初中數(shù)學(xué).圓的概念及性質(zhì).教師版

1、圓的概念及性質(zhì),中考內(nèi)容與要求中考內(nèi)容中考要求ABC圓的有關(guān)概念理解圓及其有關(guān)概 念會過小在同一直線 上的三點作圓；能利 用圓的有關(guān)概念解 決簡單問題圓的性質(zhì)知道圓的對稱性，了 解弧、弦、圓心角的 關(guān)系能用弧、弦、圓心角 的關(guān)系解決簡單問 題能運用圓的性質(zhì)解決有關(guān)問題圓周角了解圓周角與圓心 角的關(guān)系；知道直徑 所對的圓周角是直 角會求圓周角的度數(shù)， 能用圓周角的知識 解決與角有關(guān)的簡 單問題能綜合運用幾何知 識解決與圓周角有 關(guān)的問題垂徑定理會在相應(yīng)的圖形中 確定垂徑定理的條 件和結(jié)論能用垂徑定理解決 有關(guān)問題點與圓的位置關(guān)系了解點與圓的位置 關(guān)系直線與圓的位置關(guān) 系了解直線與圓的位 置關(guān)系；

2、了解切線的 概念，理解切線與過 切點的半徑之間的 關(guān)系；會過圓上一點 圓圓的切線；了解切 線長的概念能判定直線和圓的 位置關(guān)系；會根據(jù)切 線長的知識解決簡 單的問題；能利用直 線和圓的位置關(guān)系 解決簡單問題能解決與切線有關(guān) 的問題圓與圓的位置關(guān)系了解圓與圓的位置 關(guān)系能利用圓與圓的位 置關(guān)系解決簡單問 題弧長會計算弧長能利用弧長解決有 關(guān)問題扇形會計算扇形面積能利用扇形面積解 決有關(guān)問題圓錐的側(cè)面積和全 面積會求圓錐的側(cè)面積 和全面積能解決與圓錐有關(guān) 的簡單實際問題中考考點分析圓是北京中考的必考內(nèi)容，主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)與圓的有關(guān)計算，每年的第20題都會考查，第1小題一般是切線的證明， 第2小

3、題運用圓與三角形相似、解直角三角形等知識求線段長度問題，有時也以閱讀理解、條件開放、結(jié)論開放探索題作為新的題型。要求同學(xué)們重點掌握圓的有關(guān)性質(zhì)，掌握求線段、角的方法，理解概念之間的相互聯(lián)系和知識之間的相互轉(zhuǎn)化， 理解直線和圓的三種位置關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)和判定方法， 會根據(jù)條件解決圓中的動態(tài)問題。年份2010 年2011 年2012 年題號11, 2020, 258, 20, 25分值9分13分17分考占P八、垂徑定理的應(yīng)用； 切線判定、圓與解 直角三角形綜合圓的有美證明，計 算（圓周角定理、 切線、等腰二角形、 相似、解直角三角 形）；直線與圓的 位直大系圓的基本性質(zhì)，圓 的切線證明，圓同

4、相似和三角函數(shù)的 結(jié)合；直線與圓的 位直大系模塊知識導(dǎo)航OOO圜的概念及性質(zhì) 垂直F弦的直徑垂往定理一圓的基本概念知識互聯(lián)網(wǎng)流，. 同的基本概念也、弦、那心角和陰周用示例剖析圓OA圓心半徑同心圓圓：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點 O 旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 A所形成的圖形叫做圓. 固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 由圓的定義可知： 圓上的各點到圓心的距離都等于半徑長；在一 個平面內(nèi)，到圓心的距離等于半徑長的點都在 同一個圓上.因此，圓是在一個平面內(nèi)，所有 到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形.要確定一個圓，需要兩個基本條件，一個是圓 心的位置，另一個是半徑的長短，其中，圓心

5、確定圓的位置，半徑長確定圓的大小.圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；能夠重合的兩個圓叫做等圓.城.儂、覬心用的艮系留周為定理優(yōu)弧表不：劣弧AB優(yōu)弧ACB或AmB卜面這些都不是圓周角:【例1】如圖，若點。為。的圓心，則線段 是圓。的半徑；線段 是圓O的弦，其中最長的弦是 ;是劣弧；是半圓.若 A 40 ,則ABO , C , ABC .（西城區(qū)教研）【解析】OA , OB , OC ; AB, BC , AC ; AC ; AB , BC ; AC , ABC ; 40 ；50 ； 90弦和?。? .連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.經(jīng)過圓心的 弦叫做直徑，并且

6、直徑是同一圓中最長的弦， 直徑等于半徑的2倍.2 .圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作 AB ,讀作弧AB.在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.3 .圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條 弧，每一條弧都叫做半圓.4 .在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓 的弧叫做劣弧.圓心角和圓周角：1 .頂點在圓心的角叫做圓心角.2 .頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓 周角.【例2】能力提升如圖，交于點AB為。O的直徑，CD是。O的弦，AB、CD的延長線AB 2DE ,E 18 ,求 AOC的度數(shù).【解析】連結(jié)ODAB 是直徑， AB 2DE , 1 DE AB

7、 OD 2DOE E 18 ,ODC DOE E 36 OC OD ,OCD ODC 36 ,AOC OCD E 54【解析】模塊二垂直于弦的直徑 定理示例剖析1.垂直于弦的直徑平分弦， 并且平分弦所對的兩如圖，AB是OO的直徑，CD是弦條弧.2.平分弦（不是直徑） 的直徑垂直于弦，并且平 分弦所對的兩條弧.A 工B1 .若 AB CD 于 E ,則 CE DE ;AC AD ； BC BD .2 .若 CE DE ,則 AB CD ;AC AD : BC BD .【例3】1 .如圖,求證:M、N分別是OO中長度相等但不平行的兩條弦AMN CNM .AB>CD的中點.連結(jié)OMON、OB、

8、ODM、OMABOMN分別是弦AB、CD的中點AB , ON CDCD ,ONOMNAMN2.如圖， 交射線 MOBANODONMCNM/ PAC=30AP 于 E、,在射線F兩點，3.如圖，O O的半徑為的長為B.如圖AB 2屈,ACAD BDM/,NOAC 上順次截取 AD=3cm, DB=10cm,則線段EF的長是cm.DB為直徑作。（2012遼寧錦州2,弦 AB14ab，CDO的半徑為22OB=2,C在弦AB上，ACP 2-3C 3AD=BD.OD OB2 BD2 OC CD2 OD2, 7,萬.故選D.4 ABOC（2012山東淄博）A - C D能力提升【例4】OO的半徑為1 cm

9、 或 7 cm.1 .如圖所示,作OM大圓中,小圓中,AM 即ACAB , OMOM CD , CM DMCM BM DMCD的中點.同心圓中，大圓的弦 垂足為M ,I AB , AM BM2 .如圖,M、求證： AMN連結(jié)OM、ON、N分別是。中長度相等但不平行的兩條弦 CNM .OB、OD.- M、. OMN分別是弦AB、CD的中點,ABON CD AB. OMCDON AMOBANODAB、5cm,弦 AB/ CD,且 AB=8 cm, CD=6cm,求 AB 與 C 之間的距離.（2012黑龍江牡丹江）OMNAMN【備選】已知。的半徑是5,點A到圓心O的距離為3,求過點A的所有弦中最短

10、弦的長度.連結(jié)OA,過A點作OA的垂線交。于B、C兩點，則弦BC即為所求.連結(jié)OB ,由垂徑定理得 AB 1BC .,OB 5, OA 3 ,/在 RtAOB 中，OAB 90ab Job2 oa2 4, BC 2AB 8 .此題是經(jīng)典的垂徑定理的應(yīng)用，也是一個十分有用的結(jié)論.ABC 當(dāng)然，在使用前需要證明下.這里編輯給出一種常規(guī)證法，如果各位老師有更好的證法，希望能提供分享.證明：過A點再任意作一條與BC不同白弦DE ,過O點作OH DE于H .在 RtAAOC 和 RtAEOH 中，顯然 OE OC ,又 AOH是直角三角形，OH OA , 222222則 OE OH EH AC OC O

11、AOHBACEDDE BC .模塊三弧、弦、圓心角和圓周角知識導(dǎo)航定理弧、弦、圓心角之間的關(guān)系:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對 的弧相等，所對的弦也相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓 心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等， 那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等.示例剖析如圖，由定理可知：若 AOB COD ,則 AB CD、AB CD ;若 AB CD ,則 AOB COD、AB CD ; 若 AB CD ,則 AB CD、 AOB COD .圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的 圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角 的一半.推論1:在同圓或等圓中，如果兩個圓周 角相等，它們所對的弧

12、一定相等.推論2:半圓（或直徑）所對的圓周角是 直角，90的圓周角所對的弦是直徑.圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂 點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi) 接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接 圓.圓內(nèi)接四邊形的對角互補.如圖，A B C、D四點都在圓上,則 A C 180 , B D 180【例5】 已知，A B、C分別為。圓周上任意三點,請你判斷同弧所對的ACB 與 AOB的大小關(guān)系.如果點D在劣弧AB上，此時 以得到什么結(jié)論？ADB和ACB的大小關(guān)系還一樣嗎?【解析】應(yīng)分為三種情況:根據(jù)上面的推理，可以發(fā)現(xiàn): 若點D是優(yōu)弧AB上任意一點，試判斷 ADB與 ACB的大小關(guān)系.根據(jù)上面的推

13、理，可以發(fā)現(xiàn):輔助線如圖所示，證明過程不再贅述.可以發(fā)現(xiàn)：同弧所對圓周角是圓心角的一半. 由可知， ADB ACB ,可以發(fā)現(xiàn)：同弧所對的圓周角相等. 如圖， ADB與 ACB互補.可以得到：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.【例6】能力提升如圖， ACD和 ABE都內(nèi)接于同一個圓，則/ ADC+/AEB+/BAC=在OO中，直彳仝ABXCD于點 巳連接CO并延長交AD于點F且 CFLAD.則/ D=A（2012黑龍江大慶）O(2012寧夏)(4)如圖，點 A、B、C、D在。0上，O點在/ D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則/ OAD+Z OCD =如圖,CA、B、57 ，已知OO的弦【解析】探索

14、創(chuàng)新（2012安徽）（2013東城期末）C、D是。上的點，直徑 AB交CD于點E,已知.（北大附中練習(xí)）AB長等于圓的半徑，則該弦所對的圓周角為 102 ; （4） 2婢； 30 或 150 .E【例7】 已知：在半徑為2J5的。內(nèi)，有互相垂直的兩條弦 AB, CD,它們相交于P點.(1)(2)(3)求證：PA - PB=PC - PD;設(shè)BC的中點為F,連接FP并延長交AD于E,求證：EF 如果AB=8, CD=6,求O、P兩點之間的距離.AD;（2013大興期末）【解析】(1)證明：.一/A, /C所對的圓弧相同, . A = / C AB CD, RtAAPDRtACPB .AP PDC

15、P PBPA PB=PC PD .PCBNOD（2）證明：二葉為BC的中點，4CPB為 直角三角形，PF=FC, /CPF = / C .又.人 A =ZC, /DPE =ZCPF, ./ A = Z DPE ./ A + / D=90° , ./ DPE +Z D=90° .EF AD . 3)解：作 OM AB 于 M, ON CD 于 N, . OMPN 為矩形.連接 OB, OD, OP,由垂徑定理，得 AM=BM=4,CN=DN=3.由勾股定理，得 OM2 (255)2 42 4 , ON2 (2后)2 32 1 11 判斷正誤半圓是弧半徑相等的兩個圓是等圓 過圓

16、心的線段是直徑(4)兩個端點能夠重合的弧是等弧圓的任意一條弦把圓分成優(yōu)弧和劣弧兩部分(6)長度相等的弧是等弧直徑是最大的弦半圓所對的弦是直徑兩個劣弧的和是半圓(10)圓的半徑是R,則弦長的取值范圍是大于0且不大于2R【解析】正確的是衛(wèi)其工不理解圓中相關(guān)的概念和定義，或產(chǎn)生概念上的混淆。第07講精講：垂徑定理的應(yīng)用；對于垂徑定理，我們需要認(rèn)識以下垂徑定理是初中圓章節(jié)知識中應(yīng)用最多且最重要的定理之一,二 T八 、 (1)根據(jù)圓的軸對稱性，在以下五條結(jié)論中，I .直徑；n .平分弦；m .垂直弦；W .平分優(yōu)??；v .平分劣弧.只要滿足其中的兩條，另外三條結(jié)論一定成立，即“知二推三”(2)使用垂徑定

17、理時，常需要作出弦心距，利用“半徑、半弦、弦心距”構(gòu)成的直角三角形結(jié)合 勾股定理、三角形全等進行計算、證明；(3)在較復(fù)雜的圖形中注意準(zhǔn)確識別垂徑定理的基本圖形.【探究一】根據(jù)垂徑平分弦所對的弧，處理角的關(guān)系；【變式1】如圖，O O的直徑CD過弦EF的中點G/ EOD =40° ,則/ DCF 等于（）A. 80B. 50°C. 40D. 20【探究二】已知弦長或欲求弦長，可構(gòu)造“半弦、半徑、弦心距”組成的直角三角形；【變式2】在半徑為1的。O中，弦AB、AC的長分別為曲和J2 ,則 BAC的度數(shù)為【解析】此題分兩種情況討論：若AB、AC在圓心O的同側(cè),連結(jié)OA ,過O點分

18、別作 垂足分別為D、EOD則 AD -3, AE2 OAD 30 ,BAC DAE22，OAE454530若AB、AC在圓心O的異側(cè),15 .如圖根據(jù)圓的對稱性，BAC 75綜上所述，BAC的度數(shù)為15或75 .如圖AB, OEB則EH3 ，EFCBO【變式3】如圖，矩形ABCD與圓心在 AB上的0O交于點G、B、F、E , GB 8cm , AG 1cm ,DE 2cm ,則 EF【解析】過O點作OH CD由題意得：OG 4, AG 5 , OH EF , . EH 1EF2【探究三】根據(jù)垂徑垂直平分弦，證明相關(guān)線段相等；【變式4】如圖，AB是。的直徑，弦 CD與AB相交，過A, B向CD引

19、垂線，垂足分別為 巳F,求證：CE=DF。F. D【解析】過。作OMLCD于M,.CM=DM, AEXCD, BFXCD,AE / OM / FB ,又。是AB中點,M是EF中點（平行線等分線段定理），EM = MF, CE=DF.【探究四】遇垂直弦，根據(jù)垂徑定理，構(gòu)造矩形；【變式5】半徑為2的圓。中，弦AB與弦CD垂直相交于點A連結(jié)OP,若 OP=1 ,求 AB2+CD2.A【解析】28【探究五】遇弧中點，連接圓心和弧中點，構(gòu)造垂徑定理；【變式6】如圖，P為。外一點，過點P引兩條割線PAB和PCD ,點M , N分別是AB , CD的中點，連結(jié) MN交AB , CD與E , F .求證: P

20、EF為等腰三角形.【解析】 連結(jié)OM , ON ,分別交AB, CD于G, H .M , N分別是AB, CD的中點，OM AB , ON CD ,即 MGE NHF 90 .又 OM ON ,M N ,由此得 MEG NFHA.即 PEF PFE ,PE PF ,即 PEF為等腰三角形.思維拓展訓(xùn)練（選講）且AB OC ,求 A的度數(shù).【解析】連結(jié)OBAE交。于B（西城區(qū)教研）訓(xùn)練1. 如圖，CD是。的直徑， EOD 87 , AB OC , OB OC , OB AB 設(shè) A x ,則 BOA x. OBE BOA A 2x . OE OB , OEA OBE 2x. EOD E A 3x

21、 87x 29 ,即 A 29 .訓(xùn)練2.如圖，矩形 ABCD與圓心在 AB上的。O交于點G、B、F、E , GB 8cm, AG 1cm,DE 2cm ,貝U EF .【解析】 過O點作OH CD于H .由題意得：OG 4cm , AO AG OG 5cm ,又 DE 2 , DH OA.則 EH 3cm ,1 OH EF , - EH -EF ,EF 6cm . 2訓(xùn)練3. 如圖，。的直徑為10,弦AB 8, P是線段AB上一點，則OP的取值范圍是.（三帆中學(xué)月考）如圖，將OO沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心 O ,若。O的半 徑為6 ,則弦AB的長度等于 .【解析】3<OP<

22、5;6翼 訓(xùn)練4.如圖，0O中，AB為直徑，弦CD交AB于P ,且OP PC ,試猜想AD與BC之間的關(guān)系，并證明你的猜想.【解析】猜想：AD 3BC連結(jié)CO并延長交。于E ,連接OD , 則CE為直徑. OP PC , POC OCP ,AOE POC , AE BC , DOE 2 OCP , DE 2AE , AD 3BC .知識模塊一圓的基本概念課后演練【演練1】 已知：如圖，在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C, D兩點.求證： AOC BOD ; 試確定AC與BD兩線段之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（西城區(qū)教研）【解析】 : OA OB , A B , OC OD , ， OCD ODC , AOC BOD . 由可知 AOCBOD,AC BD .知識模塊二垂直于弦的直徑課后演練【演練2】如圖所示，在RHABC中， 圓心、CB的長為半徑的圓交【解析】過C作CM PB于M ,即MPC 90 , AC 72AB于P ,則APMB ,設(shè)為MBRtA ABC 中，有 AB VACBC2得 BC2 BM AB12 百x , . . x 近3皿3故 AP AB 2x .3【演練3】 如圖所示，已知AB為。的直徑，CD是弦，且AB求證： ACO BCD , 若EB 8cm , CD 24cm，求。O的直徑.CD 于點 E，連接 AC、OC、BC ,【解析】 AB是直徑，