高考數(shù)學(xué)壓軸專題2020-2021備戰(zhàn)高考《推理與證明》單元檢測

1、高中數(shù)學(xué)推理與證明期末考知識點一、選擇題1 桌面上有3 枚正面朝上的硬幣，如果每次用雙手同時翻轉(zhuǎn)2 枚硬幣，那么無論怎么翻轉(zhuǎn)（）A.都不可能使3枚全部正面朝上B.可能使其中2枚正面朝上，1枚反面朝上C.都不可能使3枚全部反面朝上D .都不可能使其中1枚正面朝上，2枚反面朝上 【答案】C【解析】 【分析】 先推理出正確答案，再利用反證法進行證明，對錯誤選項可舉反例說明即可.【詳解】 對A,對兩枚硬幣連續(xù)翻轉(zhuǎn) 2次，能使3枚全部正面朝上，故 A錯誤； 對B,如果能1枚反面朝上，則就有可能 3枚全部反面朝上，利用 C選項的證明，發(fā)現(xiàn)此 種情況不可能，故B 錯誤；對C,假設(shè)經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)可以使硬幣全部

2、反面向上，由于每枚硬幣從正面朝上變?yōu)榉疵?朝上，都需要翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次，所以 3枚硬幣全部反面朝上時，需要翻轉(zhuǎn) （3流數(shù)）次，即要翻 轉(zhuǎn)奇數(shù)次,但由于每次用雙手同時翻轉(zhuǎn)2 枚硬幣，3 枚硬幣被翻轉(zhuǎn)的次數(shù)只能是2 的倍數(shù)，即偶數(shù)次，這個矛盾說明假設(shè)錯誤，所以原結(jié)論成立.故C正確；對D,只要翻轉(zhuǎn)一次，就可實現(xiàn)兩枚反面朝上，一枚正面朝上，故 D錯誤； 故選： C. 【點睛】 本題考查合情推理和反證法的運用，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.2 關(guān)于甲、乙、丙三人參加高考的結(jié)果有下列三個正確的判斷： 若甲未被錄取，則乙、丙都被錄取； 乙與丙中必有一個未被錄??； 或者甲未被錄取，或者乙被錄取.則三人中被錄取的是（

3、）A.甲B.丙C.甲與丙D.甲與乙【答案】D【解析】 【分析】 分別就三人各自被錄取進行分類討論，分析能否同時成立，進而可得出結(jié)論.【詳解】 若甲被錄取，對于命題 ，其逆否命題成立，即若乙、丙未全被錄取，則甲被錄取，命題 成立，則乙、丙有且只有一人錄取，命題 成立，則乙被錄取，三個命題能同時成立； 若乙被錄取，命題 成立，則丙未被錄取，命題 成立，命題 成立，其逆否命題成立，即若乙、丙未全被錄取，則甲被錄取，三個命題能同時成立； 若丙被錄取，命題 成立，則乙未被錄取，命題 成立，則甲未被錄取，那么命題 就不能成立，三個命題不能同時成立 .綜上所述，甲與乙被錄取.故選：D.【點睛】本題考查合情推

4、理，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題3 .觀察下列等式：13 2332 ,13233362，132 333431 02,記-,3_3_33f n 123 n .根據(jù)上述規(guī)律，若f n 225,則正整數(shù)n的值為（）A. 8B. 7【答案】D【解析】【分析】由規(guī)律得f n 12 3【詳解】由已知等式的規(guī)律可知 f nC. 622 2n n 1再解方程即可D. 5，當(dāng)f n 225時，可得n 5.故選：D 本題考查歸納推理，熟記等差數(shù)列求和公式是關(guān)鍵，考查觀察轉(zhuǎn)化能力，是基礎(chǔ)題4 .小趙、小錢、小孫、小李四位同學(xué)被問到誰去過北京時，小趙說：我沒去過；小錢說：小李去過；小孫說；小錢去過；小李說：我沒

5、去過.假定四人中只有一人說的是假話，由此可判斷一定去過北京的是（）A.小錢B.小李C.小孫D.小趙【答案】A【解析】由題意的，如果小趙去過長城，則小趙說謊，小錢說謊，不滿足題意；如果小錢去過長城，則小趙說真話，小錢說謊，小孫、小李說真話，滿足題意，故選A.5 .觀察下列各式：72 49, 73 343 , 74 2401 ,，則71009的末兩位數(shù)字為（）A. 49B. 43C. 07D. 01【答案】C【解析】【分析】先觀察前5個式子的末兩位數(shù)的特點，尋找規(guī)律，結(jié)合周期性進行判斷即可【詳解】觀察 72 49, 73 343, 74 2401, 75 2401 7 16807，76 16807

6、 7 117649，可知末兩位每4個式子一個循環(huán)， 72 49到71009一共有 1008個式子，且1008 4 252 ,則71009的末兩位數(shù)字與75的末兩位數(shù)字相同，為 07. 故選：C.【點睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)條件尋找周期性是解決本題的關(guān)鍵6.已知a b c 2,則ab bc ca的值（）D.不大于2A.大于2B.小于2C.不小于2【答案】B【解析】【分析】把已知變形得到a ba,把2（ab bc ac）拆開后提取公因式代入 a b c, a c b, b ca ,則可判斷2（ab bcac）的符號，從而得到ab bc ac的值的符號.【詳解】解：Q a b c 2,a

7、b2c,ac2b,bc 2a.貝U 2(ab bc ac)2ab 2ac 2bcabacbcacab bca(bc)c(ba)b(ac)b(2b)a(2a)c(2c)一2一2一22b b 2a a 2c c222abc2 abc222abc4,_2. 22_Q abc2,abc0 ,即a2 b2 c20 ,Q 2(ab bc ac) 4,(ab bc ac) 2即ab bc ac的值小于2.故選：B.【點睛】 本題考查不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的靈活處理問題和解決問題的能力.y y z z x x7 .設(shè) x, y, z0,則三個數(shù) ，一一，一（）B.至少有一個大于 2D.至少有一個不大于2A.

8、都大于2C.至少有一個不小于 2 【答案】C 【解析】 【分析】 【詳解】假設(shè)這三個數(shù)都小于 2,則三個數(shù)之和小于 6,又？+義十三+=+二+ 2=(2+)+ xzxyzy X y( )+(+ ) 2F2 + 2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x= y=z時取等號，與假設(shè)矛盾，故這三個數(shù) z y x z至少有一個不小于 2.8 .學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為A、B、C、D、E五個等級.某班共有36名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中，這兩科等級均為 A的學(xué)生有5人，這兩科中僅有一科等級為A的學(xué)生，其另外一科等級為B ,則該班()、好級 科ABCDE物理10

9、16910化學(xué)819720A.物理化學(xué)等級都是 B的學(xué)生至多有12人B.物理化學(xué)等級都是 B的學(xué)生至少有5人C.這兩科只有一科等級為 B且最高等級為B的學(xué)生至多有18人D.這兩科只有一科等級為 B且最高等級為B的學(xué)生至少有1人【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別計算出物理等級為A ,化學(xué)等級為B的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為 B ,化學(xué)等級為A的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進行分析，可得出合適的選項【詳解】根據(jù)題意可知，36名學(xué)生減去5名全A和一科為 A另一科為B的學(xué)生10 5 8 5 8人(其中物理 A化學(xué)B的有5人，物理B化學(xué)A的有3人)，表格變?yōu)椋篈BCDE物理10 5 5 016 3 139

10、10化學(xué)8 5 3 019 5 14720對于A選項，物理化學(xué)等級都是 B的學(xué)生至多有13人，A選項錯誤；對于B選項，當(dāng)物理C和D ,化學(xué)都是B時，或化學(xué)C和D,物理都是B時，物理、化 學(xué)都是B的人數(shù)最少，至少為13 7 2 4 （人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學(xué)都是B的學(xué)生，剩下的都是一科為 B且最高等級為B的學(xué)生，因為都是B的學(xué)生最少4人，所以一科為 B且最高等級為B的學(xué)生最多為13 9 1 4 19 （人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學(xué)都是 B的最多13人，所以兩科只有一科等級為 B且最高等級為B 的學(xué)生最少14 13 1 （人），D選項正確.故選：D.【點睛】本

11、題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題9.我們在求高次方程或超越方程的近似解時常用二分法求解，在實際生活中還有三分法.比如借助天平鑒別假幣.有三枚形狀大小完全相同的硬幣，其中有一假幣（質(zhì)量較輕），把 兩枚硬幣放在天平的兩端，若天平平衡，則剩余一枚為假幣，若天平不平衡，較輕的一端 放的硬幣為假幣.現(xiàn)有27枚這樣的硬幣，其中有一枚是假幣（質(zhì)量較輕），如果只有一臺 天平，則一定能找到這枚假幣所需要使用天平的最少次數(shù)為（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)提示三分法，考慮將硬幣分為 3組，然后將有問題的一組再分為 3組，再將其中有問 題的一組分為3,此時每組僅為1枚硬幣，

12、即可分析出哪一個是假幣.【詳解】第一步將27枚硬幣分為三組，每組 9枚，取兩組分別放于天平左右兩側(cè)測量，若天平平衡，則假幣在第三組中；若天平不平衡，假幣在較輕的那一組中；第二步把較輕的9枚金幣再分成三組，每組 3枚，任取2組，分別放于天平左右兩側(cè)測量，若天平平衡，則假幣 在第三組，若天平不平衡則假幣在較輕的一組；第三步再將假幣所在的一組分成三組，每 組1枚，取其中兩組放于天平左右兩側(cè)測量若天平平衡，則假幣是剩下的一個；若天平不 平衡，則較輕的盤中所放的為假幣.因此，一定能找到假幣最少需使用3次天平.故選：B.【點睛】本題考查類比推理思想的應(yīng)用，難度一般.處理該類問題的關(guān)鍵是找到題干中的提示信息

13、，由此入手會方便很多.10 .數(shù)列Fn ：Fl F2 1, Fn Fn 1 Fn 2（n 2）,最初記載于意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1202年所著的算盤全書.若將數(shù)列Fn的每一項除以2所得的余數(shù)按原來項的順序構(gòu)成新的數(shù)列 an ,則數(shù)列 an的前50項和為（）A. 33B. 34C. 49D. 50【答案】B【解析】【分析】根據(jù)an為Fn除以2的余數(shù)，依次寫出Fn的各項，從而可得2口是按1,1,0的周期排列規(guī)律，即可求出結(jié)論.【詳解】依次寫出 Fn 的各項 F1 1,F2 1,F3 2,F4 3,F5 5,F6 8L ,an為Fn除以2的余數(shù)，依次寫出an各項為a11,a2 1,a3 0,a4 1

14、,a5 1,a6 0L ,an各項是按1,1,0的周期規(guī)律排列，a a? a3 La49 a50 16 2 2 34 .故選：B.【點睛】本題考查歸納推理、猜想能力，考查分析問題、解決問題能力，屬于中檔題 11.某校實行選科走班制度，張毅同學(xué)的選擇是物理、生物、政治這三科，且物理在A層班級，生物在B層班級 該校周一上午選科走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目 的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則他不同的選課方法有（）第一節(jié)第F第三節(jié)第四節(jié)地理B層2班化學(xué)A層3班地理A層1班化學(xué)A層4班生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班

15、生物B層3班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政?B 3班C 12 種D 14 種A 8 種B 10 種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表格,利用分類討論思想進行邏輯推理一一列舉即可.【詳解】張毅同學(xué)不同的選課方法如下:1 物理A 層 1 班，生物B 層3 班, 政治3 班;2 物理A 層1 班, 生物B 層3 班,政治2 班;3 物理A 層1 班, 生物B 層2 班, 政治3 班;4 物理A 層3 班, 生物B 層2 班,政治3 班;5 物理A 層3 班, 生物B 層2 班, 政治1 班;6 物理A 層2 班, 生物B 層3 班,政治1 班;7 物理A 層2 班, 生物B 層

16、3 班,政治3 班;8 物理A 層4 班, 生物B 層3 班, 政治2 班;9 物理A 層4 班, 生物B 層3 班, 政治1 班;10 物理A 層 4 班,生物B 層2 班,政治1 班;共 10種 .故選 :B【點睛】本題以實際生活為背景,考查學(xué)生的邏輯推理能力和分類討論的思想;屬于中檔題.12 對大于 1 的自然數(shù)m 的三次冪可用奇數(shù)進行以下形式的“分裂 ”：1373 3 33 1523 ,33 9 ,43 L，仿此，若m3的分裂數(shù)”中有一個是73,則m的值為（）5171119A 8B 9C 10D 11【答案】B【解析】由題意可得m3的分裂數(shù)”為m個連續(xù)奇數(shù)，設(shè) m3的分裂數(shù)”中第一個數(shù)

17、為am，則由題意可得：a3 a27 3 4 2 2, a4 a3 13 7 6 2 3,，am am 12（m 1）,將以上m 2個式子疊加可得(4 2m 2)(m 2) am a2 (m 1)(m 2)22 am (m 1)(m 2) a2 m m 1當(dāng)m 9時，am 73,即73是93的分裂數(shù)”中第一個數(shù)故選B13 分形幾何是美籍法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門數(shù)學(xué)新分支，其中的謝爾賓斯基”圖形的作法是：先作一個正三角形，挖去一個中心三角形”即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的每個小正三角形中又挖去一個中心三角形”按上述方法無限連續(xù)地作下去直到無窮，最終所得的

18、極限圖形稱為謝爾賓斯基”圖形（如圖所示），按上述操作7次后，謝爾賓斯基”圖形中的小正三角形的個數(shù)為（）A. 35B. 36C. 37D. 38【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出第 1,2,3次操作后，圖形中的小正三角形的個數(shù)，然后可歸納出一般結(jié) 論，得到答案.【詳解】如圖，根據(jù)題意第1次操作后，圖形中有 3個小正三角.第2次操作后，圖形中有 3X3=32個小正三角.第3次操作后，圖形中有 9X3=33個小正三角.所以第7次操作后，圖形中有 37個小正三角.1234故選：C【點睛】本題考查歸納推理，屬于中檔題14 為了調(diào)節(jié)高三學(xué)生學(xué)習(xí)壓力，某校高三年級舉行了拔河比賽，在賽前三位老師對前三

19、名進行了預(yù)測，于是有了以下對話：老師甲：“7 班男生比較壯，7 班肯定得第一名”老師乙： “我覺得 14 班比 15 班強， 14 班名次會比15 班靠前 ”老師丙：“我覺得 7班能贏 15班 ” 最后老師丁去觀看完了比賽，回來后說：“確實是這三個班得了前三名，且無并列，但是你們?nèi)酥兄挥幸蝗祟A(yù)測準(zhǔn)確”那么，獲得一、二、三名的班級依次為( )A 7 班、 14 班、 15 班B 14 班、 7 班、 15 班C 14 班、 15 班、 7班D 15 班、 14班、 7 班【答案】C【解析】【分析】分別假設(shè)甲、乙、丙預(yù)測準(zhǔn)確，分析三個人的預(yù)測結(jié)果，由此能求出一、二、三名的班 級【詳解】假設(shè)甲預(yù)測

20、準(zhǔn)確，則乙和丙都預(yù)測錯誤，14班名次比15 班靠后，7 班沒能贏15 班，故甲預(yù)測錯誤；假設(shè)乙預(yù)測準(zhǔn)確，則甲和乙都預(yù)測錯誤，7 班不是第一名，14 班名次比15 班靠前，7 班沒能贏15 班，則獲得一、二、三名的班級依次為14 班， 15 班， 7 班；假設(shè)丙預(yù)測準(zhǔn)確，則甲和乙都預(yù)測錯誤，7 班不是第一名，14 班名次比15 班靠后，7 班能贏 15 班，不合題意綜上，得一、二、三名的班級依次為14 班， 15 班， 7 班故選：C【點睛】本題考查獲得一、二、三名的班級的判斷，考查合情推理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能 力，是基礎(chǔ)題15 已知甲、乙、丙、丁四人各自去過阿勒泰、伊寧、喀什、庫爾勒中的

21、某一城市，且每個城市只有一人去過，四人分別給出了以下說法：甲說：我去過阿勒泰；乙說：丙去過阿勒泰； 丙說：乙、丁均未去過阿勒泰； 丁說：我和甲中有一人去過阿勒泰若這四人中有且只有兩人說的話是對的，則去過阿勒泰的是()A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】C【解析】【分析】 先假設(shè)一人說真話，推出正確，即可，推出矛盾，則說的假話【詳解】解：如果甲說的是真話，則甲，丙，丁說的是真話，則矛盾，甲未去過；如果乙說的是真話，則甲，丁說謊，丙說的真話，符合題意，丙去過.故選：C.【點睛】本題考查演繹推理的簡單應(yīng)用，難度一般.解答此類問題的關(guān)鍵是先進行假設(shè)，然后再逐個分析.E 1116.用數(shù)學(xué)歸納法證明1 2

22、31 L，4 2n 1112n n 12n則從k到k 1時左邊添加的項是（）A.12k 111B2k 2 2k 4C.12k 21D2k 112k 2根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，求出當(dāng) 比較可得所求.【詳解】n k時，等式的左邊，再求出n k 1時，等式的左邊,.11 1當(dāng)n k時，等式的左邊為1 1 1 12 3 4,一 ，111當(dāng)n k 1時，等式的左邊為1 2 3 4故從n k到n k 1，左邊所要添加的項是112k 1 2k11112k 12k 2k 12k 211.2k 1 2k 2故選：D.本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從n k到n k 1項的變化.17.我國古代數(shù)

23、學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中記述了三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在 ABC中，角A, B,C所對的邊分別為a,b,c,則 ABC的面積222222 a b c(ab) .根據(jù)此公式，若 acosB b 3c cos A 0,且a2 b2 c2 2，則 ABC的面積為()A.亞B. 2V2C.而D. 273根據(jù)acosB b 3c cosA 0,利用正弦定理邊化為角得整理為sinC 1 3cosA 0,根據(jù)sinAcosB cosAsin B 3sinCcosA 0,八m,1msin C 0 ,得cosA 一 ,再由余弦te理得3bc 3 ,又a2 b2 c2 2，代入公式124 (bc)2, 2

24、2 2c b a “ 求解.2由 a cosB3c cosA 0得 sin AcosBcosAsin B 3sin CcosA 0,即 sin A3sin CcosA 0,即 sinC 13cosA 0,因為sin C由余弦定理2，2bccosAbc3由ABC的面積公式得S124 (bc)132 12.2故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題18.下列表述正確的是（） 歸納推理是由特殊到一般的推理； 演繹推理是由一般到特殊的推理； 類比推理是由特殊到一般的推理； 分析法是一種間接證明法；A.B. C . D .【答案】D【解析】分析：根據(jù)題意，結(jié)合合情推理、演繹推理的定義，依次分析4個命題，綜合即可得答案.詳解：根據(jù)題意，依次分析 4個命題：對于，歸納推理是由特殊到一般的推理，符合歸納推理的定義，所以正確； 對于，演繹推理是由一般到特殊的推理，符合演繹推理的定義，所以正確； 對于，類比推理是由特殊到特殊的推理，所以錯誤； 對于，分析法、綜合法是