007x22008x+1=0的較小根為s,則s-r的值為。r_bb、2b2-4ac類型二、配方法ax+bx+c=0(a00)=x+i=-2一<2aJ4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題:-2一一例1、試用配方法說明x-2x+3的值恒大于0。例2、已知x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式x2+y2+2x4y+7的最小值。例3、已知x2+y2+4x6y+13=0,x、y為實(shí)數(shù)，求xy的值。歡迎下載精選例4、分解因式：4x2+12x+3針對(duì)練習(xí)：21、試用配方法說明-10x+7x4的值恒小于0。，一，21112、已知x+2-x

9、4=0,則x+=xxx3、若t=2_J_3x2+12x9,則t的最大值為,最小值為。4、如果a+b+Jd1=4ja2+2JKA4，那么a+2b3c的值為類型四、公式法條件|（a00,且b2-4ac之0）公式：x=b±"b4ac,（a#0,且b2-4ac>0）2a典型例題：例1、選擇適當(dāng)方法解下列方程：3（1+x2=6.（x+3以+6）=-8.x2-4x+1=03x2-4x-1=03(x-r<3x+1)=(x-1<2x+5)例2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：,.、2222(1)x2,2x3；(2)4x+8x1.2x4xy5y歡迎下載精選說明：對(duì)于二次三項(xiàng)式ax2+

10、bx+c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解,一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax2+bx+c=0,求出兩根，再寫成2axbxc=a(x-x1)(x-x2).分解結(jié)果是否把二次項(xiàng)系數(shù)乘進(jìn)括號(hào)內(nèi)，取決于能否把括號(hào)內(nèi)的分母化去.類型五、“降次思想”的應(yīng)沖求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題：,9(x-1f-x2+1.例1、已知x2-3x+2=0,求代數(shù)式的值。232例2、如果x+x1=0,那么代數(shù)式x+2x7的值。2a3-2a2-5a1.例3、已知a是一兀一次方程x-3x+1=0的一根，求2的值。例4、用兩種不同的方法解方程組(1)2x-y=6,22X2-5xy+6y2=0.(2)說明：

11、解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想一一化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題.2考點(diǎn)四、根的判別式b4ac根的判別式的作用：定根的個(gè)數(shù)；歡迎下載精選求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于x的方程X2+2jkx-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是2例2、關(guān)于x的方程(m-1N十2mx+m=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是()A.m.0且m1B.m_0C.m=1D.m12例3、已知關(guān)于x的方程x(k+2X+2k=0(1)求證：無論k取何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰iABC的一邊長為1,另兩邊長恰好是方程的

12、兩個(gè)根，求AABC的周長。2例4、已知二次二項(xiàng)式9x2-(m+6)x+m-2是一個(gè)完全平方式，試求m的值.例5、m為何值時(shí)，方程組*x2+2v2=6,有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解？有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解?mx+y=3.針對(duì)練習(xí):歡迎下載精選 1、當(dāng)k時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+kx+9是完全平方式。 2、當(dāng)k取何值時(shí)，多項(xiàng)式3x2-4x+2k是一個(gè)完全平方式？這個(gè)完全平方式是什么？2 3、已知萬程mx-mx+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是.V=kx+2, 4、k為何值時(shí)，方程組V2_4x_2y+1=0.(1)有兩組相等的實(shí)數(shù)解，并求此解；(2)有兩組不相等的實(shí)數(shù)解；(3)沒有實(shí)數(shù)解.此、當(dāng)k取何值時(shí)

13、，方程x24mx+4x+3m2-2m+4k=0的根與m均為有理數(shù)?考點(diǎn)五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：2例1、關(guān)于x的方程(m+1X+2mx-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m為,只有一個(gè)根，則m為。例2、不解方程，判斷關(guān)于x的方程x22(xk)+k2=-3根的情況。22例3、如果關(guān)于x的萬程x+kx+2=0及方程x-x-2k=0均有實(shí)數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請(qǐng)求出這相同的根及k的值；若沒有，請(qǐng)說明理由。歡迎下載精選考點(diǎn)六、應(yīng)用解答題“碰面”問題；“復(fù)利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊(duì)的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚

14、宴共有多少人出席?2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個(gè)小組共多少人?3、北京申奧成功，促進(jìn)了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場(chǎng)，根據(jù)計(jì)1一1、一劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少一,第三年比第二年減少一，該產(chǎn)品第一年收入資金321一-、一、一一約400萬兀，公司計(jì)劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回，還要盈利一,要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，該產(chǎn)品收3入的年平均增長率約為多少？(結(jié)果精確到0.1,而女3.61)4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少

15、10千克，針對(duì)此回答：(1)當(dāng)銷售價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤。(2)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，歡迎下載精選銷售單價(jià)應(yīng)定為多少?5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個(gè)正方形。(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少?(2)兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由。(3)兩個(gè)正方形的面積之和最小為多少？6、A、B兩地間的路程為36千米.甲從A地，乙從B地同時(shí)出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走2小時(shí)30分到達(dá)B地，乙再

16、走1小時(shí)36分到達(dá)A地，求兩人的速度.考點(diǎn)七、根與系數(shù)的關(guān)系前提：對(duì)于ax2+bx+c=0而言，當(dāng)滿足才能用韋達(dá)定理。bcx1x2-,x1x2二aa應(yīng)用：隼體代入求值。典型例題：例1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長恰是方程角形的斜邊是()A.3B.3C.6a#0、±0時(shí),主要內(nèi)容:2x28x+7=0的兩根，則這個(gè)直角三D.6歡迎下載精選例2、已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k1X+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。例3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程(二次項(xiàng)

17、系數(shù)為1)時(shí)，小明因看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，而得到解為8和2,小紅因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該是多少?2_2_.例4、已知a=b,a-2a1=0,b-2b-1=0,求a+b=22ab變式：若a-2a1=0,b-2b-1=0,則一+的值為。ba例5、已知a,P是方程x2-x-1=0的兩個(gè)根，那么口4+3P=.針對(duì)練習(xí)：(1)x+y=3,1、解方程組22xy=52.已知a27a=Y,b27b=4(a/b),求、出+j-的值。ab23_2_3、已知x1，x2是方程xx9=0的兩實(shí)數(shù)根，求xI+7x2+3x266的值。第二部分：一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總一、

18、增長率問題例1恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%,商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了193.6萬元，求這兩個(gè)月的平均增長率.解設(shè)這兩個(gè)月的平均增長率是x.,則根據(jù)題意，得200(120%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,解這個(gè)方程，得xi=0.1,x2=2.1(舍去).歡迎下載精選答這兩個(gè)月的平均增長率是10%.說明這是一道正增長率問題，對(duì)于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mvn.對(duì)于負(fù)的增長率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有公式m(1x

19、)2=n即可求解，其中m>n.二、商品定價(jià)例2益群精品店以每件21元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)a元，則可賣出(350-10a)件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤不得超過20%,商店計(jì)劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少？解根據(jù)題意，得(a-21)(35010a)=400,整理，得a256a+775=0,解這個(gè)方程，得a1=25,a2=31.因?yàn)?1X1+20%)=25.2,所以a2=31不合題意，舍去.所以35010a=35010X25=100(件).答需要進(jìn)貨100件，每件商品應(yīng)定價(jià)25元.說明商品的定價(jià)問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的

20、熱點(diǎn)三、儲(chǔ)蓄問題例3王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%,這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.(假設(shè)不計(jì)利息稅)解設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x.則根據(jù)題意，得1000(1+x)-500(1+0.9x)=530.整理,得90x2+145x-3=0.解這個(gè)方程，得x1出0204=2.04%,x2»1.63.由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將x2»1.63舍去.答第一次存款的年利率約是2.04%.歡

21、迎下載精選說明這里是按教育儲(chǔ)蓄求解的，應(yīng)注意不計(jì)利息稅四、趣味問題例4一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個(gè)醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請(qǐng)教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對(duì)角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長嗎？解設(shè)渠道的深度為xm,那么渠底寬為(x+0.1)m,上口寬為(x+0.1+1.4)m.1則根據(jù)題意，得一(x+0.1+x+1.4+0.1)x=1.8,整理，得x2+0.8x1.8=0.2解這個(gè)方程，得x1=1.8(舍去)，x2=1.所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.

22、1=2.5.答渠道的上口寬2.5m,渠深1m.說明求解本題開始時(shí)好象無從下筆，但只要能仔細(xì)地閱讀和口味，就能從中找到等量關(guān)系，列出方程求解.五、古詩問題例5讀詩詞解題：(通過列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡)大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為x-3.則根據(jù)題意，得x2=10(x3)+x,即x211x+30=0,解這個(gè)方程，得x=5或x=6.當(dāng)x=5時(shí)，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當(dāng)x=6時(shí)，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答周瑜去世的年齡

23、為36歲.歡迎下載精選說明本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數(shù)字和年齡問題，通過求解同學(xué)們應(yīng)從中認(rèn)真口味.六、象棋比賽例6象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個(gè)選手各記1分，領(lǐng)司有四個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了中全部選手的得分總數(shù)，分別是1979,1980,1984,1985.經(jīng)核實(shí)，有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無誤.試計(jì)算這次比賽共有多少個(gè)選手參加.解設(shè)共有n個(gè)選手參加比賽，每個(gè)選手都要與(n1)個(gè)選手比賽一局，共計(jì)n(n1)局，但兩個(gè)選手1一，一，的對(duì)局從每個(gè)選手的角度各自統(tǒng)計(jì)了一次，因此實(shí)際比賽總局?jǐn)?shù)應(yīng)為一n(n1)局.由于每局共計(jì)2分，所2以全部選手得分總共為n(n

24、1)分.顯然(n1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗(yàn)證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0,2,6,故總分不可能是1979,1984,1985,因此總分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2n1980=0,解得m=45,n2=44(舍去).答參加比賽的選手共有45人.說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈(zèng)賀年片等問題，都可以仿照些方法求解七、情景對(duì)話例7春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如圖1對(duì)話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元.請(qǐng)問該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？解設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)

25、景區(qū)旅游.因?yàn)?000X25=25000<27000,所以員工人數(shù)一定超過25人.則根據(jù)題意，得100020(x25)x=27000.整理，得x275x+1350=0,解這個(gè)方程，得X1=45,x2=30.當(dāng)x=45時(shí)，100020(x25)=600<700,故舍去x1；當(dāng)x2=30時(shí)，1000-20(x-25)=900>700,符合題意.答：該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.歡迎下載精選說明求解本題要時(shí)刻注意對(duì)話框中的數(shù)量關(guān)系，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結(jié)論.八、等積變形例8將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的面積為

26、原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設(shè)計(jì)方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路（2）設(shè)計(jì)方案2（如圖3）花園中每個(gè)角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件？若能，請(qǐng)計(jì)算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請(qǐng)說明理由.2 一.解者B能.（1）設(shè)小路范為x,貝U18x+16xx2=X18X15,即x2-34x+180=0,3解這個(gè)方程，得x=34.436,即x-6.6.22 一。一（2）設(shè)扇形半徑為r,則3.14r2=-X18M5,即r2F7.32,所以r-7.6.3說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也

27、變,B圖3www.CZ精選九、動(dòng)態(tài)幾何問題例9如圖4所示，在4ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以icm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).(1)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使4PCQ的面積為8平方厘米？(2)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得4PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由解因?yàn)?C=90。，所以AB=Jac2+BC2=6+82=10(cm).(1)設(shè)xs后，可使4PCQ的面積為8cm2,所以AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.

28、1則根據(jù)題意，得一(6x)2x=8.整理，得x2-6x+8=0,解這個(gè)萬程，得x1=2,x2=4.2所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使PCQ的面積為8cm2.(2)設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，PCQ的面積等于ABC面積的一半.則根據(jù)題意，得二(6-x)2x=工X6X8.整理，得x26x+12=0.222由于此方程沒有實(shí)數(shù)根，所以不存在使4PCQ的面積等于ABC面積一半的時(shí)刻.說明本題雖然是一道動(dòng)態(tài)型應(yīng)用題，但它又要運(yùn)用到行程的知識(shí)，求解時(shí)必須依據(jù)路程=速度刈寸間.十、梯子問題例10一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.(1)若梯子的頂端下滑1m,求梯子的底端水平滑動(dòng)多少米？(2)若梯子

29、的底端水平向外滑動(dòng)1m,梯子的頂端滑動(dòng)多少米？歡迎下載精選(3)如果梯子頂端向下滑動(dòng)的距離等于底端向外滑動(dòng)的距離，那么滑動(dòng)的距離是多少米？解依題意，梯子的頂端距墻角J10262=8(m).(1)若梯子頂端下滑1m,則頂端距地面7m.設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2=102,整理，得x2+12x15=0,解這個(gè)方程，得xrM.14,x2»13.14(舍去)，所以梯子頂端下滑1m,底端水平滑動(dòng)約1.14m.(2)當(dāng)梯子底端水平向外滑動(dòng)1m時(shí)，設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2=100.整理，得x2-16x+13=0.解這個(gè)方

30、程，得xv-0.86,x2M5.14(舍去).所以若梯子底端水平向外滑動(dòng)1m,則頂端下滑約0.86m.(3)設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng)xm時(shí)，底端向外也滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8-x)2+(6+x)2=102,整理，得2x2-4x=0,解這個(gè)方程，得x1=0(舍去)，x2=2.所以梯子頂端向下滑動(dòng)2m時(shí)，底端向外也滑動(dòng)2m.說明求解時(shí)應(yīng)注意無論梯子沿墻如何上下滑動(dòng)，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形十一、航海問題例11如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B,在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C,小島D恰好位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島F位于BC上且

31、恰好處于小島D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航.一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿wwcxsmcn南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦(1)小島D和小島F相距多少海里？(2)已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)歡迎下載精選給船航行了多少海里？（精確到0.1海里）解（1）F位于D的正南方向，則DFLBC.因?yàn)锳BXBC,D為AC的中點(diǎn)，所以DF=-AB=1002海里，所以，小島D與小島F相距100海里.（2）設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC（AB+BE）CF=（3002x）海里.在Rt

32、ADEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x）2,整理，得3x2-1200x+100000=0.解這個(gè)方程，得x1=200718.4,x2=200+-（不合題意，舍去）.33所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4海里.說明求解本題時(shí)，一定要認(rèn)真地分析題意，及時(shí)發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運(yùn)用勾股定理布列一元二次方程十二、圖表信息例12如圖6所示，正方形ABCD的邊長為12,戈ij分成12M2個(gè)小正方形格，將邊長為n（n為整數(shù)，且2切41）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地?cái)[放，第一張nxn的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的nM個(gè)小正方

33、形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為（n1）Nn1）個(gè)小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.請(qǐng)你認(rèn)真觀察思考后回答下列問題：（1）由于正方形紙片邊長n的取值不同，？完成擺放時(shí)所使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚杭埰倪呴Ln23456使用的紙片張數(shù)（2）設(shè)正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計(jì)一次）為Si,未被蓋住的面積為S2.當(dāng)n=2時(shí)，求Si：S2的值；歡迎下載精選圖6是否存在使得Si=S2的n值？若存在，請(qǐng)求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.(2)S1=n2+(12-n)n2-(n-1)2=-n2+25

34、n12.當(dāng)n=2時(shí)，S1=-22+25X2-12=34,S2=12M234=110.所以S1:S2=34：110=17:55.若S1=S2,則有一n2+25n-12=1M22,即n2-25n+84=0,2解這個(gè)方程，得n1=4,n2=21（舍去）.所以當(dāng)n=4時(shí)，S1=S2.所以這樣的n值是存在的.說明求解本題時(shí)要通過閱讀題設(shè)條件及提供的圖表，及時(shí)挖掘其中的隱含條件，對(duì)于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進(jìn)而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根來加以判斷十三、探索在在問題例13將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形（1）要使這兩個(gè)正方形的

35、面積之和等于17cm2,那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由解（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm,則另一段為（20x）cm.則根據(jù)題意，得+j=17,解得X1=16,X2=4,當(dāng)x=16時(shí)，20x=4,當(dāng)x=4時(shí)，20x=16,答這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm和16cm.（2）不能.理由是：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為ycm,則另一段為（20y）cm.則由題意得=12,整理，得y220y+104=0,移項(xiàng)并配方，得（y-10）2=-4<0,所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm2.說明本題的第（2）小問也可以運(yùn)用求根公式中的b24ac來判定.若b24acR,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)歡迎下載精選根，若b2-4ac<0,方程沒有實(shí)數(shù)根，本題中的b24ac=16v0即無解.十四、平分幾何圖形的周長與面積問題例14如圖7,在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5,AD=4,BC=10.點(diǎn)E?在下底邊BC上，點(diǎn)F在月AB上.(1)若EF平分等月梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x,試用含x的代數(shù)式表示4BEF的面積；(2)是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)是否存在線段EF將等腰