利用導數(shù)研究存在性與任意性專題

1、利用導數(shù)研究恒成立、存在性與任意性問題一、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題典例設(shè)f(x)exa(x1)(1)若xR，f(x)0恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)g(x)f(x)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是曲線yg(x)上任意兩點，若對任意的a1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍解(1)因為f(x)exa(x1)，所以f(x)exa由題意，知a0，故由f(x)exa0，解得xln a故當x(，ln a)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x(ln a，)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的最小值為f(ln a)eln aa(ln a1)al

2、n a由題意，若xR，f(x)0恒成立，即f(x)exa(x1)0恒成立，故有aln a0，又a0，所以ln a0，解得0a1所以正實數(shù)a的取值范圍為(0,1(2)設(shè)x1，x2是任意的兩個實數(shù)，且x1x2則直線AB的斜率為k，由已知km，即m因為x2x10，所以g(x2)g(x1)m(x2x1)，即g(x2)mx2g(x1)mx1因為x1x2，所以函數(shù)h(x)g(x)mx在R上為增函數(shù)，故有h(x)g(x)m0恒成立，所以mg(x)而g(x)exa，又a10，故g(x)exa2a2a而2a2()2(1)213，所以m的取值范圍為(，3方法點撥解決該類問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)特征靈活選用

3、相應的方法，由不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍問題一般采用分離參數(shù)的方法而第(2)問則巧妙地把直線的斜率與導數(shù)問題結(jié)合在一起，命題思路比較新穎，解決此類問題需將已知不等式變形為兩個函數(shù)值的大小問題，進而構(gòu)造相應的函數(shù)，通過導函數(shù)研究其單調(diào)性解決對點演練已知f(x)xln x，g(x)x2ax3(1)若對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍(2)證明：對一切x(0，)，ln x恒成立解：(1)由題意知2xln xx2ax3對一切x(0，)恒成立，則a2ln xx，設(shè)h(x)2ln xx(x0)，則h(x)當x(0,1)時，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減；當x(1，)時，h(x

4、)0，h(x)單調(diào)遞增所以h(x)minh(1)4，對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即實數(shù)a的取值范圍是(，4(2)問題等價于證明xln x(x0)又f(x)xln x(x0)，f(x)ln x1，當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)minf設(shè)m(x)(x0)，則m(x)，當x(0,1)時，m(x)0，m(x)單調(diào)遞增，當x(1，)時，m(x)0，m(x)單調(diào)遞減，所以m(x)maxm(1)，從而對一切x(0，)，f(x)m(x)恒成立，即xln x恒成立即對一切x(0，)，ln x恒成立二、利用導數(shù)研究存

5、在性與任意性問題典例設(shè)f(x)xln x，g(x)x3x23(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(2)如果對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等價于g(x1)g(x2)maxM由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x由g(x)0，解得0x；由g(x)0，解得x0或x又x0,2，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又g(0)3，g(2)1，故g(x)maxg(2)1，g(x)ming所以g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)m

6、in1M，則滿足條件的最大整數(shù)M4(2)對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等價于在區(qū)間上，函數(shù)f(x)ming(x)max由(1)可知在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)1在區(qū)間上，f(x)xln x1恒成立等價于axx2ln x恒成立設(shè)h(x)xx2ln x，x，則h(x)12xln xx，易知h(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，又h(1)0，所以當1x2時，h(x)0；當x1時，h(x)0所以函數(shù)h(x)xx2ln x在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，所以h(x)maxh(1)1，所以實數(shù)a的取值范圍是1，)方法點撥等價轉(zhuǎn)化法求解雙參數(shù)不等式雙參數(shù)不等式問題的求解方法一般采用等價轉(zhuǎn)

7、化法本例第(1)問是“存在性”問題，轉(zhuǎn)化方法是：如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，則可轉(zhuǎn)化為Mg(x1)g(x2)max，即求解使不等式Mg(x)maxg(x)min成立時的M的最大取值；第(2)問是“恒成立”問題，轉(zhuǎn)化方法是：如果對于任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)成立，則可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上，f(x)ming(x)max，求解得到實數(shù)a的取值范圍對點演練已知函數(shù)f(x)ln xax1(aR)(1)當0a時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)x22bx4當a時，若對任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，求實數(shù)b的取值范圍解：(1)因為f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)，令f(x)0，可得兩根分別為1，1，因為0a，所以110，當x(0,1)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減(2)a，13(0,2)，由(1)知，當x(0,1)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x(1,2)時，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在(0,2)上的最小值為f(1)對任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)等價于g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值，(*)又g(x)(xb