哥廷根數(shù)學傳統(tǒng)的起點高斯時代

1、哥廷根數(shù)學傳統(tǒng)的起點高斯時代1795年，18歲的卡爾-弗里得利希高斯(CarlFriedrichGauss,17771855)到哥廷根大學深造。在此之前，他已獨立發(fā)現(xiàn)了許多初等幾何、代數(shù)、數(shù)論和分析中的重要定理，包括素數(shù)定理和二次互反律。入學后，他不僅仍長于發(fā)現(xiàn)，而且著力于嚴格的證明。比如，他給出了代數(shù)基本定理的第一個嚴謹?shù)淖C明，嚴格導出了可用圓規(guī)直尺作的正多邊形的條件，徹底討論了割圓方程，引人了模整數(shù)同余的概念，證明了二次互反律在研究中，高斯將歐幾里得在幾何中的嚴格精神導人數(shù)論、代數(shù)和分析。對于證明，他強調簡明性和優(yōu)美性。1817年3月，高斯回顧二次互反律的七種證明之一時說：“高級算術的特點

2、是：通過歸納能愉快地發(fā)現(xiàn)許多最漂亮的定理；但要證明它們常常要經過多次失敗，最終的成功則依賴于深刻的分析和有幸發(fā)現(xiàn)的莫種結合數(shù)學這一分支中不同理論之間的奇妙結合?！彼M而認為，即使你已經得到一個證明，但“就高級算術而論，你絕不能以為研究已告結束，或把尋找另外的證明當作多余的奢侈品。有時候，你開初并沒得到最美和最簡單的證明，而恰是這種證明才能深入到高級算術之真理的奇妙聯(lián)系中去。這是吸引我們去研究的主要動力，并常能使我們發(fā)現(xiàn)新的真理。”這里，高斯道出了純數(shù)學研究的一個基本思想，即尋找數(shù)學內部蘊涵的本質聯(lián)系是研究數(shù)學的一個目標，而且是獲得新真理的重要途徑。高斯的科學素養(yǎng)是雙重的，他的算術研究和成功地預

3、測第一顆小行星位置的創(chuàng)舉，使他在純粹數(shù)學和應用數(shù)學領域中都享有崇高的榮譽。高斯一生中從事了天文學、大地測量學、地磁學、力學、屈光學和其他物理學的實驗及理論研究，通過這些研究，他又建立了像曲面的內蘊幾何學、位函數(shù)理論這些重大的數(shù)學理論。56歲時，他還跟韋伯(WilhelmWeber,18041891)合作發(fā)明了電報。正如數(shù)學史家斯特洛伊克(DJStruik)所說，高斯在他自己的活動領域中，以最強有力的方式表達了他那個時代的新觀念。如果說康德站在哲學的山巔從理念上把數(shù)學捧為一切科學真理的化身，那么，高斯是用具體和切實的創(chuàng)造性工作，使人們真正體驗到純粹數(shù)學的廣闊前景和應用數(shù)學的無比威力。應該指出，高斯的數(shù)學觀已在康德的觀念上前進了一步，他否認全部純數(shù)學知識的先驗性。在數(shù)論領域，他繼續(xù)追隨康德，承認“數(shù)只是我們心靈的產物”；在幾何領域，他否定了康德，認為“空間確實具有超乎我們心靈以外的實在性，我們不能把它的定理說成是先驗的”。高斯的這種看法可能跟他發(fā)現(xiàn)非歐幾何有關：既然能把歐幾里得幾何中的一條公理改成相反的內容而導出同樣和