排列組合問(wèn)題之捆綁法插空法和插板法

1、行測(cè)答題技巧：排列組合問(wèn)題之捆綁法，插空法和插板法“相鄰問(wèn)題”捆綁法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其“捆綁”后整體考慮，也就是將相鄰元素視作“一個(gè)”大元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間排列順序的解題策略。例1.若有A、B、C、DE五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須站在相鄰位置，則有多少排隊(duì)方法？【解析】：題目要求A和B兩個(gè)人必須排在一起，首先將A和B兩個(gè)人“捆綁”，視其為“一個(gè)人”，也即對(duì)“A,B”、GDE“四個(gè)人”進(jìn)行排列，有城種排法。又因?yàn)槔壴谝黄鸬腁B兩人也要排序，有種排法。根據(jù)分步乘法原理，總的排法有工星=24/2=48種。例2.有8本不同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，

2、外語(yǔ)書2本，其它學(xué)科書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語(yǔ)書也恰好排在一起的排法共有多少種？【解析】：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語(yǔ)書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個(gè)元素，共有種排法；又3本數(shù)學(xué)書有國(guó)種排法，2本外語(yǔ)書有國(guó)種排法；根據(jù)分步乘法原理共有排法省工力"城=12。6x2=1440種?！就跤篮闾崾尽浚哼\(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題。解題過(guò)程是“先捆綁，再排列”。“不鄰問(wèn)題”插空法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元

3、素的間隙或兩端位置，從而將問(wèn)題解決的策略。例3.若有A、B、C、DE五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法？【解析】：題目要求A和B兩個(gè)人必須隔開(kāi)。首先將C、DE三個(gè)人排列，有可種排法；若排成DCE,則DGE“中間”和“兩端”共有四個(gè)空位置，也即是：一D-C-E-,此時(shí)可將AB兩人插到四個(gè)空位置中的任意兩個(gè)位置，有母種插法。由乘法原理，共有排隊(duì)方法：Xjx胃:=6乂】2=72o例4.在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？【解析】：直接解答較為麻煩，可根據(jù)插空法去解題，故可先用一個(gè)節(jié)目去插7個(gè)空位（原來(lái)的

4、6個(gè)節(jié)目排好后，中間和兩端共有7個(gè)空位），有用種方法；再用另一個(gè)節(jié)目去插8個(gè)空位，有4種方法；用最后一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有£方法,由乘法原理得：所有不同的添加方法為乂&乂=504種。例4.一條馬路上有編號(hào)為1、2、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？【解析】：若直接解答須分類討論，情況較復(fù)雜。故可把六盞亮著的燈看作六個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插7個(gè)空位，共有d種方法（請(qǐng)您想想為什么不是見(jiàn)），因此所有不同的關(guān)燈方法有名N占=35種?！就跤篮闾崾尽浚哼\(yùn)用插空法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意插空位置包括

5、先排好元素“中間空位”和“兩端空位”。解題過(guò)程是“先排列，再插空”。練習(xí)：一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？（國(guó)考2008-57）A.20B.12C.6D,4插板法是用于解決“相同元素”分組問(wèn)題，且要求每組均“非空”，即要求每組至少一個(gè)元素；若對(duì)于“可空”問(wèn)題，即每組可以是零個(gè)元素，又該如何解題呢？下面先給各位考生看一道題目：例I.;犯行10完全嶗聞的誡全部分給不入職級(jí).號(hào)的售少1個(gè)部同共有害少神不同的分法？【期析】題目中球的分法共三類：第一類：白.4A班郵個(gè)班分到2，、域.其余/個(gè)史每總分到1人球其分法種敢為第二類工有1個(gè)旗分

6、到3個(gè)球，I個(gè)班分到2個(gè)球.其余5個(gè)所每班分到1個(gè)球,其分法種數(shù)第三類：有1個(gè)班分到4個(gè)環(huán),其余的6個(gè)班每班分到I個(gè)字.其分法種數(shù)C，所以.母小球分給7個(gè)研，每班至少一小球的分法種數(shù)為工C+GC+G=副.從上面解髓過(guò)程來(lái)看,時(shí)這類問(wèn)題迸行分類計(jì)算比較管瑣，若是上題中球的數(shù)目較多處理起來(lái)將更加困難，園比我力需要尋求一種新的模式解決向題，我們創(chuàng)設(shè)這樣一種遍擬的情境插板，用1。個(gè)用同的球排成一行.10個(gè)球之間出現(xiàn)了g個(gè)空檔，現(xiàn)在我門用“擋板m把10個(gè)球隔成有序的7份.每個(gè)茨稅依次按費(fèi)級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球£可能是I個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)）.為助于這樣的靠期“擋板”分間物晶的方法苻之為插板

7、法.I上述分析可知.外濾的方法實(shí)行上為擋板的接法：口是在。個(gè)空檔之中插入6個(gè),持械）（6個(gè)擋楨可把球分為7組）,其方法種數(shù)為=的由上述問(wèn)題的分析可看到，這種插版法解決起來(lái)非蒿簡(jiǎn)單.但同時(shí)也提醒各位考生,這類問(wèn)題模篁的適用前提相當(dāng)嚴(yán)格,必須同時(shí)滿足以卜3個(gè)條件；所要分的兀素/須先至法同；所要分的元素必須分完，決不允許有剩余參與分元素的每組至少分到1個(gè)，決不允許出現(xiàn)分不到元素的組。下面再給各位看一道例題：例2.有8個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里，共有()種不同方法.A.35B.28C.21D.45【解析】這道題很多同學(xué)錯(cuò)選C,錯(cuò)誤的原因是直接套用上面所講的“插板法”，而忽略了“插板法”的適用條件。

8、例2和例1的最大區(qū)別是：例1的每組元素都要求“非空”，而例2則無(wú)此要求，即可以出現(xiàn)空盒子。其實(shí)此題還是用“插板法”，只是要做一些小變化，詳解如下：設(shè)想把這甘個(gè)兼一個(gè)接一個(gè)排起究，即00000000，共形成9個(gè)空檔（此時(shí)的空檔包括中間7個(gè)空擋和兩蜻2個(gè)空栓3然后用2個(gè)擋板把這8個(gè)建分成3私先插第一個(gè)擋板.由于可以有空盒，所以有9個(gè)空桎可以插1再插第二個(gè)版，有10個(gè)空鞘再以插.但刊于兩個(gè)板是不可分的（總就是說(shuō)當(dāng)兩個(gè)擋板X芯時(shí),顯然是兩沖抵法.僅實(shí)際上是一種分法，所以共苧=45種.例3.11）已知方程產(chǎn)上=20求這個(gè)方程的牛野翠雪的個(gè)魴（2）已知方程aj十加求這個(gè)方程的浦?1就6解的個(gè)此【壁析】將而

9、分成2。個(gè)1.覽出來(lái)；IiMIJLiI1ML1i1111在這2U人數(shù)中間的19八空;插人2個(gè)出子.瑪2口分成3部分，每一監(jiān)分對(duì)因口”的個(gè)線.按晚.序柞康r=：j=：即是正整軌掣.故正整我艇的個(gè)直為；.掣法非常防超（2）此蓬五兄2的挈法克仝桁同清？r位考生自己考噂一下.從以上曳題的分析來(lái)看,在利用“插報(bào)法.解決這種相周5t素排列細(xì)合問(wèn)題時(shí).一定要注意“空修與”不空.的分析,防止掉入陷阱0例3晌兩包相比衰，盯以褪明顯地看“空.與“不空”的區(qū)別?！胺强铡眴?wèn)題插板法題目原型為；設(shè)有#個(gè)相同元素，分成版m組,每組至少一個(gè)元素的分級(jí)方法共有h叫空門問(wèn)題插板法問(wèn)題原型為：設(shè)有萬(wàn)個(gè)相同元素.啟1）（月+2）一（月（掰-I）I分威M（內(nèi)會(huì)）鼠則分組方法共有-_-=GL種方法（對(duì)于“可（R-2）L空“問(wèn)超，只要記住公式典可.不要求掌掘原理3練習(xí)：育僚舞臺(tái)階，分H山走上