(北京卷)十年真題(2010-2019)高考數學真題分類匯編專題04導數及其應用文(含解析)

1、專題04導數及其應用歷年高考真題匯編1.【2019年北京文科20已知函數f (x) =1x3-x2+x.(I)求曲線y=f (x)的斜率為l的切線方程；(n )當 x - 2, 4時，求證：x - 6< f (x) w x；(出)設 F (x) = |f (x) - ( x+a) | (aC R),記 F (x)在區(qū)間-2, 4上的最大值為 M (a).當 M (a)39由 f' (x) = 1 得x (x-p =0,nE工也0 ="得. .p </、, 聲、&又 f (0) = 0, f (-)三百,E-3-8方-y即y= x和y= x一分；(n)證明：

2、欲證 x- 6<f (x) < x,只需證-6< f (x) - x< 0,令 g (x) = f (x) - x=" 一/，xC 2, 4,= |ra-2r =加工-5則 g' (x):8Q可知g' (x)在-2, 0為正，在(0,1)為負，在 ，4為正,qg>- g (x)在-2, 0遞增，在0,1遞減，在. 4遞增，、364，、又 g( 2) = 6, g (0)= 0, g ()= -> 6, g(4)= 0,- - 6< g (x) < 0,1, x - 6< f ( x) & x；(m)由(n)

3、可得，F (x) = |f (x) - ( x+a) |=| f (x) - x - a|=I g (x) - a|.在-2, 4上，6<g (x) & 0,令 t = g (x), h (t) = 11 - a| ,則問題轉化為當te-6, 0時，h (t)的最大值 M (a)的問題了,當 aw 3 時，M (a) = h (0) = | a| = - a,此時-a>3,當a=-3時，M (a)取得最小值3;當 a> 一 3 時，M (a) = h (6) = | 6 一 a|= |6+ a| ,-1 6+a>3, 1. M (a) = 6+a,也是a= -

4、3時，M (a)最小為3.綜上，當M (a)取最小值時a的值為-3.2.【2018年北京文科 19設函數 f (x) =ax2- ( 3a+1) x+3a+2ex.(I)若曲線y=f (x)在點(2, f (2)處的切線斜率為 0,求a；(n)若f (x)在x=1處取得極小值，求 a的取值范圍.【解答】解：(I)函數f (x) = ax2- ( 3a+1) x+3a+2ex的導數為f' (x) =ax2- (a+1) x+1 ex.曲線y=f (x)在點(2, f (2)處的切線斜率為 0,可得(4a-2a-2+1) e2=0,解得a= i；(n) f (x)的導數為 f' (

5、x)= ax2-(a+1)x+1ex=(x1) (ax1) ex,若 a= 0 則 xv 1 時，f' ( x) >0, f (x)遞增；x> 1, f '( x) v 0, f(x)遞減.x=1處f (x)取得極大值，不符題意；若 a>0,且a=1,則 f'(x)= (x-1)2ex>0,f(x)遞增，無極值；若 a>1,則4 M1, f (x)在(L, 1)遞減；在(1, +8), (-8,-)遞增， traa可得f (x)在x= 1處取得極小值；若 0vav1,則工 A, f (x)在(1,4)遞減；在(、，+8),(8, 1)遞增，

6、 traa可得f (x)在x=1處取得極大值，不符題意；若a<0,則乙<1, f (x)在(=1)遞增；在(1, +8),(-巴、)遞減， aaa可得f (x)在x=1處取得極大值，不符題意.綜上可得，a的范圍是(1, +8).3.【2017年北京文科20已知函數f (x) = excosx-x.(1)求曲線y = f (x)在點(0, f (0)處的切線方程；(2)求函數f (x)在區(qū)間0, 一上的最大值和最小值.2【解答】解：(1)函數 f (x) = excosxx 的導數為 f' ( x) = ex ( cosx sin x) 1, 可得曲線y = f (x)在點(

7、0, f (0)處的切線斜率為 k= e (cos0-sin0 ) -1 = 0, 切點為(0, e°cos0-0),即為(0, 1),曲線y=f (x)在點(0, f (0)處的切線方程為 y=1;(2)函數 f (x) = excosx x 的導數為 f' ( x) = ex (cosxsin x) 1,令 g (x) = ex (cosx- sin x) - 1,.一一一一 一xx貝U g (x) 的導數為 g ( x) = e (cosx sin x sin x cosx) = - 2e ?sin x,當 xC 0 ,二,可得 g' ( x) = - 2ex?

8、sin x< 0,施即有 g (x)在0 , 一遞減，可得 g (x) w g (0) = 0,則f (x)在0 ,二遞減，即有函數f (x)在區(qū)間0,巴上的最大值為f (0) =e0cos0-0=1;JJ訂 亞 JT JT最小值為 f ()= 滋cos一 二 一一.222232 一4 .【2016年北東文科20設函數f (x) =x+ax+bx+c.(1)求曲線y = f (x)在點(0, f (0)處的切線方程；(2)設a= b=4,若函數f (x)有三個不同零點，求 c的取值范圍；(3)求證：a2-3b>0是f (x)有三個不同零點的必要而不充分條件.【解答】解：(1)函數

9、f (x) = x3+ax2+bx+c 的導數為 f' (x) = 3x2+2ax+b,可得y=f (x)在點(0, f (0)處的切線斜率為 k=f ' (0) =b,切點為(0, c),可得切線的方程為 y= bx+c；(2)設 a= b=4,即有 f (x) = x3+4x2+4x+c,由 f (x) =0,可得c=x3+4x2+4x,由 g (x) = x3+4x2+4x 的導數 g' (x) = 3x2+8x+4= (x+2) (3x+2),當 x>一 :或 x< - 2 時，g' (x) >0, g (x)遞增；當-2vxV :時，

10、g' (x) v 0, g (x)遞減.即有g (x)在x= - 2處取得極大值，且為 0;g (x)在*=一號處取得極小值，且為一勢.由函數f (x)有三個不同零點，可得 一等 v-c0,解得0 V cV掌則c的取值范圍是(0,);(3)證明：若f (x)有三個不同零點，令 f (x) = 0,可得f (x)的圖象與x軸有三個不同的交點.即有f (x)有3個單調區(qū)間，即為導數f' (x) = 3x2+2ax+b的圖象與x軸有兩個交點， 22,可得> 0,即 4a - 12b> 0,即為 a 3b>0；若a2-3b>0,即有導數f' (x) =

11、3x2+2ax+b的圖象與x軸有兩個交點，2當 c= 0, a=b=4 時，滿足 a - 3b>0,即有f (x) =x (x+2) 2,圖象與x軸交于(0, 0), (- 2, 0),則f (x)的零點為2個.2故a - 3b>0是f (x)有二個不同零點的必要而不充分條件.5 .【2015年北京文科19設函數f (x)二一klnx, k>0.(1)求f (x)的單調區(qū)間和極值；(2)證明：若f (x)存在零點，則f (x)在區(qū)間(1,而上僅有一個零點.遍-5一化出承二四【解答】解：(1)由f (x)-£/ 、 文 2上f' (x) = x=由f'

12、 (x) = 0解得x二盛f (x)與f ' (x)在區(qū)間(0, +8)上的情況如下：X(0,嘉)詆(施，+ m)f' (x)-0+f (x)J1一臼出)T所以，f (x)的單調遞增區(qū)間為( 房 +然),單調遞減區(qū)間為(0, 瓜;f (x)在x=系處的極小值為f (腐)二削】產,無極大值.(2)證明：由(1)知，f (x)在區(qū)間(0, +8)上的取小值為 f (稱f) = 2-因為f (x)存在零點，所以 2,從而k>e當k=e時，f (x)在區(qū)間(1, 近上單調遞減，且f 或)=0所以x三癡是f (x)在區(qū)間(1,上唯一零點.<0當k>e時，f (x)在區(qū)間

13、(0,嘉)上單調遞減，且/2,所以f (x)在區(qū)間(1,道)上僅有一個零點.綜上所述，若f (x)存在零點，則f (x)在區(qū)間(1,國 上僅有一個零點.6.【2014年北京文科20已知函數f (x) =2x3-3x.(I)求f (x)在區(qū)間-2, 1上的最大值；(n)若過點 P (1, t)存在3條直線與曲線y=f (x)相切，求t的取值范圍；(只需寫出(出)問過點 A (- 1,2),B (2,10),C (0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?結論)【解答】解：(I )由 f (x) = 2x3 3x 得 f ' ( x) = 6x2 3,令 f' ( x) =

14、0 得，x=一首或 x=¥，- f (2) = - 10, f (一考)= v,l, f (y)=-0, f (1) = - 1, .f (x)在區(qū)間-2, 1上的最大值為 鍍.(n)設過點 P (1, t)的直線與曲線y=f (x)相切于點(x。，y。), 則yc=2r§ -3xc,且切線斜率為 k=6-4一3,，切線方程為 y- yc= ( 64-3) (x-x0),1-1 - yc= (64-3) (1 - x“，即4舄 6= t+3=0,3_2設 g (x) = 4x - 6x +t +3,則“過點P (1, t)存在3條直線與曲線y= f (x)相切"，

15、等價于"g(x)有3個不同的零點”2- g (x) = 12x - 12x= 12x (x 1),，g (x)與g' (x)變化情況如下:x(-巴0)0(0, 1)1g' (x)+0-0g (x)t+3t+1(1) = t+1是g (x)的極小值.g(1, +°°)1. g (0) =1+3是9 (x)的極大值,當 g (0) =t+3<0,即 tw 3 時,g (x)在區(qū)間1和(1, +oo)上分別至多有一個零故g ( x)至多有2個零點.當g (1) =t+1>0,即t A - 1時，g (x)在區(qū)間(-8,0和(0, +oo)上分

16、別至多有一個零點，故g ( x)至多有2個零點.當 g(0) >0 且 g(1) V0,即一3vtv 1 時，g (1) = t 7V0, g (2) = t+11 >0,.g (x)分別在區(qū)間-1, 0), 0 , 1)和1 , 2)上恰有1個零點，由于g (x)在區(qū)間8,0)和1 , +OO)上單調，故g (x)分別在區(qū)間(-8,0)和1 , +OO)上恰有1個零點.綜上所述，當過點過點 P (1, t)存在3條直線與曲線y= f (x)相切時，t的取值范圍是(-3, - 1).(出)過點 A ( - 1, 2)存在3條直線與曲線 y=f (x)相切；過點B (2, 10)存在

17、2條直線與曲線y=f (x)相切；過點C (0, 2)存在1條直線與曲線y= f (x)相切.7.【2012 年北京文科 18已知函數 f (x) = ax2+1 (a>0), g (x) =x3+bx.(1)若曲線y = f (x)與曲線y= g (x)在它們的交點(1, c)處有公共切線，求 a, b的值；(2)當a= 3, b=-9時，函數f (x) +g (x)在區(qū)間k, 2上的最大值為28,求k的取值范圍.【解答】解：(1) f (x) = ax2+1 (a>0),貝U f' (x) = 2ax, k1=2a,g (x) =x3+bx,貝U g' (x)

18、= 3x2+b, k2= 3+b,由(1, c)為公共切點，可得：2a= 3+b又 f (1) = a+1, g (1) = 1+b,a+1 = 1+b,即a= b,代入式，可得：a=3, b= 3.(2)當 a= 3, b= 9 時，設 h (x) = f (x) +g (x) =x3+3x29x+12貝U h ( x) = 3x +6x- 9,令 h' (x) =0,解得：xi = 3, x2 = 1 ；. k< - 3時，函數h (x)在(- 3)上單調增，在(-3, 1上單調減，(1,2)上單調增，所以在區(qū)間k, 2上的最大值為 h (- 3) =28-3vkv2時，函數

19、h (x)在區(qū)間k, 2上的最大值小于 28所以k的取值范圍是(-國，38.【2011年北京文科18已知函數f (x) = (x-k) ex.(I)求f (x)的單調區(qū)間;(n)求f (x)在區(qū)間0, 1上的最小值.【解答】解：(I) f' (x) = (x k+1) ex,令 f' ( x) = 0,得 x= k - 1,f ' (x) f (x)隨x的變化情況如下:x( 8, k 1)k - 1( k- 1, +8)k- 1一ef' (x)f (x) f (x)的單調遞減區(qū)間是k- 1), f (x)的單調遞增區(qū)間(k- 1, +00)；(n)當k- 1&l

20、t;0,即kw1時，函數f (x)在區(qū)間0, 1上單調遞增，1. f (x)在區(qū)間0,1上的最小值為f (0) = - k;當0v k - 1 v 1,即1 v kv2時，由(I )知，f (x)在區(qū)間0 , k- 1上單調遞減，f (x)在區(qū)間(k - 1,1上單調遞增， .f (x)在區(qū)間0,1上的最小值為f (kT) =- ek1;當k- 1>1,即k>2時，函數f (x)在區(qū)間0, 1上單調遞減，1. f (x)在區(qū)間0,1上的最小值為f (1) = ( 1 - k) e；1fe fc < 1綜上所述f (x)Jt>2min9.【2010年北京文科18】設定函數

21、f (x) = |x3+bx2+cx+d (a>0),且方程f' (x) - 9x=0的兩個根分別 為 1, 4.(I)當a=3且曲線y=f (x)過原點時，求f (x)的解析式；(n)若f (x)在(-°°, +oo)無極值點，求 a的取值范圍.【解答】解：由得f' ( x) = ax2+2bx+cc + 2b +-9 = 0因為f' (x) 9x= ax2+2bx+c9x=0的兩個根分另1J為1, 4,所以 八 L '一 ” (*)(I)當a=3時，又由(*)式得解得 b= - 3, c= 12又因為曲線y=f (x)過原點，所以

22、d= 0,32故 f( X) = x - 3x +12x.CO =卒工*+bx* + ex + d(n)由于a>0,所以“''在(-8, +oo)內無極值點”等價于"f' (x) = ax2+2bx+c>0在(-8, +OO)內恒成立”.由(*)式得 2b=9 5a, c=4a.2又匕=(2b) - 4ac= 9 (a-1) (a-9)(e>0解必=9。_1)值_9), 口得 ae 1 , 9即a的取值范圍1 , 9考題分析與復習建議本專題考查的知識點為：導數的概念及運算，導數與函數的單調性、極值、最值，導數與函數的綜合問題歷年考題主要以解答

23、題題型出現，重點考查的知識點為：導數的運算，導數與函數的單調性、極值、最值，導數與函數的綜合問題，預測明年本考點題目會比較穩(wěn)定.備考方向以知識點導數的運算，導數與函數的單調性、極值、最值，導數與函數的綜合問題為重點較佳最新高考模擬試題A , 1A- (2,0)e【答案】C.r<0x史BoL X若F(尤一值有3個零點，則k的取值范圍為(1八1、B.(尤'0) C (0，%)1D. (0,) e【解析】1x<0由題意，函數，要使得函數 尸(幻=/(可一% 在R上有3個零點,=x>0.工In x當 x 0時，令 F（x）=，（克）-Ax= 0 ,可得 k -2-, xln

24、x要使得F x0有兩個頭數解，即y k和g x 2-有兩個交點,x1 T11又由?。ㄘ?=-,令121口第=。，可得x je,當x （0, Je）時，g x 0,則g x單調遞增；當上時，g x 0,則g x單調遞減,所以當x Je時，g（工）口工，ln x1若直線y k和g x有兩個交點，則k （0,），x2e1當x 0時，y k和gx 一有一個交點，則k 0, x L ，1 一，綜上可得，實數 k的取值范圍是（0,孤），故選C.【解析】 C.2D.由題意，/疝尸,sin儀 sin? 二>a *'/X、51nH( c芯、設M二o:-x)設一 一2.已知以產£（0:5）

25、，嚴圓口值一值更打產0 ,則下列不等式一定成立的是（二 H() = cos.r-xsiil X-C-O5 .¥ = -X5itl.Y< 0 ,g x在0,-單調遞減，且式其”式曲二口 , 2f ' x 0,所以f x sin)在0,-遞減， x 2sin d si口足一步/"/小,>/> /a 0,故選C.3 .已知函數， = 涵工一犬+二(a為大于1的整數)，若y f(x)與J- = f(y(x)的值域相同，則a的最小值是()(參考數據：1口2 附。6931 , hi31.0986 , In 5*1一9)94 )A. 5B. 6C. 7D. 8【

26、答案】A【解析】，(Q二口1口工一工+2= f (其=一1二0_,當x a時，f'(x)0 ,函數f (x)單調遞減，當0 x a時,XXf'(x) 0,函數f(x)單調遞增，故“工)工=/9) = m口口一口十2,又當工t。口：)t一工，所以函數f (x)的值域為(一工=口1口。一日+ 2,令. .- -1.-.wZ二工(白)0因此t(a)是單調遞增函數，因此當 a 2,a Z時，r(a>r(2) = 21ii2>0 , f(x)=alax-x+2 = n 由上可知：n<alna a 2 ,> = /V0) = /8),由上可知函數f (n)在0 x

27、a時，單調遞增，在 x a時，單調遞減，要想=町)的值域為(一二口加心一口 + 2,只需£二口1口出_值+ 2 ,即4口/ 2。+ 230 ,設宮力+ 2 , a 2,a Z , g (口)二 1口門一1 ,所以當 a 3,a Z 時，函數 g(a)單調遞增，虱工)-4<0,虱3)=引口4<0,g(4) = 41n4-6<0這(5)=51口5-8 >0 ,所以a的最小值是5,故本題選a.4 .已知實數a , b , c , d滿足里坐二= 1 ,則S-翁+。一/)：的最小值為()0+1H3A. 8B. 4C. 2D. 2【答案】D【解析】lnu + 1占十1二

28、-=JJIn 口十 1 ，一 , =1 = % = 1口 口 ,Hl= l= d= r + l d-3可以看成f(x) lnx和g(x) x 1之間的最小值1f (x)一x當工=1=工=1時，即點1,0到直線g(x)Xx 1的距離最小5.若函數/(工)=，一4-din4在區(qū)間1,上存在零點，則實數a的取值范圍為()A 0，2B.l,e2C.0,D.【解析】 因為函數/(xj =工一瓜一口ki九，所以一lyjx X令g(4=2,一網一工心，因為E,Cx)2y/x 2lx當 x (1,)時，4«1>0,班>0 ,所以 g (x) 0所以g(x)在(1,)上為增函數，則g(x&

29、gt;>g(l)=l-2i ,當1 2a 0時，g(x) 0,所以f(x) 0,所以f(x)在(1,)上為增函數，則。，所以f(x)在(1,)上沒有零點.10,當1 2a 0時，即a 一,因為g(x)在(1,)上為增函數，則存在唯一的x0 (1,),使得g(x0)2且當 x (1,xO)時，g(x) 0,當 x (x0,)時，g(x) 0；所以當x (1,x0)時，f (x) 0, f(x)為減函數，當x (x0,)時，f (x) 0, f(x)為增函數，當x x0時，力晨工)=/(%),因為 八9” /(D =。，當x趨于 時，f (x)趨于 ， 所以在x (x0,)內，f (x) 一

30、定存在一個零點 ,1所以a (-,),2故答案選D.6.已知函數y(x) = ： 2- eotx-,若對任意x (0,),都有/"»一寸 成立，則實數a的 XJX取值范圍是()A.【解析】B. -X，2 可D.-2后也令鼠*)二一y(工)二(2主一1"r _皿二一2 ,則 £0)=0)+00,因為對任意x (0,),都有/(工)苣一以工工)成立,所以/=/(工)+才,住)之0在x (0,)上恒成立； 即，(工)=(2工+ 1)/+26之。在x (0,)上恒成立；即2a工二；2H，在x (0,)上恒成立;x k XJ令心。= 2 + - 建，x (0,),

31、 I-1 1 J , l'L x (2x2 + r-1)工則6(x)n-y總+, 2+ e p電,1由h（x）。得2m*+h一1 = 口，解得x 1 （舍）或x'- '2所以，當0 x 1時，2y / <0 ,方（工）=;2+1/單調遞減；2k【工）當x 1時, *（力=（'亡+"1）/<0, feCr）-；2+-V單調遞增；2/七 G所以卜3工把=hj= 4上 ,因為一2以工"業(yè)亡=；二+ 1爐在x （0,）上恒成立， H I 3所以只需 2a 4fe ,解得a2e .故選D7.已知奇函數f x是定義在R上的可導函數，其導函數為

32、f x ,當x 0時，有口門+y（乂）一,則不等式（x+2018）2/（+2018K4/（-2） <0 的解集為（）A 1一；:一.。飛！B. - 一C.,2018D,2016,0【答案】A【解析】設 g （%）=/,）,因為f x為R上奇函數，所以=（一工/（一工仁一一/（毛），即g x為R上奇函數對g x求導，得£1工）=工2八#）十必十明,而當x 0時，有+ w> f=0故x 0時，g x 0,即g x單調遞增，所以g x在R上單調遞增n不等式 一一一(工+ 2018)2 /(x+2018)< -4/(-2),(r+2018j2/(rt2018)<4/(

33、2)即- _1-所以 x+2018<2 ,解得 x 2016故選A項.8.已知函數/(戈)=1 + h-三十三-二，則使不等式f(x 1) 0成立的x的最小整數為()A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】D【解析】丁 X'文" /I 3?三根據題意，函數 7X0 = 1+主+ + ，其導數35791113/x) =+ j? tW -.?c +/ ,x 0時，f (x)可以看成是1為首項，x2為公比的等比數列,則有 / (-<)= 1 -工 $+x3 - P* +P* => 0 ,1+x*函數f(x)在R上為增函數，又由八一1)=1+(-1)+(?：)

34、+(!一：)一(：一)>°,2一，一 2sA12"止2)= 1 +(-2)- -一二：十:2i-一春 + 3一大0，則函數f(x)在(2, 1)上存在唯一的零點，設其零點為 t,/(x-1) >0=>x-l >r=>x>/+!,又由 2 t 1,則一1,故不等式f(x 1) 0成立的x的最小整數為0；故選：D.9.直線y ax是曲線y 1 lnx的切線，則實數a【答案】1【解析】1解：. y 1 ln x , y x1設切點為（m,1 lnm）,得切線的斜率為 一，m所以曲線在點 m,1 ln m處的切線方程為：y-ln rn -1 =X

35、（x-rn）.即： 一 .： ,一 它過原點，ln m 0 , m 1,1, , a 1 .m故答案為：1.10.函數，（xi=&/一-與gix）-JT-1的圖象上存在關于 x軸的對稱點，則實數 a的取值范圍為【答案】【解析】£（）=*:-1-1關于*軸對稱的函數為匕3=-/+91,因為函數工I ="夕一）與三|三）=T 一尤一 1的圖象上存在關于 x軸的對稱點, 所以/（6=。/一/與以力=一/ +工+1的圖象有交點，方程口。V =-/+#+1有解，即aex x 1有解,a 0時符合題意，a 0時轉化為/ =有解，a即尸=£工，>, =（第+1 j

36、的圖象有交點， 口1j二一（工+ 1）是過定點1,0的直線，其斜率為-1,-a設尸=，尸=（1+1）相切時，切點的坐標為m,em ,me則m 1mea ,解得a 1 ,切線斜率為11a,廠1由圖可知，當一1,即a 1且a a0時,""/- =；（工+1）的圖象有交點,此時，壬1=4屋一與?。üぃ?一/+犬+1的圖象有交點，函數 尤）=1產一工，與日（%）=/ 一當一 1的圖象上存在關于 x軸的對稱點，綜上可得，實數 a的取值范圍為a 1 ,故答案為a 1.11 .已知函數/£>=產-1,若存在實數a,b（a b）使得/（口）= /）,則a 2b的最大值為 3

37、2【答案】ln 3227【解析】由題意，令a,b為方程f（x） m的兩個根，由圖像易得由ex 1 m得ex 1 m ,解得工=由。+揖）或，=1口。一雨），因為 a b,所以 b = lnQ +制），口 = ln（l-附，因此 alb =InQ-加）+21n0 + wa）二山（】一叨乂1 一m）* ,令自（機）二。一次）（1一冽）：=7/-5,+加+1, 0 m 1,則 g'（ws）=-3初-2川+1=-（3次一 1）（由斗 D ,1，、-1因為0 m 1,所以由g （m） 0得0 m 一 ；由g （m） 0得一 m 1 ,33r 1 1即函數g（m）在0,-上單調遞增；在 一,1上單

38、調遞減； 33'S2二一, 27所以g（一32因此a 2b的最大值為ln *2.27.32故答案為ln32 2712 .已知實數a, b, c滿足十3*匚川M十？小十1 （e為自然對數的底數），則a2 b2的最小值是5【解析】設 口（工）=er -（x+1）,貝U t/5） = J -1 ,所以函數u（x）的增區(qū)間為（0, + ）,減區(qū)間為（-,0）, 所以之認0） = 0，即ex x 1；可知g好+£-1+1 二曰+2匕+ 1 ,當且僅當仁=2Z? 仁一1 =。時取等;因為<dr+2i+l所以 + /“z = 0+22+1,白+。= 24 e 1 = 0.所以口一 T

39、nb -,號等取叱1-5C當僅且7.7 T (C - 1)一解得 口 f =C*+-41故答案為：一513 .已知直線x t與曲線門工戶財工十小勤工方產分別交于M,N兩點，則|MN的最小值為【答案】1.【解析】令勵二則一/0)二-1吟+ 1),k(F)=目。)一/(。二/一一，顯然為增函數，且h'(0)0r + 1所以當t ( 1,0)時，單調遞減；當t (1,)時，印單調遞增.所以1.故答案為1.14 .曲線y acosx在x 一處的切線l的斜率為-,則切線l的方程為.62【答案】一- 一二一一6【解析】解：曲線 y acosx,可得 v-asinx ,1曲線y acosx在x 一處

40、的切線l的斜率為 一，62一小一萬I可得一曰皿口"=三，6 2所以a 1.所以切點坐標為：(一立),6'2則切線l的方程為：y+-=，一工 .即：工-上¥一出一e二口.故答案為：貫_坊_出_工=0 .6義2的最大值是21上< 0.15 .已知函數/0)二,. 若方程f(x)2 a恰有兩個不同的實數根 。治，則x1I e, r > 0.【答案】31n 2 2【解析】作出f x的函數圖象如圖所示，由工)丁 =，可得6 >1 ,即 a 1,不妨設Xi X2 ,則詞=。肛=6 ,令夜二風£ > 1),則局=毛=ln E ,二毛十七二1口一

41、,令鼠。=ln£-g ,則f ,當i t 8時，g't 0, g t在1,8上遞增；當t>8時，g' t 0, g t在8, 上遞減；當 t 8 時，g t 取得最大值 g(8)-ln8-2=31n2-2 ,故答案為31n 2 2.or- Ljc <016 .已知函數/(x)=;占 八的圖象恰好經過三個象限，則實數a的取值范圍 ox+|x-2 , x > 0【答案】a 0或a 2【解析】1 ,所以函數f(x)的圖象經過第二、三象限,(1)當a 0時，f(x)在(，0上單調遞減，又f(0)0時,11 (o 1) .X- - 2.x3 -(d +l)x+

42、 2, 0 < x<所以* 二3必-( + 1)土玲2,0 <x<2若a41時，f (x) 0恒成立，又當x 0時，f(x) 2 ,所以函數f(x)圖象在x 0時，經過第一象限，符合題意；若1 a 0時，f (x) 0在2,)上恒成立，當0 x 2時，令f (x) 0,解3但土!<L ,所Y 33(2)當a 0時，f(x)的圖象在(，0)上，只經過第三象限，f (x) 0在(0,)上恒成立，所以f(x)的圖象在(0,)上，只經過第一象限，故不符合題意；(0，)上的最小值fmin(x) 0,當0 x 2時，令f (x) 0 ,解得x Ja 若J/ 2時，即a 11時

43、，f(x)在(0, ，(用邛等用' 令/因HT用<。= 若，之2 = 口占11時，則f(x)在0 x 當x 2時，令f(x) 0,解得x jay 右 Js 2 011VbM 13 , f (x)在(2, 令白 >4 ,所以 11 a 13;二)上的最小值為口 >2 二 2 c口11 .:2時，單調遞減，)上單調遞增，故f(x)在(0,)上的最小值為，。)=8-2口，(3)當a 0時，f(x)在(，0)上單調遞增，故f(x)的圖象在(，0)上只經過第三象限，所以 f(x)在若.但二1之2 = 口之13，f(x)在2,區(qū)1上單調遞減，在 J巳二：斗工|上單調遞增，故f(x

44、)在(0,顯然一手13;結上所述：a 0或a 2.17.已知函數次|-lnx(白0).(I)討論f(x)的單調性；,、口2二 ln32 Inrr , (fi-lX2w+l)， c(n)比較l+- +一一+與一-的大小 n N 且口 2 ,并證明你的結論 2*3* f 海+1)，【答案】(I)見解析；(II )見解析【解析】工一1口工一金xA a(I)函數“*)可化為/00 =,日一工一M 國Ocxc口當0 x a時，/(嚀二一1一<:0 ,從而f(x)在(0,a)上總是遞減的， x JC 1當x a時，= 1-=-,此時要考慮a與1的大小.x x若a>1,則f(x) 0,故f(x)

45、在a,)上遞增，若0 a 1,則當a x 1時，f (x) 0,當x 1時，f (x) 0,故f(x)在a,1)上遞減,在(1,)上遞增，而f (x)在x a處連續(xù)，所以當a>1時，f (x)在(0,a)上遞減，在a,)上遞增；當0 a 1時，f(x)在(0,1)上遞減，在1,)上遞增.()由(I)可知當ln23山3工,2x3 3x4ln x1In M-Ja 1, x 1 時，x-l-lnx;> 0，即 In x 1 x ,所以 1 一.所以 xx，一口一口"一上_+1) J12 w+L J2(ft + 1)In2 - 2-tt+125+1)18.已知函數= Iik !/

46、-Gfd w R1 .2(1)討論f x的單調性;(2)右xi,x2為f x的兩個極值點，證明：.晨一二一一g“IjL【答案】(1)當a 2時，f x在0.為增函數，為增函數；當a 2時，f x在-a/a2 - 4 二 + 4r* 二40,為增函數.(2)證明見解析.減函【解析】(1) f x的定義域為0,j2 -or -1對于函數L二寸一 4T + 1, 1f/當3 =時，即 22時，上2十公+1占。在x0恒成立.A V +6LX + 1.二 r ( t)=在0,恒成立，f x在0,為增函數;當2時,2時，由f在0.x 0,得其E 士:五三或,二三三,0<lZ -4l2 + Ji -I

47、a -一&為增函數,a - yfa" - 4+-42，2減函數,f+Jcj - 4為增函數,當a 2時,由,X)二丁十吧 >0在0,恒成立,X0, 為增函數.綜上，當a2時，f x在a為增函數,a -W q + Jc?；一4 1; 減函數,一口+Ju 4%為增函數;當a 2時，f x在0, 為增函數.（2）由（1）知a 2,且耳+工？=-。=%工2 =1 ,由（%）*；工：+力:工 +T5s5一m一人.a .令t一，故t 1 ,2原不等式等價于lnt<t-1對t 1成立,4(O = ln?-(f-lXg1« = <0 ,所以式。=比-(，-1)單調

48、遞減，有 = 0得證.19 .已知函數，（工）=的（6 + 1） 工+ 1（日，1）.a 1時，求f （x）的最大值;()若對KW -1 = +工；恒成立，求實數 a的取值范圍.(1) 1； (n) 1,e【解析】a 1時，/（幻=歷（工+1）-工+ 1 ,定義域為（1,）.rw=令 f (x) 0,得 x 0.當x ( 1,0)時，f (x) 0, f(x)單調遞增,當x (0,)時，f (x) 0, f(x)單調遞減.所以-.,一 一 .時,f (x) 0, f(x)單調遞增；當,+£時，f (x) 0, f(x)單調遞減,依題意有In 口+工式土九,設=1口 口 +(口/1),

49、 。點a則g'g)二二一二二巴二20 ,所以g(a)在a 1,)上單調遞增 ， 、 ,1 -1 "，,1 1U+l 一尸-r 、/ /又 g(e) = lne+ =,故 1口口+-W0 gsKg©1xae,eea ex x即實數a的取值范圍為1,e.20 .對于函數y f x的定義域d,如果存在區(qū)間 m,n D，同時滿足下列條件： f x在京琦+|gI上是單調函數；當 x m,n時，f x的值域為2m,2n ,則稱區(qū)間，(工)+ |g(x)|是函數f x的“單a1nx-2x= x> 0 fa >0)(1)若a 2,求f x在點e, f e處的切線方程；(

50、2)若函數f x存在“單調倍區(qū)間”，求 a的取值范圍.【答案】(1)5；(2) ； J；【解析】(1)當 a 2時，/(工)=21口”卬工>。)當 x 0時,/(,) 二二一二，則：/(0)二二一2,又/(白)=2-2百f x 在 e, f e 處的切線方程為：y-f2-2(?)=-2 '總即：tflnx- 2x x > 0-2a± x< 0J- 4X-1工盧xy 0(cj>0)當m n 0時，由f x在,0上單調遞減，則有x<0列表如下:x,00,a2a2a2,f x0f x/極大值設函數f x存在“單調倍區(qū)間”是 + |g（刈兩式相減得：./

51、.要使此關于 m,n的方程組在 m n 0時有解,則使得y 2a與卜=2/ 一工（工土0）的圖象有兩個公共點、“1 ,3 一0時，y1當 x 二時，ymin二，當x482結合兩函數圖象，則3 2a <1一,即：3一 a182164一 3 1即此時滿足f x存在“單調倍區(qū)間”的 a的取值范圍是 一，一16 4當0不小工五色區(qū)時，由f x在0,a上單調遞增，則有-21 ln m即：a4m1 ln na 4n、兒ln xJ. - n、設g x ,則g (x)=、4x當x 0,e時，g x 0, g x為增函數當x e, 時，g x 0, g x為減函數ln xa7的圖象在0,有兩個父點1 In x1要使萬程有兩解，則y 與g x a4xa結合兩函數圖象，則a In22aa 4e解得：二,二 _ .，二 即此時滿足f x存在“在單調倍區(qū)間”的 a的取值范圍是 4e,2e2一 aa一 一 .%山布一2加二2注當一 m n時，由f x在二，上單倜遞減，則有： 、飛22白也修一2月=口用兩式相減得：鼻（出喟-hi庫）=0 ,