麻省理工學(xué)院 (2)

1、.麻省理工學(xué)院物理系物理8.033 2003年11月21日習(xí)題集10提交日期：12月5日，星期五（下午4:30前）相關(guān)閱讀：Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第2，3，4，5章及專題D。只需閱讀與課上講過的內(nèi)容相對應(yīng)的材料。對專題E也應(yīng)有所認(rèn)識，這個問題將在最後一節(jié)課上做簡單介紹。提示：期末考試將於12月18日星期四1:30-4:30舉行。欲知詳情請參看8.033網(wǎng)頁。習(xí)題1自由下落的升降艙中的潮汐加速度考慮一個在一品質(zhì)為M的球?qū)ΨQ星體的引力場中沿徑向自由下落的封閉太空艙。在某一給定時刻，太空艙的中心處在距星體中心為r處，且太空艙的大小與r相比很小。定義一個原點(diǎn)在太空艙中心

2、的笛卡爾坐標(biāo)系。則y座標(biāo)即為沿半徑方向（r）到原點(diǎn)的距離，而x座標(biāo)即為沿垂直於半徑方向距原點(diǎn)的距離。證明對x<<r且y<<r，自由試驗(yàn)粒子相對於(0,0)處觀察者的加速度由下式給出：考慮處在(0,+y),(0,-y),(x,0)和(-x,0)位置處的4個試驗(yàn)粒子。計算每個粒子相對於(0,0)的初始運(yùn)動（粒子尚未移動太遠(yuǎn)）並描畫出它們的軌跡。習(xí)題2由G10和G11得出g00和g11正如列印稿上所示，對GR的愛因斯坦場方程為：其中G是愛因斯坦張量，T是應(yīng)力能量張量，G（無腳標(biāo)）是牛頓引力常量。為得出在球?qū)ΨQ品質(zhì)分佈（例如中子星或黑洞）外的區(qū)域得出時空度規(guī)，愛因斯坦張量變?yōu)椋?/p>

3、其中度規(guī)具有以下形式：e2和e2為兩個（僅）關(guān)於r的未知函數(shù)的簡便標(biāo)記。在品質(zhì)分佈外區(qū)域，令應(yīng)力-能量張量等於零，並用G10和G11解出e2和e2。令G00方程中的積分常數(shù)為2GM/c2，G11方程中的積分常數(shù)為0。習(xí)題3rshell與r的比較計算並繪出殼半徑rshell與座標(biāo)半徑r。仿照Taylor & Wheeler 第2-28頁例題2上的積分過程。從2M到r對r積分，從r0到rs對rshell積分，其中r0是任意一個起始值。繪出(rs - r0)與r，從r=2M開始到足夠大的r值，以使能夠發(fā)現(xiàn)漸近行為。注意：在該題中運(yùn)用了G=1且c=1的自然單位制。習(xí)題4引力紅移一個鐵射線源發(fā)射

4、6keV的X射線束。假設(shè)該射線源處在一個品質(zhì)M=2.8×1030kg，半徑10km的中子星表面。假設(shè)產(chǎn)生X射線的原子躍遷不因強(qiáng)引力場或可能存在的強(qiáng)磁場而顯著改變。（1）計算這些X射線由一個距離很遠(yuǎn)的觀察者（例如地球上的天文學(xué)家）測得的能量。（忽略地球本身的引力勢。）（2）假設(shè)另一個靜止觀察者Or處在距中子星中心r>10km處。得出該觀察者測得的X射線束（從表面發(fā)出）的能量Er的運(yùn)算式。（3）為報告觀測結(jié)果，觀察者Or將能量為Er的X射線發(fā)送回地球，那麼觀察者測得的能量是多少？習(xí)題5全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)（GPS）從Taylor & Wheeler 第A-3頁課題A中方程（3）

5、出發(fā)，該方程將會在課上得出。繼續(xù)回答“Queries”1到9。習(xí)題6一個稀薄黑洞Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第2-46頁習(xí)題2-5。習(xí)題7繞黑洞的軌道週期考慮兩個黑洞，品質(zhì)分別為M1=1M且M2=106M（其中M=2×1030kg）。1求出每個黑洞的史瓦西半徑（Rs2GM/c2）。2我們將在課上正式證明，如果運(yùn)用書架座標(biāo)r和t ：(2/P)2=GM-3，其中P是軌道週期，那麼開普勒第三定律（至少對圓軌道）仍然對史瓦西度規(guī)中軌道成立。對任意品質(zhì)（以M為單位表示）的星體，求出恰在其史瓦西半徑的r處的圓軌道的軌道週期（以秒為單位）。題中給出的兩個黑洞對應(yīng)的軌道週期

6、是多少？習(xí)題8落向黑洞Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第3-30頁，第3章，習(xí)題7。習(xí)題9殼上的引力加速Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第3-31頁，第3章，習(xí)題9。習(xí)題10將石塊扔向黑洞Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第3-25頁，第3章，例題3。仿照得出方程（37）至（42）的步驟。習(xí)題11與地球同步的衛(wèi)星軌道某衛(wèi)星上時鐘與固定在地球上的時鐘走得一樣快，求此衛(wèi)星的軌道半徑r。令軌道速度為v=(GM/r)1/2，其中M是地球品質(zhì)。你為什麼會猜測GPS衛(wèi)星會處在較高軌道上？其他可能有用的資訊：Rearth=6378km；Mear

7、th=6×1024kg；地球表面的轉(zhuǎn)速Rearth處軌道速度的6%。習(xí)題12殼觀測者測得的能量從史瓦西度規(guī)中的普遍運(yùn)算式出發(fā)：並證明仔細(xì)觀察所有項(xiàng)，並證明在方括號()中的項(xiàng)實(shí)際上就是，則最後，將此關(guān)係與守恆的能量E的運(yùn)算式聯(lián)立：得出E與Eshell的關(guān)係如下：其中殼觀測者測出的相對論性能量Eshellm0s。習(xí)題13史瓦西度規(guī)中的光速仿照Taylor和Wheeler探索黑洞，廣義相對論簡介中第5-8頁框中的習(xí)題史瓦西幾何中光的運(yùn)動中方程（14）和（15）的得出。（1）從這兩個方程得出第5-7頁方程5-16。（2）對光子純半徑方向的運(yùn)動，證明書架系中的光速為：（3）在弱場極限下，得出記

8、錄員測得光子從r=108m到r=1010m的沿半徑（相對於一個品質(zhì)為1M的中心星體）運(yùn)動所需時間。光子該過程所需時間比沒有星體所需時間長多少？習(xí)題14用黑洞進(jìn)行時間旅行：穩(wěn)定的圓形軌道Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第5-32頁，第4章，習(xí)題7。習(xí)題15非相對論開普勒軌道我們證明過在非常弱的場的極限下（開普勒問題），守恆的能量的方程為：其中L是與軌道相關(guān)的角動量常量，E對於封閉軌道為一個負(fù)值，m是軌道粒子的品質(zhì)。據(jù)環(huán)繞天體的最近與最遠(yuǎn)距離發(fā)生在dr/dt=0處。它們?yōu)榇沓Ａ縀的直線與有效勢曲線的交點(diǎn)。解二次方程得出：首項(xiàng)定義為軌道的“半長軸”a，平方根項(xiàng)定義為“軌道離心

9、率”，即rmax=a(1+e)，且rmin=a(1+e)。證明：且注意開普勒軌道的能量僅由半長軸決定，而與軌道離心率無關(guān)。物理參量L和E唯一決定了橢圓軌道的形狀。選做題A史瓦西度規(guī)的啟發(fā)式得出（1）閱讀8.033網(wǎng)頁上Matt Visser的文章前4頁。（2）仿照Visser的不變間隔的簡單推導(dǎo)：其中令c=G=1。（3）為了將這種形式的度規(guī)變換到通常的史瓦西形式，運(yùn)用以下變數(shù)替換：其中為r的函數(shù)。（4）令dtdr項(xiàng)的係數(shù)為零，求出。（5）最後，運(yùn)用的函數(shù)形式得出dr2和dt2項(xiàng)前面的係數(shù)，進(jìn)而證明ds2具有課上用到的史瓦西度規(guī)形式。選做題B簡易引力透鏡考慮一個天體S，它足夠遠(yuǎn)（DS）以致於O點(diǎn)觀察者看來是一個點(diǎn)?，F(xiàn)在引入一個距觀察者DL的點(diǎn)狀引力透鏡。如圖所示，光源與透鏡的無干擾的角分離為。由於引力透鏡的存在，從光源發(fā)出的光可以沿圖中的粗線路徑傳播，經(jīng)具有最短路徑b的路線，然後偏離角以致於隨後能經(jīng)過O點(diǎn)。透鏡與光源I的像的表觀角距離為（同樣如圖所示）。解此題我們可以用兩個方便的近似。（1）所有角度都很小以致於tanxsinxx。（2）從光源到觀