中考數(shù)學(xué)幾何之輔助線(xiàn)的添加

1、輔助線(xiàn)的添加【知識(shí)要點(diǎn)】 平面幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，證明是平面幾何的重要內(nèi)容。許多初中生對(duì)幾何證明題感到困難，尤其是對(duì)需要添加輔助線(xiàn)的證明題，往往束手無(wú)策。在這里我們介紹"添加輔助線(xiàn)"在平面幾何中的運(yùn)用。一 、三角形中常見(jiàn)輔助線(xiàn)的添加1. 與角平分線(xiàn)有關(guān)的 可向兩邊作垂線(xiàn)。 可作平行線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形 在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形2. 與線(xiàn)段長(zhǎng)度相關(guān)的 截長(zhǎng)：證明某兩條線(xiàn)段的和或差等于第三條線(xiàn)段時(shí)，經(jīng)常在較長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線(xiàn)段即可 補(bǔ)短：證明某兩條線(xiàn)段的和或差等于第三條線(xiàn)段時(shí)，也可以在較

2、短的線(xiàn)段上延長(zhǎng)一段，使得延長(zhǎng)的部分等于另外一條較短的線(xiàn)段，再利用全等或相似證明延長(zhǎng)后的線(xiàn)段等于那一條長(zhǎng)線(xiàn)段即可 倍長(zhǎng)中線(xiàn)：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線(xiàn)，方法是將中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。 遇到中點(diǎn)，考慮中位線(xiàn)或等腰等邊中的三線(xiàn)合一。3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的 考慮三線(xiàn)合一 旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)二 、四邊形 特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)往往需要添加輔助線(xiàn).下面介紹一些輔助線(xiàn)的添加方法.1、和平行四邊形有關(guān)的輔助線(xiàn)作法 平行四邊形是最常見(jiàn)的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性

3、質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形.利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形利用對(duì)角線(xiàn)互相平分構(gòu)造平行四邊形2、和菱形有關(guān)的輔助線(xiàn)的作法 和菱形有關(guān)的輔助線(xiàn)的作法主要是連接菱形的對(duì)角線(xiàn)，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問(wèn)題. 作菱形的高；連結(jié)菱形的對(duì)角線(xiàn).3、與矩形有輔助線(xiàn)作法 和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：. 計(jì)算型題，一般通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題；證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線(xiàn)借助對(duì)角線(xiàn)相等這一性質(zhì)解決問(wèn)題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線(xiàn)的作法較少.4、與正方形有關(guān)輔助線(xiàn)的作法 正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又

4、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問(wèn)題有時(shí)需要作輔助線(xiàn)，作正方形對(duì)角線(xiàn)是解決正方形問(wèn)題的常用輔助線(xiàn).5、與梯形有關(guān)的輔助線(xiàn)的作法 和梯形有關(guān)的輔助線(xiàn)的作法是較多的.主要涉及以下幾種類(lèi)型：（1）作一腰的平行線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對(duì)角線(xiàn)的平行線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4） 延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線(xiàn)等.三 、圓1遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。 作用： 利用垂徑定理； 利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 利用弦的一半、弦心

5、距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。2遇到有直徑時(shí) 常常添加（畫(huà)）直徑所對(duì)的圓周角。 作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。 3遇到90度的圓周角時(shí) 常常連結(jié)兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。 作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。4遇到弦時(shí)常常連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)。作用：可得等腰三角形； 據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。5遇到有切線(xiàn)時(shí) （1）常常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)） 作用：利用切線(xiàn)的性質(zhì)定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。 （2）常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn) 作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理

6、。6遇到證明某一直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí) （1） 若直線(xiàn)和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段。 作用：若OA=r，則l為切線(xiàn)。 （2） 若直線(xiàn)過(guò)圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心（即作半徑） 作用：只需證OAl，則l為切線(xiàn)。 （3） 有遇到圓上或圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn) 7  遇到兩相交切線(xiàn)時(shí)（切線(xiàn)長(zhǎng)）常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。 作用：據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)及其它性質(zhì)，可得到： 角、線(xiàn)段的等量關(guān)系； 垂直關(guān)系； 全等、相似三角形。8遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線(xiàn)段。 作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得： 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的

7、連線(xiàn)是三角形的角平分線(xiàn)； 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。9遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn) 作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。10遇到兩圓外離時(shí)（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線(xiàn)的問(wèn)題）常常作出過(guò)切點(diǎn)的半徑、連心線(xiàn)、平移公切線(xiàn)，或平移連心線(xiàn)。 作用：利用切線(xiàn)的性質(zhì)； 利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)。11遇到兩圓相交時(shí)常常作公共弦、兩圓連心線(xiàn)、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等。 作用： 利用連心線(xiàn)的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識(shí)； 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)； 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；  垂徑定理。12遇到兩圓相切時(shí)常常作連心線(xiàn)、公切線(xiàn)。 作用： 利用連心線(xiàn)性質(zhì)； 切線(xiàn)性質(zhì)等。13 遇到三

8、個(gè)圓兩兩外切時(shí)常常作每?jī)蓚€(gè)圓的連心線(xiàn)。 作用：可利用連心線(xiàn)性質(zhì)。 14遇到四邊形對(duì)角互補(bǔ)或兩個(gè)三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時(shí)常常添加輔助圓。 作用：以便利用圓的性質(zhì)?！練v年考卷形勢(shì)分析及中考預(yù)測(cè)】平面幾何是歷年來(lái)中考和競(jìng)賽的必考內(nèi)容，其題目的靈活性遠(yuǎn)遠(yuǎn)是代數(shù)題目所不能比擬的，從簡(jiǎn)單的選擇填空到較為復(fù)雜的中考?jí)狠S題甚至競(jìng)賽中的壓軸題，出題范圍極為廣泛，難易程度差距較大，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)綜合運(yùn)用能力考察較多?？v觀(guān)近6年廣州市的中考試題，分值分布大約在60分左右，其中簡(jiǎn)單的題目大約占43分，其余的17分較難，每年必有一道幾何壓軸題，分值14分，經(jīng)常和實(shí)際問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及函數(shù)問(wèn)題

9、結(jié)合，難度較大，應(yīng)引起同學(xué)們的高度重視。題目難主要難在輔助線(xiàn)的添加，尤其像特殊四邊形及圓中的問(wèn)題，從中考考綱來(lái)看，2011年廣州市中考命題，同往年相比，變化不大，壓軸題中可能會(huì)以三角形或四邊形結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題給出，或者以圓中相關(guān)知識(shí)為背景，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)，函數(shù)問(wèn)題給出，區(qū)分度較大?！究键c(diǎn)精析】考點(diǎn)1. 三角形：例1 如圖，AB=CD，E為BC中點(diǎn)，BAC=BCA，求證：AD=2AE。ABECD例2 如圖，AB>AC, 1=2，求證：ABAC>BDCD。12ACDB例3 如圖95，設(shè)O是正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知AOB=115°，BOC=125°。求以線(xiàn)段OA，OB，OC為

10、邊構(gòu)成的三角形的各角。圖95BACOABCDMN例4 如圖所示，ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，連結(jié)MN，求AMN的周長(zhǎng).【舉一反三】1、如圖，AB=6，AC=8，D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。ABCD682、如圖，BC>BA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。BDCA 3如圖921，設(shè)O是正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知AOB=80°，BOC=135°，求以線(xiàn)段OA、OB、OC為邊構(gòu)成的三角形的各角。BOAC圖921考點(diǎn)2. 四

11、邊形：例5 如圖1，已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形. 求證:OE與AD互相平分.例6 如圖3，已知AD是ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC. 例7 如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長(zhǎng).例8 如圖，在正方形ABCD中，E為內(nèi)部一點(diǎn)且是正三角形，求的度數(shù)ABCDE例9 如圖，ABCD，M、N分別為AD、BC中點(diǎn)，MN交AC、BD于G、H點(diǎn)。 求證：GH=（CDAB）ADCBMNHG【舉一反三】1. 如圖2，在A(yíng)BC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分

12、別為D，G.求證:ED+FG=AC.2. 如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證EF+BF的最小值等于DE長(zhǎng).AEBFCD3如圖：正方形ABCD，AE+CF=EF，求證：4、如圖，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，對(duì)角線(xiàn)ACBD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面積。考點(diǎn)3. 圓：例10 （2010江蘇泰州，18，3分）如圖O的半徑為1cm，弦AB、CD的長(zhǎng)度分別為，則試求弦AC、BD所夾的銳角 例11 (2010年安徽蕪湖市)如圖所示，在圓O內(nèi)有折線(xiàn)OABC，其中OA8，AB12， AB60°，試求BC的長(zhǎng)為

13、.例12（2010山東臨沂）如圖,是半圓的直徑,為圓心,、是半圓的弦，且.(1)判斷直線(xiàn)是否為的切線(xiàn)，并說(shuō)明理由；(2)如果，求的長(zhǎng)。例1PBAEOCD3（2010江蘇宿遷）（本題滿(mǎn)分10分）如圖，AB是O的直徑， P為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，C為半圓ACB的中點(diǎn)，PD切O于點(diǎn)D，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)E求證：（1）PD=PE；（2）【舉一反三】1（番禺一模）已知：如圖12，在中，點(diǎn)在上，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與分別交于點(diǎn)，且 圖12（1）判斷直線(xiàn)與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，求的面積2.（天河一模）如圖，在RtABC中，ACB90°，AC5，CB12，AD是ABC的角平分線(xiàn)，過(guò)

14、A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE。ACBDE （1）求證：ACAE； （2）求ACD外接圓的半徑。3（荔灣十校一模）如圖，已知AB為O的弦，C為O上一點(diǎn)，C=BAD，且BDAB于B. （1）求證：AD是O的切線(xiàn)；（2）若O的半徑為3，AB=4，求AD的長(zhǎng).綜合例14（2010寧夏回族自治區(qū)）在A(yíng)BC中，BAC=45°，ADBC于D，將ABD沿AB所在的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處；將ACD沿AC所在的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，分別延長(zhǎng)EB、FC使其交于點(diǎn)M(1)判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明(2)若BD=1，CD=2，試求四邊形AEMF的面積圖14-1連桿滑塊滑道

15、例15（2010 河北）觀(guān)察思考某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖14-1，圖14-2是它的示意圖其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動(dòng)，在Q滑動(dòng)的過(guò)程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動(dòng)，并且PQ帶動(dòng)連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動(dòng)在擺動(dòng)過(guò)程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的O上運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OH l于點(diǎn)H，并測(cè)得PBAEOCDOH =4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米解決問(wèn)題（1）點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最小距離是 分米；點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最大距離是 分米；點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離

16、是 分米（2）如圖14-3，小明同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位HlOPQ圖14-2置時(shí)，PQ與O是相切的”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？為什么？（3）小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OH上時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最小”事實(shí)上，還存在著點(diǎn)P到l距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)P到l的距離是 分米；當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃?，求這個(gè)扇形面積最大時(shí)圓心角的度數(shù)HlO圖14-3P（Q） 【舉一反三】1.（2010年寧德市）（本題滿(mǎn)分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線(xiàn)BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.EA DB CNM

17、 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最小；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).2（廣雅一模）平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合）如圖,將COD沿OD翻折，得到FOD；再在A(yíng)B邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將BDE沿DE翻折，得到GDE，并使直線(xiàn)DG，DF重合（1）圖中，若COD翻折后點(diǎn)F落在OA邊上，寫(xiě)出 D、E點(diǎn)坐標(biāo)，并且求出直線(xiàn)DE的解析式（2）設(shè)（1）中所求直線(xiàn)DE與x軸交于點(diǎn)M，請(qǐng)你猜想過(guò)點(diǎn)M、C且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)DE的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在圖的圖形中，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的猜想（3）圖