7-3-定積分的計(jì)算(1)---換元積分法

1、第七 章 定積分 1 定積分的概念和可積條件定積分的概念和可積條件 2 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 3 微積分基本定理微積分基本定理 4 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 1、給出了定積分的概念和可積條件。給出了定積分的概念和可積條件。2、給出了定積分的基本性質(zhì)。給出了定積分的基本性質(zhì)。3、給出了微積分基本定理及求定積分的常用方法給出了微積分基本定理及求定積分的常用方法。教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容：4、給出了定積分的應(yīng)用給出了定積分的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):變限函數(shù)與定積分的概念；求定積分的方法。變限函數(shù)與定積分的概念；求定積分的方法。要求要求:1、理解變限函數(shù)與定積分的定義。理解變限函數(shù)與定積分的定義

2、。2、熟練掌握求定積分的方法，并會(huì)應(yīng)用微積分知識(shí)解決熟練掌握求定積分的方法，并會(huì)應(yīng)用微積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。實(shí)際問(wèn)題。3、了解達(dá)布（了解達(dá)布（DarbouxDarboux）和及可積條件。）和及可積條件。本章內(nèi)容、要求及重點(diǎn)本章內(nèi)容、要求及重點(diǎn)第三節(jié)第三節(jié) 定積分的計(jì)算（定積分的計(jì)算（1） 一、定積分的換元積分法 二、二、小結(jié)定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時(shí)，上變化時(shí)，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則

3、 有有dtttfdxxfba )()()(. .一、換元公式一、換元公式證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，換換元元公公式式仍仍成成立立.應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函

4、函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計(jì)計(jì)算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量t的的上上、下下限限分分別別代代入入)(t 然然后后相相減減就就行行了了.（2）用用)(tx 把把變變量量x換換成成新新變變量量t時(shí)時(shí)，積積分分限限也也相相應(yīng)應(yīng)的的改改變變.例例1 1 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 例例2 2 計(jì)算計(jì)算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 2

5、3sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例4 4 計(jì)算計(jì)算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式

6、2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 例例 5 5 當(dāng)當(dāng))(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù)，且且有有 )(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 aadxxf0)(.證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()

7、()(;)(20 adttf)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明（1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此計(jì)算由

8、此計(jì)算 02cos1sindxxxx.證證（1）設(shè)）設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）設(shè)）設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos

9、2x.42 )44(2 0)(sindxxxf幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(二、小結(jié)二、小結(jié) 作業(yè)：作業(yè)：P310 6(4)(5)(13)(16);9;12;13;16. 思考題思考題指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯(cuò)錯(cuò)誤誤，并并寫寫出出正正確確的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考題解答思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.txsec

10、 ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 一、一、 填空題：填空題：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5

11、、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （為參數(shù)為參數(shù) ）. .三、三、 設(shè)設(shè) 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf. .四、設(shè)四、設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)，上連續(xù)， 證明證明 babadxxbafdxxf)()(. .五、五、 證明：證明： 1010)1()1(dxxxdxxxmnnm. .六、證明：六、證明： aaadxxfxfdxxf0)()()(, , 并求并求 44sin1xdx. .七、設(shè)七、設(shè) 1,0)(在在xf上連續(xù)，上連續(xù)， 證明證明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、0 0； 2 2、34 ； 3 3、2 ； 4 4、323 ； 5 5