隨機變量的方差、協(xié)方差與相關系數(shù)4-2

1、退出退出退出退出一一四四三三退出退出 二二式給出的平均波動，稱為二者的協(xié)方差，記為式給出的平均波動，稱為二者的協(xié)方差，記為 退出退出返回返回1. 方差、協(xié)方差與相關系數(shù)的定義方差、協(xié)方差與相關系數(shù)的定義() ,D X 隨機變量隨機變量X 對其均值的偏差以差的平方的形式所給出對其均值的偏差以差的平方的形式所給出的波動，稱為該隨機變量的方差，記為的波動，稱為該隨機變量的方差，記為 亦即亦即 2() () .D XEXE X (,) ,Cov X Y 兩隨機變量兩隨機變量X 與與Y 對各自均值的偏差以差之乘積的形對各自均值的偏差以差之乘積的形亦即亦即 (,) ()( ) .Cov X YEXE XY

2、E Y 比值，稱為二者的相關系數(shù)，記為比值，稱為二者的相關系數(shù)，記為 , ,X Y 兩隨機變量兩隨機變量X 與與Y 的協(xié)方差與該二變量標準差乘積的的協(xié)方差與該二變量標準差乘積的亦即亦即 (,) .()( )XYCov X YD XD Y 方差的算術平方根方差的算術平方根 稱為隨機變量的標準差稱為隨機變量的標準差.()D X退出退出返回返回2. 方差與協(xié)方差的理論計算公式方差與協(xié)方差的理論計算公式2()()( )D XxE Xf x dx 2()()( , ).D XxE Xf x y dxdy 21()()iiiD XxE Xp 對離散型變量對離散型變量 對連續(xù)型變量對連續(xù)型變量211()()

3、 ;iijjiD XxE Xp或或或或11(,)()( )ijijijCov X YxE XyE Yp(,)()( ) ( , ).Cov X YxE XyE Yf x y dxdy (,)( ,) .Cov X YCov Y X 易見，方差是協(xié)方差的特例，協(xié)方差是方差的推廣易見，方差是協(xié)方差的特例，協(xié)方差是方差的推廣Cov X XD XCov Y YD X(,)(); ( ,)() ;并且顯然還有并且顯然還有退出退出協(xié)方差（含相關系數(shù)）協(xié)方差（含相關系數(shù)）( 設設 C 是常數(shù)是常數(shù) )方差方差2)( ) 0DC ()( ) 2CCD XD X當當 X 與與Y 相互獨立相互獨立時時, 恒有恒有

4、Cov X Y2(,) ( )XXCDD1)3)( )(D X D X Y D Y )( )(D X D X Y D Y ( )() ( ) 22D XE XE X4)(,)20CCov X(,)( , )1212CovXYCCC ovCXCY Cov XX YCov X YCov X Y1212(,)(, )(, ) ()0 ,Cov X,Y 當當 X 與與Y 相互獨立相互獨立時時, 恒有恒有3)1)2)4)(, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y (, ),10CovYC(,)(, )2CovXYCoCvCXCY(,)120C CCov0XY XYCovX YD X D

5、 Y2(5) (,)() ( ) , | 1 . 退出退出方差與協(xié)方差（含相關系數(shù)）重要性質(zhì)選證一方差與協(xié)方差（含相關系數(shù)）重要性質(zhì)選證一返回返回Cov X,Y()0 又又 X 與與Y 相互獨立相互獨立時時, 總有總有XYCov X YD XD Y(, )0 .()( ) Cov X Y(,)E XYXE YYE XE X E Y ( )()() ( ) E XYE Y E XE X E YE X E Y()( ) ()() ( )() ( ) E XYE X E Y()() ( ) E XYE X E Y()() ( ) , 當當 X 與與Y 相互獨立相互獨立時時, 恒有恒有Cov X YE

6、XE XYE Y (,) ()( ) 以及以及從而從而, 作為協(xié)方差的特例，方差也應有作為協(xié)方差的特例，方差也應有D XCov X XE XXE X E XE XE X 22()(,)()() ()() () . 證證退出退出方差與協(xié)方差（含相關系數(shù)）重要性質(zhì)選證二方差與協(xié)方差（含相關系數(shù)）重要性質(zhì)選證二返回返回惟當惟當 X 與與Y 相互獨立相互獨立時時, D XYD XD Y ()()( ) . D XYE XYE XY22 ()() () E XXYYE XE Y2222 ()( ) E XE XYE YE XE X E YE Y2222()2 ()() ()2 () ( ) ( ) E

7、XE XE YE YE XYE X E Y2222() ()() ( )2 ()() ( ) Cov X,Y ()0 , 故此時必恒有故此時必恒有D XD YE XYE X E Y()( )2 ()() ( ) D XD YCov X Y()( )2(, ) D XYD XD YCov X Y()()( )2(, ) 一般而論一般而論, 總有總有由于由于證證CovX YD X D Y2(,)() ( ) , XYCov X YD XD Y|(, )|1 .()( ) 退出退出方差與協(xié)方差（含相關系數(shù)）重要性質(zhì)選證三方差與協(xié)方差（含相關系數(shù)）重要性質(zhì)選證三返回返回Cov X YD XD YCov

8、 XYD XD Y*|(,)| ()( ) |(,)| ()( ) , Cov X YCov XE X YE Y (,)(),( ) * Cov X ,Y 1()0, 以及以及D XD Y Cov X Y*()( )(,) D XD Y Cov X YCov X Y *()()2(,)22(,)0 , 其中其中 X* 與與 Y * 是標準隨機變量是標準隨機變量, 并且顯然滿足并且顯然滿足D XD Y*()()1 證證XE XYE YD XD Y CovD XD Y()( )()( ),()( ) D XY *()0 , 即滿足即滿足* |Cov X ,Y ()|1 . 可見可見【說明】本例只能

9、求前者的方差【說明】本例只能求前者的方差 退出退出方差方差數(shù)學期望數(shù)學期望()()( )231E UE XE Y返回返回D( X ) = 4, D( Y ) = 1, D( Z ) = 3. 試求隨機變量試求隨機變量 U = 2X + 3Y + 1 解解( )() ;2 53 11144( )()()4E VE YZE X( )( )( )4E Y E ZE Z()( )( ) .11 84 568()()( )22230D UD XD Y( )( ) ;4 49 125例例2-1 設設 X, Y , Z 相互獨立相互獨立, E( X ) = 5, E( Y ) = 11, E( Z ) =

10、8. ()(4D YZDXD V()()()244EXYZEX E YZ()( )?16 40D YZ與隨機變量與隨機變量V =YZ4X 的數(shù)學期望和前者的方差的數(shù)學期望和前者的方差. 難以準確地求出后者的方差難以準確地求出后者的方差. 事實事實 上，后者的方差只能求出一部分上，后者的方差只能求出一部分 退出退出返回返回1. 方差的具體計算公式與實際計算步驟方差的具體計算公式與實際計算步驟 對離散型變量對離散型變量D XE XE X22()()() .iiiiiijiijiE Xx px px p1111() () , 或或iiiiiijiijiE Xx px px p22221111() ,

11、() 或或 對連續(xù)型變量對連續(xù)型變量XE Xxf x dxxfx dxxf x y dxdy()( ) ( )( , ) ,() 或或XE Xx f x dxx fx dxx f x y dxdy2222()( ) ( )( , ) () , 或或D XE XE X22()()() .退出退出返回返回2. 協(xié)方差的具體計算公式與實際計算步驟協(xié)方差的具體計算公式與實際計算步驟 對離散型變量對離散型變量Cov X YE XYE X E Y(,)()() ( ) .iijiiijiE Xx px p111() ,() 或或jijjjijjE Yy py p111( ) ,() 或或 對連續(xù)型變量對連

12、續(xù)型變量XE Xxf x y dxdyxfx dx()( , ) ( ) (,) 或或YE Yyf x y dxdyyfy dy( )( , ) ( ) (,) 或或Cov X YE XYE X E Y(,)()() ( ) .ijijijE XYx y p11() , E XYxyf x y dxdy()( , ) , 是是 X 與與Y 的協(xié)方差的協(xié)方差.*3. 方差、協(xié)方差具體計算中常用數(shù)學期望的別稱方差、協(xié)方差具體計算中常用數(shù)學期望的別稱 k 階原點矩階原點矩退出退出返回返回(), 1,2,kE Xk 【注【注】就是就是 X 的數(shù)學期望的數(shù)學期望. X 的一階原點矩的一階原點矩()E X

13、是是 X 平方的數(shù)學期望平方的數(shù)學期望. X 的二階原點矩的二階原點矩2()E X X 的二階中心矩的二階中心矩2 () EXE X 是是 X 的方差的方差. k + l 階混合中心矩階混合中心矩 klEXE XYE Yk l () ( ) , ,1,2, k + l 階混合原點矩階混合原點矩 klEX Yk l (), ,1,2, k 階中心矩階中心矩 () , 1,2,kEXE Xk X 的二階混合原點矩的二階混合原點矩是是 X 與與Y 乘積的數(shù)學期望乘積的數(shù)學期望.E XY() X 的的1+1階混合中心矩階混合中心矩EXE X YE Y()( )退出退出返回返回3. 方差與協(xié)方差的實際計

14、算公式與計算步驟方差與協(xié)方差的實際計算公式與計算步驟E Xxf x dx()( ) XE Xxf x y dxdyxfx dx()( , ) ( ) , 或或 對連續(xù)型變量對連續(xù)型變量或或E XYxyf x y dxdy()( , ) ; Cov X YE XYE X E Y(,)()() ( ) .易見，方差是協(xié)方差的特例，協(xié)方差是方差的推廣易見，方差是協(xié)方差的特例，協(xié)方差是方差的推廣Cov X XD XCov Y YD X(,)(); ( ,)() ;D XE XE X22()()() .2()()( )D XxE Xf x dx 2()()( , ).D XxE Xf x y dxdy

15、或或(,)()( ) ( , ).Cov X YxE XyE Yf x y dxdy YE Yyf x y dxdyyfy dy( )( , )( ) , 退出退出返回返回【注【注2】 顯然，對連續(xù)隨機變量而言顯然，對連續(xù)隨機變量而言()( )E Xxf x dx 22()( )E Xx f x dx 22 () ()( )EXE XxE Xf x dx 2. 常用冪函數(shù)與復合冪函數(shù)的數(shù)學期望及其別稱常用冪函數(shù)與復合冪函數(shù)的數(shù)學期望及其別稱 k 階原點矩階原點矩 k 階中心矩階中心矩 (), 1,2,kE Xk () , 1,2,kEXE Xk X 的一階原點矩的一階原點矩 X 的二階原點矩的

16、二階原點矩 X 的二階中心矩的二階中心矩 例例4 -1 已知已知 X 的分布律如下表所示，試求的分布律如下表所示，試求 E ( X )， E ( X 2 ) 和和 E ( 2X3X 2 ).X2349Pi1/85/81/81/841()iiiE Xx p ( )( )( )( )151123498888 ,308 4221()iiiE Xx p ( )( )( )( )15114916818888 ,1468 EXX2(23) E XE X22 ()3 () .3788 解解退出退出返回返回2.1()iiiE Xx p 0(0.2)1(0.8) . 0 82.1( )jjjE Yy p ( .

17、 )( . )0 0 91 0 1. 0 1 E XY()E XE Y()( ) .0 80 10 9解解 例例4-2 已知已知 (X ,Y )的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布律如右表所示律如右表所示. 求求 E( X ), E ( Y ) , E ( XY ) 和和 E ( XY ) . X Y01P. j00.10.10.80.80.90.910.10.10 00.10.1P i .0.20.20.80.8 X Y0100.10.10.80.810.10.10 0E XY() 2211ijijijx yp (0 0)(0.1)(0 1)(0.1)(1 0)(0.8)(1 1)(0) 0 E XY()

18、2211()ijijijxyp (00)(0.1)(0 1)(0.1)(1 0)(0.8)(1 1)(0) . 09 注意注意: :E XY() ()( )E XE Y 但一般講但一般講, ,()() ( ) !E XYE X E Y 退出退出返回返回例例4-3 隨機變量隨機變量X 的概率密度的概率密度Y = 2X 和和 Y = e -2X 的數(shù)學期望的數(shù)學期望。試求試求0,( )00,xxef xx 解解EXxf x dx(2)2( ) xxedx02 2 XxE eef x dx22()( ) xedx30 13 退出退出返回返回2 xxe 20 xe xe 02xxedx 0(22)|x

19、xe (22)xxeC 例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度的概率密度 E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .試求試求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = x( )( , )E Yyf x y dxdy 201(12)y xyydxdy 130012xdxy dy 1403x dx 35 解解x = 1()( , )E Xxf x y dxdy 201(12)y xxydxdy 120012xxdxy dy 1404x dx 45退出退出返回返回(1)例例4 -4 ( X , Y ) 的概率密度的概率密度

20、E (X) , E (Y ) ； E (XY) , E (X 2+Y 2) .試求試求yxyf x y20112,( , )0, 其其它它XY (1,1)0y = xE XYxyf x y dxdy()( , ) y xxyydxdy201(12) xxdxy dy130012 x dx1503 12 解解x = 12222()() ( , )E XYxyf x y dxdy 22201()(12)y xxyydxdy 12240012()xdxx yydy551012()35xxdx 1615 退出退出返回返回(2)例例4-5 X 和和Y 相互獨立相互獨立, 二者的概率密度二者的概率密度則則

21、 E (XY ) ( ).2 , 01( )0 , Yyyfy 其其它它38 , 2( ) ,0 , Xxfxx 其其它它C. 8 / 3 D. 7 / 3CE Xdxx228()4 , E Yy dy1202( )23 EXYEXE Y8 3 A. 4 / 3 B. 5 / 3退出退出返回返回退出退出 例例4-64-6 天若無雨天若無雨, , 水果商每天可賺水果商每天可賺100100元元; ; 天若有雨天若有雨, , 水果水果商每天損失商每天損失1010元元. . 一年一年365365天天, , 販賣水果地的下雨日約販賣水果地的下雨日約130130日日. 問水果商在該地賣水果問水果商在該地賣

22、水果, 每天可期望賺多少錢每天可期望賺多少錢 ?返回返回21 ()iiiE Xx p 2351303651001()()0365 235/365,p 水果販賣地每天無雨與有雨的概率顯然依次為水果販賣地每天無雨與有雨的概率顯然依次為解解130/365q 從而水果商每天所賺錢數(shù)從而水果商每天所賺錢數(shù) X 的分布律為的分布律為60.82 即水果商每天可期望賺即水果商每天可期望賺 60.82 元元 .XiP Xx 100 10130/365235/365壽命不到一年的概率顯然為壽命不到一年的概率顯然為 例例4-7 設備的壽命設備的壽命XE( ). 該設備售出一臺盈利該設備售出一臺盈利100元元 , 因

23、年因年內(nèi)損壞而調(diào)換則虧損內(nèi)損壞而調(diào)換則虧損200元元. 求出售一臺設備的盈利數(shù)學期望求出售一臺設備的盈利數(shù)學期望. 因此，一臺設備出售的盈利值因此，一臺設備出售的盈利值Y 有分布律有分布律從而壽命超過一年的概率即從而壽命超過一年的概率即111144400011( )()1.4xxP Xf x dxedxee 11441111(1)P XP Xee .退出退出返回返回解解 可見可見YiP Yy 200 10014e 141e 21( )iiiE Yy p)ee 14200003e 第第 i 站有人下車記為站有人下車記為Yi = 1，第，第 i 站無人下車記為站無人下車記

24、為Yi = 0, （ i = 1,2, ,10）, 則專線車停車的次數(shù)則專線車停車的次數(shù) * *例例4-84-8 載有載有2020名旅客的專線車名旅客的專線車在無下車旅客的車站不停車。在無下車旅客的車站不停車。設各旅客在指定?？康脑O各旅客在指定?？康?0個站下車的可能性相等，且是否下車個站下車的可能性相等，且是否下車相互獨立，那么若以相互獨立，那么若以 X 記專線車停車的次數(shù)，則記專線車停車的次數(shù)，則 E（X）= = ？.+ 202099100 ()11() 8.7841010 因各站下車的可能性相等，故旅客在任一站下車的概率為因各站下車的可能性相等，故旅客在任一站下車的概率為1/101/10

25、，不下車的概率為，不下車的概率為9/109/10，從而，從而，從而就有，從而就有iiXY101 iP Y 2090(),10iP Y20911() ,10iiE XE Y .101()() iiiE XE Y =E Y101()()10 () 退出退出返回返回解解 .2 122任一彈著點與目標間的距離顯然為任一彈著點與目標間的距離顯然為 *例例4-9 用用( X , Y )記炮擊的彈著點坐標記炮擊的彈著點坐標. 設坐標設坐標XN( 0,2), 坐坐標標Y N( 0,2) , 且二者相互獨立且二者相互獨立. 試求彈著點與目標試求彈著點與目標 ( 0, 0 ) 間間的平均距離的平均距離. X 與與

26、Y 相互獨立，且相互獨立，且XN( 0,2), YN( 0,2), 可見可見, ,彈彈ZXY22. xyXYf x yfx fye222()221( , )( )( )2 xyE Zxy edxdy222()22221()2 E ZEXYxy f x y dxdy .2222()()( , ) ed d222220012 退出退出返回返回解解著點與目標間的平均距離應為著點與目標間的平均距離應為 從而從而ed222201 d e2220() ed2220 韓旭里等編韓旭里等編概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材教材第四章第四章 習題四習題四 P112P117 批改題批改題 P112: 1. (

27、求離散變量的數(shù)學期望求離散變量的數(shù)學期望 ) P113: 5. 11.( 求連續(xù)變量的數(shù)學期望與方差求連續(xù)變量的數(shù)學期望與方差 ) 7. ( 利用算子演算性質(zhì)計算數(shù)學期望與方差利用算子演算性質(zhì)計算數(shù)學期望與方差) 8. 9. （利用獨立性簡化數(shù)學期望的求算（利用獨立性簡化數(shù)學期望的求算 ） 10. ( 求連續(xù)變量的數(shù)學期望求連續(xù)變量的數(shù)學期望 ) 12. ( 對實際問題求數(shù)學期望與方差對實際問題求數(shù)學期望與方差 )退出退出返回返回退出退出返回返回P112P113參考答案參考答案5. 122232017()( )(2) ,6E Xx f x dxx dxxx dx 221()()() .6D XE XEX 12201()( )(2)1 ,E Xxf x dxx dxxx dx1. 2222211115()( 1) ( )(0) ( )(1) ( )(2) ( ) ,82844E X (23)2()34 .EXE X 11111()( 1)( )(0)( )(1)( )(2)( ) ,82842E X 退出退出返回返回P112P113參考答案參考答案8. 11300001,0122 .4xxy xxydxdyxdxydyx dx 2 .k ()( , )E XYxyf x y dxdy 7. 2222(32 )3()2( )