2立體幾何中的向量方法及詳解——向量法求線線角與線面角

1、v1.0可編輯可修改§立體幾何中的向量方法（4）向量法求線線角與線面角、學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解直線與平面所成角的概念.2.掌握利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的求法.二、問題導(dǎo)學(xué)問題1:什么叫異面直線所成的角它的范圍是什么怎樣用定義法求它的大小問題2:怎樣通過向量的運(yùn)算來求異面直線所成的角設(shè)l1與12是兩異面直線，a、b分別為li、l2的方向向量，l1、l2所成的角為0,貝Ua,b與0,cos9=問題3：用向量的數(shù)量積可以求異面直線所成的角，能否求線面角如圖，設(shè)l為平面a的斜線，lna=A,a為l的方向向n為平面a的法向量，6為l與a所成的角，0=a,則sinj=三、例題探究例1.

2、如圖，MN分別是棱長為1的正方體ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中點(diǎn).求異面直線MN與CD'所成的角.變式：在直三棱柱ABC-ABC中，AA=AB=ACABLACM是CC的中點(diǎn)，Q是BC的v1.0可編輯可修改中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，則直線PQ與直線AM所成的角等于（）A.30°B,45°C.60°D,90°AB=AA,/BAA=60°例2.如圖，三棱柱ABC-A1B1C中，CA=CR（1）證明：ABLAC;（2）若平面ABCL平面AABB,AB=CB=2,求直線AC與平面

3、BBCC所成角的正弦值.變式：如圖，在四棱錐P-ABCD43,底面為直角梯形，AD/BC/BAD=90°,PAL底面ABCD且PA=AD=AB=2BCMN分別為PCPB的中點(diǎn).角9.四、練一練（時(shí)間：5分鐘）1.1.若平面a的法向量為,直線l的方向向量為V,直線l與平面a的夾角為e,則下列關(guān)系式成立的是（）A.cos0=1,V|v|C.sin1,v|日|v|；1v|v|22v1.0可編輯可修改2.如圖，ABCDA1B1C1D是正方體,BE=DFi=AiBi4則BE與DF所成角的余弦值是（A."B17C._8173.正三棱柱ABC-ABC的所有棱長相等，則AC與面BBCC所成

4、角的余弦值為（）4 .已知長方體ABCD-ABCD中，AB=BG=4,CC=2,則直線BC和平面DBED所成角的正弦值為（）5 .正四棱錐S-ABCDO為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD則直線BC與平面PAC所成的角為【參考答案】§立體幾何中的向量方法（4）向量法求線線角與線面角、學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解直線與平面所成角的概念.2 .掌握利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的求法.用向量方法求空間中的角角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的有貝Ucos0=|cos1為0,它們的方向向量為a,b,，a.b|兀(0，ya,d/|=.|a|b|直線與平回所成的

5、角設(shè)直線l上沖回a平囿a的法向量為|a-n所成的角為e,l的方向向量為a,n,貝Usine=|cos|a,n>L兀0,y|a|W|33v1.0可編輯可修改二面角設(shè)二囿角al6的平囿角為。，平囿a、6的-1n一皿法向n1,n2,則|cos0|cosn1,n1|n|.1n2|.0,兀1.求異面直線所成的角設(shè)li與12是兩異面直線，a、b分別為11、12的方向向量，l1、12所成的角為8,則a,b與0相等或互補(bǔ)，cos0=-La-bL-.|a|-Ib|2.求直線與平面所成的角如圖，設(shè)l為平面a的斜線，lAa=A,a為l的方向向量，n為平面a的法向量，,、，一一Ia-nl6為l與a所成的角，0=

6、a,n，則sin巾=|cos0|=|cosa,n>|="-一-.|a|n|二、問題導(dǎo)學(xué)問題1：什么叫異面直線所成的角它的范圍是什么怎樣用定義法求它的大小問題2:怎樣通過向量的運(yùn)算來求異面直線所成的角設(shè)l1與12是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量，l1、12所成的角為8,貝Ua,b與0,cos0=。44問題3：用向量的數(shù)量積可以求異面直線所成的角，能否求線面角可編輯可修改如圖，設(shè)l為平面a的斜線，lna=A,a為l的方向向量，n為平面a的法向量，6為l與a所成的角，9=a,n,則sinj=。、例題探究例1.如圖，MN分別是棱長為1的正方體ABCDA'B'

7、;C'D'的棱BB'、B'C'的中點(diǎn).求異面直線MNWCD'所成的角.為二方M【答案】60°變式：在直三棱柱ABC-ABC中，AA=AB=ACABLACM是CC的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，則直線PQ與直線AM所成的角等于（）八uA.30°C.60°答案D55v1.0可編輯可修改解析以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1一11=1,A(0,0,0)MM0,1，2),Q2,0),設(shè)Rx,0,1),晨1、a/1,、晨"d八/1、,11,八A陣(0,1,萬)，PQ=(萬

8、x,2，1),AM-PQ=0x(-x)+1x2+-x(-1)=0,AKlPQ選D.點(diǎn)評1.求異面直線所成的角的常用方法是：(1)作圖一一證明一一計(jì)算；(2)把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.2.一般地，若直線AMim點(diǎn)Q固定，點(diǎn)P變動，則直線AM與PQ所成的角為變量，若此角不隨P的變化而變化，則只能是AML平面RBQ其中R、P2是P運(yùn)動軌跡中的兩個(gè)點(diǎn))，故選D.AB=AA,/BAA=60°例2.如圖，三棱柱ABC-A1B1C中，CA=CB(1)證明：ABLAC;(2)若平面ABCL平面AABB,AB=CB=2,求直線AC與平面BBCC所成角的正弦值.66v1.0可編輯可修改解析(1)取AB中

9、點(diǎn)O連接CQAB,A。.AB=AA,/BAA=60,BAA是正三角形，.AOXAB.CA=CBCOLAB.COTAO=O,，ABL平面COAABLAC.(2)由(1)知OCLABOA，AB又.平面ABCL平面ABEAi,平面AB(T平面ABEAi=AB,O(X¥面ABBA,OCLOA,，OAOCOA兩兩相互垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA勺方向?yàn)閤軸正方向，|OA為單由題設(shè)知A(1,0,0),A(0,g0),C(0,0,而,B(-1,0,0),則BC=(1,0,小),m=AA=(i,0),Ac=(0,-m),設(shè)n=(x,y,z)是平面CBBC1的法向量，n-BC=0則n-BB=0x+x/3

10、z=0,即-x+q3y=0,可取n=(>/3,1,1),dn-AC.cosn,A。=|n|A(,105，直線AC與平面BBCC所成角的正弦值為,10577v1.0可編輯可修改變式：如圖，在四棱錐PABCD43,底面為直角梯形，AD/BG/BAD=90°,PAL底面ABCD且PA=AD=AB=2BCMN分別為PCPB的中點(diǎn).求BD與平面ADM機(jī)成的角9.解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=1,則A(0,0,0)，口2,0,0)，以0,2,0),R0,0,2),則N1Q1).Bb=（-2,2,0）,Ab=（0,2,0）,AN=（1,0,1）,設(shè)平面ADMNJ一個(gè)法向量為n=(

11、x,y,z),n-AD=0則由一n-AN=0y=0，得，取x=1,則z=1,x+z=0-2,cosBDn=i=t=|BDn|V8,V212'sin0=|cosBDn>又0°&e<90°，.二e方法規(guī)律總結(jié)用向量方法求異面直線所成的角、線面角、二面角，都是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量或平88v1.0可編輯可修改兀面的法向量的夾角計(jì)算問題，需注意的是異面直線所成的角ee（0,下,故兩直線的方向向量夾角a的余弦值為負(fù)時(shí)，應(yīng)取其絕對值；若直線與平面所成的角e,直線的方向向量和平面的法向量夾角為6,則其關(guān)系為sin0=|cos61；若二面角為e,兩平面的法向量夾角

12、為a,則|COS0|=|COSa|,需分辨角0是銳角還是鈍角，可由圖形觀察得出，也可由法向量特征得出.四、練一練（時(shí)間：5分鐘）1 .若平面a的法向量為直線l的方向向量為V,直線l與平面a的夾角為e,則下列關(guān)系式成立的是（）A.cos8=|:B.cos0=r-A;vyC.sin0=,vD.sin0=v|w|v|w|。I|w|v|w|v|.32答案D2 .如圖，ABCDA1B1GD是正方體，BE=DF1=則BE與DF所成角的余弦值是8C.1715A.17答案A解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4,則D(0,0,0),B(4,4,0),E(4,3,4),F1(0,1,4),則BE=(0,1

13、,4),DF=(0,1,4)BE-DF=0X0+(-1)x1+4X4=15,|BE|=''T7,|DF|二i；17,99C1v1.0可編輯可修改一一BEE-DFcosBE,DF>=IBEIDF1515設(shè)BE1與DF1所成的角為0,則即BE1與DF1所成的角的余弦值為BE-DF_15cos8=I1一丁尸石,IBEIDF15行.故選A.3.正三棱柱ABC-ABC的所有棱長相等，則AC與平面BBCC所成角的余弦值為（）A、申B、。萼442答案B解析取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)DC,可以證明AD平面BBCC,則ACD是AC與平面BBCC所成的角，cosACD24典，即AC與平面AC122

14、4BBC1C所成角的余弦值為業(yè)，故選B44 .已知長方體ABCD-ABCD中，AB=BC=4,CC=2,則直線BC和平面DBED所成角的正弦值為（）答案C解析解法一：連結(jié)AC交BD于O點(diǎn)，由已知條件得GO±BD,且平面BDEBX平面ABGD,所以CiOL平面BDEBi,連結(jié)BQ則BO為BC在平面BDEB上的射影，ZGBO即為所求，通過計(jì)算得sinZGBO=中°,故選C.51010v1.0可編輯可修改解法二：以A為原點(diǎn)，ABADAA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(4,0,0)B(4,0,2)、D(0,4,0)、D(0,4,2)、C(4,4,2),.BG=(0,4,2),BD=(-4,4,0),BB=(0,0,2),設(shè)平面BDEB的法向量為n=(x,y,z),則nBD=04x+4y=0y=x，取x=1,則n=(1,1,0)z=0設(shè)所求線面角為a,貝Usina=|cos八，|n-BG|n,BG|=-L4JQ一55|n|BG|5 .正四棱錐SABC珅，O為頂點(diǎn)S在底面ABGDt的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD則直線BGW平面PA所成的角為.答案30°解析可利用平面的法向量。1111v1.0可編輯可修改課堂小結(jié)：1 .異面直線l,m的方向向量為a,b,則l與m所成的角即為a、b所成的夾角或其補(bǔ)角；2